Моделирование переходных процессов в линейных и нелинейных электрических цепях

Рассмотрены установившиеся и переходные режимы в линейных цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. 
Даны примеры решения задач, а также задачи для самостоятельной работы.

МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 
В ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Учебно-методическое пособие

ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Моделирование переходных процессов в линейных и нелинейных электрических цепях

 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

МОДЕЛИРОВАНИЕ   
ПЕРЕХОДНЫХ  ПРОЦЕССОВ 
В  ЛИНЕЙНЫХ  И  НЕЛИНЕЙНЫХ  
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ  ЦЕПЯХ 

 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2019 

 

УДК 621.3.018.782.3(07) 
ББК 31.27-016.2я73 
М744 
 
Авторы: 
Е. А. Карпов, В. Н. Тимофеев, Ю. С. Перфильев, 
М. Ю. Хацаюк, М. В. Первухин 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
С. А. Галунин, кандидат технических наук, доцент, заведующий 
кафедрой электротехнологической и преобразовательной техники 
Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета им. В. И. Ульянова (Ленина); 
А. И. Алиферов, доктор технических наук, профессор, заведующий 
кафедрой автоматизированных электротехнологических установок 
Новосибирского государственного технического университета 
 
 
 
 
 
 
 
М744 
 
Моделирование переходных процессов в линейных и нелинейных электрических цепях : учеб.-метод. пособие / Е. А. Карпов, В. Н. Тимофеев, Ю. С. Перфильев и др. – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2019. – 190 с. 
ISBN 978-5-7638-4081-0 
 
Рассмотрены установившиеся и переходные режимы в линейных цепях 
с сосредоточенными и распределенными параметрами. Даны примеры решения задач, а также задачи для самостоятельной работы. 
Рекомендовано студентам высших технических учебных заведений. 
 
Электронный вариант издания см.: 
УДК 621.3.018.782.3(07) 
http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 31.27-016.2я73 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7638-4081-0 
© Сибирский федеральный 
университет, 2019 

Введение 

3 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 
 
Предисловие .................................................................................................  
4 
 
Введение ........................................................................................................  
5 
 
Глава 1. Классический метод расчета переходных процессов  
в линейных электрических цепях ................................................................  
7 
Задачи для самостоятельной работы ...........................................................  42 
 
Глава 2. Операторный метод расчета переходных процессов  
в линейных электрических цепях ................................................................  48 
Задачи для самостоятельного решения .......................................................  72 
 
Глава 3. Применение переходных и импульсных характеристик  
для расчета переходных процессов в линейных цепях .............................  77 
Задачи для самостоятельного решения .......................................................  92 
 
Глава 4. Переходные процессы в цепях с распределенными  
параметрами ...................................................................................................  97 
Задачи для самостоятельного решения .......................................................  121 
 
Заключение ...................................................................................................  126 
 
Библиографический список ......................................................................  128 
 
Приложение ..................................................................................................  129 
 
 

Предисловие 

4 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

 
 
Усложнение схем с электронными элементами, в том числе с цифровыми и переключательными, непрерывное повышение требований к характеристикам электронных устройств приводит к необходимости разработки 
более эффективных методов теоретического исследования на основе современных физических представлений математических понятий. Внешние 
воздействия и реакции схем обычно выражаются через токи, напряжения 
и их отношения. При этом задачи анализа состоят, как известно, в определении соотношений между реакцией и заданными внешними возмущениями для известной схемы.  
Поэтому в данном учебно-методическом пособии, состоящем из четырех глав, авторы основное внимание уделили практическим вопросам, 
относящимся к электрорадиотехнике, и методам решения задач. 
В первой главе «Классический метод расчета переходных процессов 
в линейных электрических цепях» подробно разобраны решения двенадцати задач и двадцать одна задача предложена для самостоятельной работы. 
Во второй главе «Операторный метод расчета переходных процессов 
в линейных электрических цепях» подробно представлены решения одиннадцати задач и десять задач предложено для самостоятельного решения. 
В третьей главе «Применение переходных и импульсных характеристик для расчета переходных процессов в линейных цепях» посвящена 
анализу цепей при воздействии на них напряжений сложной формы. Подробно рассмотрено решение девяти типовых задач и пять задач предложено для самостоятельного решения. 
В четвертой главе «Переходные процессы в цепях с распределенными параметрами» рассмотрены примеры расчета таких линий с распределенными параметрами, потерями в которых можно пренебречь, а решение 
восьми задач представлено дискретными схемами. Шесть оригинальных 
задач для самостоятельного решения завершают главу. 
В приложении представлены также десять различной сложности расчетно-графических заданий (РГЗ) для студентов с учетом степени их усвоения теоретического материала. При этом студенты сами имеют возможность выбора простых или усложненных РГЗ. Последние рассчитаны на 
повышенную оценку. 
 

Введение 

5 

ВВЕДЕНИЕ 

 
 
Под переходными понимают процессы перехода от одного режима 
работы электрической цепи (обычно периодического) к другому (также 
периодическому), чем-либо отличающемуся от предыдущего, например 
величиной амплитуды, фазы, формой или частотой действующей в схеме 
ЭДС, значениями параметров схемы, конфигурацией цепи или входного 
сигнала. 
Периодическими являются режимы синусоидального и постоянного 
тока, а также отсутствия тока в ветвях цепи. 
Переходные процессы вызываются коммутацией в цепи. Коммутация – 
это процесс переключения, замыкания или размыкания ключей. 
Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода от энергетического состояния, соответствующего докоммутационному 
режиму, к энергетическому, соответствующему послекоммутационному. 
Переходные процессы обычно быстро протекающие: длительность 
их составляет десятые, сотые, а иногда даже миллиардные доли секунды 
и сравнительно редко достигает секунд и десятков секунд. Тем не менее 
изучение переходных процессов весьма важно, так как дает возможность 
установить, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители, фильтры и другие устройства, позволяет 
выявить превышение напряжения на отдельных участках цепи, которое 
может оказаться опасным для изоляции установки, и увеличение амплитуд 
токов установившегося периодического процесса, а также определить продолжительность переходного процесса. 
Как известно из курса математики, уравнение, содержащее неизвест
ную функцию (в нашем случае i) и ее производные (L d
d
i
t ), называют диф
ференциальным. 
Таким образом, определение тока как функции времени есть решение дифференциального уравнения. 
Известно, что решение дифференциального уравнения – это вычисление функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению. Подстановка этой функции и ее производных превращает дифференциальное 
уравнение в тождество. 
Решение линейных дифференциальных уравнений будем проводить 
в основном тремя методами: классическим, операторным и интеграла 
Дюамеля. 
Перед тем как изучать эти методы, необходимо рассмотреть общие 
свойства линейных цепей при переходных процессах, а также общие зако

Введение 

6 

ны, которым подчиняются переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными и распределенными параметрами. 
В одних случаях переходные процессы нежелательны и опасны 
(например, при коротких замыканиях в энергетических системах).  
В других – переходный процесс представляет естественный нормальный режим работы цепи (в радиопередающих и радиоприемных 
устройствах, системах автоматического регулирования и др.). 
 
 

Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях 

7 

Глава 1 

КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ  
В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 

 
 
Показаны способы получения дифференциальных уравнений, описывающих переходные процессы в цепях, методы составления характеристических уравнений, приемы нахождения постоянных интегрирования. 
Рассмотрен расчет цепей, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. 
 
Задача 1.1. Определить, как изменяется ток i в зависимости от времени после размыкания ключа в цепи (рис. 1.1), если приложено постоянное напряжение U = 50 В, 
параметры цепи R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, 
C = 200 мкФ. Найти практическую длительность переходного процесса. 
Решение: Общий подход к решению 
задач по переходным процессам классическим методом заключается в том, что вначале записывается система дифференциальных уравнений для мгновенных 
значений напряжений и токов, составленная по законам Кирхгофа для  
послекоммутационного состояния цепи. Связь между токами и напряжениями на элементах цепи определяется следующими компонентными соотношениями: 
 для резисторов – u = Ri, 

 индуктивности – u = L d
d
i
t  или 
1
i
u
L
  dt, 

 емкости – 
1
u
i
C

 dt или 
d
d

cu
i
C
t

. 

В рассматриваемой цепи после размыкания ключа (после коммутации) остался только один контур, для которого записываем уравнение по 
второму закону Кирхгофа 

1
Ri
i
C
  dt = U. 

 
Полученное уравнение не является дифференциальным, так как оно 
содержит интеграл. Кроме того, переменной величиной в этом уравнении 

 
 
Рис. 1.1 

Глава 1 

8 

является ток i , который в этой цепи не подчиняется закону коммутации, 
поэтому удобнее в качестве переменных величин выбирать ток в индуктивности или напряжение на емкости, для которых выполняются законы 
коммутации.  
Таким образом, вместо этого одного уравнения запишем систему 
двух уравнений  
 

,

d
,
d

C

C

Ri
u
U

u
i
C
t



 


 

 
из которой легко получаем одно линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной uC:  
 

d
d

C
C
u
RC
u
U
t 

. 

 
Решение такого уравнения состоит из двух составляющих – принужденной, которая является частным решением неоднородного уравнения, зависит от параметров цепи и вида функции в правой части, и свободной, которая является решением однородного дифференциального уравнения 
(правая часть уравнения равна нулю, свободна от источников) 
 
uC = uCпр + uCсв. 

 
Принужденную составляющую удобнее определять из расчета цепи 
в новом установившемся режиме, т. е. когда переходный процесс уже закончился. В данной задаче в новом установившемся режиме цепь состоит 
из источника постоянного напряжения и последовательно соединенных резистора R1 и емкости C. При постоянном напряжении ток через емкость, 

а, следовательно, и во всей цепи равен нулю (
пр
d

d

C
u
i
C
t

= 0, так как 

uCпр = const, другими словами, емкость при постоянном напряжении равносильна разрыву ветви), поэтому нет напряжения на резисторе R1 и в соответствии со вторым законом Кирхгофа uCпр = U. 
Свободная составляющая при решении дифференциального уравнения первого порядка всегда записывается в виде 
 
uCсв =
pt
Ae
, 

 
где А – постоянная интегрирования, р – корень характеристического уравнения. 

Классический метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях 

9 

Характеристическое уравнение можно записать из однородного 
дифференциального уравнения RCp + 1 = 0, откуда  
 

6
1
1
20 200 10
p
RC

 
 



 = –250 с–1.  

 
Записываем общее решение с учетом найденных значений принужденной и свободной составляющих 
 
250t
C
u
U
Ae


.  

 
Следующим этапом решения является нахождение постоянной интегрирования А, для чего используем начальные условия, т. е. определяем 
значение переменной uC (0) в докоммутационной схеме (t = 0–), применяя 
законы коммутации. 
Напряжение на емкости подчиняется закону коммутации, поэтому 
uC (0+) = uC (0–), это означает, что напряжение на емкости в момент начала 
переходного процесса (t = 0+) равно напряжению в момент, непосредственно предшествующий коммутации (t = 0–). Таким образом, начальные условия находим, рассчитывая цепь до коммутации. Такой расчет 
(особенно при разветвленных цепях) иногда удобнее делать, изображая отдельно 
схему до коммутации и учитывая, что емкость при постоянном входном напряжении 
можно представлять как обрыв ветви 
(рис. 1.2). Из рисунка видно, что напряжение на емкости uC (0–) равно 
напряжению на резисторе R2 (параллельно соединенные ветви): 
 





2 2
0
0
C
u
R i



, 

 

а так как i2 (0–) = i1 (0–) = 

1
2

U
R
R

, то  

 



2

1
2

50 30
0
30
20
30
C
UR
u
R
R








 В. 

 
Таким образом, при t = 0 uC (0) = 30 В и, подставляя этo начальное 
условие в общее решение, получаем 30 = 50 + А, откуда А = – 20 В.  
Следовательно, напряжение на емкости изменяется в переходном 
режиме как  
250
(50
20
)
t
C
u
e


 В.  

 
 
Рис. 1.2 

Глава 1 

10 

По условию задачи надо найти, как изменяется ток, поэтому для этого используем компонентное соотношение  
 

250
4
4
250
250
50
20
d
2 10
2 10 ( 20)( 250)
1
d

t
t
t
C
d
e
u
i
C
e
e
t
dt



















А. 

 
Практическая длительность переходного процесса tпр зависит от постоянной времени цепи τ и составляет приблизительно 4–5τ. Так как 

1
p
 
 = 0, 004 с, то tпр  18 мс.  

 
Задача 1.2. Электрическая цепь (рис. 1.3) подключается к источнику 
постоянного напряжения Е = 300 В. Напряжение первой катушки в момент после включения u1 (0+) = 200 В, 
напряжение второй катушки в момент 
t1 = 0,02 с u2 (t1) = 186,5 В. Ток в новом 
установившемся режиме iпр = 10 А, постоянная времени цепи τ = 0,01 с. Определить:  
1. Параметры катушек: первая – 
R1, L1, вторая – R2, L2.  
2. Момент 
времени 
t2, 
когда 
напряжения на катушках будут одинаковы, и величину этого напряжения. 
Решение: 1. Дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в этой схеме имеет вид 
 





1
2
1
2
d
d
i
L
L
R
R
i
E
t




. 

 
Его общее решение  
 
i = iпр + iсв = 10 + 
pt
Ae
, 
 

где 
1
2

1
2
100
R
R
p
L
L

 
 

 с –1, так как 
1
p   .  

Принужденную составляющую тока, как видно из схемы на рис. 1.3, 
можно найти по выражению  
 

iпр = 

1
2
1
2

300
E

R
R
R
R



,  

 
откуда следует, что R1 + R2 = 30 Ом, а L1 + L2 = 0,3 Гн. 

 
 
Рис. 1.3