Организация, планирование и обработка результатов эксперимента

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

В. И. Белокопытов

Организация, планирование и обработка 

результатов эксперимента

Учебное пособие

Красноярск

СФУ
2020

УДК 669.01:519.252(07)
ББК 34.3я73+22.172я73

Б435

Р е ц е н з е н т ы:
М. Г. Мотков, кандидат технических наук, технический директор 

ООО «КраМЗ»;

Р. И. Галиев, кандидат технических наук, зам. директора ООО «Завод 

современных материалов»

Белокопытов, В. И.

Б435
Организация, планирование и обработка результатов экспе
римента : учеб. пособие / В. И. Белокопытов. – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2020. – 132 с.

ISBN 978-5-7638-4297-5

Изложены вопросы, касающиеся применения теории вероятностей и ма
тематической статистики в таких областях, как научная работа, контроль качества продукции, управление действующим технологическим процессом. 
Приведены примеры, предложены варианты расчетных заданий, а также 
справочные данные для их выполнения.

Предназначено для магистрантов направления 22.04.02 «Металлургия».

Электронный вариант издания см.:

http://catalog.sfu-kras.ru

УДК 669.01:519.252(07)
ББК 34.3я73+22.172я73

ISBN 978-5-7638-4297-5
© Сибирский федеральный университет, 2020

Оглавление

Введение...................................................................................................... 5

1. Построение гистограммы, расчет количественных 
характеристик, проверка гипотезы нормальности 
распределения ........................................................................................... 7
1.1. Построение гистограммы ................................................................... 7
1.2. Количественные характеристики  распределения ........................... 9
1.3. Нормальное распределение.............................................................. 11
Задание....................................................................................................... 16
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 16

2. Статистическое оценивание и проверка количественных 
оценок........................................................................................................ 17
2.1. Проверка средних значений ............................................................. 17
2.2. Проверка ошибок при оценке дисперсии ....................................... 22
2.3. Проверка различия средних арифметических................................ 24
2.4. Статистическое оценивание количественных значений. 
Интервальная оценка................................................................................ 26
2.5. Статистическая проверка доли дефектных изделий 
в генеральной совокупности ................................................................... 28
Задание....................................................................................................... 30
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 33

3. Корреляционный, регрессионный и дисперсионный 
анализ........................................................................................................ 35
3.1. Корреляционный анализ................................................................... 35
3.2. Регрессионный анализ ...................................................................... 37
3.3. Дисперсионный анализ..................................................................... 42
Задание....................................................................................................... 52
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 54

4. Планирование эксперимента........................................................... 55
4.1. Полный факторный эксперимент .................................................... 56
4.2. Дробный факторный эксперимент .................................................. 64
Задание....................................................................................................... 68
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 69

5. Поиск оптимальной области............................................................ 71
5.1. Поиск оптимальной области  методом крутого восхождения...... 71
5.2. Симплексный метод поиска экстремума  целевой функции ........ 76

Задание....................................................................................................... 80
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 81

6. Контрольные листки как формы регистрации данных............. 82
6.1. Контрольный листок  для регистрации распределения
измеряемого параметра в ходе  производственного процесса ............ 82
6.2. Контрольный листок для регистрации  видов дефектов............... 83
6.3. Контрольный листок причин дефектов........................................... 84
Задание....................................................................................................... 85
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 87

7. Диаграммы........................................................................................... 88
7.1. Диаграмма Парето............................................................................. 88
7.2. Диаграмма Исикавы .......................................................................... 91
Задание....................................................................................................... 93
Вопросы для самоконтроля ..................................................................... 94

8. Контрольные карты........................................................................... 95
8.1. Контрольная карта  для выборочного среднего и размаха ........... 95
8.2. Контрольная карта  для доли дефектных изделий......................... 99
8.3. Исследование показаний контрольных карт ................................ 102
8.4. Анализ технологических процессов на основании 
контрольных карт ................................................................................... 103
Задание..................................................................................................... 107
Вопросы для самоконтроля ................................................................... 108

9. Одноступенчатый выборочный контроль 
по количественным признакам, основанный 
на оперативной характеристике ....................................................... 110
9.1. Метод, гарантирующий среднее значение  
показателя качества в партии................................................................ 111
9.2. Метод, гарантирующий  долю дефектных изделий в партии..... 114
Задание..................................................................................................... 116
Вопросы для самоконтроля ................................................................... 117

Библиографический список ............................................................... 119

Приложение ........................................................................................... 122

Введение

Целью дисциплины «Организация, планирование и обработка 

результатов эксперимента» является формирование у студента навыков организации технологического эксперимента в условиях лаборатории и цеха, сбора данных о состоянии качества изделий, обработки 
результатов измерений и представления их в форме, удобной для анализа и принятия решений, связанных с управлением технологическими процессами.

В результате изучения дисциплины студент должен уметь выби
рать методы испытаний, анализировать и обрабатывать результаты 
исследований и измерений, оценивать технические и организационные решения с позиций достижения необходимого качества металлопродукции. Поэтому основным содержанием предлагаемого пособия 
будут теоретические аспекты расчетов, связанных с определением количественных характеристик распределения, статистическим оцениванием и проверкой количественных оценок, корреляционным, регрессионным и дисперсионным анализом, планированием и обработкой результатов эксперимента, построением контрольных карт и осуществлением выборочного контроля продукции.

Автор использовал издания, в которых изложены отдельные 

теоретические положения и справочные материалы (см. библиографический список).

В учебном пособии акцент сделан на самостоятельную работу

по заданным вариантам заданий, что позволяет расширять и углублять знания, умения и навыки, определяемые содержанием базовых 
дисциплин основной образовательной программы подготовки магистра, а также сформировать на их основе компетенции, необходимые
в дальнейшей профессиональной деятельности выпускника в соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом 
высшего образования.

Обязательные профессиональные компетенции (ОПК)
ПКО-1. Способен выбирать методы планирования, подготовки

и проведения исследований, наблюдений, испытаний, измерений
и применять их на практике анализировать, обрабатывать и представлять результаты.

ПКО-2. Способен планировать, проводить подготовку и прове
дение экспериментов, анализировать, обобщать и представлять результаты, делать выводы, составлять и оформлять отчёты.

Рекомендуемые профессиональные компетенции (ПК)
ПК-1. Способен проводить анализ и обработку данных, полу
ченных в результате исследований, испытаний, наблюдений и измерений, анализировать и представлять результаты, делать выводы, составлять и оформлять отчёты.

ПК-6. Способен анализировать устойчивость технологических 

процессов по результатам статистической обработки наблюдений
и измерений.

1. Построение гистограммы, расчет

количественных характеристик, проверка

гипотезы нормальности распределения

Одним из способов графического изображения плотности 

распределения является гистограмма (столбиковая диаграмма). 
Это такой вид диаграммы, который при помощи столбиков, расставленных в ряд на мелких размерных интервалах, отражает состояние качества проверенной партии изделий и помогает разобраться в состоянии измерений или качестве изделий в генеральной совокупности, а также выявить в ней положение среднего значения и характер рассеивания.

1.1. Построение гистограммы

Анализируя данные табл. 1.1 без их графического представле
ния, затруднительно составить правильное мнение о состоянии качества изделий в той или иной партии. Один из способов такого представления – это построение гистограммы.

Построение гистограммы (рис. 1.1) складывается из следующих 

действий:

1) в табл. 1.1 находят наибольшее хmax и наименьшее хmin значе
ния и определяют разброс данных в распределении по формуле
R = хmax – хmin. В этом случае R =1,8 – 0,1 = 1,7;

2) рассчитывают
количество интервалов
в распределении: 

100
10
k
n



, где n – число измерений;

3) относят разброс данных в распределении R к числу интервалов 

k и получают разброс данных в одном интервале: h = R/k = 1,7/10 = 
= 0,17  0,2;

4) вносят в регистрационный бланк (табл. 1.2) значения интерва
лов распределения и определяют центр каждого интервала;

Таблица 1.1

Исходные данные

№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

1
0,9
1,5
0,9
1,1
1,0
0,9
1,1
1,1
1,2
1,0

2
0,6
0,1
0,7
0,8
0,7
0,3
0,5
0,8
1,2
0,6

3
0,5
0,8
0,3
0,4
0,5
1,0
1,1
0,6
1,2
0,4

4
0,6
0,7
0,5
0,2
0,5
0,3
0,5
0,4
1,0
0,8

5
0,7
0,8
0,3
0,4
0,6
0,7
1,1
0,7
1,2
0,8

6
0,8
1,0
0,6
1,0
0,7
0,6
0,3
1,2
1,4
1,0

7
1,0
0,9
1,0
1,2
1,3
0,9
1,3
1,2
1,4
1,0

8
1,4
1,4
0,9
1,1
0,9
1,4
0,9
1,8
0,9
1,4

9
1,1
1,4
1,4
1,4
0,9
1,1
1,4
1,1
1,3
1,1

0
1,5
1,6
1,6
1,5
1,6
1,5
1,6
1,7
1,8
1,5

Рис. 1.1. Гистограмма

5) выбирают из табл. 1.1 значения, попадающие в тот или иной 

интервал, и заносят их в виде штриховых отметок в соответствующий 
столбец регистрационного бланка. Группа штриховых отметок IIII означает пять попаданий в интервал, что упрощает подсчет частот;

6) на графике (в выбранном масштабе по горизонтали) показы
вают границы интервалов, а по вертикали – частоту попадания в интервал. Высота каждого столбика соответствует частоте попадания.

0,1       0,3      0,5       0,7      0,9    1,1       1,3     1,5   
1,7
1,9

20

15

10

5

Ч
а
с
т
о
т
а

Коэффициент деформации, %

Таблица 1.2

Регистрационный бланк

№ 
п/п
Интервал
Центр интервала
Штриховые

отметки
Частота f
Суммарная 

частота

1
0,1–0,3
0,2
II
2
2

2
0,3–0,5
0,4
IIII III
8
10

3
0,5–0,7
0,6
IIII IIII III
13
23

4
0,7–0,9
0,8
IIII IIII IIII
15
38

5
0,9–1,1
1,0
IIII IIII IIII

IIII
20
58

6
1,1–1,3
1,2
IIII IIII IIII II
17
75

7
1,3–1,5
1,4
IIII IIII III
13
88

8
1,5–1,7
1,6
IIII IIII
9
97

9
1,7–1,9
1,8
III
3
100

1.2. Количественные характеристики 

распределения

Для численного выражения распределения наиболее часто ис
пользуют следующие количественные характеристики: среднее 
арифметическое, сумму квадратов отклонений, дисперсию и среднее 
квадратическое отклонение.

Среднее арифметическое. Среднее арифметическое х находят 

путем деления суммы значений результатов измерений х1, х2, х3, ... , хn
на их количество, равное n,

n

х
х
х
х
х
n





...
3
2
1
,

или

n
x

n

x

х

n

i

i





 1
.
(1.1)

Если результаты измерений занесены в регистрационный бланк,

то, обозначив значения центра каждого интервала через хj = х1, х2,
х3,…,xk, а частоту в этих интервалах, соответственно, через fj = f1, f2, 
f3,…, fk , среднее арифметическое х находят из выражения

n

f
x
f
x
f
х
х
k
k





2
2
1
1
,

или в свернутом виде 






k

j
j
j f
x
n
х

1

1
.
(1.2)

Разброс значений. В качестве количественной характеристики 

разброса значений используют сумму квадратов отклонений, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Отклонение есть результат сравнения величины измеренного зна
чения со средним арифметическим (хi – х ). Если применить это ко всем 
измеренным данным, то полученная сумма возведенных в квадрат отклонений и будет представлять собой сумму квадратов (отклонений) S:

2
2

2

2

1
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
x
S
n 







,







 










n

i

n

i

n

i

i

i
i
n

x

x
x
x
S

1
1

2

1
2
2)
(
.
(1.3)

Если сумма квадратов отклонений S выражает рассеивание зна
чений во всем комплексе данных, то дисперсия
2
e
 , полученная деле
нием S на число n – 1 данных, является мерой рассеивания на каждую 
отдельную единицу данных:

2

1
2
2
2

1
1

1
1
(
)
1
1
1

n

i
n
n

i

е
i
i

i
i

x

S
x
x
x
n
n
n
n


















 









 












2

1

1
(
)
1

k

j
j

j

x
x
f
n






 
(1.4)

Чтобы привести в соответствие размерности характеристики 

разброса и результата измерения, необходимо извлечь корень квадратный из дисперсии. Этот показатель называют средним квадратическим отклонением е:







































 
















k

j

j
j

n

i

n

i

i

i
е
е
f
x
x

n
n

x

x

n

n
S

1

2

1

2

1
2
2

1

1

1

1
1
/
.
(1.5)

1.3. Нормальное распределение

Увеличение числа данных в распределении (в конечном счете

до бесконечности) при одновременном сужении интервалов приводит
к превращению гистограммы в гладкую кривую. В этом случае кривая 
может рассматриваться в качестве распределения генеральной совокупности (рис. 1.2). 

Если кривая распределения имеет тенденцию обнаруживать

в центре один пик, а при этом она симметрична справа и слева от среднего арифметического и принимает форму колокола, то такую кривую 
называют нормальным распределением, или распределением Гаусса.

Нормальное распределение описывается следующей зависимо
стью:




























2

2
1
exp
2
1
)
(
x
x
f
y
,
(1.6)

где  – среднее арифметическое генеральной совокупности;  – среднее квадратическое отклонение.

С целью уменьшения числа параметров нормального распреде
ления и приведения его к безразмерному виду производят нормирование





 x
u
.

Нормальное распределение с параметрами  = 0 и  =1 стано
вится нормированным нормальным распределением (рис. 1.3). Функция нормального нормированного распределения примет вид










2

2
1
exp

2
1
)
(
u
u
f
y
.
(1.7)

Рис. 1.2. Кривая нормального

распределения

Рис. 1.3. Кривая нормированного

нормального распределения

При малом количестве результатов измерений невозможно од
нозначно оценить вид распределения, которому они принадлежат.
Но если заранее известен закон распределения, то для нахождения 
важнейших числовых характеристик распределения нужно небольшое 
количество замеров. В связи с этим проверка нормальности распределения составляет основное содержание предварительной обработки 
результатов эксперимента. При осуществлении такой проверки часто
берут показатели асимметрии и эксцесса, которые находят, используя
так называемые центральные моменты.

В качестве характеристики несимметричности распределения 

применяют третий центральный момент, имеющий размерность куба 
случайной величины. Чтобы получить безразмерную характеристику, 
третий центральный момент делят на второй в степени 3/2. Если 
учесть, что 

2

2
e
m   , то 

3/2
3

2
e
m
  и показатель асимметрии можно найти

из выражения

3
3

3/2
3

2
e

m
m

m

 


 ,
(1.8)

где третий центральный момент







j
j
f
x
x
n
m

3

3
1

1
,
(1.9)

среднее квадратическое отклонение