Математический анализ

Государственное казенное образовательное учреждение  
высшего образования
«Российская таможенная академия»

МатеМатический анализ

Учебно-Методическое пособие  
по выполнению контРольных Работ

Москва
2017

УДК 517
ББК 22.161
 
M34

Р е к о м е н д о в а н о 
учебно-методическим советом Российской таможенной академии  
к использованию в образовательном процессе

К о л л е к т и в  а в т о р о в :
Н.В. ШирКУНоВа, заведующий кафедрой таможенной статистики, канд. экон. наук, доцент (разделы 2, 3);
Г.о. ВафоДороВа, доцент кафедры таможенной статистики, канд. физ.-мат. наук (темы 
4-го раздела: 4.1, 4.2, 4.3, раздел 5);
М.М. ЦВиль, доцент кафедры информатики и информационных таможенных технологий, канд. физ.-мат. наук, доцент (темы 4-го раздела: 4.4, 4.5);
Е.В. ларьКиНа, декан экономического факультета Владивостокского филиала российской таможенной академии, канд. пед. наук, доцент (раздел 1)

р е ц е н з е н т
и.С. БараШКоВ, старший научный сотрудник факультета вычислительной математики 
и кибернетики МГУ им. М.В. ломоносова, канд. физ.-мат. наук

Э к с п е р т
В.а. ШлыК, профессор кафедры информатики и информационных таможенных технологий Владивостокского филиала российской таможенной академии, д-р физ.-мат. наук, 
профессор

M34  
Математический анализ: учебно-методическое пособие по выполнению контрольных работ / Н.В. Ширкунова, Г.о. Вафодорова, М.М. Цвиль, Е.В. ларькина. М.: 
рио российской таможенной академии, 2017. 116 с.

ISBN 978-5-9590-0998-4

В учебно-методическом пособии изложены основы математического анализа, необходимые студентам для успешного освоения дисциплины и выполнения индивидуальных контрольных заданий. Материал каждой темы проиллюстрирован примерами и имеет задания 
для контрольной работы. 
рассчитано на студентов российской таможенной академии.

УДК 517
ББК 22.161

ISBN 978-5-9590-0998-4 
© российская таможенная академия, 2017

С о д е р ж а н и е

ПрЕДиСлоВиЕ ...............................................................................................5

р а з д е л  1.  ВВЕДЕНиЕ В МатЕМатичЕСКий аНализ

т е м а  1.1. Введение. Элементы теории множеств и функций ..................8
задания для контрольной работы ............................................ 11

т е м а  1.2. Предел функции одной переменной ........................................15
задания для контрольной работы ............................................19

т е м а  1.3. Непрерывность функции одной переменной .........................26
задания для контрольной работы ............................................28

р а з д е л  2. ДиффЕрЕНЦиальНоЕ иСчиСлЕНиЕ

т е м а  2.1. Производная и дифференциал функции  
одной переменной .....................................................................30
задания для контрольной работы ............................................38

т е м а  2.2. Применение производных к исследованию функций ............42
задания для контрольной работы ............................................51

р а з д е л  3. фУНКЦии НЕСКольКих ПЕрЕМЕННых

т е м а  3.1. функции нескольких переменных.  
Дифференцируемые функции  
нескольких переменных ...........................................................52
задания для контрольной работы ............................................58

т е м а  3.2. Классические методы оптимизации ........................................59
задания для контрольной работы ............................................61

р а з д е л  4. иНтЕГральНоЕ иСчиСлЕНиЕ

т е м а  4.1. Неопределенный интеграл .......................................................62

задания для контрольной работы ............................................73

т е м а  4.2. определенный интеграл ...........................................................75
задания для контрольной работы ............................................81

т е м а  4.3. Несобственные интегралы .......................................................82
задания для контрольной работы ............................................85

т е м а  4.4. числовые ряды ..........................................................................85
задания для контрольной работы ............................................91

т е м а  4.5. функциональные ряды .............................................................94
задания для контрольной работы ..........................................103

р а з д е л  5. ДиффЕрЕНЦиальНыЕ УраВНЕНия 
ПЕрВоГо ПоряДКа .............................................................106

задания для контрольной работы .......................................... 113

заКлючЕНиЕ ............................................................................................. 114

БиБлиоГрафичЕСКий СПиСоК .......................................................... 115

ПредиСловие

Учебно-методическое пособие по выполнению контрольных работ 
«Математический анализ» составлено в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математический анализ» по направлению подготовки 
38.03.01 «Экономика». оно содержит теоретический и практический материал по основным разделам дисциплины, включенным в контрольную 
работу. 
Для успешного и своевременного выполнения контрольной работы 
необходимо внимательно изучить соответствующий теоретический материал по рекомендованным учебникам. особое внимание следует уделить 
разобранным примерам к каждой теме и самостоятельному решению аналогичных примеров. Для самостоятельного изучения основных тем «Математического анализа» желательно иметь задачник-практикум, в котором 
приведены примеры с решениями и пояснениями. Большим плюсом при 
выборе примеров является наличие ответов, по которым студент сможет 
сам себя контролировать. Когда появится уверенность в усвоении материала, можно приступать к выполнению контрольной работы. 
Правильно выполненная контрольная работа является условием допуска студента к экзамену. Поэтому при возникновении вопросов в ходе 
изучения той или иной темы необходимо обращаться к преподавателю за 
консультациями и разъяснениями. 
Номера задач конкретного варианта определяются по приведенной 
перед контрольной работой таблице (представлена ниже). Преподаватель 
вправе вносить изменения в порядок формирования вариантов.
При выполнении контрольной работы необходимо руководствоваться 
следующими правилами: 
1) контрольная работа должна быть выполнена строго по своему варианту, который определяется по последней цифре номера зачетной книжки 
студента и указывается на титульном листе;
2) условия задач должны быть обязательно переписаны обучающимися в контрольную работу; 
3) по возможности, контрольная работа должна быть напечатана, а не 
написана от руки;

4) решения задач должны сопровождаться развернутыми пояснениями 
по ходу решения;
5) студент должен решить задачи, входящие в его вариант;
6) работа должна быть выполнена в отдельной тетради или на бумаге 
формата а4 с оформлением титульного листа. оформление работы должно соответствовать предъявляемым требованиям академии. В частности, 
в конце работы следует указать использованную литературу (автор, название и год издания). 

Порядок формирования варианта контрольной работа

Вариант
Номера заданий
Вариант
Номера заданий

1
1.1.1, 1.1.11, 1.1.21, 1.1.31, 
1.1.41, 1.1.51, 1.1.61, 1.1.71, 
1.1.81, 1.1.91, 1.2.1, 1.3.1, 
2.1.1, 2.1.11, 2.1.21, 2.1.31, 
2.2.1, 3.1.1, 3.1.11, 3.2.1, 
4.1.1, 4.2.1, 4.2.11, 4.3.1, 
4.4.1, 4.4.11, 4.5.1, 4.5.11, 
5.5.21, 5.1.1 

6
1.1.6, 1.1.16, 1.1.26, 1.1.36, 
1.1.46, 1.1.56, 1.1.66, 1.1.76, 
1.1.86, 1.1.96, 1.2.6, 1.3.6, 
2.1.6, 2.1.16, 2.1.26, 2.1.36, 
2.2.6, 3.1.6, 3.1.16, 3.2.6, 
4.1.6, 4.2.6, 4.2.16, 4.3.6, 
4.4.6, 4.4.16, 4.5.6, 4.5.16, 
5.5.26, 5.1.6

2
1.1.2, 1.1.12, 1.1.22, 1.1.32, 
1.1.42, 1.1.52, 1.1.62, 1.1.72, 
1.1.82, 1.1.92, 1.2.2, 1.3.2, 
2.1.2, 2.1.12, 2.1.22, 2.1.32, 
2.2.2, 3.1.2, 3.1.12, 3.2.2, 
4.1.2, 4.2.2, 4.2.12, 4.3.2, 
4.4.2, 4.4.12, 4.5.2, 4.5.12, 
5.5.22, 5.1.2

7
1.1.7, 1.1.17, 1.1.27, 1.1.37, 
1.1.47, 1.1.57, 1.1.67, 1.1.77, 
1.1.87, 1.1.97, 1.2.7, 1.3.7, 
2.1.7, 2.1.17, 2.1.27, 2.1.37, 
2.2.7, 3.1.7, 3.1.17, 3.2.7, 
4.1.7, 4.2.7, 4.2.17, 4.3.7, 
4.4.7, 4.4.17, 4.5.7, 4.5.17, 
5.5.27, 5.1.7

3
1.1.3, 1.1.13, 1.1.23, 1.1.33, 
1.1.43, 1.1.53, 1.1.63, 1.1.73, 
1.1.83, 1.1.93, 1.2.3, 1.3.3, 
2.1.3, 2.1.13, 2.1.23, 2.1.33, 
2.2.3, 3.1.3, 3.1.13, 3.2.3, 
4.1.3, 4.2.3, 4.2.13, 4.3.3, 
4.4.3, 4.4.13, 4.5.3, 4.5.13, 
5.5.23, 5.1.3

8
1.1.8, 1.1.18, 1.1.28, 1.1.38, 
1.1.48, 1.1.58, 1.1.68, 1.1.78, 
1.1.88, 1.1.98, 1.2.8, 1.3.8, 
2.1.8, 2.1.18, 2.1.28, 2.1.38, 
2.2.8, 3.1.8, 3.1.18, 3.2.8, 
4.1.8, 4.2.8, 4.2.18, 4.3.8, 
4.4.8, 4.4.18, 4.5.8, 4.5.18, 
5.5.28, 5.1.8

Вариант
Номера заданий
Вариант
Номера заданий

4
1.1.4, 1.1.14, 1.1.24, 1.1.34, 
1.1.44, 1.1.54, 1.1.64, 1.1.74, 
1.1.84, 1.1.94,1.2.4, 1.3.4, 
2.1.4, 2.1.14, 2.1.24, 2.1.34, 
2.2.4, 3.1.4, 3.1.14, 3.2.4, 
4.1.4, 4.2.4, 4.2.14, 4.3.4, 
4.4.4, 4.4.14, 4.5.4, 4.5.14, 
5.5.24, 5.1.4

9
1.1.9, 1.1.19, 1.1.29, 1.1.39, 
1.1.49, 1.1.59, 1.1.69, 1.1.79, 
1.1.89, 1.1.99, 1.2.9, 1.3.9, 
2.1.9, 2.1.9, 2.1.29, 2.1.39, 
2.2.9, 3.1.9, 3.1.19, 3.2.9, 
4.1.9, 4.2.9, 4.2.19, 4.3.9, 
4.4.9, 4.4.19, 4.5.9, 4.5.19, 
5.5.29, 5.1.9

5
1.1.5, 1.1.15, 1.1.25, 1.1.35, 
1.1.45, 1.1.55, 1.1.65, 1.1.75, 
1.1.85, 1.1.95,1.2.5, 1.3.5, 
2.1.5, 2.1.15, 2.1.25, 2.1.35, 
2.2.5, 3.1.5, 3.1.15, 3.2.5, 
4.1.5, 4.2.5, 4.2.15, 4.3.5, 
4.4.5, 4.4.15, 4.5.5, 4.5.15, 
5.5.25, 5.1.5

10
1.1.10, 1.1.20, 1.1.30, 1.1.40, 
1.1.50, 1.1.60, 1.1.70, 1.1.80, 
1.1.90, 1.1.100, 1.2.10, 1.3.10, 
2.1.10, 2.1.20, 2.1.30, 2.1.40, 
2.2.10, 3.1.10, 3.1.20, 3.2.10, 
4.1.20, 4.2.10, 4.2.20, 4.3.10, 
4.4.10, 4.4.20, 4.5.10, 4.5.20, 
5.5.30, 5.1.10

р а з д е л  1   
введение в математичеСкий анализ

те м а  1.1. введение. Элементы теории множеСтв 
и функций

основные определения, свойства,  
теоремы, теоретические положения

Пусть X, Y – два непустых множества. Отображением X в Y, или функцией, определенной на X со значениями в Y, называется соответствие f, 
которое каждому элементу x
X
∈
 относит единственный y
Y
∈
. записывается так: f : X → Y или X
Y

ƒ
→
.
Если f : X → Y, то X называется областью задания отображения f, а множество 
1
(
)
=
Y
f X  – множеством значений этого отображения. 
Если отображение f обратимо, то для любого 
1
y
Y
∈
 = f (X) существует 
единственный x
X
∈
 такой, что f (x) = y. таким образом, на Y1 можно 
задать функцию x = g(y), которая каждому элементу 
1
y
Y
∈
 сопоставляет 
этот единственный x
X
∈
. Эта функция называется обратной к f и обозначается через f –1: Y1 → X; x = f –1(y) = g(y).
Графиком отображения f: X → Y называется множество 
( )
f
X
Y
Γ
⊂
×
, 
состоящее из всех упорядоченных пар (x, y), где x ∈ X, y = f (x): Γ(f ) = {(x, y): 
x
X
∈
, 
( )
y
f x
∈
} ⊂ X × Y.
Пусть даны отображения f : X → Y и g: Y → Z. отображение h: X → Z, 
определенное равенством h(x) = g(f(x)), называется суперпозицией (композицией) отображений f и g или сложной функцией аргумента x. обозначается суперпозиция так: g ° f = h. часто говорят также, что x – основной 
аргумент функции h, а y = f (x) – промежуточный аргумент этой функции.

Примеры решения задач

П р и м е р  1. Построить график дробно-рациональной функции 
4
5
x
y
x
− −
=
+
, 
применяя элементарные преобразования графиков.

Решение. Выделим целую часть: 
4
(5
)
5
4
1
1
5
5
5
x
x
x
x
x
− −
−
+
+
−
=
= − +
+
+
+
, 

тогда 
1
1
5
y
x
= − +
+
. Последовательность построения графика следующая: 

1) 
1
y
x
=
; 2) 
1
5
y
x
=
+
; 3) 
1
1
5
y
x
= − +
+
 (рис. 1.1).

Y

X

0

5

–5

–20
–10

Рис. 1.1

П р и м е р  2. Построить график функции y = (1 – 2x)e2x–1, применяя элементарные преобразования графиков и метод умножения графиков.
Решение. Построим графики функций y1 = 1 – 2x, y2 = e2x–1. Далее 
выполним умножение графиков, учитывая точку пересечения с осью Ox: 
x = 0,5 и промежутки, на которых функция принимает положительные, 
отрицательные значения (рис. 1.2).

Y

X

Рис. 1.2

П р и м е р  3. Построить график функции ρ = sin4φ в полярной системе 
координат.
Решение. Нарисуем график функции ρ = sin4φ в декартовых координатах для φ ∈ [0, 2π] (рис. 1.3).

При 
0, 4
π


ϕ ∈




, 
3
,
2
4
π
π







, 
5
, 4
π


π





, 

3
7
,
2
4
π
π







 значение ρ ≥ 0, поэтому гра
фик будет находиться в секторах, соответствующих этим значениям α. Учитывая характер изменений r при изменении 
α в этих промежутках, получаем график 
(рис. 1.3).

П р и м е р  4. Построить график функции, заданной параметрически 

( )
( )

sin
,

cos
,

X
t
t

Y
t
t


= ⋅

= ⋅


 t ∈ [0; 5π].

Решение. При изменении t ∈ [0; 5π] получаем спираль (рис. 1.4).

Рис. 1.4

Y

–1
1
0

r = sin4α

Рис. 1.3

задания для контрольной работы

1.1.1.–1.1.10. Найдите обратные к следующим функциям:

1.1.1. 

2

2
3
( )
5
x
x
f x
x
x

−
=
−
; 
1.1.6. 
( )
[ ]
f x
x
x
=
+
;

1.1.2. 
( )
a x
b
f x
c x
d

+
=
+
 (ad – bc ≠ 0); 
1.1.7. 
1
2
x
y
x
+
=
−
;

1.1.3. 
3
1
( )
1
f x
x
= +
; 
1.1.8. 
1
arctg 2
x
y
x

+
=
−
;

1.1.4. 

2
5
6
y
x
x
=
−
+
; 
1.1.9. 

2
1
2
x
y
x
+


= 



−
;

1.1.5. 
( )
2
f x
x x
x
=
⋅
+
; 
1.1.10. 
2

1
log 2
x
y
x
+
=
−
.

1.1.11.–1.1.20. Найти область определения функции.

1.1.11. 
( )
4
8
f x
x
x
=
−
+
−
;

1.1.12. 

2

2

1
( )
3
2
7
12
f x
x
x
x
x
=
−
+
+
−
+

;

1.1.13. 
2
( )

3
2

x
f x

x
x

=

−
+

;

1.1.14. 

2
3
( )
lg
2

x
x
f x
−
=
;

1.1.15. 
4
( )
arcsin
lg(5
)
3
x
f x
x
−
=
+
−
;

1.1.16. 
4
( )
arcsin(log
)
f x
x
=
;

1.1.17. 

2
( )
lg(9
)
f x
x
=
−
;

1.1.18. 

arcsin(
2)
1
1
( )
4
2

x
f x

x
x

−
=
+
+
−
;

1.1.19. 

2
6
( )
lg arcsin
8
x
x
f x


−
=



 ;

1.1.20. 
( )
lg(
)
f x
x
x
=
−
.

1.1.21.–1.1.30. Даны функции f(x), φ(x). Найдите 
[
]
( )
( )
x
f
x
ψ
=
ϕ
, 

[
]
( )
( )
x
f x
ϕ
= ϕ
, [
]
( )
f
f x
, [
]
( )
x
ϕ ϕ
.

1.1.21. 
2
( )
log
f x
x
=
, ( )
x
x
ϕ
=
; 
1.1.26. 
4
( )
5

x
f x
x

−
=
+
, ( )
x
x
e
ϕ
=
;

1.1.22. 
( )
sin
f x
x
=
, 

2
( )
x
x
ϕ
=
; 
1.1.27. 
( )
1
f x
x
=
+ , ( )
2
x
x
ϕ
=
−
;

1.1.23. 

2
2
1
( )
f x
x
x
=
+
, ( )
cos
x
x
ϕ
=
; 
1.1.28. 

2
( )
1
f x
x
=
− , 

2
( )
4
x
x
ϕ
=
+
;

1.1.24. 

2
( )
5
4
f x
x
x
=
−
+
, ( )
tg
x
x
ϕ
=
; 
1.1.29. 

2

2
3
( )
5

x
f x
x

+
=
+
, ( )
ctg
x
x
ϕ
=
;

1.1.25. 

4
4
1
( )
f x
x
x
=
+
, ( )
ln
x
x
ϕ
=
; 
1.1.30. 
3
( )
1
x
f x
x
+
=
− , 
3
( )
1
x
x
x
−
ϕ
=
+
.

1.1.31.–1.1.40. Построить графики дробно-рациональных функций, 
применяя элементарные преобразования графиков.

1.1.31. 

2
2
1
1

x
x
y
x
−
+
=
−
; 
1.1.36. 

4

3
(
1)
x
y
x
=
+
;

1.1.32. 

2

2
2
4

1
4

x
y
x

−
=
−
; 
1.1.37. 

3

2
4
x
y
x
+
=
;

1.1.33. 

2
6

2

x
x
y
x
−
−
=
−
; 
1.1.38. 

2

1

x
y
x
=
− ;

1.1.34. 

2
2
1
1

x
x
y
x
+
+
=
−
; 
1.1.39. 

2
3
2

x
y
x

−
=
+
;

1.1.35. 

3

2
4

x
y
x
=
−
; 
1.1.40. 

2

2
4
4

x
y
x

+
=
−
.

1.1.41.–1.1.50. Построить графики функций, применяя элементарные 
преобразования графиков и используя свойства четных функций.

1.1.41. 
2
3
x
y
x
−
=
+
; 
1.1.46. 
lg(
1)
y
x
=
−
;