Элементы теории вероятностей и математической статистики

МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ 

ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И 

ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ

ФГБОУ ВО СИБИРСКАЯ ПОЖАРНО-СПАСАТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

ГПС МЧС РОССИИ

Двойцова И.Н.

Элементы теории вероятностей 
и математической статистики:

Сборник задач для обучающихся 

Учебное пособие 

Допущено Министерством Российской Федерации по делам гражданской обороны,
чрезвычайным ситуациям и ликвидации последствий стихийных бедствий в качестве

учебного пособия для курсантов, студентов и слушателей образовательных организаций

МЧС России.

Железногорск

2021

УДК 519.2
ББК 22.1

Д201

Автор: Двойцова Ирина Николаевна, канд. с-х. наук.

Рецензенты: Трофимец Елена Николаевна, канд. пед. наук, доцент

(ФГБОУ ВО Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России)

Кайбичев Игорь Апполинарьевич, доктор ф-м. наук, доцент

(ФГБОУ ВО Уральский институт ГПС МЧС России)

Двойцова, И.Н. Элементы теории вероятностей и математической 

статистики. Сборник задач для обучающихся [Текст]: учебное пособие / И.Н. 
Двойцова – Железногорск: ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная 
академия ГПС МЧС России, 2021. – 136 с.: ил.

Учебное пособие предназначено для обучающихся по специальности

40.05.03
Судебная 
экспертиза 
и 
может 
быть 
использовано 
для 

самостоятельного изучения дисциплины.  

Данное издание представляет собой краткий курс теории вероятностей 

и математической статистики с примерами задач, а также заданиями для 
самостоятельной работы слушателей очной формы обучения при изучении 
учебной дисциплины «Элементы теории вероятностей и математической 
статистики».

УДК 519.2

ББК 22.1

© ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2021
© Двойцова И.Н., 2021

Оглавление

Введение……………………………………………………………………...

Раздел 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ………………...

Тема 1. Операции над событиями………………………………………….

Тема 2. Вероятность события……………………………………………….

Тема 3. Теоремы сложения и умножения вероятностей………………….

Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса…………………………..

Тема 5. Повторение испытаний…………………………………………….

Раздел 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И 

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ………………………………………..

Тема 6. Дискретные случайные величины…………………………………

Тема 7. Непрерывные случайные величины………………………………

Тема 8. Нормальный закон распределения………………………………...

Тема 9. Выборочный метод и оценивание параметров распределения….

Тема 10. Элементы корреляционного и регрессионного анализа………..

Приложение …………………………………………………………………

Глоссарий…………………………………………………………………….

Список литературы………………………………………………………….

……4

……5

……5

..…17

…..26

…..41

..…53

…..63

…..63

…..83

…102

…115

…125

…131

…134

…135

Введение

Настоящий 
практикум 
предназначен 
в 
помощь 
студентам 

специальности 40.05.03 «Судебная экспертиза» очной формы обучения при 

изучении дисциплины «Элементы теории вероятностей и математической 

статистики». Основную часть сборника составляют примеры решения 

типовых задач теории вероятностей и математической статистики и задачи

для самостоятельного решения, а также краткие теоретические сведения по 

разделам учебной дисциплины. Тренировочные задания являются видом

самостоятельной работы студентов и включают задачи по всем разделам.

Задачи для самостоятельного решения выполняются в отдельной 

тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия студента и

номер группы. В работу должны быть включены все задачи, указанные в 

задании, а также ответы на контрольные вопросы, приведенные в конце 

каждой темы. Решение задач должно быть приведено с промежуточными 

расчетами и пояснениями. Ряд заданий по указанию преподавателя может 

быть выполнен с использованием информационных технологий (табличный 

процессор MS Excel, пакеты программ MATLAB и Maple и т.п.) и 

предоставлен для проверки на электронном носителе.

Требования к защите: студент должен уметь объяснить решение любой 

задачи.

Раздел 1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ВЕРОЯТНОСТИ

Тема 1. Операции над событиями

Справочный материал

Испытание
(опыт, 
эксперимент) 
–
это 
воспроизводимая 

совокупность условий, в которых может наблюдаться то или иное явление.

Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения.

Каждый 
из 
возможных 
результатов 
испытания 
называется 

элементарным событием (исходом). Элементарный исход может быть 

рассмотрен или как самостоятельное событие, или как составляющая более 

сложного события.

Множество Ω всех возможных элементарных исходов испытания 

называется 
пространством 
элементарных 
событий 
испытания. 

Подмножество пространства элементарных событий Ω, которое обладает 

заданными свойствами, определяет событие. 

События принято обозначать заглавными латинскими буквами: А, В, С.

Исходы, выполнение которых позволяет говорить о том, что событие 

наступило – благоприятствующие.

Случайным называется событие, которое может произойти или не 

произойти в результате некоторого испытания. Случайное событие может 

состоять из нескольких элементарных событий.

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, 

называется достоверным.

Событие, которое не может произойти в результате данного испытания, 

называется невозможным.

События называются совместными, если в результате испытания они 

могут появиться одновременно, в противном случае – несовместными.

Противоположным событием Ā называется событие, которое состоит 

в ненаступлении события A. При определении прямого и противоположного 

событий не должно остаться неучтённых элементарных исходов.

Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы 

одного из рассматриваемых событий.

Произведением событий называется событие, состоящее в появлении 

всех из рассматриваемых событий.

Схемой урн называется испытание, состоящее в выборе наудачу m

элементов из n элементов исходного множества. 

Существуют две принципиально различные схемы выбора:


выбор осуществляется без возвращения
элементов

отбираются либо сразу все m элементов, либо последовательно по 

одному элементу, причем каждый выбранный элемент исключается из 

исходного множества;


выбор осуществляется поэлементно с обязательным 

возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным 

перемешиванием множества перед следующим выбором. 

После того, как выбор элементов осуществлен, отобранные элементы 

могут быть упорядочены, т.е. выложены в последовательную цепочку, либо 

не упорядочены.

Элементы комбинаторики

Для определения числа элементарных исходов испытания в схеме урн 

используются формулы комбинаторики, основанные на основных правилах –

произведения и суммы.

Правила произведения и суммы.
Если первое действие можно 

выполнить n1 способами, второе – n2 способами и т.д., k-е действие – nk

способами, тогда:


действие, заключающееся в одновременном выполнении 

всех действий, может быть выполнено n1∙ n2∙…∙ nk способами.


действие, заключающееся в выполнении или первого, или

второго, …, или k-го действия, может быть выполнено n1+ n2+…+ nk

способами.

Под действием в теории вероятностей понимается выборка элемента из 

множества с последующим составлением комбинаций.

Сочетаниями
из n
элементов по m
штук называются такие 

комбинации (подмножества, соединения) по m элементов в каждом, которые 

отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом. Число 

сочетаний из n элементов по m определяется по формуле:

!
(
1) ... (
1) .
!(
)!
!

m
n

n
n n
n
m
C
m n
m
m









(1.1)

Свойства сочетаний:

0
0
0

1

0
1

1;

1;

;
2

...
2 .

n
n
n

n

m
n m

n
n

n
n

n
n
n

С
С
С

С

n
С
С
m

С
С
С























Если комбинации (подмножества, соединения) по m элементов 

отличаются не только составом элементов, но и порядком их расположения, 

то они называются размещениями из n элементов по m. Число размещений 

из n элементов по m определяется по формуле:

!
(
1) ... (
1).
(
)!

m
n

n
A
n n
n
m
n
m








(1.2)

Если комбинации составляются из всех n элементов и отличаются 

только 
порядком 
следования 
элементов, 
то 
они 
называются 

перестановками. Число перестановок из n элементов равно:

!
nP
n

(1.3)

Примеры решения типовых задач

Пример 1. При подбрасывании монеты может выпасть герб (Г) или 

цифра (Ц). Опишите пространство элементарных событий, соответствующие 

опыту, состоящему в последовательном подбрасывании трех монет.

Решение:

Ω – дискретное конечное множество элементарных событий, n=8:

Ω={(ЦЦЦ), (ГГГ), (ГГЦ), (ГЦГ), (ЦГГ), (ЦЦГ), (ЦГЦ), (ГЦЦ)}.

Пример 2. Опишите пространство элементарных событий в опыте: 

исследование состава двухдетной семьи.

Решение:

Обозначим Д – девочка, М – мальчик. Запишем пространство событий:

Ω={(ДД), (ДМ), (МД), (ММ)}. Здесь Ω
дискретное конечное

множество, число элементарных событий n=4.

Пример 3. Точка (x, y) наудачу выбирается из множества точек 

квадрата с вершинами в точках (0,0), (0,1), (1,1), (1,0). Опишите пространство 

элементарных событий данного испытания.

Решение:

Координаты точки (x, y) удовлетворяют системе неравенств 0 ≤ x ≤ 1, 0 

≤ y ≤ 1, поэтому Ω= {(x,y)| 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}, пространство элементарных 

событий содержит бесконечное число элементарных событий.

Пример 4. Опишите ПЭС случайного эксперимента: двукратное 

бросание игрального кубика. Сколько элементарных событий содержит 

пространство элементарных событий?

Решение:

Пусть элементарный исход ω=(i, j), где i – количество выпавших очков 

при бросании игрального кубика, j – количество выпавших очков при втором 

бросании кубика.


 
 
 
 
 



 
 
 
 
 



 
 
 
 
 


,
36.
..................................................

1,1
1,2
 1,3  1,4
1,5  1,6

2,1  2,2  2,3  2,4  2,5  2,6

6,1  6,2  6,3  6,4  6,5  6,6

.
n








 












Пример 
5.
Из 
урны, 
содержащей 
белые 
и 
черные 
шары, 

последовательно без возвращения первого шара в урну взяты два шара. 

Опишите словами события: А={(бб), (чч), (бч), (чб)}; В={(бчб)}; С={(бб),

(чч)}; D={(чб), (бч)}; Е={(чч)}; К={(бб), (чб), (бч)}.

Решение:

А={(бб), (чч), (бч), (чб)} – достоверное событие (любой из этих 

элементарных исходов произойдет обязательно), А=Ω.

В={(бчб)} – невозможное событие, так как содержит элемент (бчб), не 

принадлежащий Ω; B не произойдет никогда в данном испытании. 

С= {(бб), (чч)} – взяты шары одного цвета.

D= {(чб),(бч)} – взяты шары разного цвета.

Е= {(чч)} – взята шары черного цвета (или Е – среди взятых шаров нет 

белых шаров).

К={(бб), (чб), (бч)} – взят хотя бы один белый шар.

Пример 6. В ящике, переданном на экспертизу, 10 деталей. Эксперт

наудачу извлекает 5 деталей. Сколько элементарных событий содержит 

пространство элементарных событий, соответствующее данному опыту?

Решение:

Используем сочетания – неупорядоченные подмножества данного 

множества. Число различных сочетаний из n элементов по m элементов в 

каждом вычисляется по формуле (1.1). Пять деталей из десяти можно 

выбрать 

5
10
C
способами (число сочетаний из десяти элементов по пять). 

Следовательно, число элементарных событий пространства Ω данного 

испытания равно

5
10

10!
5! 6 7 8 9 10
6 7 8 9 10
252.
5!(10
5)!
5! 5!
1 2 3 4 5
C
    
   






   

Пример 7. Четырехтомное собрание сочинений расставляется на 

книжной полке случайным образом. Сколько элементарных событий 

содержит пространство элементарных событий данного опыта?

Решение:

Используем 
понятие 
перестановки
всевозможные 

последовательности из n элементов. Общее число перестановок из n

элементов вычисляют по формуле (1.3). Значит, число всех элементарных 

событий данного испытания равно
4
( )
4! 1 2 3 4
24.
n
P
 

    
Например, 

𝜔1=(1,2,3,4), 𝜔2=(2,1,3,4), 𝜔3=(1,2,4,3) и так далее – всего 24 различные 

последовательности 
по 
четыре 
элемента, 
различающиеся 
порядком 

следования номеров томов собрания сочинений. 

Пример 8. Десять спортсменов в личном первенстве по пожарно
спасательному спорту разыгрывают одну золотую, одну серебряную и одну 

бронзовую медали. Сколькими способами эти медали могут быть 

распределены между спортсменами?

Решение:

Предположим, что спортсмены пронумерованы числами от 1 до 10 и х1, 

х2, х3
–
номера спортсменов, получивших соответственно золотую, 

серебряную и бронзовую медали. Каждое подмножество (х1, х2, х3), состоящее 

из различных чисел (номеров спортсменов), соответствует способу 

распределения медалей, и наоборот. Следовательно, число способов 

распределения медалей равно числу размещений из 10 элементов по 3 (так 

как выборка упорядоченная и без возвращения):

3
10
10 9 8
720.
A 
  

Пример 9.
Сколько различных слов можно образовать при 

перестановке букв слова «ОГНЕТУШИТЕЛЬ»?

Решение:

Сформировать перестановку из букв слова «ОГНЕТУШИТЕЛЬ» - это 

значит на 12 занумерованных мест каким-нибудь образом поставить одну 

букву «О», одну букву «Г», одну букву «Н», две буквы «Е», две буквы «Т», 

одну букву «У», одну букву «Ш», одну букву «И», одну букву «Л», одну 

букву «Ь».

Если бы все 12 букв слова были различными, то имели бы дело с 

перестановками из 12, число которых равно
12
12!
P 

Но при перестановке букв «Т»
и
«Е» новые перестановки не 

получаются. Буквы «Т1», «Т2» можно переставлять
2
2!
P 
способами, буквы 

«Е1», «Е2» - также
2
2!
P 
способами. 

По правилу произведения число перестановок букв «Т», «Е» равно

2! 2!
2 2
4




. Поэтому число различных перестановок с повторениями 

меньше числа перестановок без повторений 
12
12!
P 
в 
1
2
4
P P


раза: 

12

2
2

12!
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
119750400.
2! 2!
1 2 1 2

P

P P

        







  

Пример 10.
Из урны, содержащей белые и черные шары, 

последовательно взяты два шара. Введем события, заданные с помощью 

множеств: А={(бб), (чч)}, С={(бб), (чб), (бч)}. Опишите словесно события А и 

С, 𝐴 и 𝐶. Из каких элементарных событий состоят A и C ?

Решение:

А – взяты шары одного цвета; C – взят хотя бы один белый шар.

𝐴 - взяты шары разного цвета, 𝐴={(бч),(чб)}.

𝐶 - взяты шары черного цвета, 𝐶={(чч)}.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Производится испытание. Назовите элементарные исходы и 

укажите их количество в пространстве элементарных событий испытания. 

Составьте невозможное, достоверное и случайное событие в испытании; 

укажите элементарные исходы, входящие в них. 

1)
Подбрасывание игрального кубика.

2)
Извлечение двух шаров из урны с тремя белыми и двумя 

черными шарами.

3)
Выбор трех пробирок на лабораторном столе с пятью пробирками 

с кислотой, шестью пробирками со щелочью и четырьмя с перекисью 

водорода.

Задача 2. Пусть А, В, С – события, наблюдаемые в одном и том же 

эксперименте. Выразите с помощью операций над событиями А, В, С 

события:

D – произошло ровно два события;

E – произошло не более двух событий;