Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

 

 

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Государственное образовательное учреждение высшего 

профессионального  образования 

 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ 

УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

А.С. Бернгардт, А.С. Чумаков, В.А. Громов 

 
 
 
 

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ 

ВЕРОЯТНОСТЕЙ И 

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ 

 
 
 

Учебное пособие  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Томск 
ТУСУР 

2014 

УДК 519.2 (075.8) 
ББК 22.17я73 
Б51 

 

 

Рецензент 

Доктор физико-математических наук 

ведущий научный сотрудник ИМКЭС СО РАН 

 профессор, Н.П. Красненко 

 
 
 
 
Бернгардт А.С., Чумаков А.С., Громов В.А. 

Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике: 

учеб. пособие / А.С. Бернгардт, А.С. Чумаков, В.А. Громов. – 2-е изд., перераб. и доп. – Томск: Томск. гос. ун-т систем упр. и радиоэлектроники, 2014. – 
160 с. 

 

Сборник содержит задачи по 16 основным разделам теории вероятностей и матема
тической статистики. В начале каждого раздела приведены необходимые теоретические 
сведения и формулы, затем даны примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения, снабженные ответами. 

Предназначается для студентов вузов, обучающихся по направлениям 210400 

(11.03.01) «Радиотехника», 210700 (11.03.02) «Телекоммуникации» и 210601 (11.05.01) 
«Радиоэлектронные системы и комплексы». 

 

УДК 519.2 (075.8) 

ББК 22.17я73 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

© Томск. гос. ун-т систем упр. и 
    радиоэлектроники, 2014 
© Бернгардт А.С., Чумаков А.С., 
    Громов В.А., 2014 

Оглавление 

 

Раздел 1. Алгебра событий ..................................................................................... 4 
Раздел 2. Непосредственный подсчет вероятностей ........................................... 8 
Раздел 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей ................................ 18 
Раздел 4. Формула полной вероятности ............................................................. 29 
Раздел 5. Формула Байеса .................................................................................... 37 
Раздел 6. Схема Бернулли (повторение независимых опытов) ........................ 44 
Раздел 7. Законы распределения и числовые характеристики дискретных 
случайных величин ............................................................................................... 52 
Раздел 8. Биномиальный закон распределения. Закон Пуассона ..................... 62 
Раздел 9. Законы распределения и числовые характеристики непрерывных 
случайных величин ............................................................................................... 65 
Раздел 10. Нормальный закон распределения .................................................... 74 
Раздел 11. Системы случайных величин ............................................................ 80 
Раздел 12. Законы распределения и числовые характеристики функции 
случайных величин ............................................................................................... 88 
Раздел 13. Выборка и способы ее представления. Выборочные параметры 
распределения ...................................................................................................... 100 
Раздел 14. Точечные оценки параметров распределения, их свойства и 
методы получения ............................................................................................... 110 
Раздел 15. Интервальные оценки. Доверительные интервалы и доверительная 
вероятность .......................................................................................................... 121 

Раздел 16. Критерий 
2
 . Проверка гипотезы о виде распределения ............ 126 

Ответы .................................................................................................................. 132 
Приложение 1. Значения нормальной функции распределения .................... 152 
Приложение 2. Квантили распределения хи–квадрат ..................................... 156 
Приложение 3. Квантили распределения Стьюдента ...................................... 158 
Литература ........................................................................................................... 160 

Раздел 1. Алгебра событий 

 

Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерно
сти случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. 

Опытом называется воспроизведение комплекса условий для наблюде
ния исследуемого явления. 

Событием называется всякий факт, который в результате опыта может 

произойти или не произойти. 

Исходами называют несовместные взаимоисключающие результаты 

опыта. 

Элементарным называется событие, которому соответствует только 

один исход, а сложным – событие, которому соответствует некоторое множество исходов опыта. 

Совокупность всех элементарных событий ω в опыте  образует про
странство Ω элементарных событий. Пространство элементарных событий 
– это математическая модель опыта, в которой любому случайному событию А ставится в соответствие некоторое подмножество А пространства 
элементарных событий Ω. В общем случае каждому опыту можно поставить 
в соответствие несколько математических моделей, то есть пространств элементарных событий. 

Событие называется достоверным, если при повторении опыта оно 

происходит всегда. Ему соответствует само пространство Ω. 

Событие называется невозможным, если при повторении опыта оно не 

происходит никогда. Ему соответствует пустое множество Ø. 

Так как событие отождествляется с подмножеством пространства Ω, то 

над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. В частности, определены следующие отношения и операции между событиями: 

А В (отношение включения множеств: множество А является подмно
жеством множества В). Означает, что событие В происходит всегда, когда 
происходит событие А. Говорят, что событие А влечет за собой появление в 
опыте события В; 

А=В (отношение эквивалентности множеств) – событие А эквива
лентно (равно) событию В. Это возможно тогда и только тогда, когда А В и 
В А; 

С=А+В, 

1

n

i

i

С
A




 (объединение множеств ) – сумма событий. Со
стоит в том, что в опыте произошло хотя бы одно из этих событий (не исключающее логическое «или»); 

С=АВ, 

1

n

i

i

C
A




 (пересечение множеств ∩) – произведение событий. 

Состоит в совместном осуществлении этих событий в опыте (логическое 
«и»); 

С=А-В, (А\В – состоит из  элементов множества А, не принадлежащих 

множеству В) – разность событий, состоящее в том, что событие А произойдет, а событие В нет. 

События А1, А2, …, Аn  образуют полную группу, если в опыте обязатель
но произойдет хотя бы одно из них. Сумма событий, образующих полную 
группу, дает достоверное событие. 

Событие A называется противоположным событию А, если оно заклю
чается в непоявлении события А. Множество A дополняет А до полного, то 

есть А+ A=Ω. 

 

Пример 1 

Пусть опыт состоит в бросании игральной кости и наблюдении числа 

выпавших очков Х. Определить пространство элементарных событий и подмножества, соответствующие событиям А ={Х кратно трем}, В={Х нечетно},  
C={Х>3}, D={Х<7},  E={Х дробно},  F={0,5<Х<1,5} 

Решение. Элементарное событие (исход опыта) состоит в выпадении 

конкретного количества очков, то есть ωi
i
 , i[1,6]. Поэтому множество 

элементарных исходов можно сконструировать следующим образом:  
Ω={ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6}. Перечисленные события можно описать как следующие подмножества: А ={3,6}, В={1,3,5},  C={4,5,6}, D={1,2,3,4,5,6}= Ω,  E=Ø, 
F={1}. Сопоставляя попарно события и проверяя наличие общих элементов в 

соответствующих множествах, определим пары совместных событий: А и В, 
А и С, А и D, B и C, B и D, B и F, C и D, D и F. 

 

Пример 2 

Из таблицы случайных чисел наугад выбрано два числа. Событие А 

означает что первым выбрано простое, а событие В означает, что вторым вы
брано четное число. Что означают события A, АВ, А+В. 

Решение. Событие A означает, что первым выбрано непростое число. 

Событие АВ означает совместное осуществление событий А и В, то есть первым выбрано простое и вторым четное число. Событие А+В означает, что 
произошло хотя бы одно из этих событий, то есть первым выбрано простое, 
или вторым выбрано четное число, или первое простое и второе четное. 

 

Задачи 

1.1. Укажите, являются ли элементарными перечисленные ниже собы
тия: 

а) выпадение суммы очков 7 при бросании двух игральных костей; 
б) выпадение двух цифр в опыте с тремя монетами; 
в) вытаскивание туза при случайном выборе карты из колоды; 
г) вытаскивание двойки пик при случайном выборе карты из колоды; 
д) выпадение суммы очков 2 при бросании пары игральных костей; 
е) выпадение трех цифр при бросании трех монет. 
1.2. Когда возможно равенство АВ=А? 
1.3. Событие А – хотя бы одно из трех изделий бракованное, событие В  

– все три изделия доброкачественные. Что означает события: а) А+В; б) АВ. 

1.4. Бросают две игральных кости. Пусть A – событие, состоящее в том, 

что сумма очков нечетная; B – хотя бы на одной из костей выпала единица. 

Описать события а) AB ; б) A+В. 

1.5.Из таблицы случайных чисел наугад взято одно число. Событие А  – 

выбранное число делится на 5; событие В – данное число оканчивается ну
лем. Что означают события а) А–В; б) AВ. 

1.6. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими 

окружностями с радиусами kr  (k=1, 2, …,10), причем 1
2
10
...
r
r
r



. Событие 

k
A  – попадание в  круг радиуса kr . Что означают события: 

6

1

k

k

B
A




; 

10

5

k

k

C
A




. 

1.7. Два шахматиста играют одну партию. Событие А – выиграет первый 

игрок, событие В – выиграет второй игрок. Какое событие следует добавить к  
указанной совокупности, чтобы получить полную группу событий? 

1.8. Рабочий обслуживает три автоматических станка. Событие A – пер
вый станок потребует внимания  рабочего в течение часа, B – второй станок 
потребует внимания рабочего в течение часа, C – третий станок потребует 
внимания рабочего в течение часа. Что означают события:  

а) ABC; б) A+B+C; в) 
;
ABC
ABC
ABC


 г) 
;
ABC
ABC
ABC


д) 
;
ABC  

1.9. Из обычной колоды в 52 карты наугад берут одну. Пусть событие 

А={взятая карта – король}, событие В={взятая карта – масти «пик»}, а событие С={взятая карта – десятка «пик»}. Объясните, в чем состоит смысл каждого из перечисленных ниже событий: 

а) A+B; б) AB; в) A
B

; г) А+С; д) В+С; е) AC; ж) BC; з) (АВ)+С; 

и) ABC. 

Раздел 2. Непосредственный подсчет 
вероятностей 

 

Вероятностью события называется численная мера степени возмож
ности этого события. Вероятность события А обозначается Р(А). 

Напомним некоторые определения. 
Полной группой событий называется совокупность таких событий, что 

в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. 

Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если 

появление одного из них исключает возможность появления других. Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если вероятность их появления равны между собой. 

Если все события – исходы опыта образуют полную группу попарно 

несовместных и равновозможных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле 

( )
,
m
P A
n

 

где n – общее число исходов в опыте; m – число исходов, благоприятствующих событию А. 

Таким образом, вычисление вероятности некоторого события заключа
ется в определении числа n всех равновозможных исходов в опыте и числа 
исходов m, благоприятствующих событию А. Во многих случаях для подсчета чисел n и m приходится пользоваться формулами теории соединений. 

Сочетаниями из n элементов по m называются такие их соединения, 

которые различаются только самими элементами. Например, сочетаниями из 
трех элементов а, в и с по два будет ав, ас и вс. Число сочетаний определяется по формуле 

!
.
!(
)!

m
n

n
C
m n
m



 

Размещениями из n элементов по m называются такие их соединения, 

которые различаются друг от друга как самими элементами, так и порядком 
элементов. Например, размещениями из 3 элементов а, в и с по два будет ав, 
ас, ва, вс, са, св. Число размещений определяется по формуле 

!
!
(
)!

m
m

n
n

n
A
C
m
n
m




 

Перестановками из n элементов называются такие их соединения, ко
торые различаются только порядком входящих в них элементов. Например, 
перестановками из трех элементов а, в и с будут авс, асв, вас, вса, сав, сва. 
Число перестановок определяется по формуле 

nP  = n! = 1· 2 · 3 · …n. 

 

Пример 1 

На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львов
ским заводом. Найти вероятность того, что среди наугад взятых 5 кинескопов 
окажутся 3 кинескопа Львовского завода. 

Решение. Обозначим события А – из 5 взятых наугад кинескопов 3 кине
скопа Львовского завода. Возможные элементарные исходы в данном опыте 
заключаются в получении со склада 5 кинескопов независимо от того, на каком заводе они изготовлены. Общее число исходов равно числу различимых 
комбинаций по 5 кинескопов в каждой, которые можно образовать из имеющихся на складе 15 кинескопов. Оно равно числу способов, которыми можно 
взять 5 кинескопов из общего числа 15, т.е. равное числу сочетаний из 15 

элементов по 5 – 
5
15
C . Следовательно, 
5
15
n
C

. 

Из общего числа возможных исходов опыта необходимо выделить бла
гоприятствующие событию А. Исход будет благоприятствовать событию А, 
когда среди 5 взятых кинескопов 3 изготовлены на Львовском заводе. Появление 3 кинескопов производства Львовского завода среди 5 полученных со 
склада можно гарантировать, если они взяты из общего числа кинескопов, 
изготовленных на Львовском заводе, т.е. из 10. Три кинескопа из 10, изготовленных на Львовском заводе, можно взять числом способов, равным числу 

сочетаний из 10 элементов по 3 – 
3
10
C . Остальные 2 кинескопа должны выби
раться из оставшихся 5 кинескопов, не принадлежащих производству Львовского завода; число различимых комбинаций по 2 кинескопа в каждой, которые можно образовать из 5 кинескопов, равно числу сочетаний из 5 элемен
тов по 2 – 
2
5
C . 

Поскольку каждая комбинация из трех кинескопов производства Львов
ского завода может появляться в сочетании с любой комбинацией из двух 
кинескопов, не принадлежащих производству Львовского завода, то общее 
число исходов опыта, благоприятствующих событию А, будет равно произ
ведению 
3
2

10
5
C C . Следовательно, вероятность интересующего нас события 

равна 

3
2

10
5

5
15

( )
0,4.
C C
P A
C


 

 
Пример 2 

Из букв разрезной азбуки составлено слово «треугольник». Ребенок, не 

умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем выбранные четыре буквы собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него появится 
слово «руль». 

Решение. Обозначим событие А – из букв, составляющих слово «тре
угольник», набрано слово «руль». Элементарные возможные исходы в данном опыте составляют комбинации из четырех букв. Однако в отличие от 
предыдущего примера в данном случае важен порядок следования букв в 
комбинации. Поэтому к числу различимых будут относиться комбинации, 
отличающиеся друг от друга не только набором букв, но и порядком их следования. 

Общее число исходов n подсчитывается следующим образом. Вначале 

из 11 букв образуем комбинации по 4 буквы независимо от порядка их следования. Количество таких комбинаций равно числу сочетаний из 11 по 4 – 

4
11
C . Каждой комбинации из 4 букв соответствуют исходы опыта, отличаю
щиеся порядком следования букв в комбинации. Количество их равно числу 

перестановок из 4 элементов – 
4P . Следовательно, общее число исходов в 

опыте равно произведению числа комбинаций из 4 букв на число исходов, 
соответствующих одной комбинации, т.е. числу размещений из 11 элементов 

по 4, а именно 
4
11 4
n
C P

. 

Из всех исходов в опыте лишь один благоприятствует событию А, т.е. 
1
m  . Следовательно, вероятность события А равна. 

4
4

11 4
11

1
1
1
1
( )
.
7920
P A
n
C P
А




 

 
Пример 3 

Из урны, содержащей шары с номерами 1, 2, … N, k  раз вынимается 

шар и каждый раз возвращается обратно. Найти вероятность того, что номера 
внутренних шаров образуют возрастающую последовательность. 

Решение. Обозначим событие А – номера к вынутых шаров образуют 

возрастающую последовательность. Элементарные возможные исходы в 
данном опыте представляют различные наборы номеров k  вынутых шаров 
независимо от порядка их появления. Поскольку после каждого извлечения 
шар возвращается в урну, то не исключаются исходы, когда один и тот же 
номер встречается в наборе из k  номеров несколько раз. 

Номер первого извлеченного шара может быть любым от 1 до N. Номер 

второго извлеченного шара также может быть любым из интервала 1 до N.  
Каждый номер первого извлеченного шара может появиться в сочетании с 
любым номером второго извлеченного шара. Следовательно, общее число 

исходов при извлечении двух шаров равно 
2
N . Аналогично рассуждая по 

индукции, находим, что при извлечении k  шаров общее число исходов будет 

k
n
N

. 

К числу благоприятствующих событию А исходов необходимо отнести 

те, в которых номера вынутых шаров образуют возрастающую последовательность. Возрастающую последовательность из номеров можно образовать 
из общего числа N номеров несколькими способами, количество которых 

равно числу сочетаний 
k
N
C . 

Действительно, по определению, сочетаниями из n элементов по m 

называются такие соединения, которые различаются друг от друга только самими элементами, причем в каждой комбинации элементы могут быть расположены в любом желаемом порядке, в том числе образовывать возрастающую последовательность, если элементы пронумерованы. Следовательно, 

число благоприятствующих событию А исходов равно 
k
N
m
C

 и вероятность 

( )
.

k
N
k

C
P A
N
