Практикум по теории вероятностей. Ч. I: Случайные события

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
Кафедра теории вероятностей и математической статистики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
О.Н. Галажинская  
 
ПРАКТИКУМ  

ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

 
Часть I. Случайные события 
 
 
Учебное пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2017 

УДК 519.22 
ББК 22.172 
         Г15 
 
Галажинская О.Н. 
Г15 Практикум по теории вероятностей. Ч. I: Случайные события : 
учеб. пособие. – Томск : Издательский Дом Томского 
государственного университета, 2017. – 174 с. 

 
ISBN 978-5-94621-641-8 
 
 

Пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении 
практических заданий в курсе «Теория вероятностей». Предложены в 
большом количестве разнообразные задачи с подробно разобранными 
решениями, а также задачи для самостоятельной работы студентов по каждой 
из тем. Приводятся все необходимые теоретические сведения из курса, для 
того, чтобы студент мог выполнить задания без обращения к дополнительной 
литературе.  
Для студентов ФПМК и ФТФ, изучающих курс «Теория вероятностей», но 
может быть полезно широкому кругу читателей, интересующихся решением 
вероятностных задач. 
 
УДК 519.22 
ББК 22.172 
 

Рецензенты: 
А.А. Назаров, доктор технических наук, профессор 
С.В. Рожкова, доктор физико-математических наук, профессор 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-94621-641-8 
 
© Галажинская О.Н., 2017 
© Томский государственный университет, 2017

Тема 1. Элементы комбинаторики

Термин «комбинаторика» был введён в математику Готфрид Вильгельмом Лейбницем, 

всемирно известным учёным, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о 

комбинаторном искусстве».

Комбинаторика – это раздел математики, изучающий, вопрос о том, сколько различных 

комбинаций, удовлетворяющих тем или иным условиям, можно составить из данных 

объектов. Это один из самых красивых разделов современной математики. Комбинаторные 

конструкции лежат в основе очень многих математических приложений. Например, теория 

алгоритмов, в существенной мере опирается на идеи комбинаторной математики (или иначе 

говорят дискретной
математики), многие современные «высокие технологии» в 

значительной мере связаны с комбинаторикой: это и интернет технологии, и технологии 

биоинженерии и многое другое. Комбинаторика активно применяется в таких областях 

научного знания как генетика, информатика, статистическая физика.

Комбинаторной называется любая задача, в которой нужно ответить на вопрос: каким 

числом различных способов можно осуществить необходимое?

В комбинаторике   рассматриваются конечные множества и различные их подмножества.

Каждое конкретное подмножество, составленное из элементов данного конечного 

множества, 
будем 
называть 
выборкой.
Выборки 
бывают 
упорядоченные
и 

неупорядоченные. В упорядоченной выборке важен порядок в котором следуют её

элементы, иначе говоря изменив порядок, мы получим уже другую выборку. В 

неупорядоченной 
выборке 
важен 
только 
состав 
элементов 
выборки, 
т.е. 
две 

неупорядоченные выборки различны, если различен набор входящих в неё элементов.

В основе многих комбинаторных задач лежат два правила: правило суммы и правило 

произведения.

Правило суммы

Пусть имеется n
попарно непересекающихся множеств 
1
2
,
,....,
n
A A
A , содержащих 

соответственно 
1
2
,
,....,
n
m m
m
элементов. Число способов, которым можно выбрать один 

элемент из всех множеств 
1
2
,
,....,
n
A A
A , равно 
1
2
....
n
m
m
m



.

Или в другой формулировке: если элемент 
1a может быть выбран 
1
m способами, элемент 
2a

может быть выбран другими
2
m способами, элемент 
3a 
3
m способами, отличными от 

первых двух и т.д., элемент 
na может быть выбран 
n
m
способами, отличными от первых 


1 ,
n 
то выбор одного из  элементов или
1a , или
2a , ….,  или
na может быть осуществлён

1
2
....
n
m
m
m



способами.

В самой простой формулировке правило суммы: если элемент a можно выбрать m

способами, а элемент b
- n способами, причём любой выбор элемента  a отличен от 

любого выбора элемента  b , то выбор «a или b » можно сделать m
n

способами.

Пример 1.1. На столе лежат 3 черных и 5 красных карандашей. Сколькими способами 

можно выбрать карандаш любого цвета?

Решение: По правилу сложения выбрать карандаш любого цвета можно 5+3=8 способами. 

Т.к. имеем 3 варианта выбора чёрного карандаша и 5 вариантов выбора красного, а нам 

нужен или чёрный, или красный карандаш.

Пример 1.2. Из пункта A в пункт B можно добраться самолётом, поездом и автобусом, 

причём между этими пунктами существуют 2 авиамаршрута, 1 – железнодорожный и 3 

– автобусных маршрута. Каким числом способов можно добраться из A в B ?

Решение: Согласно правилу сложения число способов добраться из A в B равно 

2 1 3
6
  
. Так как мы можем добраться или на самолёте, или на поезде, или на автобусе, 

поэтому складываем все количества вариантов добраться из A в B .

Правило произведения

Пусть имеется n
множеств 
1
2
,
,....,
n
A A
A , содержащих соответственно 
1
2
,
,....,
n
m m
m

элементов. Число способов, которым можно выбрать по одному элементу из каждого 

множества 
1
2
,
,
,....,
n
A A
A равно 
1
2 ....
n
m m
m



.

Или в другой формулировке: если элемент 
1a может быть выбран 
1
m способами, после 

каждого такого выбора элемент 
2a может быть выбран 
2
m способами и так далее,…,  после 

каждого 
1
n 
выбора элемент 
na
может быть выбран 
n
m
способами, то выбор всех 

элементов 

1
2
,
,....,
n
a a
a
в указанном порядке может быть осуществлён
1
2 ....
n
m m
m




способами.

Правило произведения в простейшем своём виде формулируется так:

Если предмет a
можно выбрать n способами, а предмет b  m способами, то пару 

,a b (и 

,a и b ) можно выбрать n m

 способами.

Пример 1.3. В мужском   гардеробе имеется 3 вида костюмов и 2 вида ботинок. Каким числом 

способов можно выбрать комплект из костюма и ботинок?

Решение: Нам нужно выбрать одновременно пару объектов: и костюм, и ботинки.  Мы 

считаем, что каждый способ выбора костюма, сочетается с любым способом выбора туфель 

(эстетика наряда не учитывается), поэтому по правилу умножения:

3⏟

число способов 
выбрать костюм

∙
2⏟

число способов 
выбрать туфли

= 6

Пример 1.4. В университетской столовой имеются два первых, пять вторых и четыре 

третьих блюда. Сколькими способами студент может выбрать обед, состоящий из первого, 

второго и третьего блюда?

Решение: Необходимо выбрать 3 объекта одновременно: и первое, и второе, и третье блюда:

2⏟

число способов 
выбрать 1 блюдо

∙
5⏟

число способов 
выбрать 2 блюдо

∙
4⏟

число способов 
выбрать 3 блюдо

= 40

Итого 40 вариантов обеда из трёх блюд.

Рассмотрим некоторое конечное множество 


1
2
,
,....,
n
M
x x
x

, состоящее из  n элементов. 

Из элементов множества М, можем сформировать выборки объёма m ,  т.е. получить m

элементные подмножества.

Различают 2 способа формирования выборок:

1)
Бесповторный, выбранный элемент в исходное множество не возвращается и 

выборка не содержит повторяющиеся элементы.

2)
Повторный, при котором выбранный элемент возвращается обратно в исходное 

множество и может быть выбран снова.

Выборки без повторения элементов

Рассмотрим случай, когда во вновь получаемых выборках элементы множества М
не  

повторяются, т.е. выборки  без повторения. 

В случае выборок без повторений может быть, что:

1)
0
m
n



2)
0
m
n



Перестановки

1) Когда 
0
m
n


,  т.е. количество элементов в извлекаемых  выборках совпадает с 

количеством элементов в исходном множестве.  Такие выборки могут отличаются друг от 

друга только порядком следования элементов. Называются они перестановками. Их 

число определяется по формуле: 



!
1 ...... 2 1
nP
n
n n

 


 

Можно получить эту формулу, используя правило умножения. Так как нам нужна выборка 

из m
n

элементов,  то:

𝑛⏟

число способов 

выбрать 1−ый элемент

∙
𝑛 − 1
⏟  

число других способов 
выбрать 2−ой элемент

∙⏟

………….

∙ 1⏟

число способов 

выбрать последний элемент

= 𝑛!

Определение 1:
Различные
упорядочения
исходного n  элементного множества 

называются перестановками из n элементов .

Пример 1.5. Каким числом способов, можно расставить на полке 3 разные книги.

Решение: 3 разные книги – считаем трёхэлементным исходным множеством

1
3
2
K K K
. 

Посмотрим какие упорядоченные трёхэлементные
подмножества можем получить 

расставляя разными способами 3 книги: 

1
2
3
K K K ,
1
3
2
K K K , 
2
1
3
K K K , 
2
3
1
K K K , 
3
1
2
K K K , 
3
2
1
K K K

Наши трёхэлементные
подмножества
различаются
между собой только порядком 

следования элементов. Поэтому наши выборки (3-х элементные подмножества) будут 

перестановками без повторений, а их число равно 3! 1 2 3
6.
   

Сочетания и размещения

2) Если  0
m
n


, т.е. количество элементов в извлекаемой выборке или меньше, или 

равно, (может быть и так, и так) числа элементов в исходном множестве.

Здесь возможно 2 случая:

 Формируемые выборки различаются между собой только составом элементов. Такие 

комбинации элементов называются сочетаниями. Их число находится по формуле: 

!
.
!(
)!

m
n

n
C
m n
m



При m
n

, получаем: 
1,
!

!(
)!

n
n

n
C
n n
n



т.е. количество сочетаний в этом случае равно 1.

При
0
m 
, получаем: 
0
1,
!

0!(
0)!

n

n
C
n



т.е. количество сочетаний и в этом случае равно 1.

Определение 2: Сочетанием из n элементов по m называется любое mэлементное 

подмножество исходного n элементного множества.

 Получаемые выборки различаются между собой и порядком следования элементов, и 

составом элементов, в этом случае выборки называются размещениями. Число 

размещений из n элементов по m определяется по формуле: 

.
!
(
1)(
2)...(
1)
(
)!

m
n
n
A
n n
n
n
m
n
m








При
m
n

, получаем 
!
!
(
)!

n
n
n

n
A
n
P
n
n





размещения превращаются в перестановки.

Т.е. перестановки - это частный случай размещений из n элементов по m , при m
n

.

При
0
m 
, получаем 
0
!
1
(
0)!

n

n
A
n



.

Определение 3: Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное m

элементное подмножество исходного n элементного множества.

Замечание 1. Величины 
m
n
C
называют  биномиальными коэффициентами,  это  название 

связано с формулой бинома Ньютона: 

0

(
)

n
n
m m
n m

n

m

a
b
C a
b 







.

Замечание 2. Число размещений 
m
n
A
связано с числом сочетаний 
m
n
C
, формулой: 






!
!
!
!
!
!

m
m

n
n
m

n
n
P
m
m n
m
n
m
A
C








Обьяснение формулы: Сочетания, это комбинации, отличающиеся друг от друга только 

составом элементов, порядок следования в которых не учитывается (т.е. выборки, 

различающиеся только порядком следования элементов, считаются одинаковыми).  Если 

общее число сочетаний 
m
n
C
умножить на количество перестановок элементов в каждой из 

выборок
m
P , то мы получим как раз количество комбинаций, которые различаются и 

составом, и порядком следования элементов. А это и есть число размещений.

Пример 1.6. В студенческой группе 20 человек. Каким числом способов можно выбрать 

5 человек на конференцию?

Решение: Из 20-ти элементного множества (группа), нужно извлечь 5-ти элементные 

подмножества (5 человек на конференцию). Выборки бесповторные, отличающиеся друг от 

друга только составом элементов. 

Например, три выборки (три набора пяти студентов на конференцию) считаются 

одинаковыми, т.к. различаются только порядком следования элементов:

Иванов
Петров
Сидоров      Гусев
Орлов  
⏟                                  

5 человек на коференцию

Сидоров
Петров
Иванов      Гусев
Орлов  
⏟                                  

5 человек на коференцию

Гусев
Орлов
Иванов      Сидоров
Петров  
⏟                                  

5 человек на коференцию

А три такие уже разные, т.к. набор элементов разный:

Уткин
Петров
Сидоров      Гусев
Орлов  
⏟                                

5 человек на коференцию

Иванов
Петров
Сидоров      Гусев
Орлов  
⏟                                  

5 человек на коференцию

Уткин
Петров
Дятлов      Гусев
Волков  
⏟                                

5 человек на коференцию

Т.е. для нас не «значим» порядок следования элементов в выборке, важен только набор 

элементов и такие комбинации мы определили, как сочетания. Их число равно:

5
20

20!
15 504.
5!15!
С



Пример 1.7. Каким числом способов можно сшить флаг (три горизонтальных полосы 

разного цвета и равной ширины), если имеется материал 5 цветов: красный 

K , белый

 
Б , голубой ,
Г
зелёный 
З
и серый 
С .

Решение:
Имеется
материал 5 разных цветов, т.е. пятиэлементное множество



, ,
, ,
К Б Г З С . Из этого множества нужно извлечь 3-х элементные подмножества (3 цвета 

ткани для флагов), которые между собой должны различаться и порядком следования 

элементов, и составом. Например, выборки  

KСГ
и 

СКГ
различаются  только

порядком следования элементов, но  в реальной жизни это разные флаги. Выборки 

СКЗ

и 

KСГ
различаются составом элементов и это очевидно тоже разные флаги. Т.е. нас 

интересуют число комбинаций, различающихся и порядком следования элементов, и 

составом элементов. Их мы определили как размещения, количество которых равно 

3
5
5!
3 4 5
60
2!
A 
   
.

Выборки с повторением элементов

Рассмотрим другой способ формирования выборок из n элементного множества, когда

во вновь получаемых соединениях, элементы могут повторяться.  Такие выборки называют 

выборками с повторением.

Размещения с повторением

Пусть дано конечное множество 


1
2
,
,....,
,
1
n
A
x x
x
n

 . Составим из элементов A

упорядоченные подмножества следующим образом: произвольно (случайно)  выберем 

первый элемент 
1ix , зафиксируем его и вернём обратно, затем опять случайно выбираем 

второй  элемент 
2
ix
и возвращаем назад и так далее, процедуру выбора повторим k раз. В 

результате проведения данной процедуры получим выборку из 
k
элементов 



1
2
,
1
,
,....,
i
i
ik
k
x
x
x
 , которая называется размещением с повторением.

Пример 1.8.: Дано множество 


7,8,9
A
. Записать размещения с повторением по 3

элемента.

Решение: Запишем  все размещения с повторением по 3 элемента из элементов множества 

A , количество которых 27:

 

3⏟

3 числа могут 

быть на 1−ом месте

∙
3⏟

3  числа могут 

быть на 2−ом месте

∙
3⏟

3  числа могут 

быть на 3−ем месте

⏞                                

выборка по 3 элемента

=⏟

итого

27 вариантов


 
 
 
 
 
 

 



 
 
 
 
 
 
 
 



 
 
 
 
 
 
 
 


,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
,
,
,
,
,
,
,

,
,
,
,
,
,
,
,
.

7,7,7
7,8,8
7,7,8
7,8,7
7,9,9
7,9,7
7,7,9 7,9,8
7,8,9

8,8,8
8,7,7
8,7,8
8,8,7
8,9,9
8,9,8
8,8,9
8,9,7
8,7,9

9,9,9
9,8,8
9,8,9
9,9,8
9,7,7
9,7,9
9,9,7
9,8,7
9,7,8

Определение размещений с повторением может быть записано и в такой формулировке:

Определение 4. Пусть множество 

1

n

i

i

A
A



 
, и каждое из множеств  
iA , 
1,
,  
i
n
 
, содержит 

не менее m однотипных элементов. Размещениями с повторением из n элементов по m

элементов называются упорядоченные множества, состоящие из m элементов множества 

А.

Число размещений с повторениями находится по формуле:

m
m

n
A
n


Пример 1.9. Пусть дано множество  A и подмножества  
iA , для которых справедливо 

3

1

:
i

i

A
A



 

(1
1)
⏟    

подмножество А1 содержит

 2 однотипных элемента

    и 
(2
2)
⏟    

подмножество А2 содержит

 2 однотипных элемента

и 
(3
3)
⏟    

подмножество А3 содержит

 2 однотипных элемента
⏟                                              

𝑛=3

Выпишем все размещения с повторением для данного множества A , при 
3
n 
и 
2
m 

2
2

3
3
9:
A 


(1
1), (2
2), (3
3), (1
2), (2
1), (1
3), (3
1), (2
3), (3
2).

Перестановки с повторением

Пусть исходное множество содержит n элементов


1
2
,
,....,
n
A
x x
x

. При этом: 

элемент 
1x  повторяется 
1n раз;