Элементарные функции и их графики

Министерство образования и науки Российской Федерации 

 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ 

 
 
 
 

И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон  

 
 
 
 
 
 

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 

И ИХ ГРАФИКИ 

 
 
 

Учебное пособие 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск 

Издательство Томского государственного университета 

систем управления и радиоэлектроники 

2017 

Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С. 
Элементарные функции и их графики: учеб. Пособие  / 

И.Э. Гриншпон, Я.С. Гриншпон. – Томск: Изд-во Томск. гос. ун-та 
систем упр. и радиоэлектроники, 2017. – 98 с. 

Приведены определения, свойства и графики основных элементарных функ
ций, а также правила линейных преобразований графиков функций. Особое внимание уделено графикам гармонических колебаний.  

При подготовке второго издания пособие было переработано и дополнено. 

Учебное издание 

Гриншпон Ирина Эдуардовна 
Гриншпон Яков Самуилович 

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 

И ИХ ГРАФИКИ 

 
 

Учебное пособие 

Компьютерная верстка Я.С. Гриншпона 

Подписано в печать   .  .  . Формат 6084/16. 

Усл. печ. л. …... Заказ    . Тираж     экз. 

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования 

Томский государственный университет 
систем управления и радиоэлектроники. 

634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. 

Тел. 8 (3822) 533018. 

 
 

 Гриншпон И.Э., Гриншпон Я.С., 2017
 Изд-во Томск. гос. ун-та систем упр. и 

радиоэлектроники, 2017

 

Введение 

При изучении различных явлений мы обычно имеем 

дело с совокупностью переменных величин, связанных между собой так, что значения одних переменных величин (независимых переменных) определяют значения других переменных величин (зависимых переменных или функций). Например, размеры сторон треугольника вполне определяют 
его площадь, при изменении радиуса круга меняется его 
площадь. При изменении скорости тела изменяется путь, 
пройденный телом за данный промежуток времени, при изменении сопротивления проводника изменяется сила тока в 
цепи, объем данного газа при определенной температуре 
обусловливается его давлением, удлинение данного металлического стержня определяется его температурой и т.д. Подобные закономерности и послужили источником понятия 
функции. Встречаются зависимости не только от одной, но и 
от нескольких величин. Например, площадь прямоугольника 
зависит от двух величин (длины и ширины), а объем параллелепипеда от трех (длина, ширина, высота). Такие зависимости приводят к понятию функции нескольких переменных. 

Отвлекаясь от конкретного смысла переменных, мате
матика рассматривает абстрактные переменные величины, 
изучает их взаимосвязи.  

Понятие переменой величины (функции) является од
ним из центральных понятий математического анализа. Оно 
является для математики и ее приложений, связанных с изучением переменных величин, таким же фундаментальным, 
как понятие числа для арифметики. 

Как и остальные понятия математики, понятие функции 

сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. 

Впервые понятие функции было введено в знаменитом 

труде математика и философа Рене Декарта «Геометрия» 
(1637 г.) под названием «переменная величина». В геометрическом и механическом понимании это понятие интерпретируется у Исаака Ньютона (1671 г.). Под функцией он понимал переменную величину, которая изменяется с течением 
времени. Эту величину Ньютон называл «флюентой». Термин «функция» (от латинского functio – исполнение) впервые 
ввел в 1673 году немецкий математик Готфрид Лейбниц в 
письме к Гюйгенсу. У Лейбница функция связывалась с геометрическим образом (под функцией он понимал отрезок, 
длина которого меняется по какому-нибудь определенному 
закону). В работах Декарта, Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер и 
не было связано ни с геометрическими, ни с механическими 
представлениями. В XVIII веке функцию стали рассматривать как формулу, связывающую одну переменную с другой. 
Швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году определил функцию следующим образом: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким 
угодно способом из этой переменной величины и постоянных». В 1755 году в «Дифференциальном исчислении» Леонард Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что 
при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых». 

Современное определение функции как зависимости 

одной переменной величины от другой было дано в работах 
Николая Ивановича Лобачевского и чешского математика 
Бернарда Больцано.  

Введение переменной в математику оказало решающее 

влияние на развитие математической науки. Кроме количественных соотношений между постоянными величинами, математика смогла изучать процессы, связанные с изменением 
величин и движением.  

Когда складывался общий подход к понятию функции, 

и для функции потребовалось обозначение, тогда и появился 
символ «f (x)». Этот символ ввел в 1733 году французский 
математик Клод Клеро. 

Среди всего многообразия функций исторически выде
лились функции, отличающиеся своей простотой и наиболее 
широкой областью применения. Это простейшие элементарные функции, основное значение которых состоит в том, что 
они составляют базу для изучения более сложных функций, 
являясь в большинстве своем составными элементами последних. 

К элементарным функциям относятся основные эле
ментарные функции и те, которые можно образовать из них с 
помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, 
умножения, деления) и суперпозиций. 

Элементарные функции подразделяют на алгебраиче
ские и трансцендентные. Алгебраической называют функцию, в которой над аргументом производится конечное число алгебраических действий. К ним относятся: целая рациональная функция (многочлен); дробно-рациональная функ

ция (отношение двух многочленов); иррациональная функция (среди действий над аргументом есть извлечение корня). 
К трансцендентным функциям относятся показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. 

Знание основных элементарных функций, их свойств и 

графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. 
Они как фундамент, на них все основано, из них все строится 
и к ним все сводится. 

Изучение свойств функций и их графиков занимает 

значительное место в курсе математики. Причем не только в 
курсах математического и функционального анализа, и в 
других разделах высшей математики, но и в большинстве узкопрофессиональных предметов. Например, в экономике – 
функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления..., в радиотехнике – функции управления 
и функции отклика, в статистике – функции распределения..., 
в информатике – логические функции… Чтобы облегчить 
изучение специальных функций, нужно знать свойства основных элементарных функций и научиться свободно оперировать их графиками. 

Наиболее часто в приложениях встречаются линейные 

функции. Многие физические законы выражаются, и притом 
достаточно точно, линейными функциями. Например, длина l 
тела с хорошим приближением рассматривается как линейная функция его температуры: l(t) = l0(1 +  t), где  – коэффициент линейного расширения, l0 – длина тела при t = 0. Если t – время, а S – расстояние от движущейся материальной 
точки до точки отчета в момент времени t, то линейная 

функция S(t) = vt + S0 описывает равномерное движение точки 
со скоростью v, число S0 обозначает расстояние от материальной точки до точки отсчета в начальный момент времени 
t0 = 0. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела 
массы m до температуры T градусов Q(T) = cm(T – T0), где c – 
удельная теплоемкость вещества, T0 – начальная температура 
тела, также описывается линейной функцией. 

Возможность приближенно считать равномерными раз
личные изменения, хотя бы на малых участках, и простота 
линейной функции делают ее очень употребительной. 

В других случаях необходимо применение иных функ
циональных зависимостей. Например, если тело бросить с 
начальной скоростью v0 под углом  к горизонту, то траектория 
движения 
тела 
описывается 
уравнением 

2

2
2

0

( )
tg
2
cos
g
y x
x
x
v






. Графиком этого уравнения яв
ляется парабола с направленными вниз ветвями, о чем говорит знак «–» перед квадратом переменной. 

Еще несколько примеров из физики.  
Сила человека ограничена. Примером приспособления, 

позволяющего преобразовать силу человека в бóльшую силу, 
является рычаг. Выигрыш в силе, получаемый с помощью 
рычага, определяется отношением плеч приложенных сил. В 
этом состоит правило рычага. Обозначим силы через F1 и F2, 
а плечи сил – через l1 и l2 соответственно. Тогда правило рычага можно представить в виде следующей формулы: 

1
2

2
1

F
l

F
l

, то есть во сколько раз выигрываешь в силе, во 

столько раз проигрываешь в расстоянии. График 
 
F
l
k
k
 за
висимости отношения сил 
1

2

F

F
k
F

 от отношения соответст
вующих плеч 
1

2

l

l
k
l

 представляет собой гиперболу. Так как 

сила и длина рычага положительны, то рассматривается 
только одна ветвь гиперболы, находящаяся в первой четверти. 

Закон Бойля-Мариотта 
c
V
P

 показывает, что при по
стоянных температуре и массе газа зависимость между давлением P и объемом V состоит в обратной пропорциональности этих величин. График такой зависимости представляет 
собой гиперболу. Физический закон Бойля-Мариотта соответствует случаю, когда P и V положительны; он описывается ветвью гиперболы, находящейся в первой четверти. 

Скачок развития технологий, который мы наблюдаем 

последние десятилетия, вызвал ускорение прогресса во множестве разных областей. Это привело к неожиданным технологическим и социальным изменениям, происходящим не 
только между поколениями, но и внутри них. Будущее разворачивается уже не линейно, а экспоненциально. 

В отличие от линейного роста, который является ре
зультатом многократно добавления постоянной, экспоненциальный рост – это многократное умножение. Если линейный 
рост – это стабильная во времени прямая линия, то линия 
экспоненциального роста похожа на взлет. Чем большее значение принимает величина, тем быстрее она растет дальше. 

Отметим, что начальный темп экспоненциального роста медленный и постепенный, его трудно отличить от линейного 
роста.  

В последнее время развитие технологий идет по экспо
ненте: с каждым десятилетием, с каждым годом мы умеем 
несравнимо больше, чем раньше. 

Экспоненциальный рост – это возрастание величины, 

когда скорость роста пропорциональна значению самой величины. В случае дискретной области определения с равными интервалами экспоненциальный рост ещё называют геометрическим ростом или геометрическим распадом (значения функции образуют геометрическую прогрессию).  

Примером экспоненциального роста величины являют
ся сложные проценты. Сложным процентом принято называть процесс, когда проценты прибыли прибавляются к основной сумме и в дальнейшем сами участвуют в создании 
новой прибыли (вклад с капитализацией процентов). Пусть в 
банк положили S0 рублей на n лет под p% годовых (будем 
считать, что проценты на вклад начисляются один раз в год). 
Тогда 
на 
момент 
закрытия 
вклада 
итоговая 
сумма 

0
( )
(1 0,01 )n
S n
S
p


. Если считать, что проценты начисля
ются непрерывно, то сумма накопленных денежных средств 

будет такой 
0,01

0
( )
pt
S t
S
e


. 

Приведем несколько примеров экспоненциального спа
да физических величин. 

Давление воздуха в зависимости от высоты находится 

по формуле 
0
( )
kh
P h
Pe

, где P0 – давление на уровне моря, 

h – высота над уровнем моря, P – давление на высоте h. 

После открытия явления радиоактивности оказалось, 

что мгновенная скорость распада в каждый момент времени 
пропорциональна количеству вещества (чем больше имеется 
атомов вещества, тем больше их распадается). Количество 
радиоактивного вещества, оставшегося к моменту времени t, 

составляет 
/

0
( )
2 t T
m t
m



, где m0 – первоначальное количе
ство вещества, m – количество вещества в момент времени t, 
T – период полураспада, то есть промежуток времени, за который масса вещества уменьшается вдвое. 

Многие процессы в окружающем нас мире по истече
нии некоторого времени более или менее точно повторяются. 
К таким явлениям относятся колебательные процессы, которые окружают нас на каждом шагу. Это механические колебания (например, колебания маятника, струны), электромагнитные колебания (радиоволны, звуковые и световые волны). 
Электромагнитные колебания и волны занимают особое место среди различных физических явлений. Почти вся электротехника, радиотехника и оптика базируются на понятиях 
гармонических колебаний.  

Колебательные процессы описываются обычно триго
нометрическими функциями, изменяющимися периодически. 
Например, если вывести из равновесия подвешенную пружину, растянув её в пределах упругости, то её точка М будет 
совершать вертикальные колебания, выражающиеся довольно точно законом 
( )
cos(
)
x t
A
t




, где x – отклонение 

точки М от положения равновесия, t – время, а числа A,  и  
– некоторые постоянные, определяемые материалом, размерами и степенью начального растяжения пружины.