Теоретическая механика

Б.А. Люкшин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 

Методические указания по самостоятельной работе 
и практическим занятиям для студентов очного 
обучения всех специальностей 

ТОМСК – 2017 

Министерство образования Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)
 

Люкшин Б.А. 

Теоретическая механика: Методические указания по самостоятельной работе 
и практическим занятиям для студентов очного обучения всех 
специальностей. – Томск: ТУСУР, 2017. – 142 с.

СОДЕРЖАНИЕ 

Введение ………………………………………………………………..

1. СТАТИКА ……………………………………………………………
1.1. Плоская система сил …………………………………………...
1.2. Силы трения …………………………………………………….
1.3. Расчет плоских ферм …………………………………………...
1.4. Центр тяжести …………………………………………………..

2. КИНЕМАТИКА ……………………………………………………..
2.1. Движение точки ………………………………………………...
2.2. Скорость и ускорение точки …………………………………..
2.3. Сложное движение точки ……………………………………...
2.4. Сложение ускорений …………………………………………..
2.5. Плоское движение твердого тела ……………………………..

3. ДИНАМИКА ………………………………………………………...
3.1.Динамика материальной точки ………………………………...
3.2. Вторая (основная) задача динамики точки – определение
        движения точки по заданным силам …………………………
3.3. Колебания ……………………………………………………….
3.4. Относительное движение ……………………………………...

4. ОБЩИЕ МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ …………..
4.1. Момент инерции. Радиус инерции ……………………………
4.2. Движение центра масс системы ……………………………….

5. КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ……………………………………….

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………...
ЛИТЕРАТУРА …………………………………………………………

4 

6 
8 
18 
24 
29 

35 
35 
40 
46 
50 
55 

66 
66 

72 
85 
94 

100 
101 
106 

111 

132 
133 

ВВЕДЕНИЕ 

При изучении теоретической механики наибольшую трудность вызывает, как правило, не уяснение теоретических положений этой дисциплины. Они достаточно легко понимаемы, согласуются как с повседневным 
опытом, так и с традиционными  представлениями, которые студенты усвоили из изучения разделов механики школьного и вузовского курсов физики. Основные проблемы возникают у студентов по мере приложения 
теоретических положений к решению конкретных задач.  

Потребность соответствующего рода руководств особенно остро 
ощущается студентами, изучающими теоретическую механику самостоятельно – при обучении по заочной или дистанционной формам. Для студентов очной формы обучения есть возможность получить навыки решения задач на практических занятиях в общении с преподавателем или получить соответствующие консультации. В этом отношении другие формы 
обучения являются более сложными. Разумеется, есть определенный перечень учебников, приведенный в списке литературы к данному пособию, 
которые можно в общем плане рекомендовать для использования. Но в настоящее время эти руководства малодоступны, т.к. последние переиздания 
их вышли десятилетия назад. Кроме того, объем их таков, что совершенно 
нереально использовать их для самостоятельной работы при объемах часов, отведенных федеральными государственными образовательными 
стандартами (ФГОС) по специальностям Томского государственного 
университета систем управления и радиоэлектроники на изучение 
теоретической механики. Да  и круг вопросов, которые студенты в 
соответствии с ФГОС должны усвоить, много уже традиционно 
освещаемых в такого рода руководствах. 

Поэтому настоящее пособие ориентировано прежде всего на изложение тех вопросов и в том объеме, что предусмотрены ФГОС по 
инженерным специальностям ТУСУР. Предполагается, что теоретическая 
часть курса теоретической механики студентами освоена в объеме, 
предусмотренном ФГОС либо по стандартным учебникам, либо по 
учебнику автора «Теоретическая механика» [1]. В настоящем практикуме 
из теории приведены сведения лишь в самом кратком конспективном 
изложении – в том объеме, что позволяет понимать приводимые решения 
задач. 

Каждый из разделов теоретической механики в практикуме отражен 
некоторым набором задач, в той или иной мере иллюстрирующих основные идеи и приемы их решения. В начале раздела в очень сжатой форме 
приводятся правила и рекомендации о последовательности решения рассматриваемых далее задач. В некоторых случаях приведены разные методы решения, позволяющие сопоставить и оценить их эффективность.  

Большинство задач, приведенных в этом пособии, взято из известного задачника И.В.Мещерского [2] или из пособия «Теоретическая механика в примерах и задачах»  [3, 4] авторского коллектива в составе Бать М.И.,  

Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С., а также из пособия [5]. Здесь эти задачи 
приведены с некоторыми изменениями условий или обозначений, поэтому 
в тексте не делается далее ссылок на номера этих задач по оригинальным 
источникам. Тем самым, с одной стороны, определяется возможность использовать типовые задачи из [2] и [3 - 5] в качестве контрольных заданий, 
с другой – использовать данное пособие как вполне самостоятельное. 
Ввиду относительно небольшого объема пособия предполагается, 
что изложение строится «с накоплением» – когда изложение новых вопросов делается с учетом того, что было уже освоено ранее. Это не позволяет 
пользоваться пособием «с любого места», но значительно сокращает количество необходимой для решения задач вспомогательной информации. 
Решение конкретных задач является наиболее эффективным способом освоения методов и приемов теоретической механики. Автор надеется, 
что предлагаемое пособие будет полезным в этом отношении.  
Еще раз следует отметить, что объем и содержание настоящего пособия отвечают тому объему информации и такому времени изучения теоретической механики, что предусмотрено стандартами образования по 
специальностям радиотехнического профиля ТУСУР. В последующих изданиях автор попытается без существенного увеличения объема пособия 
отразить большее число разделов курса в виде методических рекомендация 
по решению задач. В то же время ясно, что такое увеличение нельзя сводить к переложению существующих пособий [3, 4, 5] или решению существенно большего количества задач из [2]. Поэтому в настоящем пособии в 
основном отражены способы решения задач, выносимых на контрольные 
задания.  

1. СТАТИКА 
 
Законы и аксиомы статики. Определения 
 
Аксиомы 1 – 6: 
 
1. Закон инерции: изолированное тело движется прямолинейно и 
равномерно или находится в покое. 
 
2. Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу (АТТ), уравновешиваются в случае, когда они равны по величине и противоположно направлены вдоль одной линии. 
 
3. Уравновешенные силы  можно добавлять к АТТ или отбрасывать, 
не нарушая равновесие тела. 
 
4. Равнодействующая сил, приложенных в одной точке (система 
сходящихся сил) определяется правилом суммирования векторов. 
 
5. Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Эти силы не уравновешивают друг друга, т.к. приложены к разным телам. 
 
6. Принцип отвердевания: равновесие нетвердого тела не нарушается 
при его затвердевании. Условие равновесия нетвердого тела при этом такое же, как и для твердого, и оно является необходимым, но в общем случае недостаточным. Например, гибкая нить при растяжении может быть 
заменена стержнем, но при сжатии она просто сомнется. 
 
Определение: связью называется то, что ограничивает движение тела в определенных направлениях. Примеры связей: шнур, поддерживающий тело на весу; гладкий стол, по поверхности которого может перемещаться груз; цилиндрический шарнир, разрешающий вращаться двери вокруг него; канат, по которому движется вагонетка и т.д. 
 
Обычно связи как таковые в задачах не рассматриваются. Их действие заменяется соответствующими силами – реакциями связей. В соответствии с этим все силы делятся на две группы: активные силы (задаваемые 
условием задачи) и реакции связей. 
 
Аксиома 7  
 
 
7. Несвободное твердое тело (т.е. такое, на которое наложены связи) 
можно рассматривать как свободное, если ввести в рассмотрение вместо 
связей соответствующие силы – реакции связей. 
 
 
 
 

Определение реакций связей 
 
 
Как и любая сила, реакция связи характеризуется величиной и направлением. Во многих случаях эти характеристики должны определяться 
в ходе решения задачи. Иногда направление можно определить заранее, а 
величину следует находить из решения.  
 
Если связью служит гладкая поверхность (не обязательно плоская), 
то по определению гладкой поверхности (по которой скольжение происходит без трения) она может воздействовать на любое тело только вдоль 
нормали в точке касания. 
 
Реакция цилиндрического шарнира может быть направлена в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, в любом направлении. 
 
Реакция сферического шарнира может быть направлена в любом направлении в пространстве. 
 
Когда направление реакции связи не определяется ее характером из 
физических (механических) представлений, обычно поступают следующим образом. Считают, что в месте ее приложения можно представить реакцию связи – как и любой другой вектор – в виде проекций на оси системы координат. Включая эти составляющие реакции в уравнения равновесия как неизвестные, определяем их, и после этого можно определить полную реакцию связи. При проектировании на оси системы координат нужно 
учитывать выбранные направления реакций связей на чертеже. Если после 
расчетов получились отрицательные значения каких-либо составляющих, 
это просто означает, что для этих составляющих мы взяли неудачные направления на схеме, и на самом деле направление реакции противоположно выбранному нами.  
 
Последовательность решения задач 
 
1. Из условия задачи строим схему для расчета. При этом изображаем на схеме все заданные (активные) силы, и реакции связей в соответствии с указанными выше рекомендациями. Когда направления реакции неизвестны заранее, рисуем составляющие реакций вдоль осей.  
2. Рассматриваем всю систему сил, приложенных к телу, в том числе 
и реакции связей, и составляем для этой системы условия равновесия. 
Можно это делать в векторном виде, но, как правило, проще всего записать 
условие в аналитическом виде – через проекции всех сил на оси выбранной 
системы координат. Число уравнений должно равняться числу неизвестных. 
3. После определения всех неизвестных сил анализируем решение – 
при правильно выбранных направлениях неизвестных (до решения) реакций знаки полученных реакций положительны. В противном случае направления составляющих реакций противоположны направлениям, выбранным нами. 

1.1. Плоская система сил 
 
Система сил называется плоской, если линии их действия лежат в 
одной плоскости. 
Рассмотрим примеры решения задач. 
 
Пример 1.1 
 
На гладкой горизонтальной поверхности стоит цилиндр весом Р, 
вертикально вниз на него действует сила Q, линия действия которой направлена по оси. Найти давление N цилиндра на плоскость. 
 
 
Р е ш е н и е. В этой задача равновесие цилиндра возможно потому, 
что сила тяжести и дополнительная сила уравновешиваются реакцией опоры. Когда в условии говорится «гладкая» поверхность, это означает, что 
нет сил трения, а реакция опоры может быть направлена только по нормали к ней, в данном случае вверх. Поэтому 
N = P + Q. 
 
Пример 1.2 
 
На гладкой наклонной поверхности, образующей угол α с горизонтальной поверхностью, груз Р удерживается нитью, параллельной наклонной поверхности. Найти давление груза на поверхность и натяжение нити. 
 
 
Р е ш е н и е. В этом примере на груз действуют сила тяжести и две 
реакции – нити и реакция опоры. Направления этих реакций определяются 
сразу: для гладкой поверхности она направлена по нормали к ней, а реакция нити может быть направлена только вдоль нее. 

 
Сила тяжести может быть разложена на две взаимно перпендикулярные составляющие, в данном случае по нормали к поверхности и вдоль 
нее. Тогда реакция плоскости равна нормальной составляющей, а натяжение нити – касательной, причем в силу ортогональности этих направлений 
они не влияют друг на друга. Итак: 
T = P∗sinα,     N = P∗cosα. 

Разложение сил по заданным направлениям 
 
 
В рассмотренном примере сила тяжести относительно просто представляется ее составляющими вдоль двух ортогональных направлений. 
Однако очень часто встречаются ситуации, когда разложение необходимо 
сделать вдоль двух произвольных направлений. По существу это означает, 
что по диагонали параллелограмма и направлениям сторон нужно построить сам параллелограмм. Такого рода разложения необходимо строить в 
задачах, когда, например, ищутся напряжения в двух стержнях или нитях, 
на которых подвешен груз. На рисунке приведены примеры разложения 
вектора P вдоль двух произвольных (непараллельных) направлений на составляющие S1 и S2. 
 

                              P 
 
 
 
 
S1 
   S1   
 
 
 
 
 
      P  
 
 
 
S2 
 
 
 
 
 
 
 
                          S2 

 
 
 
Пример 1.3 
 
Пусть груз Р висит на двух тросах, образующих с горизонталью углы 
α и β. Найти натяжения тросов. 

 
 
 
Р е ш е н и е. Разложим вектор силы тяжести Р на составляющие, направленные вдоль тросов – величины S1 и S2.  
Рассмотрим два способа решения такого типа задач. 
 

1 способ. Величины Р, S1, S2 образуют систему сходящихся сил – они 
все проходят через точку В. Для равновесия системы необходимо, чтобы 
силовой многоугольник был замкнут, т.е. из векторов Р, S1, S2 можно построить треугольник BDE. Но из теоремы синусов для этого треугольника 
следует 

.
cos
cos
)
sin(
β
α
β
α
BD
DE
BE
=
=
+
 

Отсюда следует 

.)
sin(
cos
,)
sin(
cos

1
2
β
α

α

β
α

β

+
=
+
=
P
S
P
S
 

 
2 способ. Проектируем силы на горизонтальную и вертикальную 
оси, и суммируем соответствующие проекции, причем при равновесии эти 
суммы равны нулю. Получаем 

 
 
 
.
sin
sin

,0
cos
cos

1
2

1
2
P
S
S

S
S

=
+

=
−

β
α

β
α

 
 

Решение этой системы дает тот же результат, что и ранее. 
 
Пример 1.4 
Однородная балка весом Р наклонена к горизонту под углом 30о и 
опирается правым концом на шарнир, а левый конец балки лежит на выступе стены, причем трением можно пренебречь. 
Найти реакции шарнира и выступа стены. 
 
Р е ш е н и е. В этом примере известны направления и линии действия двух сил: сила тяжести балки проходит через ее середину вертикально, а реакция выступа стены действует по нормали 
к балке (так как трением пренебрегаем). Но известна теорема о трех силах, в соответствии с которой линия третьей силы – реакции шарнира – 
должна проходить через ту же точку О, где пересекаются линии действия двух известных сил. В 
силу равновесия системы силовой треугольник должен быть замкнут. Направления же всех сил известны – и силовой треугольник подобен геометрическому треугольнику CDO. Из этого подобия следует 

 
 
 
 
,
OD
R

CD
R

OC
P
A
B =
=
 

и для решения необходимо найти соотношения между сторонами в треугольнике OCD. Линия CD – средняя для треугольника AOB. 

Обозначим длину  балки AB = 2a. Тогда OC = BC/sin30o = 2a,            
CD = OB/2 = a√3/2, DO = AD = (AB2+ OB2)1/2/2 = a√7/2. После определения 
всех сторон можно найти уже и величины реакций RB, RA: 

 
 
 
.
43
.0
,
66
.0
P
OC
CD
P
R
P
OC
OD
P
R
B
A
=
∗
=
=
∗
=
 

 
Пример 1.5 
 
Пусть в точке О твердого тела приложены четыре силы, направления 
которых видны из рисунка, при этом величины сил: F1 = 2H, F2 = F3 = 4H, 
F4 = 6H. Найти величину и направление силы Р, которую нужно приложить в точке О, чтобы тело было 
в равновесии. 
 
 
Р е ш е н и е. Найдем равнодействующую R этой системы сходящихся сил с помощью проектирования всех их на оси системы 
координат. Получим 
 

).
(
64
.
1
30
sin
60
sin
45
sin
90
sin

),
(
37
.
0
30
cos
60
cos
45
cos
90
cos

4
3
2
1

0
4
3
2
1
H
F
F
F
F
R

H
F
F
F
F
R

o
o
o
o
y

o
o
o
x
−
=
−
−
+
=

−
=
−
+
+
=

 
Модуль вектора R будет определен по теореме Пифагора R = 1.68 (H). Направление вектора можно определить углами 

 
 
 
.
98
.0
68
.1
/
64
.1
/
cos

,
22
.0
68
.1
/
37
.0
/
cos

−
=
−
=
=

−
=
−
=
=

R
R

R
R

y
y

x
x
α

α

 

Уравновешивающая сила будет иметь такую же величину, но направлена в 
противоположном направлении P = −R. 
 
Равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой 
 
Если к телу с одной неподвижной точкой приложена плоская система сходящихся сил, то для равновесия его необходимо, чтобы равнодействующая этих сил проходила через точку, иначе тело будет опрокидываться. 
В соответствии с теоремой Вариньона сумма моментов всех задаваемых сил относительно неподвижной точки должна равняться нулю.