Геометрия. 7-9 классы. Практикум по планиметрии. Готовимся к ОГЭ

Ю.А. Глазков, М.В. Егупова 

Геометрия  

7—9 классы 

Практикум по планиметрии  

Готовимся к ОГЭ 

Москва 
Издательство «Интеллект-Центр» 

2021 

2-е издание, электронное

УДК 514(075.3)
ББК 22.12я721
Г52

Г52
Глазков, Ю. А.
Геометрия. 7–9 классы. Практикум по планиметрии. Готовимся к ОГЭ / Ю. А. Глазков, 
М. В. Егупова. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 75 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 
2021. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : 
электронный.
ISBN 978-5-907339-85-9

Пособие предназначено для обобщающего повторения курса планиметрии при подготовке к ОГЭ. В него 
включены справочные материалы, рекомендации по осуществлению поиска способов решений задач, многочисленные подробные примеры решений, большое количество задач для самостоятельной работы. Пособие 
может быть полезно не только учащимся 7–9 классов, но и старшеклассникам при подготовке к ЕГЭ, а также 
учителям и репетиторам. Авторы пособия — профессора Московского педагогического государственного 
университета Ю. А. Глазков и М. В. Егупова, имеющие большой опыт подготовки учебных пособий по математике для школьников.

УДК 514(075.3) 
ББК 22.12я721

Электронное издание на основе печатного издания: Геометрия. 7–9 классы. Практикум по планиметрии. 
Готовимся к ОГЭ / Ю. А. Глазков, М. В. Егупова. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2019. — 
72 с. — ISBN 978-5-907157-34-7. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских 
прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907339-85-9
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2019
© Ю. А. Глазков, М. В. Егупова, 2019

 

Содержание 

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................... 4 

АНАЛИЗИРУЕМ ............................................................................................ 5 

ВЫЧИСЛЯЕМ ................................................................................................ 13 

Треугольники .......................................................................................... 15 

Многоугольники ...................................................................................... 27 

Окружности ............................................................................................ 37 

МОДЕЛИРУЕМ ................................................................................................54 

ДОКАЗЫВАЕМ .............................................................................................. 65 

ОТВЕТЫ .........................................................................................................70 

 

3

ВВЕДЕНИЕ 

Проверке уровня усвоения геометрического материала учащимися, оканчивающими 
9 класс, уделяется серьёзное внимание. Каждая третья задача контрольных измерительных материалов (КИМ) основного государственного экзамена (ОГЭ) геометрическая. 
Шесть из девяти геометрических задач — базового (простейшего) уровня трудности, две — 
повышенного и одна — высокого уровня трудности. Решения задач базового уровня 
предъявлять не требуется, нужно только записать ответ. Решения задач более высокого 
уровня необходимо записать. 
При проверке базового уровня математической подготовки учащиеся должны продемонстрировать: владение основными приемами решения задач, знание и понимание 
ключевых элементов содержания (математических понятий, их признаков и свойств), 
умение пользоваться математической записью, а также применять математические знания в простейших практических ситуациях.  
Проверка владения материалом на повышенном уровне должна помочь выявить 
наиболее подготовленную часть выпускников, что важно при создании профильных 
классов.  

Большинство геометрических задач ОГЭ можно отнести к одной из следующих тем: 
1) треугольники;
2) многоугольники;
3) окружности.

В ходе решения задач учащиеся должны показать следующие умения: 
• оценивать логическую правильность рассуждений, распознавать ошибочные
заключения; 
• выполнять действия с геометрическими фигурами;
• описывать реальные ситуации на языке геометрии, исследовать построенные
модели с использованием геометрических понятий и теорем, решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических величин;
• проводить доказательные рассуждения.

В соответствии с этим пособие содержит следующие разделы: 
Анализируем (задачи типа «верно ли …»). 
Вычисляем (длины, площади, углы). 
Моделируем (практико-ориентированные задачи). 
Доказываем (задачи на доказательство). 

При подготовке к ОГЭ учащиеся могут ставить перед собой разные цели:  
а) сдать экзамен хотя бы на «3», чтобы получить свидетельство об окончании основной школы; 
б) сдать экзамен, как минимум, на «4», чтобы поступить в класс выбранного 
профиля; 
в) систематизировать и обобщить знания по планиметрии, чтобы в 10—11 классах 
успешно освоить курс стереометрии. 

Данное учебное пособие поможет реализовать любую из перечисленных целей.  
Для достижения первой цели достаточно научиться решать задания первой части 
контрольно-измерительных материалов, т.е. задания базового уровня трудности. 
Для достижения второй и третьей целей нужно научиться решать задания второй 
части (повышенного и высокого уровня трудности). Но было бы неправильно ориентироваться при этом на задачи только тех типов, которые включены в базу, опубликованную на сайте www.fipi.ru. Поэтому в данное пособие включено большое количество задач, обеспечивающих возможность повторить и систематизировать теоретический материал, научиться решать любую задачу, которая может быть включена в контрольно-измерительные материалы ОГЭ.  

4

ÀÍÀËÈÇÈÐÓÅÌ 

Äëÿ ðåøåíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ íåîáõîäèìî, ïðåæäå âñåãî, çíàòü è óìåòü ïðèìåíÿòü ïðàêòè÷åñêè âñå èçó÷åííûå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû.  

Ïðèìåð 1. Ëó÷ ÀÑ, ñîäåðæàùèé äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà À, äëèíû äèàãîíàëåé ÀÑ è BD ðàâíû 24 è 10 ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà ABCD.
Ðåøåíèå. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è ÀÑ – áèññåêòðèñà óãëà À,
ñëåäîâàòåëüíî, BAC = DAC (îïðåäåëåíèå áèññåêòðèñû
óãëà). 
×åòûð¸õóãîëüíèê ABCD – ïàðàëëåëîãðàìì, çíà÷èò, 
AD || BC (îïðåäåëåíèå ïàðàëëåëîãðàììà). 
Ñëåäîâàòåëüíî, BCA = DAC (ñâîéñòâî íàêðåñò ëåæàùèõ óãëîâ ïðè ïåðåñå÷åíèè ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ 
ñåêóùåé). 
Èç этого ñëåäóåò, ÷òî â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ BAC = ÂCA, ïîýòîìó, ÂÑ = ÂÀ (ñâîéñòâî
ñòîðîí, ëåæàùèõ ïðîòèâ ðàâíûõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà). 
Òàê êàê äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ïåðåñåêàþòñÿ è òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì (ñâîéñòâî ïàðàëëåëîãðàììà), òî â ñîîòâåòñòâèè ñ óñëîâèåì çàäà÷è ÀÎ = ÎÑ = 12 è 
ÂÎ = OD = 5. 
Ïîñêîëüêó ÂÀ = ÂÑ, òî òðåóãîëüíèê ÀÂÑ – ðàâíîáåäðåííûé ñ îñíîâàíèåì ÀÑ (îïðåäåëåíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà). 
 òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ÀÎ = ÎÑ, ñëåäîâàòåëüíî, ÂÎ – åãî ìåäèàíà (îïðåäåëåíèå ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà). 
Ìåäèàíà ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííàÿ ê åãî îñíîâàíèþ, ÿâëÿåòñÿ âûñîòîé (ñâîéñòâî ìåäèàíû ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà). 
ÂÎ – âûñîòà òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ, ïîýòîìó ÂÎÀ = ÂÎÑ = 90(îïðåäåëåíèå âûñîòû
òðåóãîëüíèêà), çíà÷èò, òðåóãîëüíèê ÀÂÎ ïðÿìîóãîëüíûé (îïðåäåëåíèå ïðÿìîóãîëüíîãî 
òðåóãîëüíèêà).

 ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ
2
2
2
AB
AO
BO , ñëåäîâàòåëüíî, ÀÂ = 13 (òåîðåìà Ïèôàãîðà). 
Òàê êàê ÂÑ = ÂÀ =13, à ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû, òî è 
AD = CD =13 (ñâîéñòâî ïàðàëëåëîãðàììà). 
Ïî îïðåäåëåíèþ ïåðèìåòðà ìíîãîóãîëüíèêà Ð = ÀÂ + ÂÑ + ÑD + DA = 52. 
Îòâåò: 52. 

Èòàê, äàæå ïðè ðåøåíèè íå î÷åíü ñëîæíîé çàäà÷è ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé è òåîðåì èç 
ðàçíûõ ðàçäåëîâ ïëàíèìåòðèè (â äàííîì ñëó÷àå, êàê ìèíèìóì, 14).
Íåòî÷íîå çíàíèå ãåîìåòðè÷åñêèõ óòâåðæäåíèé, íàïðèìåð, ïðîïóñê èëè çàìåíà äàæå îäíîãî ñëîâà, ìîæåò ïîëíîñòüþ èñêàçèòü èõ ñìûñë, ñäåëàòü íåâåðíîé ôîðìóëèðîâêó. 
À ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâåä¸ò ê îøèáêàì â ðåøåíèè è, 
ñîîòâåòñòâåííî, ê íåâåðíîìó îòâåòó. 

Íàïðèìåð, åñëè â óòâåðæäåíèè «×åòûðåõóãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàðíî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì» ïðîïóñòèòü ñëîâî «ïðîòèâîïîëîæíûå», òî îíî ñòàíîâèòñÿ íåâåðíûì, ò.ê. ìîãóò áûòü ðàâíûìè è ñìåæíûå ñòîðîíû (ñì. ðèñóíîê), à òàêîé ÷åòûðåõóãîëüíèê ïàðàëëåëîãðàììîì 
íå ÿâëÿåòñÿ (åãî íàçûâàþò «äåëüòîèä»). 

Ïðèâåäåì åùå îäèí ïðèìåð. Óòâåðæäåíèå «Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî 
òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû» (ïðèçíàê ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ) ñòàíîâèòñÿ íåâåðíûì, åñëè ïðîïóñòèòü ñëîâà «ìåæäó íèìè». Â óòâåðæäåíèÿõ òàêîãî ðîäà 

D
C
B

O

D

B

A
C

N
K

M

P

5

 
 

 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
Поскольку ВС = ВА, то треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС (определение равнобедренного треугольника). 
Так как диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся 
пополам (свойство параллелограмма), то в соответствии с условием задачи АО = ОС = 12 и 
ВО = OD = 5. 

ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ðå÷ü èäåò î âñåõ ôèãóðàõ (â äàííîì ñëó÷àå – ïàðàõ òðåóãîëüíèêîâ), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò çàäàííûì óñëîâèÿì: ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ. Åñëè îïóñòèòü ñëîâà «ìåæäó íèìè», òî ðàâíûå óãëû ìîãóò ëåæàòü ïðîòèâ ïàðû 
ðàâíûõ ñòîðîí (ñì. ðèñóíîê).  

1

1

1

Ïîýòîìó íàéäóòñÿ ïàðû òðåóãîëüíèêîâ, èìåþùèå ïåðå÷èñëåííûå ðàâíûå ñòîðîíû è 
óãëû, íî íå ðàâíûå äðóã äðóãó, ò.å. â ýòîì ñëó÷àå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.  
È âîîáùå, ÷òîáû óñòàíîâèòü, ÷òî óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ëþáûõ ôèãóð, óäîâëåòâîðÿþùèõ åãî óñëîâèþ, òðåáóåòñÿ âûïîëíèòü äîêàçàòåëüñòâî ñ îïîðîé íà îïðåäåëåíèÿ è 
òåîðåìû. Åñëè æå õîòèòå äîêàçàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå íåâåðíî, äîñòàòî÷íî ïðèâåñòè ïðèìåð, êîãäà îíî íå âûïîëíÿåòñÿ (òàê íàçûâàåìûé êîíòðïðèìåð). Èìåííî òàêîé êîíòðïðèìåð è ïðèâåäåí âûøå. 
Ê îøèáêàì â óòâåðæäåíèè êðîìå ïðîïóñêà ñëîâ ïðèâîäèò è ñëó÷àéíàÿ, ÷àùå âñåãî 
íåîñîçíàííàÿ, çàìåíà îäíèõ ïîíÿòèé äðóãèìè. Íàïðèìåð, ïðè çàìåíå â óòâåðæäåíèè 
«Ïàðàëëåëîãðàìì, äâå ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì» ñëîâà «ïàðàëëåëîãðàìì», ñëîâîì «÷åòûðåõóãîëüíèê» ïîëó÷àåì íåâåðíîå óòâåðæäåíèå «×åòûðåõóãîëüíèê, äâå ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì» (íà ðèñóíêå ñëåâà 
ÀÂ = BÑ, ñïðàâà KM = MN). 

Ðàçóìååòñÿ, ìîæíî èçîáðàçèòü è ïàðàëëåëîãðàìì ñ äâóìÿ ðàâíûìè ñìåæíûìè ñòîðîíàìè, è îí äåéñòâèòåëüíî áóäåò ðîìáîì, íî, êàê ãîâîðèëîñü ðàíåå, ïîëó÷åííîå óòâåðæäåíèå äîëæíî áûòü âåðíûì äëÿ ëþáîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, äâå ñìåæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû. À ïðèâåäåííûå êîíòðïðèìåðû ïîêàçûâàþò, ÷òî òðåáîâàíèå «äëÿ ëþáîãî»
íå âûïîëíÿåòñÿ. 
Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, íàäî òî÷íî ïîìíèòü è óìåòü ïðèìåíÿòü ôîðìóëèðîâêè 
âñåõ òåîðåì è îïðåäåëåíèé. Åñëè ó÷åíèê íå ïîìíèò, íàïðèìåð, ÷òî åñòü òàêàÿ òåîðåìà: 
«Â ëþáîì òðåóãîëüíèêå êàæäàÿ ñòîðîíà ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ ñòîðîí» (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà», òî, îí ìîæåò íåâåðíî ðåøèòü ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. 

Ïðèìåð 2. Äâå ñòîðîíû ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 7 è 15. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð. 
Ðåøåíèå. Ò.ê. â óñëîâèè çàäà÷è íå ñêàçàíî, êàêàÿ èç ñòîðîí ÿâëÿåòñÿ îñíîâàíèåì 
òðåóãîëüíèêà, à êàêàÿ – áîêîâîé ñòîðîíîé, íóæíî ðàññìîòðåòü äâà ñëó÷àÿ: 
1) îñíîâàíèå ðàâíî 15, ñîîòâåòñòâåííî, áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà 7; 
2) îñíîâàíèå ðàâíî 7, à áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà 15. 
 ïåðâîì ñëó÷àå âòîðàÿ áîêîâàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà òàêæå ðàâíà 7, ïîýòîìó ñóììà 
áîêîâûõ ñòîðîí ðàâíà 14. Íî 14<15, ò.å. ïîëó÷èëîñü, ÷òî ñóììà äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ìåíüøå åãî òðåòüåé ñòîðîíû, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò íåðàâåíñòâó òðåóãîëüíèêà. Çíà÷èò, òðåóãîëüíèêà ñ òàêèìè ñòîðîíàìè íå ñóùåñòâóåò. Èìåííî ýòîò ôàêò ó÷àùèåñÿ ÷àñòî íå ó÷èòûâàþò. È ïîýòîìó ïîëó÷àþò «ëèøíèé», ò.å. íåâåðíûé ðåçóëüòàò. 
Âî âòîðîì ñëó÷àå ñóììà áîêîâûõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà áîëüøå åãî îñíîâàíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, òàêîé òðåóãîëüíèê ñóùåñòâóåò, è ìîæíî âû÷èñëèòü åãî ïåðèìåòð: 7 + 15 + 15 = 37. 
Îòâåò: 37. 

A

B 
C 

D 
K 

M
N

P

6

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                                   ) 

Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû 

Îïðåäåëèòå, âåðíû ëè ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ. 

1.
Åñëè óãîë ðàâåí 50, òî ñìåæíûé ñ íèì óãîë òîæå ðàâåí 50.
2.
Ñóììà ñìåæíûõ óãëîâ ðàâíà 180.
3.
Åñëè îäèí èç âåðòèêàëüíûõ óãëîâ ðàâåí 80, òî äðóãîé óãîë равен 100.
4.
Åñëè äâà óãëà ñ îáùåé âåðøèíîé ðàâíû, òî îíè âåðòèêàëüíûå. 
5.
Åñëè óãëû âåðòèêàëüíûå, òî îíè ðàâíû. 
6.
Åñëè äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñå÷åíû òðåòüåé ïðÿìîé, òî âíóòðåííèå íàêðåñò 
ëåæàùèå óãëû ðàâíû. 
7.
Åñëè ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ òðåòüåé âíóòðåííèå îäíîñòîðîííèå óãëû ðàâíû 55, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû.  
8.
Åñëè ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé ñîîòâåòñòâåííûå óãëû ðàâíû, òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. 
9.
Åñëè äâå ïðÿìûå ïåðïåíäèêóëÿðíû òðåòüåé, òî îíè ïàðàëëåëüíû. 
10. Åñëè òðè óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî òð¸ì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû. 
11. Åñëè êàòåòû îäíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû êàòåòàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû. 
12. Åñëè ãèïîòåíóçà îäíîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ãèïîòåíóçå âòîðîãî 
òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû. 
13. Êàæäàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ìåíüøå ðàçíîñòè äâóõ äðóãèõ ñòîðîí. 
14. Êàæäàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ ñòîðîí. 
15. Â òðåóãîëüíèêå ïðîòèâ áîëüøåé ñòîðîíû ëåæèò áîëüøèé óãîë. 
16. Ñóììà îñòðûõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ðàâíà 90.
17. Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180.
18. Ñóììà óãëîâ âûïóêëîãî ÷åòûð¸õóãîëüíèêà ðàâíà 180.
19. Ñóììà óãëîâ âûïóêëîãî ÷åòûð¸õóãîëüíèêà ðàâíà 360.
20. Âûñîòà ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ åãî ìåäèàíîé. 
21. Ìåäèàíà ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííàÿ ê åãî îñíîâàíèþ, ÿâëÿåòñÿ 
âûñîòîé ýòîãî òðåóãîëüíèêà. 
22. Ñóììà ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà 180.
23. Ñóììà ïðîòèâîëåæàùèõ óãëîâ ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ðàâíà 180.
24. Ñóììà óãëîâ òðàïåöèè, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà 180.
25. Ñóììà óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà 180.
26. ×åòûð¸õóãîëüíèê, äâå ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû, ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì. 
27. ×åòûð¸õóãîëüíèê, äâå ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû, ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì 
èëè òðàïåöèåé. 
28. ×åòûð¸õóãîëüíèê, â êîòîðîì äâå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû è äâå ñòîðîíû ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ ïàðàëëåëîãðàììîì. 
29. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû òðàïåöèè ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû. 
30. Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ïîïàðíî ðàâíû. 
31. Äèàãîíàëè ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ïåðåñåêàþòñÿ è òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ 
ïîïîëàì. 
32. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ïåðåñåêàþòñÿ è òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì. 
33. Äèàãîíàëè ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ðàâíû. 
34. Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì. 
35. ×åòûð¸õóãîëüíèê, äèàãîíàëè êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì. 
36. Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì. 
37. Ïàðàëëåëîãðàìì, äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì. 
38. Äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíû. 
39. Åñëè òðè óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû òðåì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû. 
40. Åñëè ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí 8, à ðàññòîÿíèå îò öåíòðà îêðóæíîñòè äî ïðÿìîé 
ðàâíî 5, òî ïðÿìàÿ è îêðóæíîñòü èìåþò äâå îáùèå òî÷êè.  

7

41. Åñëè ðàäèóñû äâóõ îêðóæíîñòåé ðàâíû 4 è 7, à ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ öåíòðàìè
ðàâíî 10, òî îíè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê.
42. Îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíî êâàäðàòó îòíîøåíèÿ èõ ñõîäñòâåííûõ ñòîðîí.
43. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äëèí ñòîðîíû è âûñîòû, ïðîâåäåííîé ê ýòîé ñòîðîíå.
44. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äëèí äâóõ åãî ñìåæíûõ ñòîðîí.
45. Âïèñàííûå óãëû, îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó, ðàâíû.
46. Åñëè öåíòðàëüíûé óãîë ðàâåí 40°, òî äóãà îêðóæíîñòè, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ,
ðàâíà 20°.
47. Ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ â ëþáîì âïèñàííîì ÷åòûð¸õóãîëüíèêå ðàâíà 180°.
48. Ñóììû ïðîòèâîëåæàùèõ ñòîðîí â ëþáîì îïèñàííîì ÷åòûð¸õóãîëüíèêå ðàâíû.
49. Öåíòðîì îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê åãî ñòîðîíàì.
50. Öåíòðîì îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê, ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ åãî âûñîò.

Âûáîð óòâåðæäåíèÿ 

 îäíîì èç çàäàíèé êîíòðîëüíûõ èçìåðèòåëüíûõ ìàòåðèàëîâ ÃÈÀ òðåáóåòñÿ óêàçàòü, 
êàêèå èç ïåðå÷èñëåííûõ óòâåðæäåíèé âåðíû (íåâåðíû). Îñîáåííîñòü òàêîãî çàäàíèÿ â 
òîì, ÷òî îíî ñ÷èòàåòñÿ ïðàâèëüíî âûïîëíåííûì, åñëè óêàçàíû âñå âåðíûå (èëè, åñëè 
òðåáóåòñÿ, âñå íåâåðíûå) óòâåðæäåíèÿ. Åñëè ó÷àùèéñÿ õîòÿ áû ðàç îøèáñÿ, òî çàäàíèå 
îöåíèâàåòñÿ íóë¸ì áàëëîâ. 

Çàäàíèÿ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû 

Çàìå÷àíèå. Ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèé áóäüòå âíèìàòåëüíû: êàêèå èìåííî óòâåðæäåíèÿ íóæíî îòìå÷àòü (âåðíûå èëè íåâåðíûå).

51. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Âïèñàííûé â îêðóæíîñòü óãîë ðàâåí ïîëîâèíå öåíòðàëüíîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ
íà òó æå äóãó.
2) Áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
3) ×åòûðåõóãîëüíèê, äâà óãëà êîòîðîãî ðàâíû 110°, à äâà äðóãèõ – 70°, ÿâëÿåòñÿ
òðàïåöèåé.
4) Åñëè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 9, 12 è 16, òî îí ïðÿìîóãîëüíûé.

52. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Âïèñàííûé â îêðóæíîñòü óãîë â 2 ðàçà áîëüøå öåíòðàëüíîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ
íà òó æå äóãó.
2) Âûñîòû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
3) Åñëè äâà óãëà ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíû 100°, à äâà äðóãèõ – 80°, òî îí ÿâëÿåòñÿ
ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèåé.
4) Åñëè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 13, 5 è 12, òî îí ïðÿìîóãîëüíûé.

53. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Âïèñàííûé â îêðóæíîñòü óãîë ðàâåí ïîëîâèíå öåíòðàëüíîãî óãëà.
2) Ìåäèàíû òðåóãîëüíèêà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
3) Åñëè äâà óãëà ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíû 120°, à äâà äðóãèõ – 60°, òî îí ÿâëÿåòñÿ
ïàðàëëåëîãðàììîì.
4) Åñëè ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 6, 8, 10, òî îí ïðÿìîóãîëüíûé.

8

 
 

 
 
 
 
 

 

В одном из заданий контрольных измерительных материалов ОГЭ требуется указать, 
какие из перечисленных утверждений верны (неверны). Особенность такого задания в 
том, что оно считается правильно выполненным, если указаны все верные (или, если 
требуется, все неверные) утверждения. Если учащийся хотя бы раз ошибся, то задание 
оценивается нулём баллов. 

54. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Íà ïðÿìîé îò äàííîé íà íåé òî÷êè ìîæíî îòëîæèòü òîëüêî äâà îòðåçêà äàííîé
äëèíû.
2) Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî
òðåóãîëüíèêà, òî ýòè òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû.
3) Åñëè îäèí èç óãëîâ òðàïåöèè ðàâåí 90, òî è îñòàëüíûå ðàâíû 90.
4) Åñëè êàòåòû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 9 è 8, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà 72.

55. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Íà ïðÿìîé ìîæíî îòëîæèòü òîëüêî äâà îòðåçêà äàííîé äëèíû.
2) Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî
òðåóãîëüíèêà è óãëû ìåæäó íèìè ðàâíû, òî ýòè òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû.
3) Åñëè îäèí èç óãëîâ òðàïåöèè ðàâåí 18, òî äðóãîé óãîë ïðè òîé æå áîêîâîé ñòîðîíå ðàâåí 72.
4) Åñëè êàòåòû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 7 è 8, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà 28.

56. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî
òðåóãîëüíèêà, òî ýòè òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû.
2) Íà ïëîñêîñòè ìîæíî ïîñòðîèòü òîëüêî îäèí óãîë çàäàííîé ãðàäóñíîé ìåðû.
3) Åñëè îäèí èç óãëîâ ïðè áîêîâîé ñòîðîíå òðàïåöèè ðàâåí 102, òî äðóãîé ðàâåí 78.
4) Åñëè êàòåòû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíû 12 è 7, òî åãî ïëîùàäü ðàâíà 42.

57. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå âûñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê îñíîâàíèþ, ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíîé.
2) Åñëè îäèí èç îñòðûõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí 18, òî è äðóãîé
ðàâåí 18.
3) Åñëè äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî îí ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì.
4) Ïëîùàäü êðóãà ðàäèóñà 3 ðàâíà 
18 .

58. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ìåäèàíà ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé.
2) Åñëè äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû, òî îí ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì.
3) Ñóììà îñòðûõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 90.
4) Äëèíà îêðóæíîñòè ðàäèóñà 3 ðàâíà 6 .

59. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå äâà óãëà ðàâíû.
2) Åñëè äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû, òî îí ÿâëÿåòñÿ ðîìáîì.
3) Ñóììà îñòðûõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180.
4) Ïëîùàäü êðóãà ðàäèóñà 4 ðàâíà 
16 .

60. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.

1) Îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ òðåòüåé îäíîñòîðîííèå óãëû ðàâíû.
2) Åñëè ñóììà äâóõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ðàâíà 90, òî ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé.
3) Ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 2, 8, 9.
4) Óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Q(–1; –4) è ðàäèóñîì 3 ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå

2
2
1
4
9
x
y
.

9

61. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ òðåòüåé íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâíû.
2) Åñëè áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ åãî âûñîòîé, òî ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé. 
3) Òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 2, 8, 11 íå ñóùåñòâóåò.  
4) Óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Q(–2; –3) è ðàäèóñîì 5 ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå 

2
2
2
3
25
x
y
.

62. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Ñóììà îäíîñòîðîííèõ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïàðàëëåëüíûõ 
ïðÿìûõ òðåòüåé, ðàâíà 180.
2) Åñëè ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ åãî áèññåêòðèñîé, òî ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé. 
3) Ñóùåñòâóåò òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 7, 2, 4.  
4) Óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Q(2; 3) è ðàäèóñîì 7 ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå 

2
2
3
2
49
x
y
.

63. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Ñóììà íàêðåñò ëåæàùèõ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ òðåòüåé, âñåãäà ðàâíà 180.
2) Åñëè áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ åãî ìåäèàíîé, òî ýòîò òðåóãîëüíèê ðàâíîáåäðåííûé. 
3) Òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 7, 8, 9 íå ñóùåñòâóåò.  
4) Óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Q(2; 3) è ðàäèóñîì 5 ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå 

2
2
2
3
5
x
y
.

64. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Åñëè îäèí èç âåðòèêàëüíûõ óãëîâ ðàâåí 46, òî âòîðîé ðàâåí 134.
2) Åñëè ñóììà îáðàçîâàííûõ ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé íàêðåñò ëåæàùèõ óãëîâ ðàâíà 180, òî ýòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. 
3) Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ïðîïîðöèîíàëüíû òðåì 
ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû. 
4) Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äâóõ îêðóæíîñòåé ðàâíî 5, à èõ ðàäèóñû 3 è 4, 
òî îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ.  

65. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Åñëè îäèí èç ñìåæíûõ óãëîâ ðàâåí 127, òî âòîðîé ðàâåí 53.
2) Åñëè îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé îäíîñòîðîííèå óãëû 
ðàâíû, òî ýòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. 
3) Åñëè äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 
äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè 
ðàâíû.
4) Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äâóõ îêðóæíîñòåé ðàâíî 9, à èõ ðàäèóñû 2 è 6, 
òî îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê.  

66. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Åñëè îäèí èç ñìåæíûõ óãëîâ ðàâåí 27, òî âòîðîé ðàâåí 173.
2) Åñëè îáðàçîâàííûå ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé íàêðåñò ëåæàùèå óãëû 
ðàâíû, òî ýòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. 
3) Åñëè ñòîðîíà è äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû ñòîðîíå è 
äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû. 
4) Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äâóõ îêðóæíîñòåé ðàâíî 8, à èõ ðàäèóñû 2 è 6, 
òî îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê.  

10

67. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Åñëè îäèí èç âåðòèêàëüíûõ óãëîâ ðàâåí 27°, òî è âòîðîé ðàâåí 27°.
2) Åñëè ñóììà îáðàçîâàííûõ ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé îäíîñòîðîííèõ 
óãëîâ ðàâíà 180°, òî ýòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. 
3) Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêè ðàâíû. 
4) Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äâóõ îêðóæíîñòåé ðàâíî 7, à èõ ðàäèóñû 2 è 6, 
òî îêðóæíîñòè íå èìåþò îáùèõ òî÷åê.  

68. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî 
òðåóãîëüíèêà, то ýòè òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû. 
2) Ñóììà âåðòèêàëüíûõ óãëîâ ðàâíà 180°.
3) Ñóììà äâóõ ñîñåäíèõ óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà 180°.
4) Åñëè îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 13 è 25, òî åå âûñîòà ðàâíà 19. 

69. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Åñëè â òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ∠
=
°
∠
=
°
22 ,
67
A
C
, òî ñòîðîíà ÀÂ íàèáîëüøàÿ. 
2) ×åðåç ëþáûå òðè òî÷êè ïðîõîäèò ïðÿìàÿ. 
3) Òàíãåíñîì îñòðîãî óãëà òðåóãîëüíèêà íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðîòèâîëåæàùåé 
ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ê ïðèëåæàùåé. 
4) Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû äâóì óãëàì äðóãîãî 
òðåóãîëüíèêà, то ýòè òðåóãîëüíèêè ïîäîáíû. 

70. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äâóõ îêðóæíîñòåé ðàâíî ñóììå èõ ðàäèóñîâ, òî 
ýòè îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ. 
2) Âïèñàííûå óãëû îêðóæíîñòè, îïèðàþùèåñÿ íà îäíó åå äóãó, ðàâíû. 
3) Åñëè âïèñàííûé óãîë ðàâåí 17°, òî öåíòðàëüíûé óãîë ðàâåí 34°.
4) Âîêðóã ëþáîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü. 

71. Óêàæèòå íîìåðà âåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Âïèñàííûé â îêðóæíîñòü óãîë ðàâåí ïîëîâèíå õîðäû, íà êîòîðóþ îí îïèðàåòñÿ. 
2) Åñëè äèàìåòðû äâóõ îêðóæíîñòåé ðàâíû 7 è 13, à ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ öåíòðàìè ðàâíî 20, òî ýòè îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ. 
3) Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, то ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâíû. 
4) Òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 5, 12 è 13 îñòðîóãîëüíûé. 

72. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Äèàãîíàëè ðîìáà ðàâíû. 
2) Ñóììà óãëîâ òðàïåöèè ðàâíà 360°.
3) Åñëè îäèí èç ñìåæíûõ óãëîâ ðàâåí 40°, òî è äðóãîé óãîë ðàâåí 40°.
4) Ñèíóñ îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí îòíîøåíèþ ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòà ê ãèïîòåíóçå. 

73. Óêàæèòå íîìåðà íåâåðíûõ óòâåðæäåíèé.  

1) Åñëè ïðè ïåðåñå÷åíèè äâóõ ïðÿìûõ òðåòüåé ïðÿìîé íàêðåñò ëåæàùèå óãëû ðàâíû 117°, òî ýòè ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû. 
2) Êàæäàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ìåíüøå ñóììû äâóõ äðóãèõ ñòîðîí. 

11