Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». 2019-2020 гг.

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ТРУДЫ СЕМИНАРА
«КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ
В МЕХАНИКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ»

2019–2020 гг.

ИЗДАТЕЛЬСТВО С.-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2 0 2 0

ББК 22.25
Т78

Р е д а к ц и о н н а я к о л л е г и я:
канд. физ.-мат. наук, доц. А. Л. Смирнов (редактор) (СПбГУ),
канд. физ.-мат. наук, доц. И. М. Архипова (отв. секретарь)
(ВИ(ИТ) ВА МТО),
PhD, sr. lecturer Е. И. Атрощенко (Университет Нового Южного Уэльса,
Австралия),
д-р физ.-мат. наук, проф. С. М. Бауэр (СПбГУ),
канд. физ.-мат. наук, доц. Е. Б. Воронкова (СПбГУ),
д-р техн. наук, проф. В. Н. Емельянов (БГТУ),
д-р физ.-мат. наук, проф. Е. Ф. Жигалко (ПГУПС),
д-р физ.-мат. наук, проф. Г. И. Михасев (БГУ, Беларусь),
д-р физ.-мат. наук, проф. С. П. Помыткин (СПб ГУАП),
д-р техн. наук, проф. С. В. Сорокин (Университет Ольборга, Дания),
д-р физ.-мат. наук, проф. П. Е. Товстик (СПбГУ),
д-р физ.-мат. наук, проф. С. Б. Филиппов (СПбГУ),
канд. физ.-мат. наук Д. В. Франус (НПО «УниШанс»).

Печатается по постановлению Редакционно-издательского совета
математико-механического факультета
Санкт-Петербургского государственного университета

T78
Труды семинара «Компьютерные методы в механике сплошной среды». 2019–2020 гг. — СПб.: Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2020. — 126 с.
ISSN 2218-7421

В сборнике представлены результаты исследований по механике
сплошной среды, в основном задач колебаний и устойчивости упругих
конструкций. Характерной чертой исследований является использование
разнообразных компьютерных методов: методов вычислительной механики сплошной среды, компьютерной алгебры, визуализации и др. Анализ опирается на сопоставление данных, собранных в различных подходах, причем наиболее часто сопоставляются результаты, полученные
асимптотическими методами и по методу конечных элементов.
Издание адресовано исследователям, специализирующимся в области применения компьютерных методов в механике сплошной среды.

ББК 22.25

Семинар проводится
Санкт-Петербургским государственным университетом
совместно с Петербургским государственным университетом путей сообщения

Спонсор издания — некоммерческая организация
«Фонд содействия математическому образованию
и поддержки исследований в области точных наук “УниШанс”»
при финансовой поддержке инвестиционно-строительной группы «МАВИС»

c⃝ Санкт-Петербургский государственный университет, 2020

С О Д Е Р Ж А Н И Е

Смольников Б. А., Смирнов А. С. Новый треугольник в задачах классической механики и биодинамики . . . . . . . . .
5
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
2. Формирование критерия оптимизации. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3. Критерии, основанные на разностях углов . . . . . . . . . . . . . .
9
4. Критерии, основанные на разностях сторон . . . . . . . . . . . . .
13
5. Приложения к классической механике . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
6. Приложения к биодинамике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
7. Заключение .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

Смирнов А. А., Казаринов Н. А.
Эффекты разрушения конечных цепочек линейных осцилляторов при импульсном нагружении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1. Исследование поведения одного осциллятора при импульсном нагружении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
2. Анализ цепочки осцилляторов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3. Решение задачи с континуальной моделью и сравнение
результатов с дискретной моделью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4. Заключение .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33

Смирнов А. С., Смольников Б. А. Оптимизация цепной линии
35
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
2. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
3. Построение и анализ математической модели . . . . . . . . . . .
38
4. Двухфакторный критерий оптимизации. . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5. Разновысотная цепная линия .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
6. Равнопрочная цепная линия .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
7. Заключение .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Додонов В. В. Движение спутника Земли после фиксирования величины его ускорения в апогее . . . . . . . . . . . . . . . .
51
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
2. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3. Применение первой теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4. Применение второй теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
5. Заключение .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

Дзебисашвили Г. Т. Оценка частот колебаний цилиндрической оболочки с прямоугольным поперечным сечением, сопряженной с пластиной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Содержание

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
2. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3. Сопряжение с пластиной равной толщины . . . . . . . . . . . . . .
—
4. Анализ частот при изменении толщины пластины . . . . . .
71
5. Заключение .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72

Карачева Н. В., Филиппов С. Б.
Колебания стержня с переменным сечением. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
2. Исследование балки с переменным сечением . . . . . . . . . . . .
74
3. Вычисление с помощью асимптотического метода . . . . . .
75
4. Численное моделирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
5. Исследование балки со ступенчатым сечением . . . . . . . . . .
79
6. Полученные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
7. Заключение .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

Бауэр С. М., Крылова А. С. Деформация пологих сферических сегментов под действием внутреннего давления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
—
2. Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3. Уравнения общей уточненной нелинейной теории Амбарцумяна изгиба неоднородных пологих ортотропных оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
4. Сравнение результатов, полученных по теории Амбарцумяна и по классической теории. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
5. Сравнение решений, полученных по линейной и нелинейной теориям Амбарцумяна. Влияние анизотропии . . . . . .
93
6. Влияния неоднородности, величины давления и кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
7. Область отрицательных напряжений .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
8. Заключение .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Резюме докладов, не вошедших в сборник . . . . . . . . . . . . . . . . .
100

Об авторах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107

Summaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112

Рефераты .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121

НОВЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК В ЗАДАЧАХ
КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
И БИОДИНАМИКИ

Б. А. Смольников, А. С. Смирнов

В статье рассматривается задача о нахождении самого разностороннего, т. е. наиболее асимметричного, треугольника. Обсуждаются вопросы формирования различных критериев качества, связанных с максимизацией разностей углов или сторон треугольника и характеризующих
степень его асимметрии. Проводится подробный анализ как аддитивных, так и мультипликативных критериев, в ходе которого выявляются
их достоинства и недостатки. Показано, что наиболее адекватным является критерий качества, основанный на максимизации произведения
разностей сторон треугольника, и в результате его использования можно получить конкретную конфигурацию треугольника. Помимо этого,
обсуждаются практические приложения наиболее асимметричного треугольника, связанные как с задачей о пассивной стабилизации искусственного спутника Земли на круговой орбите в ньютоновом силовом
поле, так и с биодинамикой руки человека. Полученные результаты
позволяют сделать вывод о целесообразности использования подобного мультипликативного критерия и в других задачах оптимизации в
математике и механике.

1. Введение

Треугольник — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Как известно, эти точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. История треугольника началась
в глубокой древности: основные его свойства были известны еще
с ранней античности, и постепенно образовалась целая ветвь геометрии — тригонометрия, без которой просто немыслимы решения
множества практических задач математики и механики, физики,
астрономии и др.
Существует две основные классификации треугольников, выделяющие его основные разновидности: по величине углов и по числу

Доклад на семинаре 5 ноября 2019 г.
c⃝
Б. А. Смольников, А. С. Смирнов, 2019

Б. А. Смольников, А. С. Смирнов

равных сторон. Первая классификация разделяет треугольники:
1) на остроугольные (все три угла меньше 90◦),
2) тупоугольные (один угол больше 90◦),
3) прямоугольные (один угол равен 90◦).
Вторая классификация разделяет треугольники:
1) на разносторонние (все три стороны различны),
2) равнобедренные (две стороны равны),
3) равносторонние (все три стороны равны).
Видно, что в этих классификациях симметрия треугольника играет важную роль. Ясно, что равносторонний (правильный) треугольник является самым симметричным среди всех треугольников. Возникает вопрос: можно ли выделить среди разносторонних
треугольников самый асимметричный (т. е. самый неправильный)
треугольник? Как будет показано в дальнейшем, существуют практические задачи, в которых асимметрия треугольника играет важную роль. Поэтому имеет смысл формально определить эту характеристику треугольника — степень его асимметрии — и выявить ее
экстремальное значение. Именно этот вопрос и будет рассмотрен
ниже в настоящей статье.

2. Формирование критерия оптимизации

Чтобы корректно поставить вопрос о нахождении наиболее
асимметричного треугольника, необходимо сформировать адекватный критерий качества, от выбора которого и будет зависеть конечный результат. Для начала заметим, что величину асимметрии
можно задавать либо разностями углов треугольника, либо разностями его сторон, либо разностями его высот, медиан, биссектрис и
прочих геометрических характеристик. Будем рассматривать здесь
лишь первые два случая как представляющие наибольший интерес.
Математически это означает, что в первом случае в качестве критериев асимметрии будут выступать

J1 =|ϕ3−ϕ2| → max, J2 =|ϕ1−ϕ3| → max, J3 =|ϕ2−ϕ1|→max, (1)

тогда как во втором случае эти критерии примут вид

J1 =|A3−A2| → max, J2 =|A1−A3|→max, J3 =|A2−A1|→max, (2)

Новый треугольник в задачах классической механики и биодинамики
7

где ϕ1, ϕ2, ϕ3 — углы треугольника, а A1, A2, A3 — стороны этого треугольника, противолежащие данным углам (рис. 1). Эти совокупности величин связаны друг с другом посредством теоремы
синусов Ai = 2R sin ϕi, где R — радиус описанной окружности, играющий роль масштабного параметра.

A

R
φ1
R

R
1
A3

A2

φ2

φ3

Рис. 1. Обозначения углов и сторон треугольника

Ясно, что в каждой ситуации (1) и (2) мы имеем три критерия
качества J1, J2, J3, тогда как варьируемых параметров будет всего
лишь два — в их качестве проще всего принять углы ϕ1 и ϕ2 (третий угол ϕ3 = π − ϕ1 − ϕ2 и связан с ϕ1 и ϕ2). Поэтому вполне
естественно проводить максимизацию этих критериев совместно, с
учетом их взаимного влияния, т. е. путем объединения этих критериев в некоторую «композицию» (термин Вольтерра, [1]), отражающую их функциональное поведение. Такие композиции могут
иметь различный вид. Важно подчеркнуть, что для решения полученной многокритериальной задачи в принципе не существует
строго обоснованной процедуры. Однако поскольку в процессе анализа того или иного построенного критерия качества мы получаем
в конечном счете вполне определенное решение, то представляется
необходимым оценить его и сопоставить с решениями, полученными при использовании других критериев [2].
Переходя теперь к обсуждению критериев качества, отметим,
что простейшими классами алгебраических композиций частных
критериев Ji являются аддитивные композиции J = λiJ1 (представляющие линейную свертку критериев Ji с некоторыми ве

Б. А. Смольников, А. С. Смирнов

совыми коэффициентами λi) и мультипликативные композиции
J = Ji (представляющие произведение частных критериев Ji) [3].
Класс аддитивных критериев нашел довольно широкое применение
в теории автоматического управления, несмотря на свой существенный недостаток — необходимость подбора весовых коэффициентов,
причем перебрать все возможные варианты невозможно в силу их
бесконечного количества [4]. Выбор этих коэффициентов еще более
затруднен в том случае, когда частные критерии Ji в силу своей
различной физической природы будут иметь различную размерность, и в таком случае необходимо предварительно некоторым образом их нормировать, т. е. обезразмеривать. Обычно поиск весовых коэффициентов сводится либо к использованию формальных
процедур, либо к применению экспертных оценок [5]. Отметим, что
в рассматриваемой задаче все критерии Ji как в случае (1), так
и в случае (2) имеют одну размерность и являются равноправными, а потому все весовые коэффициенты могут быть приняты равными единице, что вполне логично. К сожалению, во многих других задачах оптимизации этого сделать нельзя, поэтому адекватное
конструирование аддитивных критериев является весьма затруднительным. Именно этого недостатка, связанного с определением весовых коэффициентов, лишены мультипликативные критерии, позволяющие более просто получить результирующий критерий, который никоим образом не будет зависеть от этих коэффициентов [6].
Следует подчеркнуть, что подобные критерии используются при
расчете коэффициентов полезного действия различных подвижных
объектов, а также они нашли применение в задачах динамического
программирования и определения вероятности безотказной работы
сложных изделий [7, 8]. Кроме того, в последнее время в качестве
таких критериев выступают энерго-временные критерии в различных задачах как земной, так и небесной механики [9, 10]. Все это
говорит о целесообразности построения мультипликативных критериев качества для широкого круга задач математики и механики.
Далее будут рассмотрены как аддитивные, так и мультипликативные критерии в каждом из двух случаев (1) и (2). На первый
взгляд, эти совокупности должны приводить к одному и тому же
конечному результату, поскольку, казалось бы, чем больше различаются углы треугольника, тем сильнее различаются и его стороны.

Новый треугольник в задачах классической механики и биодинамики
9

Однако, как мы увидим, это будет не так, и данное обстоятельство
напрямую связано с конструированием многофакторного критерия.

3. Критерии, основанные на разностях углов

Обратимся сначала к анализу критериев (1), основанных на
максимизации разностей углов треугольника, и построим для них
сначала аддитивный, а затем и мультипликативный критерий.
1) Аддитивный критерий. Исходя из сказанного выше, сформируем аддитивный критерий качества в форме

J = J1 + J2 + J3 = |ϕ3 − ϕ2| + |ϕ1 − ϕ3| + |ϕ2 − ϕ1| = max
(3)

и исключим из него ϕ3 = π − ϕ1 − ϕ2. В результате получим

J(ϕ1, ϕ2) = |π − ϕ1 − 2ϕ2| + |π − 2ϕ1 − ϕ2| + |ϕ2 − ϕ1| = max. (4)

Отметим, что областью определения критерия (4) являются неравенства ϕ1 ≥ 0, ϕ2 ≥ 0, ϕ1 + ϕ2 ≤ π, определяющие на плоскости переменных ϕ1ϕ2 область в виде прямоугольного треугольника.
График функции двух переменных J(ϕ1, ϕ2) в виде линий уровня
в данной области представлен на рис. 2. Из графика видно, что
функция J имеет максимум в том случае, когда два угла треугольника равны 0◦, а третий — 180◦, т. е. в случае его вырождения в
отрезок. Поэтому можно сделать вывод, что критерий (3) является
непригодным, ибо он не приводит к конкретному невырожденному
результату.
Отметим, что если фиксировать угол ϕ3, например принимая
ϕ3 = π/2 и переходя к частной задаче о поиске наиболее асимметричного прямоугольного треугольника, то после исключения
ϕ2 = π/2 − ϕ1 мы придем к функции одной переменной

J(ϕ1) = |ϕ1| +
π

2 − ϕ1
+
π

2 − 2ϕ1
= π

2 +
π
2 − 2ϕ1
= max,
(5)

где учтено, что угол ϕ1 теперь является острым. Однако полученная функция (5) также имеет максимум на границе, когда один из
углов треугольника равен 0◦, а два других — 90◦.

Б. А. Смольников, А. С. Смирнов

Рис. 2. Аддитивный критерий (разности углов)

Следует подчеркнуть, что иногда вместо критерия (3) строят аддитивный квадратичный критерий, возводя все парциальные критерии в квадрат и избавляясь тем самым от модульных функций:

J = J2
1 + J2
2 + J2
3 = (ϕ3 − ϕ2)2 + (ϕ1 − ϕ3)2 + (ϕ2 − ϕ1)2 = max. (6)

Эта процедура особенно удобна в том случае, когда требуется аналитическое исследование критерия качества, которое влечет за собой вычисление его производных и их последующий анализ. В рассматриваемой задаче такой критерий примет вид

J(ϕ1, ϕ2) = (π −ϕ1 −2ϕ2)2 +(π −2ϕ1−ϕ2)2 +(ϕ2 −ϕ1)2 = max. (7)

Однако применительно к нему мы получим все те же самые результаты, что видно из рис. 3, который качественно отличается от

Новый треугольник в задачах классической механики и биодинамики
11

рис. 2 лишь тем, что теперь линии уровня становятся гладкими. Таким образом, критерий (6) также следует признать непригодным.

Рис. 3. Аддитивный квадратичный критерий (разности углов)

2) Мультипликативный критерий. Обратимся теперь к конструированию мультипликативного критерия качества в форме

J = J1J2J3 = |(ϕ3 − ϕ2)(ϕ1 − ϕ3)(ϕ2 − ϕ1)| = max.
(8)

Исключая отсюда ϕ3 = π − ϕ1 − ϕ2, приведем его к виду

J(ϕ1, ϕ2) = |(π − ϕ1 − 2ϕ2)(π − ϕ2 − 2ϕ1)(ϕ2 − ϕ1)| = max.
(9)

Ясно, что данный критерий обращается в нуль на биссектрисе
ϕ1 = ϕ2, а также на двух прямых ϕ2 +2ϕ1 = π, ϕ1 +2ϕ2 = π. По

Б. А. Смольников, А. С. Смирнов

рис. 4 можно заключить, что критерий (9) принимает максимальное значение в том случае, когда один из углов равен 142◦, другой —
38◦, а третий — 0◦, т. е. опять-таки в вырожденном случае.

Рис. 4. Мультипликативный критерий (разности углов)

Однако, в отличие от аддитивного критерия, здесь при фиксации одного из углов треугольника может существовать внутренний экстремум. Чтобы показать это, рассмотрим задачу о поиске
наиболее асимметричного прямоугольного треугольника, полагая
ϕ3 = π/2. Выражая далее ϕ2 = π/2 − ϕ1, приведем критерий (9) к
виду

J =
ϕ1
π

2 − ϕ1
π

2 − 2ϕ1
=
2ϕ3
1 − 3

2πϕ2
1 + π2

4 ϕ1

= max. (10)

В
силу симметрии
полученной функции
относительно точки
ϕ1 = π/4 для ее качественного исследования можно ограничиться