Эконометрика

Министерство образования и науки Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

ФАКУЛЬТЕТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ (ФДО)

Е. Б. Грибанова

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

Томск
2014

УДК
330.43(085.8)
ББК
65в6я73
Г 820

Рецензенты:
Мицель А. А., проф. кафедры автоматизированных систем управления ТУСУРа;
Крицкий О. Л., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики
и математической физики Национального исследовательского Томского
политехнического университета.

Грибанова Е. Б.
Г 820
Эконометрика : учебное пособие / Е. Б. Грибанова. — Томск : факультет
дистанционного обучения ТУСУРа, 2014. — 156 с.

В пособии рассматриваются основные понятия эконометрического моделирования, характеристики и виды случайных величин, выборок и оценок. Представлены методы нахождения оценок неизвестных параметров
регрессионной модели. Рассмотрена классическая линейная модель множественной регрессии, а также её модификации: нелинейные модели, модели
с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

УДК
330.43(085.8)
ББК
65в6я73

Грибанова Е. Б., 2014

Оформление.
ФДО, ТУСУР, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
6

1
Эконометрика и эконометрическое моделирование: основные
понятия и определения
8
1.1
Вероятностно-статистическая (эконометрическая) модель как
частный случай математической модели . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Эконометрика и ее место в ряду математико-статистических
и экономических дисциплин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
От простых взаимосвязей между переменными к эконометрической
модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.4
Основные понятия эконометрического моделирования . . . . . . . . .
15
1.5
Этапы эконометрического моделирования . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

2
Случайные переменные, выборки оценки
21
2.1
Характеристики случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.2
Закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.3
Генеральная совокупность и выборка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4
Вычисление выборочных характеристик . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.5
Точечные и интервальные оценки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.6
Статистическая проверка гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

3
Методы и модели регрессионного анализа
39
3.1
Введение в регрессионный анализ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
3.2
Основные задачи прикладного регрессионного анализа
. . . . . . . .
43
3.3
Классическая линейная модель множественной регрессии (КЛММР)
44
3.4
Оценивание неизвестных параметров КЛММР: метод наименьших
квадратов и метод максимального правдоподобия . . . . . . . . . . . .
48
3.5
Статистические свойства оценок параметров КЛММР . . . . . . . . .
55
3.6
Определение доверительных интервалов для коэффициентов
и функции регрессии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.7
Обобщенная линейная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

4
Нелинейные модели регрессии и линеаризация
61
4.1
Нелинейные связи в экономике. Линеаризация модели . . . . . . . . .
61
4.2
Использование априорной информации о содержательной
сущности анализируемой зависимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.3
Некоторые виды нелинейных зависимостей, поддающиеся
линеаризации. Зависимости гиперболического типа . . . . . . . . . . .
64

Оглавление

4.4
Зависимости показательного (экспоненциального) типа . . . . . . . .
66
4.5
Зависимости степенного типа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.6
Зависимости логарифмического типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.7
Оценка значимости уравнения регрессии. Коэффициент
детерминации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.8
Подбор линеаризующего преобразования (подход Бокса—Кокса) . . .
78
4.9
Тест Зарембки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

5
Гетероскедастичность
82
5.1
Понятие гетероскедастичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
5.2
Графический анализ остатков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
5.3
Тесты на гетероскедастичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
5.3.1
Тест ранговой корреляции Спирмена . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.3.2
Тест Парка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.3.3
Тест Гольдфельда—Квандта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
5.4
Устранение гетероскедастичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

6
Автокорреляция
93
6.1
Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.2
Графический метод обнаружения автокорреляции . . . . . . . . . . . .
97
6.3
Метод рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.4
Тест Дарбина—Уотсона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
6.5
Устранение автокорреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7
Некоторые вопросы практического использования регрессионных
моделей
109
7.1
Расчет эластичностей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.2
Мультиколлинеарность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3
Отбор наиболее существенных объясняющих переменных
в регрессионной модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
7.4
Линейные регрессионные модели с переменной структурой.
Фиктивные переменные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
7.5
Критерий Г. Чоу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.6
Частная корреляция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.7
Построение КЛММР по неоднородным данным в условиях, когда
значения сопутствующих переменных неизвестны
. . . . . . . . . . . 127

Заключение
131

Литература
132

Приложение А Функция стандартного нормального распределения
133

Приложение Б
Квантили распределения χ2

ν 135

Приложение В
Двусторонние квантили распределения Стьюдента
136

Приложение Г
Таблица критерия Фишера для α
0.05
137

Оглавление
5

Приложение Д
Таблица критерия Дарбина—Уотсона для α
0.05
139

Приложение Е
Таблица критических значений количества рядов
141

Приложение Ж Необходимые сведения из матричной алгебры
143

Глоссарий
151

ВВЕДЕНИЕ

Сегодня деятельность в любой области экономики (управлении, финансовокредитной сфере, маркетинге, учете, аудите) требует от специалиста применения
современных методов работы, знания достижений мировой экономической мысли
и понимания научного языка. Большинство новых методов основано на эконометрических моделях, концепциях и приемах. Без глубоких знаний эконометрики
научиться использовать их невозможно. Чтение современной экономической литературы также предполагает хорошую эконометрическую подготовку.
Специфической особенностью деятельности экономиста является работа в условиях недостатка информации и неполноты исходных данных. Анализ такой информации требует специальных методов, которые составляют один из аспектов
эконометрики. Центральной проблемой эконометрики являются построение эконометрической модели и определение возможностей ее использования для описания,
анализа и прогнозирования реальных экономических процессов.
Последние десятилетия эконометрика как научная дисциплина стремительно
развивается. Растет число научных публикаций и исследований с применением
эконометрических методов.
Свидетельством всемирного признания эконометрики является присуждение за
наиболее выдающиеся разработки в этой области Нобелевских премий по экономике Р. Фришу и Я. Тинбергу (1969), Л. Клейну (1980), Т. Хаавельмо (1989), Дж. Хекману и Д. Макфаддену (2000), Р. Инглу и К. Грэнджеру (2003).
Достижения современной экономической науки предъявляют новые требования
к высшему профессиональному образованию экономистов. Современное экономическое образование, — утверждает директор ЦЭМИРАН академик В. Л. Макаров, —
держится на трех китах: макроэкономике, микроэкономике и эконометрике [1].
Курс «Эконометрика» разбит на семь частей.
В первой главе определяется понятие эконометрики и эконометрической модели.
Во второй главе Вы познакомитесь с понятием случайной величины, выборки,
закона распределения, оценки, статистической проверки гипотез.
Третья глава посвящена описанию методов и моделей регрессионного анализа.
Глава четвертая посвящена нелинейным моделям регрессии и линеаризации.
Здесь также рассмотрены основные способы выбора типа зависимости между переменными регрессионной модели.

Соглашения, принятые в книге
7

В пятой главе рассказывается о природе гетероскедастичности. Описаны способы определения и устранения гетероскедастичности.
Шестая глава посвящена автокорреляции. Рассматриваются способы определения автокорреляции и её устранения.
В седьмой главе описаны некоторые вопросы практического использования регрессионных моделей. Приводится расчет эластичности, рассматриваются способы
определения и устранения мультиколлинеарности, описывается тест на возможность объединения выборки и т. д.

Соглашения, принятые в книге

Для улучшения восприятия материала в данной книге используются пиктограммы и специальное выделение важной информации.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Этот блок означает определение или новое понятие.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В блоке «На заметку» автор может указать дополнительные сведения или другой взгляд на изучаемый предмет, чтобы помочь
читателю лучше понять основные идеи.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Пример
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эта пиктограмма означает пример. В данном блоке автор может привести практический пример для пояснения и разбора основных моментов, отраженных в теоретическом материале.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Контрольные вопросы по главе
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава 1

ЭКОНОМЕТРИКА
И ЭКОНОМЕТРИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ: ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1 Вероятностно-статистическая
(эконометрическая) модель как частный случай
математической модели

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Математическая модель — это абстракция реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими категориями.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Эти отношения, как правило, представлены в форме уравнений или неравенств
между переменными, характеризующими функционирование моделируемой системы.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вероятностно-статистическая модель — это вероятностная
модель, значения отдельных характеристик (параметров) которой оцениваются по результатам наблюдений, характеризующих
функционирование моделируемого конкретного явления.

1.1 Вероятностно-статистическая (эконометрическая) модель
9

Вероятностно-статистическая модель, описывающая механизм
функционирования экономической или социально-экономической
системы, называется эконометрической.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Если же речь идет о любой математической модели, описывающей механизм
функционирования гипотетической экономической или социально-экономической
системы, то такую модель называют экономической [2].
В качестве примера экономической модели рассмотрим простейший (идеализированный) вариант так называемой «паутинной модели», которая описывает процесс формирования спроса и предложения определенного товара на рынке. Речь
идет о формализации экономического закона спроса и предложения, гласящего:
количество товара, которое можно продать на рынке (то есть спрос), изменяется
в направлении, противоположном изменению его цены; количество товара, которое продавцы доставляют на рынок (то есть предложение), изменяется в том же
направлении, что и цена; реальная рыночная цена складывается на уровне, при
котором спрос и предложение равны друг другу.
Займемся математической формализацией этих положений. Пусть xt (ден. ед.) —
цена в «момент времени» t. И пусть y

nt
и y

ct
— количество товара, соответственно
предложенного и купленного («спрошенного») на рынке в тот же момент времени t.
Тогда, с учетом одного такта времени, необходимого продавцам на то, чтобы «среагировать» на цену x, можно математически сформулировать приведенные выше
закономерности в виде:



y

nt

f
xt 1

,
y

ct

g
xt

,
lim
t f
xt 1

lim
t g
xt

,

lim
t xt

x,

где f
x— некоторая монотонно возрастающая, а g
x— монотонно убывающая
функция от аргумента x (от цены).
Математические соотношения, отражающие закон спроса-предложения, могут
быть проиллюстрированы рисунком 1.1.
Из рисунка 1.1 видно, что процесс формирования цены начался с назначения
в 1-й (начальный) момент времени цены на уровне x1. Продавец отреагировал на это
в следующий (2-й) момент времени величиной предложения, равной y

n2

f
x1

,
в то время как спрос на этот товар сформировался всего на уровне y

c1

g
x1

. Заметное превышение предложения над спросом привело к понижению цены в следующий (2-й) момент времени до уровня x2. Это сразу отразилось на предложении
в следующий (3-й) момент времени: оно снизилось до y

n3

f
x2

. Зато спрос резко
подскочил и составил во второй момент времени величину y

c2

g
x2

и т. д. В результате этого процесса траектория сходится паутинообразно к точке равновесия,
к точке пересечения кривых g
xи f
x.
Реалистическая модель закона спроса-предложения, конечно, сложнее. В частности, y

nи y

cзависят не только от цены x, поскольку связь между y

nи y

c,

Глава 1. Эконометрика и эконометрическое моделирование

с одной стороны, и ценой x — с другой, носит не детерминированный, а стохастический характер.

Рис. 1.1 – График процесса формирования спроса-предложения («паутинная»
модель)

Для того, чтобы эта модель превратилась из экономической в эконометрическую, следует говорить не вообще о законе спроса-предложения, а о конкретном его
действии в данном месте, данное время и применительно к данному конкретному
товару.

1.2 Эконометрика и ее место в ряду
математико-статистических и экономических
дисциплин

Название «эконометрика» было введена в 1926 г. норвежским экономистом
и статистиком Р. Фришем. В буквальном переводе этот термин означает «измерения
в экономике».
Эконометрика — самостоятельная научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории, экономической статистики, математикостатистического инструментария придавать конкретное количественное выражение
общим закономерностям, обусловленным экономической теорией.
В соответствии с этим определением суть эконометрики — именно в синтезе
экономики, экономической статистики и математики. На рисунке 1.2 приведена
диаграмма, иллюстрирующая место эконометрики в сопредельных научных областях.
Говоря об экономической теории в рамках эконометрики, будем интересоваться не просто выявлением экономических законов и связей между экономическими
показателями, но и подходами к их формализации, включающими в себя методы
спецификации соответствующих моделей с учетом проблемы их идентифицируемости. Под математико-статистическим инструментарием эконометрики подразумевается не вся математическая статистика, а лишь отдельные ее разделы (такие

1.2 Эконометрика и ее место в ряду
математико-статистических и экономических дисциплин
11

как: классическая и обобщенная линейные модели регрессионного анализа, анализ
временных рядов, построение и анализ систем одновременных уравнений).

Рис. 1.2 – Область эконометрики в сопредельных научных областях

Именно «приземление» экономической теории на базу конкретной экономической статистики и извлечение из этого «приземления» с помощью подходящего
математического аппарата определенных количественных взаимосвязей являются
ключевыми моментами в эконометрике, обеспечивают разграничение эконометрики с дисциплинами: математической экономикой, описательной экономической статистикой и математической статистикой. Так, математическая экономика, которая
на самом деле является математически сформулированной экономической теорией,
изучает взаимосвязи между экономическими переменными на общем (неколичественном) уровне. Она становится эконометрикой, когда символически представленные в этих взаимосвязях коэффициенты заменяются конкретными численными
оценками, полученными на базе соответствующих экономических данных.
Из определения эконометрики следует, что ее происхождение и главное назначение — это экономические и социально-экономические приложения, а именно
модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, существующих
между анализируемыми показателями. Задачи, решаемые с помощью эконометрики, можно классифицировать по трем параметрам: по конечным прикладным
целям, по уровню иерархии и по профилю анализируемой экономической системы.
По конечным прикладным целям выделим две основные:

прогноз экономических и социально-экономических показателей (переменных), характеризующих состояние и развитие анализируемой системы;

имитация различных возможных сценариев социально-экономического развития анализируемой системы, когда статистически выявленные взаимосвязи между характеристиками производства, потребления, социальной
и финансовой политики и т. п. используются для прослеживания того, как
планируемые (возможные) изменения тех или иных поддающихся управлению параметров производства или распределения скажутся на значениях
интересующих нас «выходных» характеристик.

Глава 1. Эконометрика и эконометрическое моделирование

По уровню иерархии анализируемой экономической системы выделяются макроуровень (т.е. страны в целом), мезоуровень (регионы, отрасли, корпорации) и микроуровень (семьи, предприятия, фирмы).
В некоторых случаях должен быть определен профиль эконометрического моделирования: исследование может быть сконцентрировано на проблемах рынка,
инвестиционной, финансовой или социальной политики, ценообразования, распределительных отношений, спроса и потребления или на определенном комплексе
проблем.

1.3 От простых взаимосвязей между переменными
к эконометрической модели

Рассмотрим идею о взаимосвязях между экономическими переменными. Формирующийся на рынке спрос на некоторый товар рассматривается как функция
его цены; затраты, связанные с изготовлением какого-либо продукта, предполагаются зависящими от объема производства; потребительские расходы могут быть
функцией дохода и т. д. Это примеры связей между двумя переменными, одна из
которых (спрос на товар, производственные затраты, потребительские расходы)
играет роль объясняемой переменной (или результирующего показателя), а другие интерпретируются как объясняющие переменные (или факторы-аргументы).
Но для большей реалистичности в каждое такое соотношение приходится вводить
несколько объясняющих переменных и остаточную случайную составляющую, отражающую влияние на результирующий показатель всех неучтенных факторов.
Спрос на товар можно рассматривать как функцию его цены, потребительского дохода и цен на конкурирующие и дополняющие товары; производственные затраты
будут зависеть от объема производства, от его динамики и от цен на основные производственные ресурсы; потребительские расходы можно определить как функцию
дохода, ликвидных активов и предыдущего уровня потребления. При этом участвующая в каждом из этих соотношений случайная составляющая, отражающая влияние на анализируемый результирующий показатель всех неучтенных факторов,
обусловливает стохастический характер зависимости, а именно: даже зафиксировав на определенных уровнях значения объясняющих переменных, скажем, цены
на сам товар и на конкурирующие с ним или дополняющие товары, а также потребительский доход, мы не можем ожидать, что тем самым однозначно определяется
спрос на этот товар. Другими словами, переходя в своих наблюдениях спроса от
одного временного или пространственного такта к другому, мы обнаружим случайное варьирование величины спроса около некоторого уровня даже при сохранении
значений всех объясняющих переменных неизменными.
В прикладном статистическом анализе анализируются различные варианты
формализации понятия стохастической зависимости между результирующим показателем y и объясняющими переменными x

1,x

2,...,x

p.
Распространенной в эконометрических приложениях формой представления
стохастической зависимости является аддитивная линейная форма, которая и будет
главным предметом исследования:

yt

θ0

θ1x

1t

...
θpx

pt

εt.
(1.1)

1.3 От простых взаимосвязей между
переменными к эконометрической модели
13

Здесь yt — значение результирующей (объясняемой) переменной, измеренное
в t-м временном (или пространственном) такте; x

11 ,x

22 ,...,x

pt
— значения объясняющих переменных, полученные в том же t-м измерении; θ0,θ1,...,θp — некоторые
параметры (как правило, не известные до проведения соответствующего статистического анализа); εt — случайная составляющая, характеризующая разницу между
модельным и наблюденным значениями анализируемой результирующей переменной, зафиксированную в t-м измерении.
Под модельным значением результирующей переменной

yt мы будем понимать
ее значение, восстановленное по заданным величинам объясняющих переменных
при условии, что коэффициенты θ0,θ1,...,θp известны, т. е.

yt

θ0

θ1x

1t

...
θpx

pt
.
(1.2)

Случайную составляющую ε можно интерпретировать как случайную ошибку
прогноза y по заданным значениям x

11 ,x

22 ,...,x

pt
, причем, чтобы исключить систематическую ошибку в оценке yt по

yt, полагают, что среднее значение случайной
составляющей εt при всех значениях t равно нулю (т. е. Mεt

0).
Следующий шаг в развитии экономических теорий состоит в группировке отдельных соотношений в модель. Всякая математическая модель является лишь
упрощенным формализованным представлением реального объекта (явления, процесса), и искусство ее построения состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность параметризации модели с достаточной адекватностью описания
именно тех сторон моделируемой реальности, которые интересуют исследователя.
Количество связей, включаемых в экономическую модель, зависит от условий, при
которых эта модель конструируется, и от подробности объяснения, к которой мы
стремимся. Например, традиционная модель спроса и предложения должна объяснять соотношения между ценой и объемом выпуска, характерные для некоторого
определенного рынка. Она содержит три уравнения, а именно: уравнение спроса,
уравнение предложения и уравнение реакции рынка. В эти уравнения, помимо интересующих нас объема выпуска и цены, будут входить и другие переменные; так,
например, в уравнение спроса войдет потребительский доход, а в уравнение предложения — цена. Объяснение, достигнутое с помощью такой модели, обусловлено
значениями некоторых «внешних» по отношению к модели переменных, и в этом
смысле модель является неполной, или условной. Более претенциозные модели
содержат гораздо больше уравнений и с их помощью пытаются отразить поведение существенно большего числа переменных; однако и они остаются условными,
поскольку тоже содержат переменные, не определяемые или не объясняемые моделью.
Все экономические модели, независимо от того, относятся они ко всему хозяйству или к его элементам (т. е. к макроэкономике, отрасли, фирме или рынку), имеют некоторые общие особенности. Во-первых, они основаны на предположении,
что поведение экономических переменных определяется с помощью совместных
и одновременных операций с некоторым числом экономических соотношений. Вовторых, принимается гипотеза, в силу которой модель, допуская упрощение сложной действительности, тем не менее улавливает главные характеристики изучаемого объекта. В-третьих, создатель модели полагает, что на основе достигнутого с ее