Линейная алгебра

Государственное казенное образовательное учреждение  
высшего образования
«Российская таможенная академия»

Н.В. ШиРкуНоВа, Г.о. ВафодоРоВа,  
Е.В. ЛаРькиНа

ЛиНЕЙНаЯ аЛГЕБРа 

П Ра к т и к у м

москва
2019

УДК 5.12
ББК 22.143
 
Ш64

Д о п у щ е н о 
учебно-методическим советом Российской таможенной академии в качестве 
практикума для обучающихся по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика»

Р е ц е н з е н т
И.С. БаРаШКов, старший научный сотрудник факультета вычислительной математики 
и кибернетики Московского государственного университета им. М.в. Ломоносова, канд. 
физ.-мат. наук

Э к с п е р т
о.Е. КУДРявцЕв, заведующий кафедрой информатики и информационных таможенных 
технологий Ростовского филиала Российской таможенной академии, д-р физ.-мат. наук, 
доцент

Ширкунова Н.В.
Ш64  
Линейная алгебра: практикум / Н.в. Ширкунова, Г.о. вафодорова, Е.в. Ларькина. 
М.: РИо Российской таможенной академии, 2019. 162 с.

ISBN 978-5-9590-1095-9

в практикуме изложены теоретические основы дисциплины «Линейная алгебра», 
задания для самостоятельной работы, тесты для самопроверки, необходимые студентам 
Российской таможенной академии для успешного освоения дисциплины. Материал проиллюстрирован примерами.
Предназначен для студентов Российской таможенной академии, обучающихся по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика», а также в качестве дополнительной литературы для студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.02 «Менеджмент» и специальности 38.05.02 «Таможенное дело».

УДК 5.12
ББК 22.143

ISBN 978-5-9590-1095-9 
© Российская таможенная академия, 2019

О Г Л А В Л Е Н И Е

ПРЕДИСЛовИЕ ...............................................................................................5

Р а з д е л  1  
МаТРИчНая аЛГЕБРа

Гл а в а  1. 
Матрицы и определители ...........................................................7
основные теоремы, свойства, определения,  
теоретические положения...........................................................7
Задания для самостоятельной работы .....................................23

Гл а в а  2. 
Системы линейных уравнений ................................................30
основные теоремы, свойства, определения, 
теоретические положения.........................................................30
Задания для самостоятельной работы .....................................56
Тесты для самопроверки к разделу 1.......................................62

Р а з д е л  2  
ЭЛЕМЕНТы вЕКТоРНой аЛГЕБРы 
И аНаЛИТИчЕСКой ГЕоМЕТРИИ

Гл а в а  3. 
Элементы векторной алгебры.  
аналитическая геометрия на плоскости .................................64
основные теоремы, свойства, определения, 
теоретические положения.........................................................64
Задания для самостоятельной работы .....................................81

Гл а в а  4. 
Элементы аналитической геометрии в пространстве ............84
основные теоремы, свойства, определения,  
теоретические положения.........................................................84
Задания для самостоятельной работы .....................................94
Тесты для самопроверки к разделу 2.......................................98

Р а з д е л  3  
ЛИНЕйНыЕ оТоБРажЕНИя

Гл а в а  5. 
Линейные пространства.  
Евклидовы пространства ........................................................101
основные теоремы, свойства, определения, 
теоретические положения.......................................................101
Задания для самостоятельной работы ................................... 116

Гл а в а  6. 
Линейные операторы ..............................................................122
основные теоремы, свойства, определения, 
теоретические положения.......................................................122
Задания для самостоятельной работы ...................................131

Гл а в а  7. 
Линейные, билинейные  
и квадратичные формы ...........................................................134
основные теоремы, свойства, определения, 
теоретические положения.......................................................134
Задания для самостоятельной работы ...................................149

Гл а в а  8. 
Самосопряженные операторы.  
аффинные пространства ........................................................153
основные теоремы, свойства, определения, 
теоретические положения.......................................................153
Задания для самостоятельной работы ...................................157
Тесты для самопроверки к разделу 3.....................................159

ЗаКЛючЕНИЕ .............................................................................................160

БИБЛИоГРафИчЕСКИй СПИСоК ..........................................................161

ПрЕдИсЛОВИЕ

Изучение экономических дисциплин невозможно без широкого 
использования разделов линейной алгебры. Линейная алгебра является 
основой для глубокого изучения дисциплины «Математические модели 
в экономике», теоретическая подготовка студентов по данной дисциплине позволит успешно справляться им с построением экономико-математических моделей. Использование аппарата линейной алгебры будет 
способствовать проведению глубокого анализа функционирования экономических систем.
цель данного практикума – формирование у студентов способности 
выбирать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, анализировать результаты 
расчетов и обосновывать полученные выводы.
Практикум разработан в соответствии с требованиями фГоС во 
и рабочей программой дисциплины «Линейная алгебра» по направлению 
подготовки 38.03.01 «Экономика». При создании практикума авторы руководствовались принципом повышения уровня фундаментальной математической подготовки студентов.
в практикуме «Линейная алгебра» представлен теоретический материал (основные определения, свойства, теоремы и соответствующие формулы), рассмотрено решение типовых задач, приведены задания для самостоятельной работы, тестовые задания, правильность выполнения которых 
позволит преподавателю оценить уровень сформированности компетенций.
Приступать к выполнению заданий практикума следует после изучения разделов учебников, рекомендованных в рабочей программе дисциплины. Перед решением задач для самостоятельной работы необходимо 
проанализировать приведенные в указанных разделах учебников и в данном практикуме примеры. При подготовке к практическому занятию следует внимательно изучить теоретический и практический материал, рассмотренный на лекции.
Использование практикума в самостоятельной работе позволит студентам успешно освоить дисциплину «Линейная алгебра».

авторами практикума являются:
Н.в. Ширкунова, заведующий кафедрой таможенной статистики Российской таможенной академии, канд. экон. наук, доцент (раздел 3);
Г.о. вафодорова, доцент кафедры таможенной статистики Российской 
таможенной академии, канд. физ.-мат. наук (раздел 1);
Е.в. Ларькина, декан экономического факультета владивостокского 
филиала Российской таможенной академии, канд. пед. наук, доцент (раздел 2).

Р а з д е л  1   
МатРичная алгебРа

гл а в а  1. МатРицы и опРеделители

основные теоремы, свойства, определения,  
теоретические положения

о п р е д е л е н и е . Матрицей c размерами m × n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов.
числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. 
Матрицы обычно обозначаются прописными буквами латинского алфавита, например A, B, C, …, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойной индексацией: aij, где i – номер строки, 
j – номер столбца. Индексы i и j определяют расположение элемента aij 
в матрице A и играют роль координат этого элемента в прямоугольной таблице чисел.
Например, матрица

11
12
1

21
22
2

1
2

...
...
...
...
...
...
...

n

n

m
m
mn

a
a
a
a
a
a
A

a
a
a

=

имеет m строк, n столбцов.

Виды матриц

о п р е д е л е н и е . Матрица, состоящая из одной строки A = (a11, 
a12, …, a1n), называется матрицей-строкой, или вектором.

Матрица, состоящая из одного столбца 

11

21

1

...

n

b
b
B

b

=

, называется матрицей-столбцом, или вектором.

о п р е д е л е н и е . Если в матрице А размера m × n число строк равно 
числу столбцов (т.е. m = n), то матрица A называется квадратной матрицей n-го порядка, а число n – порядком матрицы A.

о п р е д е л е н и е . Если в матрице А размера m × n число строк не 
равно числу столбцов (т.е. m ≠ n), то матрица A называется прямоугольной 
матрицей, например:

3
2
5
1
A
= – квадратная матрица второго порядка;

2
3
5
6
7
8
B
= – прямоугольная матрица размера 2 × 3.

о п р е д е л е н и е . Матрица 0 = 0m×n называется нулевой матрицей размера m × n, если все ее элементы равны нулю, т.е. aij = 0 (i = 1, 2, 3, …, m; 
j = 1, 2, …, n).
Элементы aij квадратной матрицы А, у которых номер строки совпадает 
с номером столбца, называются диагональными и образуют главную диагональ. Квадратная матрица E называется единичной, если по главной диагонали стоят единицы, остальные элементы равны нулю.

о п р е д е л е н и е . Если диагональные элементы матрицы не равны 
нулю, а все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю, то 
матрица называется трапециевидной, или ступенчатой, например:

1
1
2
3
0
3
0
5
0
0
5
7
A
−
=  – трапециевидная (ступенчатая) матрица размера 3 × 4.

Произвольная матрица вида 
(
)
C
A B
=
, составленная из двух матриц, 
разделенных вертикальной чертой, называется расширенной.
Например, матрица 

1
2
3 1
0
0
4
5
6 0
1
0

7
8
9 0
0
1
C

= является расширенной. она составлена из квадратной матрицы третьего 
порядка и единичной матрицы третьего порядка.

Операции над матрицами

о п р е д е л е н и е . Суммой матриц A и B размера m × n называется 
матрица C = A + B того же размера, такая что cij = aij + bij, i = 1, 2, 3, …, m; 
j = 1, 2, 3, …, n, например:

2
7
1
4
3
11
1
5
2
6
3
11 .
4
3
7
7
11 10

+
=
о п р е д е л е н и е . Произведением матрицы A размера m × n на 
число α называется матрица B = αA того же размера, такая что bij = α aij, 
i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …, n, например:

2
3
8

1
2
3
A
= −
−
, 

10
15
40
5
5
10
15
A
= −
−
.

Из определения произведения матрицы на число следует, что общий 
множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы, 
например:

27
9
36
9
3
12
3
0
6
3
1
0
2 .
18
12
15
6
4
5

−
−
−
−
=
× −
−
−
−
 

о п р е д е л е н и е . Разностью матриц B и A называется матрица X, 
такая что A + X = B.
Разность матриц B и A всегда одна, находится по формуле X = B + (–1)A 
и обозначается B – A.
При операциях сложения и умножения на число матрицы обладают 
следующими свойствами:
1. A + B = B + A.
2. (A + B) + C = A + (B + C).
3. λ(A + B) = λ A + λ B.
4. (λ1 + λ2)A = λ1A + λ2B.
5. (λ1 λ2)A = λ1(λ2A) = λ2(λ1A).
6. (A + 0) = A (0 – нулевая матрица).
7. λ = 0, тогда λA = 0 – нулевая матрица.
Здесь A, B, C, 0 – матрицы одного типа, λ, λ1, λ2 – числа.

о п р е д е л е н и е . операция умножения матрицы А на матрицу B определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. 
Тогда произведением матриц 

m k
k n
A
B
×
×
×
 называется такая матрица 

m n
C
× , каждый элемент cij которой равен сумме произведений элементов i-й строки 
матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B:

1 1
2
2
1
...

k

ij
i
j
i
j
ik
kj
is
sj
s
C
a b
a b
a b
a b

=
=
+
+
+
= ∑
; i = 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …, n;

Например:

2
3
4
1
2
4
3
2
2 1 3
2
14
8 ;
1
5
2
2
1
4
5
2
1 1 5
2
14
11
×
+ ×
× + ×
=
=
×
+
×
× +
×
4
1
2
3
4
2 1 1
4
3 1 5
9
17 .
2
2
1
5
2
2
2 1 2
3
2
5
6
16
×
+ ×
× + ×
=
=
×
+
×
× +
×
о п р е д е л е н и е . Если AB=BA, то матрицы A и B называются перестановочными, или коммутирующими.
особую роль при умножении матриц играет единичная матрица E, она 
по своим свойствам очень похожа на обычную числовую единицу. Легко 
проверить, что при умножении любой прямоугольной матрицы A размера 
m×n на единичную матрицу Em слева и на единичную матрицу En справа 
матрица A не меняется, т.е.

EmA = AEn = A.

Кроме того, очевидно, что

0
0
m n
n l
m l
A ×
×
×
=
 и 0
0
m n
n l
m l
B
×
×
×
=
.

Интересно, однако, что из равенства AB = 0 не следует, что A = 0 или 
B = 0, например:

1
1
0
0
0
A
=
≠
, 

2
0
0
2
0
B
−
=
≠
, 

0
0
0
0
0
AB
=
=
.

При умножении матрицы обладают следующими свойствами:

1. 
(
)
(
)
A BC
AB C
=
. 
2. (
)
A
B C
AC
BC
+
=
+
.

3. 
(
)
A B
C
AB
AC
+
=
+
. 4. (
)
(
)
AB
A B
α
= α
.

о п р е д е л е н и е . Пусть A – матрица m
n
×
. Матрица A′  или 

T
A  размера  n
m
×
 называется транспонированной к A, если 
ij
ji
a
a
=
′
, i = 1, 2, 3, 
…, n; j = 1, 2, 3, …, m.
очевидно, что матрица A′  получается поворотом вокруг главной диагонали матрицы A. При этом повороте i-й столбец матрицы A преобразуется в i-ю строку матрицы A′ , i = 1, 2, 3, …, n, например:

2
3
8
1

4
11
5
6
7
20
5
0
A

= −
, 

2
4
7
3
11
20
8
5
5
1
6
0

A

=
′
−
.

Если A – вектор-строка, то A′  – вектор-столбец, например:

A = (1 2 3 4 5), 

1
2
3
4
5

A

=
′
.

операция транспонирования обладает следующими свойствами:

1. (
)
A
A
′ =
′
. 
2. (
)
A
A
′ =
′
α
α
, 
R
∈
α
.

3. (
)
A
B
A
B
′
+
=
+
′
′ . 
4. (
)
AB
B A
′ =
′ ′ .

5. (
)
(
)
m
m
A
A
′ =
′
, m ≥ 0, m – целое.

о п р е д е л е н и е . Целой положительной степенью Am (m > 1) квадратной матрицы A называется произведение m матриц, равных A, т.е.

...

m
A
A A
A
=  .

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для 
квадратных матриц.
По определению полагают A0 = E, A1 = A. Нетрудно показать, что 
Am Ak = Am+k, (Am)k = Amk.

П р и м е р  1.1. Найти A2, где

1
2
3
4
A
= .
Решение

2
1
2
1
2
7
10
3
4
3
4
15
22
A
=
=
.

Понятие определителя квадратной матрицы.  
свойства определителей

о п р е д е л е н и е . Любой квадратной матрице A по определенному 
правилу можно сопоставить некоторое число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы A и обозначается det(A) или A . 
Если A – матрица n-го порядка (n ≥ 1), то вместо слов «определитель 
матрицы A» часто говорят «определитель n-го порядка».

определитель A  матрицы первого порядка A = (a11) есть элемент 
матрицы первого порядка: A  = a11.

определитель A  матрицы второго порядка 

11
12

21
22

a
a
A
a
a
= есть число 

11
12

21
22

a
a
A
a
a
=
=  a11a22 – a21a12.

определителем матрицы третьего порядка 

11
12
13

21
22
23

31
32
33

a
a
a

A
a
a
a

a
a
a

=  называется число

11
22
33
21
32
13
12
23
31
31
22
13
21 12
33
32
23
11
det A
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
a a a
=
+
+
−
−
−
.

о п р е д е л е н и е . Минором Mij элемента aij матрицы A n-го порядка 
называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из матрицы A 
вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Например, минор элемента a23 
матрицы третьего порядка получается вычеркиванием из матрицы второй 
строки и третьего столбца.

о п р е д е л е н и е . Алгебраическим дополнением Aij элемента aij 
матрицы A n-го порядка называется минор Mij, взятый со знаком (–1)1+j.