Геометрия. 10-11 классы. Практикум по планиметрии и стереометрии. Готовимся к ЕГЭ

Ю.А. Глазков 

Геометрия 

10—11 класс 

Практикум по планиметрии и стереометрии 

Готовимся к ЕГЭ

Москва 
Издательство «Интеллект-Центр» 

2021 

2-е издание, электронное

УДК 514(075.3)
ББК 22.12я721
Г52

Г52
Глазков, Ю. А
Геометрия. 10–11 классы. Практикум по планиметрии и стереометрии. Готовимся к ЕГЭ / 
Ю. А. Глазков. — 2-е изд., эл. — 1 файл pdf : 73 с. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 
2021. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10". — Текст : 
электронный.
ISBN 978-5-907339-86-6

Пособие предназначено для обобщающего повторения курсов планиметрии и стереометрии при подготовке к ЕГЭ. В него включены справочные материалы, рекомендации по осуществлению поиска способов решений задач, многочисленные примеры подробных решений, большое количество задач для самостоятельной 
работы. Пособие может быть полезно не только учащимся старших классов, но и учителям математики, 
преподавателям подготовительных курсов, репетиторам, членам приёмных комиссий вузов.
Автор пособия, профессор Московского педагогического государственного университета Ю. А. Глазков, 
имеет большой опыт подготовки материалов ЕГЭ.

УДК 514(075.3) 
ББК 22.12я721

Электронное издание на основе печатного издания: Геометрия. 10–11 классы. Практикум по планиметрии 
и стереометрии. Готовимся к ЕГЭ / Ю. А. Глазков. — Москва : Издательство «Интеллект-Центр», 2019. — 
72 с. — ISBN 978-5-907157-32-3. — Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских 
прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-907339-86-6
© ООО «Издательство «Интеллект-Центр», 2019
© Ю. А. Глазков, 2019

СОДЕРЖАНИЕ 
 
 
 
ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................4 
 
ГЛАВА 1. ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ........................................................5 
 
Проверочная работа.............................................................................................8 
 
§ 1. Треугольники ...............................................................................................10 
 
§ 2. Четырёхугольники........................................................................................20 
 
§ 3. Окружность. Окружности, вписанные в треугольник и четырёхугольник...........28 
 
§ 4. Окружности, описанные около треугольника и четырёхугольника ....................36 
 
 
ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ.............................................................42 
 
§ 1. Углы и расстояния........................................................................................42 
 
§ 2. Сечения многогранников плоскостью..............................................................54 
 
§ 3. Площади поверхностей тел ............................................................................58 
 
§ 4. Объёмы тел ..................................................................................................62 
 
 
 
ОТВЕТЫ ............................................................................................................69 
 

ВВЕДЕНИЕ 
 
В школьном курсе математики на изучение геометрии отводится до 40% учебного 
времени. Поэтому проверке уровня усвоения геометрического материала учащимися, 
оканчивающими 9 и 11 классы, уделяется серьёзное внимание. Каждая третья задача 
контрольных измерительных материалов (КИМ) обязательного государственного экзамена (ОГЭ) и единого государственного экзамена (ЕГЭ) — геометрическая. В экзаменационные материалы включены задачи базового, повышенного и высокого уровня трудности. Решения задач базового уровня предъявлять не требуется, нужно только записать ответ. Решения задач более высокого уровня необходимо записать. 
 
Геометрические задачи в экзаменационных материалах ЕГЭ относятся к двум разделам: планиметрии и стереометрии, а для ОГЭ используются только планиметрические 
задачи. Большинство планиметрических задач, предъявляемых на выпускных экзаменах, можно отнести к одной из следующих тем: 
 
1) треугольники; 
2) четырёхугольники; 
3) окружности; 
4) окружности, вписанные в треугольники и многоугольники; 
5) окружности, описанные около треугольников и многоугольников. 
 
В стереометрических задачах рассматриваются: 
 
1) призмы; 
2) пирамиды; 
3) цилиндры; 
4) конусы, 
5) сфера (шар). 
 
Во всех задачах на вычисления требуется найти значение одной из геометрических 
величин: 
 
1) расстояния (длины отрезка); 
2) градусной меры угла (тригонометрической функции угла); 
3) площади планиметрической фигуры или поверхности тела; 
4) объёма тела. 
 
Поскольку в данном пособии рассматриваются и планиметрические, и стереометрические задачи, оно может быть полезно учащимся как 11, так и 9 классов. 
 
 
Автор благодарит преподавателя математики Московского колледжа архитектуры 
и строительства № 7 Е.А. Зудину за ряд ценных замечаний, сделанных в процессе 
подготовки пособия. 
 
 

ГЛАВА 1. ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ  
 
Для решения задач необходимо, прежде всего, знать и понимать определения и теоремы школьного курса планиметрии. Неточное знание геометрических утверждений, 
например, пропуск или замена даже одного слова, может полностью исказить их 
смысл, сделать неверной формулировку. А это, в свою очередь, приведёт к ошибкам в 
решении и, соответственно, к неверному ответу. 
Например, утверждение «Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 
90°» становится неверным, если пропустить слово «острых». 
Утверждение «Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны» (признак равенства треугольников) становится неверным утверждением, если пропустить слова «между ними». Тогда равные углы могут лежать против 
пары равных сторон. На рисунке видно, что в этом случае утверждение неверно.  
 

 

В1 

С1 

α 

с 
а 

А1 
 

В2 

С2 

α 

с 
а 

А2 
 

Действительно, могут быть два неравных треугольника А1В1С1 и А2В2С2, имеющих 
равные две стороны и угол. 
Верное утверждение «Вертикальные углы равны» становится неверным, если слово 
«вертикальные» заменить словом «смежные». Дело в том, что в утверждении «Вертикальные углы равны», как и в подавляющем большинстве других, подразумеваются 
слова «любые два», т.е. оно верно для любой пары вертикальных углов. А в паре 
смежных углов один угол может быть острым и тогда второй — обязательно тупой, т.е. 
не любые два смежных угла обязательно равны.  
Итак, утверждение такого типа считается верным, если оно выполняется для любых 
объектов, о которых в нём говорится. Если хотите доказать, что утверждение неверно, 
достаточно привести пример хотя бы одного объекта, для которого выполняется условие утверждения, но не выполняется заключение (вывод). 
Утверждение «Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником» становится неверным, если слово «параллелограмм» заменить словом «четырёхугольник». 
Например, прямоугольная трапеция — четырёхугольник с прямым углом, но не прямоугольник. 
Неосознанная подмена одного понятия другим — одна из наиболее распространённых 
причин ошибок в решении задач. 
 
Пример 1. 
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает прямую ВС в точке М. Найдите периметр параллелограмма, если МВ = 5, МС = 2. 
 
Решение. 
В условии задачи нет указаний на взаимное расположение точек В, С и М. Поэтому 
следует рассмотреть все возможные случаи. Их два: 
 
1) точка М — между точками В и С; 
2) точка С — между точками В и М. 

A 

B 
M 
C 

D
A

B
M 
C 

D 

В первом случае сторона ВС = 5 + 2 = 7, во втором случае ВС = 3. 
Т.к. АМ — биссектриса угла А, и BC
AD
, то 
BAM
BMA
∠
= ∠
, следовательно, треугольник АВМ равнобедренный. Поэтому ВА = ВМ.  
Поскольку ABCD — параллелограмм, то АВ = CD, AD = BC. 
Поэтому в первом случае периметр параллелограмма равен 24. Во втором случае периметр равен 16.  
Ответ: 24; 16. 
 
Типичная ошибка при решении этой задачи – подмена понятия «прямая ВС» понятием «сторона ВС» или «отрезок ВС». В результате такой подмены остаётся только 
один (первый) вариант решения и, соответственно, только один ответ. Поэтому необходимо внимательно читать текст задачи, проверять, правильно ли поняты данные. 
Отметим, что на рисунках изображена биссектриса острого угла параллелограмма. 
Но угол А может быть также тупым или прямым (прямоугольник — частный случай 
параллелограмма). Поэтому стоит убедиться, что и при этих условиях получатся те же 
ответы. Сделайте это самостоятельно. 
При решении геометрических задач важно помнить все определения и теоремы, иначе можно получить неверный ответ. 
 
Пример 2. 
Две стороны равнобедренного треугольника равны 6 и 13. Найдите его периметр. 
 
Решение. 
Т.к. в условии задачи не сказано, какая из сторон является основанием треугольника, а какая — боковой стороной, нужно рассмотреть два случая: 
1) основание равно 13, соответственно, боковая сторона равна 6; 
2) основание равно 6, а боковая сторона равна 13. 
В первом случае вторая боковая сторона треугольника также равна 6, поэтому сумма 
боковых сторон равна 12. Но 12<13, т.е. получилось, что сумма двух сторон треугольника меньше его третьей стороны, а это противоречит неравенству треугольника. Значит, треугольника с такими сторонами не существует. 
Во втором случае сумма боковых сторон треугольника больше его основания, следовательно, такой треугольник существует, и можно вычислить его периметр: 6 + 13 + 13 = 32. 
Ответ: 32. 
 
Если же забыть о неравенстве треугольника, то получим два значения периметра, 
одно из которых неверное. 
В формулировках определений и теорем важную роль играют союзы. 
Например, сравнивая углы, образованные при пересечении двух прямых (допустим, 
а и b) третьей прямой, можно выяснить, параллельны ли эти прямые а и b: 
Если при пересечении двух прямых а и b третьей прямой 
а) равны накрест лежащие углы (∠1=∠2) 
или 
б) равны соответственные углы (∠1=∠3), 
или 
в) сумма односторонних углов равна 180○ (∠1+∠4=180○), то 
прямые а и b параллельны (а || b). 
Т.е. если выполняется хотя бы одно (любое) из условий а) — в), 
можно утверждать, что а || b. 
И ситуация совершенно иная, если рассматриваются свойства параллельных прямых. 
Если известно, что прямые а и b параллельны, то 
а) равны накрест лежащие углы (∠1=∠2) 
и 
б) равны соответственные углы (∠1=∠3), 
и 
в) сумма односторонних углов равна 180○ (∠1+∠4=180○). 
В этом случае, если а || b, то верны все три утверждения а) — в). 

a

b
1 

2 
3 
4 

Н

А

В
С

О 

K

5 

3 

Ещё очень важно понимать, что если какое-то утверждение верно, то обратное может 
быть и неверным. 
Например, практически все учащиеся знают теорему: «Если два угла — вертикальные, то они равны». 
Обратное утверждение: «Если два угла равны, то они — вертикальные», — неверное. 
Достаточно привести опровергающий пример (контрпример): «Углы при основании 
равнобедренного треугольника равны». Эти углы не являются вертикальными. 
Трудность геометрии состоит в том, что зачастую для решения даже не очень сложных задач требуется применить большое количество определений и теорем. 
 
Пример 3. Высоты AH и BK равнобедренного треугольника ABC с основанием BC пересекаются в точке O так, что BO = 5, OK = 3. Найдите AH. 
 
Решение.  
Высота AH равнобедренного треугольника ABC является и 
его биссектрисой. Значит, и отрезок AO — биссектриса треугольника ABK, а потому выполняется равенство: 
BO : OK = AB : AK 
(свойство биссектрисы треугольника). 
Отсюда 
AK : AB = 3 : 5. 
Пусть 
= 3
AK
x , тогда 
= 5
AB
x , и в прямоугольном треугольнике ABK  
(
)
(
)
(
)
−
=
+
2
2
2
5
3
5
3
x
x
. 

Следовательно, 
=
2
16
64
x
, т.е. 
= 2
x
. 
Итак, 
= 10
AB
, 
= 6
AK
. 
Поскольку 
=
AC
AB , получаем: 
=
−
=
10
6
4
KC
. 
И в прямоугольном треугольнике BCK  
=
+
2
2
2
8
4
BC
. 
Отсюда получаем: 
= 4 5
BC
. 
Используя дважды формулу площади для треугольника ABC , получаем: 
⋅
=
⋅
BC AH
AC BK , 
т.е. 

⋅
=
⋅
4 5
10 8
AH
. 
Следовательно, 

=
=
20
4 5
5
AH
. 

Ответ: 4 5 . 
 
 
В представленном решении использовались следующие геометрические факты: 
 
1. Определение равнобедренного треугольника. 
2. Определение высоты треугольника. 
3. Свойство высоты равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию. 
4. Определение биссектрисы треугольника. 
5. Свойство биссектрисы треугольника: отрезки, на которые биссектриса треугольника разделяет его сторону, пропорциональны прилежащим к ним сторонам. 
6. Определение прямоугольного треугольника. 
7. Теорема Пифагора. 
8. Теорема о площади треугольника. 
Кроме того, потребовалось умение составлять пропорцию и, используя основное 
свойство пропорции, вычислять ее неизвестный член. 
 
Предлагаем проверить знание некоторых определений и теорем по планиметрии. 
 

Проверочная работа 
 
Выясните, верны ли следующие утверждения.  
 
1) 
Если сумма двух углов равна 180°, то эти углы смежные.  

2) 
Сумма вертикальных углов равна 180°. 

3) 
Сумма смежных углов равна 180°. 

4) 
Если два угла с общей вершиной равны, то они вертикальные. 

5) 
Если углы вертикальные, то они равны. 

6) 
Если две прямые а и b перпендикулярны третьей прямой с, то а и b перпендику
лярны. 

7) 
Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то а и b параллельны. 

8) 
Если две прямые а и b перпендикулярны третьей прямой с, то а и b параллельны. 

9) 
Если три угла одного треугольника равны соответственно трём углам другого тре
угольника, то такие треугольники равны. 

10) Если катеты одного прямоугольного треугольника равны катетам другого треуголь
ника, то такие треугольники равны. 

11) Если гипотенуза одного прямоугольного треугольника равна гипотенузе второго 

треугольника, то такие треугольники равны. 

12) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон. 

13) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. 

14) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 

15) Сумма острых углов треугольника равна 90°. 

16) Сумма углов треугольника равна 180°. 

17) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 180°. 

18) Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. 

19) Высота равнобедренного треугольника является его медианой. 

20) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является 

высотой этого треугольника. 

21) Сумма противолежащих углов параллелограмма равна 180°. 

22) Сумма противолежащих углов равнобедренной трапеции равна 180°. 

23) Сумма углов трапеции, прилежащих к одной стороне, равна 180°. 

24) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. 

25) Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, является параллелограммом. 

26) Четырёхугольник, две стороны которого параллельны, является параллелограммом 

или трапецией. 

27) Четырёхугольник, в котором две стороны параллельны и две стороны равны, явля
ется параллелограммом. 

28) Противоположные стороны трапеции попарно параллельны. 

29) Противоположные стороны параллелограмма попарно равны. 

30) Диагонали равнобедренной трапеции пересекаются и точкой пересечения делятся 

пополам. 

31) Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 

32) Диагонали равнобедренной трапеции равны. 

33) Параллелограмм, диагонали которого равны, является ромбом. 

34) Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 

35) Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 

36) Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником. 

37) Диагонали прямоугольника равны. 

38) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то та
кие треугольники подобны. 

39) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого 

треугольника, то такие треугольники подобны. 

40) Отношение площадей подобных треугольников равно отношению их периметров. 

41) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату отношения их сход
ственных сторон. 

42) Площадь треугольника равна половине произведения длин стороны и высоты, про
веденной к этой стороне. 

43) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов. 

44) Площадь параллелограмма равна произведению длин двух его смежных сторон. 

45) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. 

46) Центральный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. 

47) Сумма противолежащих углов четырёхугольника, вписанного в окружность, равна 360°. 

48) Суммы противолежащих сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны. 

49) Площадь круга радиуса R равна π
2
2 R
. 

50) Длина окружности радиуса R равна π
2 R . 

Номера верных утверждений: 3; 5; 7; 8; 10; 13; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 29; 31; 32; 
35; 36; 37; 38; 41; 45; 48; 50. 
 

§ 1. Треугольники 
 
В задачах, относящихся к теме «Треугольники», требуется вычислить величины углов или отрезков, площади треугольников. Для их решения требуется использовать определения и свойства углов различных видов (острых, тупых, прямых, вертикальных 
смежных и т.д.), признаки равенства треугольников, свойства треугольников различных видов (равнобедренного, прямоугольного и др.), их медиан, высот и биссектрис, 
находить равные и подобные треугольники, уметь вычислять площадь треугольника 
разными способами. Поэтому полезно иметь под рукой учебник или справочник.  
Наиболее просто задачи на вычисление сторон, углов и площадей решаются в прямоугольных треугольниках. Для «решения» прямоугольных треугольников необходимо 
знать, что  
1) Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов 
(теорема Пифагора). 
2) Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего этому углу катета к гипотенузе, косинус — отношению прилежащего катета к 
гипотенузе, тангенс — отношению противолежащего углу катета к прилежащему. 
3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов или 
половине произведения гипотенузы и проведенной к ней высоты, или половине 
произведения гипотенузы, катета и синуса угла, заключенного между ними. 
Перечисленным утверждениям соответствуют следующие формулы. 
 
Пусть в треугольнике CDE 
=
=
=
CE
d,
ED
c,
CD
e,  
∠
=
°
⊥
90 ,
D
DK
CE  и 
=
DK
h . Тогда 

1) 
=
+
2
2
2
d
e
c  

2) 
 
 
 
sin
,
cos
,
tg
c
e
c
C
C
C
d
d
e
=
=
=
 

 

 

 
sin
tg
cos
C
C
C
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 

C 

D 
E 

K 

 

3) 
 
0,5
,
0,5
,
0,5
sin
S
c e
S
d h
S
d c
E
=
=
=
⋅
 

Полезно также помнить, что синус одного острого угла прямоугольного треугольника 
равен косинусу другого его острого угла, например, sinC = cosE, cosC = sinE. Полезно 
также помнить основное тригонометрическое тождество: 
α +
α =
 
  
2
2
sin
cos
1 . По этой 
формуле, зная синус острого угла прямоугольного треугольника, можно найти его косинус, и наоборот. 
Если условия задачи позволяют установить, что данный треугольник прямоугольный, то вычисления неизвестных элементов становятся проще. 
Признаком прямоугольного треугольника служит, например, теорема, обратная теореме Пифагора: «Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов 
двух других его сторон, то треугольник прямоугольный».  
Еще одним признаком является равенство суммы двух углов треугольника 90°. 
 
Пример 4. В треугольнике АВС ∠
=
°
90
C
, 
 
sin
0,6
A =
, АС = 8. Найдите АВ. 
Решение. 
Стороны АВ и АС связаны с углом А соотношением:  

 
cos
AC
A
AB =
.       (*) 

Значит, чтобы найти АВ, нужно вычислить cosА. Используя основное тригонометри
ческое тождество, получим: 
2
2
0,6
cos
1
A
+
=
. Откуда 
 
2
cos
1
0,6
A = ±
−
. Косинус острого 
угла положительный, следовательно, 

 
cos
0,8
A =
. 

Из формулы (*) получаем: 8
0,8
AB =
. Откуда 
=
=
8
10
0,8
AB
.  

Ответ: 10. 

Пример 5. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20. Найдите высоту, 
проведенную к гипотенузе. 
Решение. 
Пусть дан треугольник АВС с прямым углом С. Тогда 
0,5
0,5
S
AC CB
AB h
=
⋅
=
⋅
, 
где h — высота треугольника, проведенная к гипотенузе. Отсюда получаем: 
15 20
AB h
⋅
=
⋅
. 
По теореме Пифагора  

2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
15
20
3 5
4 5
5 3
4
25
AB
AC
BC
.
=
+
=
+
=
+
=
+
=
 

Итак, 15 20
25 h
⋅
=
⋅
, следовательно, 
15 20
12
25
h
⋅
=
=
. 

Ответ: 12. 
Замечание. Обратите внимание: найти неизвестную сторону или высоту треугольника 
можно, вычислив его площадь по двум разным формулам! 
 
Пример 6. В треугольнике KMT 
15,
12,
9
KM
MT
TK
=
=
=
. Найдите высоту треугольника, проведенную к его большей стороне. 
Решение. 
Поскольку 
2
2
2
12
9
15
+
=
, треугольник KMT является прямоугольным, а его гипотенуза — наибольшая сторона KM — равна 15. Используя две формулы площади прямо
угольного треугольника, получаем: 0,5 15
0,5 12 9
h
⋅
⋅
=
⋅
⋅
. Отсюда 
12 9
7,2
15
h
⋅
=
=
. 

Ответ: 7,2. 
 
Наиболее важными для решения произвольных (не прямоугольных) треугольников 
являются три теоремы: 
1) Теорема косинусов.  
2) Теорема синусов.  
3) Теорема Герона. 
 
Перечисленным утверждениям соответствуют следующие формулы. 
 
Пусть в треугольнике CDE 
,
,
CE
d
DE
c
CD
e
=
=
=
. Тогда 

1) 
2
2
2
d
c
e
=
+
 
2
cos
c e
D
−
. 

2) 

 
 
 
sin
sin
sin
C
D
E
c
d
e
=
=
. 

 

С 

D 
E 

 

3) 
(
)(
)
S
p(p
c) p
d
p
e
=
−
−
−
, где 
2
c
d
e
p
+
+
=
. 

Пример 7. В треугольнике ABC 
135
B
∠
=
° , 
3 2
AB =
, 
5
AC =
. Найдите площадь 
треугольника. 
Решение. Пусть BC
x
=
. Тогда по теореме косинусов получаем: 

 
2
2
2
2
cos
AC
AB
x
AB x
B
=
+
−
⋅
⋅
. 
Подставив данные, получим: 

(
)
 
2
2
2
5
3 2
2 3 2
cos135
x
x
=
+
−
⋅
⋅
⋅
° , 

т.е. 
2
25
18
6
x
x
=
+
+
 или 
2
6
7
0
x
x
+
−
=
. 
Корни уравнения — числа —7 и 1. Следовательно, длина стороны BC равна 1. 

Применив формулу 
1
sin
2
ABC
S
AB BC
B
=
⋅
⋅
, найдем площадь треугольника: 

1
1
3 2 1
1,5
2
2
ABC
S
=
⋅
⋅
⋅
=
. 

Ответ: 1,5. 

B 

3 2  
135° 

A
5 
C