Определение момента инерции твердых тел при помощи трифилярного подвеса

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ 
ТВЕРДЫХ ТЕЛ ПРИ ПОМОЩИ 
ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА  
 
 
Методические указания 
для выполнения лабораторной работы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2016 

РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО методической комиссией 
физического факультета 
 
 

Председатель комиссии          
      В. М. Вымятнин 
 
 
 
 
 
Работа посвящена изучению вращательного движения 
твердых тел.. Даются описания способа определения момента 
инерции твердых тел методом крутильных колебаний с помощью 
трифилярного подвеса и экспериментальной проверки теоремы 
Штейнера. 
 
Методические 
указания 
рассчитаны 
на 
студентов 
нефизических специальностей очной и заочной форм обучения. 
 
 
 
 
Составитель: доцент В.Ф. Нявро 
                                 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2016 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ 
ПРИ ПОМОЩИ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА 
 
Цель работы: изучение вращательного движения твердых 
тел: определение момента инерции твердых тел методом 
крутильных колебаний с помощью трифилярного подвеса; 
экспериментальная проверка теоремы Штейнера. 
 
МОМЕНТ ИНЕРЦИИ 
ОСНОВНОЙ ЗАКОН ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА 
 
 
Тело, расстояние между любыми двумя точками которого 
неизменно, называется абсолютно твердым телом, то есть размеры 
и форма абсолютно твердого тела не изменяются под действием 
приложенных сил. Представление об абсолютно твердом теле 
является абстракцией. Реальное твердое тело можно считать 
абсолютно твердым, если изменение размеров и формы тела под 
действием силы ничтожно мало. 
 
Движение твердого тела называется поступательным, 
если отрезок прямой, соединяющий любые две точки тела, 
сохраняет 
неизменное 
направление 
в 
пространстве. 
Следовательно, все точки тела движутся одинаково, то есть имеют 
одинаковые скорости и ускорения. 
Вращательным 
движением 
твердого 
тела 
вокруг 
неподвижной оси называют такое движение, при котором все 
точки тела, не лежащие на оси, описывают окружности. При 
вращении тела вокруг неподвижной оси в любой момент времени 
линейные скорости материальных точек, лежащих на разных 
расстояниях от оси вращения, различны. 
Разобьем твердое тело на элементарные участки массы 
i
m , 
каждый из которых можно считать материальной точкой,то есть 
линейные размеры участка много меньше расстояния до оси 
вращения. 
Кинетическая 
энергия 
тела 
находится 
как 
сумма 
кинетических энергий всех составляющих его материальных 
точек: 








n

i
i
i

n

i
ki
v
m
E
E

1

2

1
2
1
 
 
 
 (1) 

Учитывая связь линейной скорости с угловой 
i
i
r
v


 (ri – 
расстояние  i–той материальной точки до оси вращения; ω – 
угловая скорость, одинаковая для всех точек тела), кинетическую 
энергию тела (1) запишем в виде 
 

     










n

i
i
i

n

i

n

i
i
i
i
i
r
m
r
m
v
m
E

1

2
2

1
1

2
2
2
2
1
2
1
2
1


     (2) 

 
Произведение массы mi материальной точки на квадрат 
её расстояния ri  от оси вращения называется моментом 
инерции материальной точки относительно данной оси  
 
2
i
i
i
r
m
I 
 
 
 
 
 
(3) 

 
Момент инерции тела относительно данной оси вращения 
равен сумме моментов инерции всех материальных точек 
 

2

1
1
i
i

n

i
i

n

i
r
m
I
I






  
 
 
 (4) 

 
Момент инерции – скалярная величина, зависящая от массы тела и 
её распределения относительно оси вращения. Момент инерции 
характеризует инертные свойства тела при вращении: чем 
больше эта величина, тем большую энергию надо затратить 
для сообщения телу заданной угловой скорости. Единицей 
измерения момента инерции является в системе СИ 1 кг .м 2  и  1 г 
.см 2 в системе СГС. 
 
Движение вращающегося вокруг неподвижной оси тела 
подчиняется 
основному 
закону 
динамики вращательного 
движения 
М
I

, 
где М - результирующий момент сил; I - момент инерции тела и 
 - угловое ускорение. 

ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА 
 
 
Наиболее просто рассчитываются моменты инерции 
однородных тел правильной геометрической формы относительно 
оси, проходящей через центр масс. В таблице приведены моменты 
инерции некоторых тел 
 

Форма тела 
Положение оси 
вращения 
Момент инерции 
тела 

Совпадает с осью 
симметрии 
 
 
 
m -масса диска, 
R -радиус диска. 

Проходит 
через 
центр 
масс 
перпендикулярно 
грани. 



2
2
1
12
I
m a
b


 

a -длина бруска, 
b - 
ширина 
бруска 

Проходит 
через 
центр масс 

2
2
5
I
mR

 

m -масса шара, 
R -радиус шара. 

Если тело вращается относительно оси, не проходящей 
через центр масс, то момент инерции в этом случае можно найти с 
помощью теоремы Штейнера: момент инерции тела 
I  
относительно произвольной оси, равен сумме момента 

Диск 

Брусок

Сплошной шар 

2
1
2
I
mR

 

инерции 
0I  относительно оси, проходящей через центр масс и 
параллельной данной, и произведения массы тела m  на 
квадрат расстояния 
2
a между осями: 
 
2
0
I
I
ma


  
 
 
 
(6) 

Например, момент инерции диска относительно оси О О
 (рис.1) 
равен: 
 

2
2
2
3
2
2
mR
I
mR
mR



 

Приведенный 
пример 
показывает, что с удалением 
центра масс от оси вращения 
момент 
инерции 
тела 
относительно 
этой 
оси 
возрастает. 
 
 
 
 
 
 
ТРИФИЛЯРНЫЙ ПОДВЕС 
 
 
Для экспериментального определения момента инерции 
тел можно использовать трифилярный подвес. Трифилярный 
подвес представляет собой две платформы, связанные тремя 
симметрично расположенными нитями. Платформа меньшего 
радиуса   r  укреплена на кронштейне и неподвижна, а платформа 
большего радиуса R может совершать крутильные колебания 
вокруг оси, проходящей через центр платформы перпендикулярно 
к её плоскости (гармоническими крутильными колебаниями 
тела называются периодические движения относительно оси, 
проходящей через центр масс тела, когда угол отклонения от 
положения равновесия изменяется по закону синуса или 

О

О
О  

О  

Рис. 1 

косинуса). Период крутильных колебаний платформы зависит от 
момента 
инерции 
платформы, 
который 
изменяется, 
если 
платформу нагрузить каким-либо телом. Этим  пользуются в 
настоящей работе. 
 
Выведем платформу массой  M  из состояния равновесия, 
повернув её вокруг оси на небольшой  угол, при этом центр масс 
приподнимется на высоту  h  (рис.2 ). Если пренебречь силами 
трения, то при крутильных колебаниях платформы будет 
выполняться закон сохранения механической энергии. Будем 
полагать потенциальную энергию платформы в положении 
равновесия равной нулю, тогда 

 
 
   

2
0
2
I
Mgh


,  
 
  
        (7) 

где М – масса платформы, 

2
0
2
I
 - кинетическая энергия 

платформы при прохождении положения равновесия. 
Математические расчеты, которые мы не приводим, 
позволяют сделать вывод, что при малых углах отклонения от 
положения равновесия колебания, совершаемые платформой, 
можно cчитать гармоническими, то есть угловое смещение 
платформы   будет меняться по закону: 

                          
0
2
sin
t
T

  
, 
 
 
      (8)                       

где 
0
 - амплитуда углового смещения, Т – период колебания 
платформы. 
 
Угловая скорость платформы равна производной по 
времени от φ  

 
 
0
2
2
d
cos
t
dt
T
T




 
 
 
 
     (9) 

В момент прохождения платформой положения равновесия 

            (
1
3
0,
, ,
)
2
2
t
T T
T

 

 максимальное значение угловой скорости будет: 

0
0
2
T



  
 
 
 
(10) 

Тогда выражение  (7) можно записать так: 

 

2
0
2
2
I
Mgh
T







                                          (11) 

           Высота, на которую поднимается центр массы платформы 
при малых колебаниях, как следует из рис2, равна: 

 

2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
h
h
h
h
h
h
h
h
h









 
 
 (12) 

Из рис.2 найдем 
1h  
и 
2h  
 

 


2
2
2
1h
R
r




 

 





2
2
2
2
2
2
2
0
2
cos
h
BC
R
r
Rr










О  

О 
О

О

R  

1h  
2h

 
B 

C 

Рис. 2 

0
  
h  

r




Полученные значения 
2
1h  
и 
2
2h  подставим в (12), после 
простых преобразований получим: 

 



2
2
0
0

0
2
2sin
4
sin
2
1 cos
2
2
2
2
2

Rr
Rr
Rr
h











 

 

При малых углах отклонения. 

2

2
0
0
sin
2
2




 



, тогда 

 

2
0
2
0
4
2
2
2

Rr
Rr
h















 
 
 
(13) 

Подставляя (13) в (11), получим : 
 

 

2
2
0
0
2
2
2
Rr
I
Mg
T










 

Это выражение позволяет рассчитать момент инерции платформы, 
совершающей крутильные колебания, если известны параметры 
трифилярного подвеса 
, , ,
M R r   и период её малых колебаний Т : 
 

 

2

2
4

RrT
I
Mg

    
 
 
 
(14) 

 
 
МЕТОДИКА РАБОТЫ 
 
1 Определение 
момента 
инерции 
ненагруженной 
платформы. 
 
Осторожно выведите платформу из положения равновесия, 
поворачивая её на малый угол 3
5


 . Измерьте секундомером 
время t , за которое платформа совершит n  полных колебаний и 
вычислите период колебаний: 

t
Т
n

  

Измерения времени колебаний следует провести не менее пяти 
раз. Результаты занесите в таблицу 1. 
Т а б л и ц а  1  
 
№ 
п/п 

Число 
колебаний n 
Время t ( c) 
Период Т 
(с ) 
 
ср
Т
с  

1. 
2. 
3. 
4. 
5 
 

 

 
Найдите среднее значение периода колебаний 
 
ср
Т
с и, используя 

выражение (14), вычислите момент инерции ненагруженной 
платформы I . 
 
2 Определение 
момента 
инерции 
платформы, 
нагруженной исследуемым телом. 
 
Положите исследуемое тело в центр платформы, сообщите ей 
малые крутильные колебания. Повторите измерения п.1 и 
определите период этих колебаний. Результаты занесите в таблицу 
2. 
Т а б л и ц а  2  
 
№ 
п/п 

Число 
колебаний n 
Время  t 
( c ) 
Период Т 
(с ) 
 
ср
Т
с  

1. 
2. 
3. 
4. 
5