Сборник задач по алгебре. 9 класс

СБОРНИК ЗАДАЧ  
ПО АЛГЕБРЕ

9 класс

А.Н. РУРУКИН, Н.Н. ГУСЕВА,  
Е.А. ШУВАЕВА

С

О

О

Т

В

Е

Т

С

Т

В

У

Е

Т

 

Т

Р

Е

Б

О

В

А

Н

И

Я

М

едерального

государственного
образовательного
стандарта

2-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2020

Р е ц е н з е н т  –  учитель математики ГБОУ лицей 1501 СП № 1388  
высшей квалификационной категории Г.В. Миронова.

6+

Издание допущено к использованию в образовательном процессе  
на основании приказа Министерства образования и науки РФ от 09.06.2016 № 699.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-408-05261-5

Рурукин А.Н.
Сборник задач по алгебре. 9 класс / А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, 
Е.А. Шуваева. – 2-е изд., эл. – 1 файл pdf : 82 с. – Москва : ВАКО, 2020. – 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; 
экран 10″. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-408-05261-5

Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта и программы по математике для 9 класса общеобразовательной школы. Расположение задач соответствует структуре программы и учебнику 
под редакцией Ю.Н. Макарычева. Дополнительно включены задачи, соответствующие 
УМК под редакцией А.Г. Мордковича. Приведены задачи трех уровней сложности – от 
элементарных и базовых до задач повышенной сложности, конкурсных и олимпиадных. Ко всем задачам приведены ответы, к наиболее сложным даны методические 
указания.
Пособие предназначено для учащихся и преподавателей общеобразовательных 
школ для классной и домашней работы, проведения самостоятельных, контрольных 
и зачетных работ, подготовки к олимпиадам.

Р87

Электронное издание на основе печатного издания: Сборник задач по алгебре. 
9 класс / А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, Е.А. Шуваева. – Москва : ВАКО, 2016. – 80 с. – 
ISBN 978-5-408-02745-3. – Текст : непосредственный.

УДК 373.5
ББК 22.14

УДК 373.5
ББК 22.14

Р87

© ООО «ВАКО», 2016

Предисловие

Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального 
государственного образовательного стандарта и программы по алгебре 
для 9 класса общеобразовательной школы. В сборник включены задачи по всем разделам алгебры, изучаемым в 9 классе средней школы. 
Содержит более 500 задач трех уровней сложности. В уровень А включены простые задачи, предназначенные для отработки элементарных 
навыков решения задач. В уровне B представлены базовые задачи, соответствующие обязательному уровню программы. В уровень C входят 
задачи повышенной сложности, олимпиадные и конкурсные задачи. 
Как правило, представлены парные задачи, позволяющие отрабатывать пройденный материал в школе и закреплять его дома. В конце 
пособия приведены ответы, к наиболее сложным задачам даны и методические указания.
Все задачи данного сборника сгруппированы по темам:
I. Квадратичная функция.
1. Функции и их свойства.
2. Квадратный трехчлен.
3. Квадратичная функция и ее график.
4. Степенная функция. Корень n-й степени.
II. Уравнения и неравенства с одной переменной.
5. Уравнения с одной переменной.
6. Неравенства с одной переменной.
III. Уравнения и неравенства с двумя переменными.
7. Уравнения с двумя переменными и их системы.
8. Неравенства с двумя переменными и их системы.
IV. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
9. Арифметическая прогрессия.
10. Геометрическая прогрессия.
V. Элементы комбинаторики и теории вероятностей.
11. Элементы комбинаторики.
12. Начальные сведения из теории вероятностей.
Задачник предназначен для учеников и учителей общеобразовательных и профильных школ. Наличие в пособии задач разного уровня сложности позволяет использовать его для классной и домашней 
работы, проведения самостоятельных, контрольных и зачетных работ, 
подготовки к олимпиадам и ОГЭ. Сборник задач апробирован в общеобразовательных классах и в классах с углубленным изучением математики.

I. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

1. Функции и их свойства

У р о в е н ь  А

1. Найдите f(-1), f(0) и f(2), если:
а) f(x) = 2x + 3;
г) f(x) = x2 + 3x;

б) f(x) = 2 - 3x;
д) f x
x
x
1;
( ) =
−

в) f(x) = x2 - 4;
е) f x
x
x
1
2.
( ) =
+
+

2. а) Даны функции f x
x
x
3
4
( ) =
−
 и h(x) = 2x - 5. Сравните:

1) f(1) и h(1);
2) f 1
2( ) и h(4);
3) f(-2) и h(1).

б) Даны функции y x
x
x
2
6
( ) =
−
 и z(x) = 4x - 3. Сравните:

1) y(-1) и z(0);
2) y(2) и z
1
2 ;
(
)
−
3) y(3) и z(2).

3. а) Найдите значение x, при котором функция, заданная формулой 
f(x) = 5 - 3x, принимает значение:
1) 2;
2) -1;
3) 8.
б) Найдите значение x, при котором функция, заданная формулой 

f x
x
1
2
3
( ) =
+ , принимает значение:

1) -1;
2) 3;
3) 0.

4. Определите, существует ли значение x, при котором значение функции равно 2; 1; 0.

а) g x
x
3
1;
( ) =
+
б) g x
x
5
2
( ) =
+
.

5. Найдите значение x, при котором h(x) = 0:
а) h(x) = -3(x + 1)(x - 2);
в) h x
x
x
2
5
;
( ) =
+
−

б) h(x) = 2(x - 3)(x - 5);
г) h x
x
x
4
2
1 .
( ) =
−
+

6. а) Из множества чисел {-3; -1; 0; 2; 3; 7} выпишите числа:
1) входящие в область определения функции f x
x
2
3;
( ) =
−

2) не входящие в область определения функции g x
x
2
3 .
( ) =
−

б) Из множества чисел {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3} выпишите числа:
1) входящие в область определения функции f x
x
3
4;
( ) =
+

2) не входящие в область определения функции g x
x
4
3.
( ) =
−
−

7. Постройте график функции, заданной формулой:

а) y = 2x - 4;
в) y
x
2;
=

б) y = 6 - 2x;
г) y
x
3.
= −

8. Найдите область определения функции:

а) y = 3x - 6;
д) y
x
x
2
3
2
;
=
+
−

б) y = 1 - 2x;
е) y
x
x
7
10
1 ;
=
+
+

в) y = 2x2 + 3x - 1;
ж) y
x
11;
=
−

г) y = -x2 + 7x + 2;
з) y
x
10
.
=
−

9. а) Найдите область определения и множество значений функции 
y = f (x), график которой изображен на рисунке 1. Чему равно f (1); 
f(2); f(4)?
б) Найдите область определения и множество значений функции 
y = g(x), график которой изображен на рисунке 2. Чему равно g(1); 
g(2); g(4)?

x

y

y = f(x) 

1

1

0
2

2

3

3

4

4

x

y
y = g(x) 

1
–1

1

0
2

2

3

Рис. 1
Рис. 2

10. Не выполняя построения, найдите точки пересечения графика 
функции с осями координат:

а) f x
x
1
2
3;
( ) =
−
в) f x
x
x
2
1;
( ) =
−
−

б) f(x) = 3x + 15;
г) f x
x
x
3
3
2 .
( ) =
+
−

11. а) Постройте график функции f(x) = 2x - 4 на отрезке [-2; 3]. Пользуясь графиком, найдите:
1) множество значений функции;
2) нули функции;
3) промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения:
4) промежутки, в которых функция принимает положительные 
значения;
5) наибольшее и наименьшее значения функции;
6) промежуток возрастания функции.

б) Постройте график функции g(x) = 6 - 3x на отрезке [-1; 3]. Пользуясь графиком, найдите:
1) множество значений функции;
2) нули функции;

3) промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения;
4) промежутки, в которых функция принимает положительные 
значения;
5) наибольшее и наименьшее значения функции;
6) промежуток убывания функции.

12. а) На рисунке 3 изображен график функции y = f (x) на отрезке 
[-5; 5].
Пользуясь графиком, найдите:
1) область определения функции;
2) множество значений функции;
3) наименьшее и наибольшее значения функции;
4) нули функции;
5) промежутки, в которых функция принимает положительные 
значения;
6) промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения;
7) промежутки, на которых функция возрастает;
8) промежутки, на которых функция убывает.
б) На рисунке 4 изображен график функции y = h(x) на отрезке 
[-1; 4].
Пользуясь графиком, найдите:
1) область определения функции;
2) множество значений функции;
3) наименьшее и наибольшее значения функции;
4) нули функции;
5) промежутки, в которых функция принимает положительные 
значения;
6) промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения;
7) промежутки, на которых функция возрастает;
8) промежутки, на которых функция убывает.

y = f(x) 

x

y

2
1
–1
–1
–2
–3
–5

3

0

3
5

8
y = h(x) 

x

y

2
1

1

–1

3

0
3
4
5

8

Рис. 3
Рис. 4

13. а) Из следующего набора функций: y = 2x - 3; y = 3 - 7x; y
x
1
2
3;
=
+
 

y = 3; y = -10x + 1; y = 0,01x + 1 выпишите:
1) возрастающие функции;
2) убывающие функции.
б) Из следующего набора функций: y = 5x + 8; y = -2; y = 10 - 3x; 
y = 0,001x + 2; y = -100x - 3; y = -x + 1 выпишите:
1) возрастающие функции;
2) убывающие функции.

14. Установите соответствие между функциями и множествами, являющимися их областями определения.
а)
А) f(x) = 3 - 2x
Б) g x
x
2
3
( ) =
−
В) h x
x
2
3
( ) =
−
−

1) 3
2;
)
+ ∞
2) (-∞; +∞)
3) 
;
3
2
(−∞ −
б)
А) f(x) = 4x - 10
Б) g x
x
4
10
( ) =
+
В) h x
x
10
4
( ) =
−

1) 
; 5
2
(−∞
2) 
5
2;
)
−
+ ∞
3) (-∞; +∞)

15. Найдите нули функции (если они существуют):

а) y
x
1
2
10;
=
−
г) y = (x - 1)(x - 5);

б) y = -0,4x + 8;
д) y = -15;
в) y = x(x + 2);
е) y = 12.

16. Опишите свойства функций:
а) y(x) = -0,5x + 3;
г) y x
x
3;
( ) = −

б) y(x) = 0,2x - 4;
д) y x
x
1;
( ) =
−

в) y x
x
2;
( ) =
е) y x
x
2.
( ) =
+

17. Задайте формулой какую-нибудь функцию, нулями которой являются числа:
а) -5;
б) 4;
в) -3; 2;
г) -1; 4.

18. Задайте формулой какую-нибудь функцию, областью определения 
которой является:
а) множество всех чисел;
б) множество всех чисел, кроме -1;
в) множество всех чисел, кроме 3;
г) множество [2; +∞);
д) множество (-∞; -3].

19. Найдите все значения x, при которых функция f(x):

а) f(x) = 2x - 7;
в) f x
x
7 ;
( ) =

б) f(x) = 5x + 9;
г) f x
x
5
( ) = −

1) принимает отрицательные значения;
2) принимает положительные значения.

20. а) Дана функция f(x) = -3x + 1, где -2 ≤ x ≤ 3. Найдите область 
значений функции.
б) Дана функция f(x) = 2x - 3, где -3 ≤ x ≤ 2. Найдите область значений функции.

21. а) Дана функция y = 4x - 3. Найдите зависимость переменной x 
от величины y.
б) Дана функция y = -3x + 2. Найдите зависимость переменной x 
от величины y.

22. Высота подъема h (м) тела, брошенного вертикально вверх  

с начальной скоростью v0 (м/с), вычисляется по формуле h
v
g
2

0
2

=
 

(g = 10 м/с2). Определите, при какой скорости v0 высота подъема h 
равна:
а) 20 м;
б) 80 м.

У р о в е н ь  В

23. Найдите f(1) - f(-2), если:

а) f x
x
x
x
3
1 ;
2

( ) =
−
+
в) f x
x
x
1
2;
2

2
( ) =
−
+

б) f x
x
x
x
2
3 ;
2

( ) =
+
+
г) f x
x
x
3
4.
2

2
( ) =
−
+

24. Найдите область определения функции:

а) f x

x

1
1

4
1 ;
( ) =
+
−

г) f x

x
x

5
2

2
8 ;
( ) =
+
−

б) f x

x

2
1

5
2 ;
( ) =
+
−

д) f x
x
x
x

5

14
48;
2
( ) =
−
−
+

в) f x

x
x

4
3

1 ;
( ) =
+
−

е) f x
x

x
x

1
5
6.
2
( ) =
−
+
+

25. Найдите нули функций (если они есть):

а) f x
x
x
x
3
5
4
16
;
2

(
)(
)
( ) =
+
−
−
в) f x
x
x
x
x
2
1
4
3;
2

2
( ) =
−
+
−
+

б) f x
x
x
x
x

3
1

2
4
;

2

2

(
)
( ) =
−
−
г) f x
x
x
x
x
4
4
2 .
2

2
( ) =
−
+
−
−

26. Укажите промежутки возрастания и убывания для следующих 
функций:
а) f x
x
x
4
3
1 ;
( ) =
−
−
в) f(x) = 2|x| - 1;

б) f x
x
x
2
3
1 ;
( ) =
+
+
г) f(x) = 3 - 2|x|.

27. Найдите множество значений функции:

а) f x
x
5
6
2
3;
( ) =
−
−
б) f x
x
7
2
5
2;
( ) =
−
+

в) f x
x
x
3
2
;
( ) =
−
−
д) f x
x
4
;
2
( ) =
−

г) f x
x
x
1
5
;
( ) =
−
−
е) f x
x
9
.
2
( ) =
−

28. Найдите наибольшее значение функции:
а) f(x) = 5 - |x - 1|;
в) f x
x
6
4;
( ) =
−
−

б) f(x) = 4 - |x + 3|;
г) f x
x
3
1.
( ) =
−
+

29. Найдите наименьшее значение функции:
а) f(x) = |x - 2| -3;
в) f x
x
3
1
5;
( ) =
−
+

б) f(x) = 2|x + 1| + 4;
г) f x
x
10
2
15.
( ) =
+
+

30. Найдите значение x, при которых функция:
а) f(x) = |x - 1| - 2;
в) f x
x
1
1;
( ) =
−
−

б) f(x) = -|x + 1| + 3;
г) f x
x
2
1
( ) =
−
+

1) принимает положительные значения;
2) принимает отрицательные значения.

31. Найдите области определения и значений функции:
а) y
x
2
4
3;
=
−
+
б) y
x
6
3
4.
=
−
−

32. а) Дана функция f(x) = x2 + 3, где -2 ≤ x ≤ 3. Найдите область значений функции.
б) Дана функция f(x) = 1 - x2, где -3 ≤ x ≤ 2. Найдите область значений функции.

33. а) Дана функция y
x
x
3
1
.
=
+
−
 Найдите зависимость переменной x 

от величины y.
б) Дана функция y
x
x
3
1.
=
−
+
 Найдите зависимость x от величины y.

34. а) Поезд сначала ехал 2 ч со скоростью 50 км/ч, а затем еще 3 ч 
со скоростью 70 км/ч. Задайте зависимость пройденного пути S (км) 
от времени движения t (ч) (где 0 ≤ t ≤ 5).
б) Поезд сначала ехал 3 ч со скоростью 50 км/ч, а затем еще 2 ч 
со скоростью 70 км/ч. Задайте зависимость пройденного пути S (км) 
от времени движения t (ч) (где 0 ≤ t ≤ 5).

35. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат 
и прямой:
а) y = 3x - 6;
б) y = 4 - 2x.

36. Найдите площадь треугольника, ограниченного осью абсцисс 
и графиком функции:
а) y = 4 - |x|;
б) y = |x| - 2.

37. Найдите f(f(x)), если:
а) f(x) = x + 2;
в) f(x) = 3 - 2x;
б) f(x) = 3 - x;
г) f(x) = 3x - 2.

38. Найдите f(x), если:
а) f(x + 3) = 2x - 1;
в) f(2x - 1) = 3x + 2;
б) f(2 - x) = 2 - 3x;
г) f(2 - 3x) = 4 - 5x.

39. Постройте график функции:

а) y
x
x
x
3
2 ;
2

=
+
з) y
x

x
4

2 ;
2

=
−
−

б) y
x
x
x
3
2
;
2

=
−
и) y
x
x
x
2
1
1
;
2

=
−
+
−

в) y
x
x ;
3

=
к) y
x
x
x
4
4
2
;
2

= −
+
−
−

г) y
x
x ;
3

= −
л) y
x
x
x
3
3
;
2
=
−
−

д) y = 2x + |x| + 1;
м) y
x
x
x
2
2 ;
2
=
+
+

е) y = -2x + |x| - 1;
н) y
x
x

x

6
9

3
;
2

=
−
+
−

ж) y
x
x

9
3 ;
2

=
−
+
о) 
y
x
x

x

4
4

2
.
2

=
−
−
−

У р о в е н ь  С

40. а) Найдите значение выражения f
f

f

6
1

3
,
(
)
(
)
( )
−
+
−
 если 

f x

x
x

x
x

x
x

6, если
2,

5
7, если
2
0

7
, если
0;

,

2
( ) =

≤ −

−
−
<
≤

−
>

б) найдите значение выражения g
g

g

2
0

5
0,6 ,
(
)
( )
( )
−
+
−
 если 

g x

x
x

x
x

x
x

1, если
1,

4
1, если
1
3,

2
6,4, если
3;

2

2
( ) =

−
−
< −

−
+
−
≤
<

−
≥

в) найдите значение h(a2 - 1) при a ∈ (-1; 1), если h(x) = x + |x|;

г) найдите значение s(a2 - 4a + 3) при a ∈ (1; 3), если s x
x
x .
( ) =

41. Найдите количество целых чисел, входящих в область определения функции:

а) f x
x
5
3
;
( ) =
−
−
в) f x
x
x
1
3
2
2;
( ) =
−
−

+
−

б) f x
x
2
5
;
( ) =
−
−
г) f x
x
x
2
5
1
3.
( ) =
−
−
+
−

42. Найдите множество значений функции:

а) y
x
x
x
2
2
3
;
2

=
+
−
+
б) y
x
x

x

5

2
.
2

=
+
−
−