Методические указания к решению краевых задач для уравнения теплопроводности методом функций Грина

Министерство образования и науки Российской федерации

Национальный исследовательский

Томский государственный университет

Физико-технический факультет

В.Г. Прокофьев

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ

ФУНКЦИЙ ГРИНА

Учебно-методическое пособие

Томск
2017

РАССМОТРЕНО И РЕКОМЕНДОВАНО К ПЕЧАТИ ученым 
советом физико-технического факультета Томского 
государственного университета

Протокол № 4 от «22» декабря 2016 г.
Председатель Совета ФТФ Э.Р. Шрагер

Пособие 
составлено 
в 
соответствии 
с 
тематикой 

практических занятий и программой курса «Математическая 
физика» 
для 
студентов 
физико-технического 
факультета 

направлений подготовки 16.03.01 – Техническая физика, 24.04.03 –
Баллистика и гидроаэродинамика. Особое внимание уделяется 
аналитическому решению краевых задач для одномерного 
уравнения теплопроводности. 

СОСТАВИТЕЛЬ: В.Г. Прокофьев

СОДЕРЖАНИЕ

1.
Вывод функции Грина
для одномерного уравнения теплопроводности………3

2.
Решение задачи Коши с произвольным
начальным распределением температуры……………8

3.
Решение задачи Коши
для неоднородного уравнения………………………….10

4.
Решение уравнения теплопроводности
в полуограниченной области…………………………..11

5.
Решение уравнения теплопроводности
с неоднородными граничными условиями……………13

6.
Решение задачи Коши в трехмерном пространстве..15

7.
Задачи для самостоятельного решения………………16

8.
Ответы……………………………………………………..18

9.
Литература………………………………………………..19

1. Вывод функции Грина для одномерного уравнения 

теплопроводности

Функцию Грина для уравнения теплопроводности или 

функцию влияния мгновенного точечного источника тепла 
получим, решая три специально поставленные задачи Коши.

Задача № 1. Пусть температура тонкого теплопроводного 

стержня бесконечной длины в начальный момент времени имела 
распределение:

t 0

u , x<0
u
( x )
u , x>0 










 



.
(1)

Определим температуру в каждой точке стержня в любой 
последующий момент времени t>0. Для этого будем искать 
функцию u( x,t ), удовлетворяющую уравнению 

2

2

2

u
u
a
t
x






(2)

и начальному условию (1).

Найдем автомодельное решение задачи (1)-(2), т.е. решение 

в классе функций вида u( x,t )
f ( x / t )


, где α – показатель 

автомодельности. Поставив в уравнение (2), получим 

2

2
a
z
f "( z )
f '( z )
t
t



 
,
(3)

где 
x
z
t

.

Чтобы (3) было тождественным относительно z, необходимо 
положить α=1/2. Уравнение (3) относительно f(z) примет вид 

z
f "( z )
f '( z )
0
2a


(4)

с дополнительными условиями 

f (
)
u , f (
)
u


 
 
.

Интегрируем (4) 

2
2

1
1
2
2
2

f "( z )
z
z
z
ln f '( z )
lnC
f '( z )
C exp
f '( z )
2a
4a
4a



 

 









.

Интегрируя еще раз

z

z
2
2a

2

1
2
1
2
2
f ( z )
C
exp
d
C
C
exp(
y )dy
C
4a





















Решение уравнения (2) в традиционных переменных имеет вид 

1
2

x
u( x,t )
C erf
C

2a t










,

где 

z

2

0

2
erf ( z )
exp(
y )dy






- интеграл вероятности.

Константы С1 и С2 найдем из начального условия (1)

1
2
x
:  u
C
C

 
 

,

1
2
x
:  u
C
C

 


.

Окончательно решение задачи (1)-(2) имеет следующий вид 

u
u
u
u
x
u( x,t )
erf
2
2
2a t
















.
(5)

Скачок температуры в начальный момент в точке x=0 с течением 
времени сглаживается.

Задача № 2 (о тепловом импульсе). Пусть распределение 

температуры стержня в начальный момент времени содержит 
высокотемпературный участок

1

0
1
2
t 0

2

0, x<x

u
( x )
u , x <x<x

0, x <x 







 



(6)

Решение уравнения (2) с начальным условием (6) может быть 
получено с помощью решения предыдущей задачи (5), принимая 
во внимание, что функцию φ(х) в (1) можно представить в виде 

( x )
u
(u
u ) ( x )








.

Положим 
0
u
0, u
u




, тогда решение задачи о тепловом 

импульсе можно записать в виде

0
1
2
u
x
x
x
x
u( x,t )
erf
erf
2
2a t
2a t
























.
(7)

Из решения (7) следует, что при t   температура стержня 
стремится к нулю, что определяется конечным запасом тепла 

0
2
1
Q
u ( x
x )


на отрезке 
1
2
[ x ,x ] .

Задача № 3 (точечный тепловой импульс). Предположим, 

что количество тепла, выделившееся на отрезке 
1
2
[ x ,x ] равно 1, 

т.е. 
0
2
1
Q
u ( x
x )
1



. Стянем отрезок в точку, полагая 
2
1
x
x

, 

но при этом фиксируем количество тепла 
0
2
1
u ( x
x )
1


. Тогда 

решение может быть получено предельным переходом из 
выражения (7)

2
1

1
2

x
x
2
1

2

1

2

x
x
x
x
1
u( x,t )
lim
erf
erf
2( x
x )
2a t
2a t

( x
x )
1
exp
4a t
2a
t








































(8)

Заметим, что начальное распределение температуры в этой задаче 
определяется дельта-функцией 
1
u( x,0 )
( x )
( x
x )





. 

Введем обозначения 
1x


, u( x,t )
G( x
,t )



, тогда (8) 

перепишем в виде

2

2

1
( x
)
G( x
,t )
exp
4a t
2a
t

















.
(9)

Определение. Функцией Грина G( x
,t )


задачи Коши для 

уравнения теплопроводности на бесконечной прямой называется 
решение задачи Коши вида

2

2

2

G
G
a
, - <x<+
t
x

G( x
,0 )
( x
)
















.
(10)

Часто 
функцию 
G( x
,t )


называют 
функцией 
влияния 

мгновенного точечного источника тепла. Очевидно, что для 
функции Грина выполняется условие нормировки

G( x
,t )dx
1









.

2. Решение задачи Коши с произвольным начальным 

распределением температуры

Найдем распределение температуры в стержне в случае 

произвольного начального распределения температуры

2

2

2

u
u
a
, - <x<+ , t>0
t
x

u( x,0 )
( x )











(11)

Решение задачи Коши (11) дается интегралом Пуассона вида

2

2

u( x,t )
G( x
,t ) (
)d

1
( x
)
exp
(
)d
4a t
2a
t


 



 






























.
(12)

Дадим физическую интерпретацию полученного результата и 
докажем, что (12) действительно является решением задачи (11).
Возьмем в фазовой плоскости на прямой t=0 элементарный 
отрезок длины dξ, содержащий точку x=ξ. Количество тепла, 
выделившегося в начальный момент времени на этом отрезке, 
равно dQ
c
(
)d
 


(c – теплоемкость, ρ – плотность). Это 

количество тепла можно отнести к точке ξ. Таким образом, мы 
будем иметь точечный источник, в результате действия которого в 
момент времени t=0 в точке x=ξ выделилось количество тепла dQ. 
Температура стержня для t>0, обусловленная действием этого 

источника равна dQ G( x
,t )
(
)G( x
,t )d
c

 






и так для 

каждого отрезка длины dξ прямой t=0. Естественно предположить, 
что температура, обусловленная действием всех таких отрезков, 
т.е. 
обусловленная 
заданием 
начальной 
температуры 

u( x,0 )
( x )


будет 
равна 
u( x,t )
(
)G( x
,t )d
 










. 

Следовательно, эта функция и будет решением задачи Коши (11). 
Чтобы убедиться в этом, достаточно доказать, что (12) 
удовлетворяет уравнению (11) для всех 
x
 
  и t>0, а также 

начальному условию.

Проверим выполнение начального условия

u( x,0 )
G( x
,0 ) (
)d
(
) ( x
)d
(
)

 

  


 














.

Вычислим производные

t

u
G ( x
,t ) (
)d
t

 












2

t
2
u
G ( x
,t ) (
)d
t

 











.

Подставим в уравнение теплопроводности и т.к. функция Грина 
является решением этого уравнения, то




2
2

t
xx
t
xx
u
a u
G
a G
(
)d
0
 











.

Предполагая ( x )

ограниченной (
( x )
M


), несложно доказать 

сходимость интегралов 
(
)G( x
,t )d ,
 









t
(
)G ( x
,t )d ,
 










x
(
)G ( x
,t )d
 









, 
xx
(
)G ( x
,t )d
 









.

Интеграл Пуассона (12) имеет следующие свойства.
Следствие 1. Тепло распространяется мгновенно (свойство 
решения всех уравнений параболического типа).

Следствие 2. .Если функция 
( x )

- нечетная, т.е. ( x )
( x )



 
, 

то u(0,t )
G(0, ,t ) (
)d
0

 









.

Следствие 3. .Если функция 
( x )

- четная, т.е. 
( x )
( x )




, то 

x

u(0,t )
G (0, ,t ) (
)d
0
x

 











.

3. Решение задачи Коши для неоднородного уравнения

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения с 

нулевым начальным условием

2

2

2

u
u
a
f ( x,t ), - <x<+ , t>0
t
x

u( x,0 )
0











(13)

Решение неоднородной задачи (13) можно искать в виде интеграла

t

0

u( x,t )
v( x,t, )d


 
,
(14)

где v( x,t, )

- есть решение следующей задачи 

2

2

2

t

v
v
a
, - <x<+ , t>
t
x

v
f ( x, )

















(15)

Доказательство: 

u( x,0 )
0

, 

t

t
t
t

0

u
v d
v 





, 

t

xx
xx

0

u
v d
 
.

Таким образом, решение неоднородного уравнения определяется 
суперпозицией действия распределенных по х и t источников 
тепла. Подставим решение (14) в уравнение (13)




t

2
2

t
xx
t
xx

0

u
a u
v
a v
d
f ( x,t )
f ( x,t )







.

Представим решение (14) в развернутом виде

t

0

u( x,t )
G( x
,t
) f ( , )d d


 
 








 
.
(16)

Интеграл (16) является сверткой функций Грина и источника 
тепла.

4. 
Решение 
уравнения 
теплопроводности 
в 

полуограниченной области

Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности на 

полупрямой и однородным граничным условием 1-го рода в точке 
х=0. 

2

2

2

u
u
a
, 0<x<+ , t>0
t
x

u( x,0 )
( x ), u(0,t)=0.










(17)

Для решения задачи (17) воспользуемся следствием 1 интеграла 
Пуассона (12). Продолжим функцию φ(х) нечетным образом на 
полуось x<0 и рассмотрим соответствующую задачу Коши 

t 0

( x ), x>0
u
- (
x ), x<0







 



.

Подставим в (12)