Самостоятельные и контрольные работы по алгебре. 8 класс

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ  
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ  
ПО АЛГЕБРЕ

8 класс

А.Н. РУРУКИН

С

О

О

Т

В

Е

Т

С

Т

В

У

Е

Т

 

Т

Р

Е

Б

О

В

А

Н

И

Я

М

едерального

государственного
образовательного
стандарта

2-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2020

6+

Издание допущено к использованию в образовательном процессе  
на основании приказа Министерства образования и науки РФ от 09.06.2016 № 699.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-408-05257-8

Рурукин А.Н.
Самостоятельные и контрольные работы по алгебре. 8 класс / 
А.Н. Рурукин. – 2-е изд., эл. – 1 файл pdf : 81 с. – Москва : ВАКО, 2020. – 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ;  
экран 10″. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-408-05257-8

В пособии представлены самостоятельные, контрольные и зачетные работы двух 
уровней сложности (базовый и высокий) по всем изучаемым темам курса алгебры 
8 класса. К заданиям приведены ответы. Предлагаемый материал позволяет проводить обучение, текущий контроль и коррекцию знаний.
Издание ориентировано на учителей, школьников и их родителей.

Р87

Электронное издание на основе печатного издания: Самостоятельные и контрольные работы по алгебре. 8 класс / А.Н. Рурукин. – Москва : ВАКО, 2015. – 80 с. – 
ISBN 978-5-408-02136-9. – Текст : непосредственный.

УДК 373.5
ББК 22.14

УДК 373.5
ББК 22.14

Р87

© ООО «ВАКО», 2015

От автора

Настоящий сборник самостоятельных, контрольных и зачетных 
работ по алгебре для 8 класса будет полезен при работе как по УМК 
Ю.Н. Макарычева и др., так и по УМК А.Г. Мордковича (при определенном изменении порядка следования работ).
Предлагаемые задания могут быть использованы на любом этапе 
обучения: при изучении, повторении и закреплении материала, актуализации опорных знаний и др.
В пособии представлены 28 самостоятельных, 10 контрольных 
и 5 зачетных работ. Самостоятельные и контрольные работы приведены в 4 вариантах (два уровня сложности), зачетные работы – в 2 вариантах. Ко всем заданиям даны ответы. На выполнение самостоятельной работы отводится 15–20 мин, контрольной работы – 40–45 мин, 
зачетной работы – 85–90 мин (зачетная работа может проводиться 
факультативно или выдаваться на дом).
Приведенные материалы избыточны и могут быть использованы 
при работе как в классе, так и дома. Рекомендуем задействовать различные формы контроля знаний, так как каждая из них дополняет 
другую.
Преподавательская практика показывает, что предлагаемый подбор задач позволяет эффективно освоить материал 8 класса и подготовить учащихся к ОГЭ и ЕГЭ по изученным темам.
Надеемся, что пособие поможет учителям при подготовке и проведении уроков, а также школьникам при изучении материала, закреплении и систематизации знаний.
Желаем успехов!

Основные темы курса алгебры в 8 классе

Тема 1. Рациональные дроби.
Тема 2. Квадратные корни.
Тема 3. Квадратные уравнения.
Тема 4. Неравенства.
Тема 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики.

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате изучения курса учащиеся должны овладеть следующими навыками и умениями, представляющими обязательный минимум:

• иметь понятие о рациональных выражениях, допустимых значениях переменных;

• уметь выполнять основные операции с рациональными дробями 
и преобразовывать рациональные выражения;

• иметь представление о множестве действительных чисел, различать рациональные и иррациональные числа;

• знать определение арифметического квадратного корня и его основные свойства;

• уметь использовать свойства корня для преобразования иррациональных выражений;

• знать определение квадратного уравнения, уметь решать неполные квадратные уравнения;

• уметь применять формулу корней квадратного уравнения для 
его решения;

• знать прямую и обратную теорему Виета и применять их для решения задач;

• уметь решать дробные рациональные уравнения;
• уметь применять квадратные и дробно-рациональные уравнения 
для решения текстовых задач;

• иметь представление о числовых неравенствах и знать их свойства;

• уметь доказывать числовые неравенства;
• знать основные числовые промежутки;
• уметь решать неравенства и системы неравенств с одной переменной;

• иметь представление о степени с целым отрицательным показателем;

• знать свойства степени с целым показателем и использовать их 
при преобразовании выражений;

• уметь группировать статистические данные и находить их основные характеристики;

• иметь представление об изображении статистических данных 
и знать основные виды диаграмм.

Выполнение заданий и их оценивание

Контрольные и самостоятельные работы по всем разделам и темам 
курса имеют два уровня сложности. При этом варианты 1, 2 соответствуют базовому уровню сложности, варианты 3, 4 – усложненному 
уровню. Варианты одного уровня сложности содержат по пять заданий (примерно равноценной сложности). Самостоятельные работы 
охватывают материал отдельных разделов, контрольные работы – материал всей темы. Задания самостоятельной работы в основном проще 
заданий контрольной работы.
Рекомендуемые критерии оценки:
• 3 решенных задачи – отметка «3»;
• 4 решенных задачи – отметка «4»;
• 5 решенных задач – отметка «5».
Учитывая повышенную сложность вариантов 3 и 4, при подведении итогов к набранным школьниками баллам можно добавить 
1–2 балла (в зависимости от сложности работы).

Зачетные работы (в двух вариантах) соответствуют одному уровню 
сложности. Внутри работы имеется градация по степени сложности 
задач (группы A, B и C). Группа A (пять задач) содержит базовые задания, каждое из которых оценивается в 1 балл, группа B (три задачи) 
соответствует повышенному уровню сложности. Задания оцениваются 
в 2 балла. Группа C (две задачи) содержит самые трудные задания, 
которые оцениваются в 3 балла.
Рекомендуемые критерии оценки:
• 5 баллов – отметка «3»;
• 10 баллов – отметка «4»;
• 13 баллов – отметка «5».
Разумеется, все приведенные рекомендации не являются догмой 
и могут быть пересмотрены в соответствии с реальной ситуацией: количеством часов, отводимых на изучение курса, степенью подготовленности класса, сложностью и значимостью рассматриваемой темы 
и т. д.

САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

1. Преобразование выражений  
(повторение)

В а р и а н т  1

1. Представьте в виде многочлена выражение (4a - 3)(3a + 1) - 12a2. 

Найдите значение этого выражения при a
4
5.
= −

2. Упростите выражение (a + 2b)2 - (a - b)(a + b). Найдите значение 
этого выражения при a = -2, b = 1.

3. Многочлен P = -3x2 + 6x - 3 запишите в виде квадрата двучлена 
с некоторым коэффициентом. Покажите, что при всех значениях переменной значения многочлена P неположительны.

4. Разложите на множители многочлен P = x2 - y2 - x + y.

5. Используя разложение на множители, найдите все корни уравнения (3x + 11)2 = (2x - 1)2.

В а р и а н т  2

1. Представьте в виде многочлена выражение (3a - 2)(2a + 1) - 6a2. 
Найдите значение этого выражения при a = 4.

2. Упростите выражение (2a + b)2 - 4(a + b)(a - b). Найдите значение этого выражения при a = -1, b = 1.

3. Многочлен P = -2x2 + 4x - 2 запишите в виде квадрата двучлена 
с некоторым коэффициентом. Покажите, что при всех значениях переменной значения многочлена P неположительны.

4. Разложите на множители многочлен P = x2 - y2 - x - y.

5. Используя разложение на множители, найдите все корни уравнения (3x - 2)2 = (4x - 5)2.

В а р и а н т  3

1. При всех значениях переменной определите знак выражения 
(4 - 3x)2 – (5x - 2)(5x + 2) + 24(x - 1).

2. Упростите выражение (x + 1)3 + (2 - x)(x2 + 2x + 4) + 3(1 - x)(1 + x). 

Найдите значение этого выражения при x
2
3.
= −

3. Многочлен P = -2x2 + 8xy - 8y2 запишите в виде квадрата двучлена с некоторым коэффициентом. Определите знак многочлена P при 
всех значениях переменных.

4. Разложите на множители выражение 4(3x - 2y)2 - 9(4x + 3y)2.

5. Используя разложение на множители, найдите все корни уравнения x2 + x - 6 = 0.

В а р и а н т  4

1. При всех значениях переменной определите знак выражения 
(3 - 2x)2 + (5 - x)(5 + x) + 12(x - 2).

2. Упростите выражение (x - 1)3 - (x - 2)(x2 + 2x + 4) + 3(x + 1)(x - 1).  

Найдите значение этого выражения при x
1
3.
= −

3. Многочлен P = -12x2 + 12xy - 3y2 запишите в виде квадрата двучлена с некоторым коэффициентом. Определите знак многочлена P 
при всех значениях переменных.

4. Разложите на множители выражение 9(4x - 3y)2 - 4(3x + 2y)2.

5. Используя разложение на множители, найдите все корни уравнения x2 + x - 2 = 0.

2. Рациональные выражения.  
Сокращение дробей

В а р и а н т  1

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении

x
x
x
x
3
6
1
2
1
4
.
2

−
+
−
+
−

2. При каком значении переменной значение дроби x
x
3
2
1
2

−
−
 равно 

нулю?

3. Сократите дробь 
x
x
x
1
2
1

2

2

−
+
−
 и найдите ее значение при x = -0,9.

4. Приведите дробь x
x
1
2
−
−
 к знаменателю x2 - 4.

5. Постройте график функции y
x
x
x
4
4
2
.
2

=
−
+
−

В а р и а н т  2

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении 

x
x
x
x
4
3
9
2
2.
2

+
−
−
+

2. При каком значении переменной значение дроби x
x
5
4
4
2

+
−
 равно 

нулю?

3. Сократите дробь 
x

x
x

1

1
2

2

2

−
+
+
 и найдите ее значение при x = -0,9.

4. Приведите дробь x
x
2
1
−
−
 к знаменателю x2 - 1.

5. Постройте график функции y
x
x
x
2
1
1
.
2

=
−
+
−

В а р и а н т  3

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении 

x
x

x

5
6

3
2
1 .
2 −
+
−
−

2. При каких значениях переменных значение дроби 

x
x
x

x

1
2
3

4
3
1

(
)(
)(
)
−
+
−
−
−
 равно нулю?

3. Сократите дробь x
x
x
2
3
9

2

2
+
−
−
 и найдите ее значение при x = 3,1.

4. Найдите значение выражения a
ab
b
a
ab
b
2
3
4

2
3
,
2
2

2
2
−
+
−
+
 если a
b
a
b
2
4.
+
−
=

5. Постройте график функции y
x
x
4
1
2
1 .
2

=
−
−

В а р и а н т  4

1. Найдите допустимые значения переменной в выражении 

x
x

x

2
3

4
1
3 .
2 −
−
−
−

2. При каких значениях переменных значение дроби 

x
x
x

x

1
3
5

2
3
5

(
)(
)(
)
+
+
−
−
+
−
 равно нулю?

3. Сократите дробь x
x
x
2
4

2

2
−
−
−
 и найдите ее значение при x = -2,1.

4. Найдите значение выражения a
ab
b
a
ab
b
7
2
2
3
,
2
2

2
2
−
+
+
−
 если a
b
b
a
3
2
7.
+
−
=

5. Постройте график функции y
x
x
9
4
3
2 .
2

=
−
−

3. Сумма и разность дробей

В а р и а н т  1

1. Выполните сложение дробей x
x
x
x
2
7
9
10
9
.
2
2
−
−
+
−
−
 Найдите значение 

этого выражения при x = 3,2.

2. Представьте дробь x
x
x
6
5
6

2 +
+
+
 в виде суммы целого выражения 

и дроби.

3. Постройте график функции y
x
x
x

4
3

5

3
.
2

=
−
−
+
−
 Выразите пере
менную x через y.

4. Выражение a
a
ab
b
b
ab
1
1
2
2
+
−
+
+
−
 представьте в виде дроби.

5. Упростите выражение a
a
a
a
3
2
6
6
9
1.
2

2
+
+
−
−
−
−
 Найдите значение 

этого выражения при a = 2,95.

В а р и а н т  2

1. Выполните сложение дробей 
x
x
x
x
2
3
16
7
16
.
2
2
+
−
+
+
−
 Найдите значение 

этого выражения при x = -4,1.

2. Представьте дробь x
x
x
4
3
4

2 −
+
−
 в виде суммы целого выражения 

и дроби.

3. Постройте график функции y
x
x
x

7
2

3

2.
2

=
−
+
+
+
 Выразите перемен
ную x через y.

4. Выражение a
ab
a
b
ab
b
4
4
2
2
+
−
+
+
−
 представьте в виде дроби.

5. Упростите выражение a

a
a

a

2

3
6

2

4
1.
2

2
+
+
−
−
−
−
 Найдите значение 

этого выражения при a
12
3.
= −

В а р и а н т  3

1. Выполните действия с дробями
x
x
x
x

x
x
x
9
2
9
4
14
1

3
2 3
2

5
4
9
.
2

2
2
(
)(
)
+
−
−
+
−
+
−
−
 

Найдите значение этого выражения при x
1
3.
= −

2. Представьте дробь x
x
x
4
7
2

2 +
+
+
 в виде суммы целого выражения 

и дроби.

3. Постройте график функции y
x
x

x

x
x

x
x
6

2

3
4

1
.
2
2

=
+
−
−
+
−
−
+
−
 Выра
зите переменную x через y.

4. Выражение 
x
x

x

x

x
x
x
2
7
9

1

4
3

1

5

1

2

3
2

+
+
−
+
+
+
+
−
−
 представьте в виде 

дроби и найдите ее значение при x = 1,2.

5. Упростите выражение 

a
a
a
a
a
a
1
1
1
1
2
1
4
1
8
1
16
1
.
2
4
8
16
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

В а р и а н т  4

1. Выполните действия с дробями 

x
x
x
x

x
x
x
25
2

25
1

8
3
5
1 5
1
4

1
25
.
2

2
2
(
)(
)
−
−
−
+
−
+
−
−

Найдите значение этого выражения при x
3
5.
=

2. Представьте дробь x
x
x
6
11

3

2 −
+
−
 в виде суммы целого выражения 

и дроби.

3. Постройте график функции y
x
x

x

x
x

x
x
6

3

3
4

4
2.
2
2

=
+
−
+
+
−
−
−
−
+
 

Выразите переменную x через y.

4. Выражение x
x
x

x

x
x
x

16
12

8

3
2

2
4

3

2

2

3
2

−
+
+
+
+
−
+
−
+
 представьте в виде 

дроби и найдите ее значение при x = -1,9.

5. Упростите выражение 

a
a
a
a
a
a
1
1
1
1
2
1
4
1
8
1
16
1
.
2
2
4
8
16
32
−
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+

4. Произведение и частное дробей

В а р и а н т  1

1. Укажите допустимые значения переменной в выражении x

x
x

2
4 .
−

−

 

Представьте это выражение в виде дроби.

2. Выполните умножение дробей x
x
x
x
x
x

6
9

3
9

27

3
9 .
2

2

3
−
+
−
+
⋅
+
−
 Найдите зна
чение этого выражения при x = 6.

3. Выполните деление дробей a
b
a
a
ab
b
a
a
3
2
:
2

2
3
.
2
2

2

+
−
+
+
−
 Найдите значе
ние этого выражения при a = -2b.

4. Упростите выражение 
x
yz
y
z
xy
z
3
2

6
7
: 9

14
.

2
3

2
⋅
Найдите значение 

этого выражения при x = 3, y
1
7,
=
 z = 2.

5. Найдите числа a и b, если при всех допустимых значениях пере
менной x выполнено равенство 
x

x
x

a

x

b

x

4
1

2 2
1
2
2
1
(
)(
)
−
+
+
=
+
+
+
.

В а р и а н т  2

1. Укажите допустимые значения переменной в выражении x

x
x

3
9 .
+

−

 

Представьте это выражение в виде дроби.