Теория вероятностей и математическая статистика

Г. В. Зыкова, В. В. Пергунов 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 

Практикум-задачник 

2-е издание, стереотипное 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2017 

УДК 51 
ББК  22.17 
 З 96 

НАУЧНЫЙ РЕДАКТОР: 
д-р пед. наук, профессор, зав. кафедрой алгебры, геометрии, теории и методики 
обучения математике ОРГТИ (филиала) ОГУ Т.И. Уткина 

РЕЦЕНЗЕНТЫ: 
канд. эконом. наук, доцент, зав. кафедрой прикладной информатики 
в экономике Орского филиала МФЮА Е.Е. Сурина; 

канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры общих профессиональных дисциплин 
Орского филиала СамГУПС В.Б. Чурсин 

Зыкова Г.В. 
З 96    Теория вероятностей и математическая статистика [Электронный ресурс] практикум-задачник / Г.В. Зыкова, В.В. Пергунов. — 2-е изд., стер. — 
М. : ФЛИНТА, 2017. — 193 с. 

ISBN 978-5-9765-3415-5 

Практикум-задачник, вместе с ранее изданным курсом лекций по 
теории вероятностей и математической статистике, представляет собой 
завершенный учебно-методический комплекс для организации учебных 
занятий и самостоятельной работы студентов по разделу «Теория вероятностей и математическая статистика» дисциплины «Математика». Написано в соответствии с учебным планом и рабочими программами для бакалавров направления «Педагогическое образование», профили «Математика», «Информатика и ИКТ», «Физика», но может быть использовано и 
для работы со студентами направлений экономических и технических 
специальностей. 
Практикум может оказаться полезным и учителям математики и 
информатики, работающим в профильных классах средних общеобразовательных школ и гимназий.  
УДК 51 
ББК  22.17 

ISBN 978-5-9765-3415-5
   © Зыкова Г.В., Пергунов В.В., 2017 
  © Издательство «ФЛИНТА», 2017 

Содержание 

Предисловие ...……………………………………………………
5

1. Теория вероятностей …………………………………………
7

1.1. Элементы комбинаторики …………………………….….
7

1.1.1. Справочный материал ………………………….…
7

1.1.2. Примеры решения задач ………………………..…
8

1.1.3.Задачи для самостоятельного решения ……………
12

1.2. Алгебра событий. Вероятность .………………………...
14

1.2.1. Справочный материал …………………………….
14

1.2.2. Примеры решения задач ………………………….
17

1.2.3. Задачи для самостоятельного решения …………
23

1.3. Алгебра вероятностей .…………………………………...
26

1.3.1. Справочный материал …………………………….
26

1.3.2. Примеры решения задач ………………………….
27

1.3.3. Задачи для самостоятельного решения ………….
33

1.4. Формула Бернулли. Предельные теоремы Лапласа .…..
37

1.4.1. Справочный материал …………………………….
37

1.4.2. Примеры решения задач ………………………….
40

1.4.3. Задачи для самостоятельного решения ………….
44

1.5. Дискретная одномерная случайная величина .…………
48

1.5.1. Справочный материал …………………………….
48

1.5.2. Примеры решения задач ………………………….
53

1.5.3. Задачи для самостоятельного решения …………
61

1.6. Непрерывная одномерная случайная величина .……….
63

1.6.1. Справочный материал …………………………….
63

1.6.2. Примеры решения задач ………………………….
70

1.6.3. Задачи для самостоятельного решения …………
80

1.7. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева .………..
85

1.7.1. Справочный материал …………………………….
85

1.7.2. Примеры решения задач ………………………….
87

1.7.3. Задачи для самостоятельного решения …………
92

1.8. Индивидуальные контрольные задания …………………
94

1.8.1. Варианты индивидуальных контрольных заданий
94

1.8.2. Решение задач образца контрольного задания ...
117

1.8.3. Ответы ………………………………………………
123

2. Математическая статистика ………………………………...
129

2.1. Первичная статистическая обработка 

экспериментальных данных ……..……………………………….
129

2.1.1. Задания к лабораторной работе 1 …………………
129

2.1.2. Справочный материал …………………………….
132

2.1.3. Образец выполнения лабораторной работы 1.……
136

2.2. Интервальные оценки параметров распределения 

генеральной случайной величины ..............................................
139

2.2.1. Задания к лабораторной работе 2 ……………….
139

2.2.2. Справочный материал …………………………….
144

2.2.3. Образец выполнения лабораторной работы 2 ….
149

2.3. Проверка статистических гипотез о значении 

параметров и законах распределения генеральной случайной 
величины …………………………………………………..………
154

2.3.1. Задания к лабораторной работе 3 ……………….
154

2.3.2. Справочный материал …………………………….
157

2.3.4. Образец выполнения лабораторной работы 3 ……
161

2.4. Проверка статистических гипотез о виде закона 

распределения генеральной случайной величины ….………..…
167

2.4.1. Задания к лабораторной работе 4 ……………….
167

2.4.2. Справочный материал …………………………….
169

2.4.3. Образец выполнения лабораторной работы 4 ….
171

2.5. Элементы корреляционного анализа ....…………………
172

2.5.1. Задания к лабораторной работе 5 …………….….
172

2.5.2. Справочный материал ………………………….…
177

2.5.3. Образец выполнения лабораторной работы 5 ….
179

Библиографический список ……………………………………
185

Приложение. Табличные значения стандартных величин ……
186

Предисловие 

Данное учебное пособие представляет собой практикумзадачник по теории вероятностей и математической статистике для 
подготовки бакалавров «Педагогическое образование» профилей 
«Математика», «Информатика и ИКТ», «Физика», а также направлений экономических и технических специальностей утвержденных в 
Орском гуманитарно-технологическом институте (филиале) ОГУ. 
Пособие завершает учебный комплекс вместе с ранее изданным курсом лекций по теории вероятностей и математической статистике 
[11]. 
Данная работа включает в себя две части. В части 1 подобраны 
задачи по всем основным разделам классической теории вероятностей и комбинаторики и распределены по 8 главам. В 1-7 главах дается необходимый справочный материал и приведены решения типичных задач. После этого предлагается достаточно большой список задач для самостоятельного решения. Эти задачи послужат основой для 
организации аудиторных практических занятий и домашних работ. В 
8-й главе представлены 20 вариантов контрольных заданий, по 7 в 
каждом варианте, с образцами решений. Эти контрольные задания 
предназначены для организации индивидуальной самостоятельной 
работы студентов. В конце части 1 даны ответы к задачам для самостоятельного решения по главам 1-7. На наш взгляд, это облегчит работу как студента, так и преподавателя. 
В части 2 предложены пять лабораторных работ по математической статистике. Каждая лабораторная работа состоит из 10 вариантов. К оформлению работы и последующей ее защите, можно предъявить следующие требования: работа должна иметь  
– теоретическую часть в форме реферата по данной теме;
– расчетно-практическую часть (решение предложенной задачи); 
– описание процесса использования компьютерных программ
для статистических расчетов; 
– компьютерное оформление выполненной работы.
Самостоятельному выполнению каждой лабораторной работы 
должно предшествовать решение задач, предложенных в практикуме 
по каждой теме в виде некоторого образца. Таким образом, учебное 
пособие позволяет полноценно организовать систему аудиторных 
практических занятий, индивидуальную самостоятельную работу 

студентов и в итоге способствует реализации единых требований к 
качеству подготовки студентов по теории вероятностей и математической статистике. Все задачи в основном имеют практическое содержание для того, чтобы учащиеся уже здесь знакомились с кругом 
возможных приложений вероятностных методов, хотя и в адаптированном виде.

В конце пособия представлен список используемой учебной и 

учебно-методической литературы. Этот список не претендует на полноту. В самой работе мы не ставили ссылки на используемые источники, поскольку указывать для каждой задачи еѐ авторство не целесообразно. Для удобства в приложении приведены таблицы, необходимые для решения задач.

Таким образом, при создании данного практикума авторами бы
ла реализована цель: систематизировать изучаемый материал по темам, подобрав целесообразный задачный материал, облегчить работу 
преподавателя и студента по изучению курса теории вероятностей и 
математической статистики в соответствии с программами подготовки бакалавров направления «Педагогическое образование», профилей 
«Математики», «Информатики и Физики», принятыми в Орском гуманитарно-технологическом институте (филиале) ОГУ.

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Элементы комбинаторики

1.1.1. Справочный материал

Правило сложения. Если некоторый объект А можно выбрать m

способами, а объект В – n способами, причем выбор объекта А отличается от выбора объекта В, то объект «А или В» можно выбрать

n
m
способами.
Правило умножения. Если объект А можно выбрать m способа
ми и с каждым выбором объекта А можно выбрать объект В n способами, то выбор пары «А и В» можно осуществить 
n
m
способами.

Оба правила можно распространить на любое конечное число 

объектов. Однако на практике правило умножения удобно применять 
в форме следующей теоремы: Пусть имеется r переменных величин, 
каждая из которых может принимать определенные значения. Первая величина принимает 
1n значение, вторая –
2n значений и так да
лее, r -ая –
rn значений. Из этих значений, взятых по одному для 

каждой величины, составляются упорядоченные подмножества, 
называемые выборками. Тогда число всевозможных выборок значений из r переменных величин равно произведению 
rn
n
n
...
2
1
.

В частности, если все переменные величины принимают одина
ковое число значений, то есть
n
n
n
n
r
...
2
1
, то число всевоз
можных выборок равно 

rn .

Будем исходить из некоторого множества N , содержащего n

элементов. И будем составлять из этих элементов различные множества мощности m. При этом допустимы следующие способы образования таких множеств:

– неупорядоченные множества, называемые сочетаниями. Поря
док выбора элементов в такие множества роли не играет;

– упорядоченные множества, называемые размещением. Поря
док выбора элементов в такие множества существенен;

– все выбираемые в подмножество элементы различны. Такой 

способ выбора назовем «выбором без повторений»;

– элементы,  выбираемые в подмножество, могут повторяться от 

1 до m раз. Такой способ выбора назовем «выбором с повторением».

Число всевозможных подмножеств из n элементов по m, в зави
симости от способа образования подмножества, вычисляют по формулам, представленным в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Формулы комбинаторики

Схема 
выбора

Размещения
Перестановки
Сочетания

Без повторений
)!
(

!

)1
)...(
2
)(
1
(

m
n

n

m
n
n
n
n
A

m
n
!n
Pn

)!
(!

!

m
n
m

n
C

m
n

С 
по
вторением

m
m
n
n
A~

!
!...
!

!

)
,...,
,
(

2
1

2
1

k

k
n

n
n
n

n

n
n
n
P

)
...
(
2
1
n
n
n
n
k

m

m
n

m
n
C
C
1

~

Свойства биномиальных коэффициентов:

!

)1
)...(
2
)(
1
(

!
k

k
n
n
n
n

k
A
C

k

n
k

n

k
n

n

k

n
C
C

1

1
1

k

n

k

n

k

n
C
C
C

n
n

n
n
n
n
C
C
C
C
2
...

2
1
0

1

0
n

n
n
C
C

1.1.2. Примеры решения задач

1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из 

цифр множества 
4
,3
,2
,1,0
A
если:

а) цифры не повторяются;   
б) цифры могут повторяться.

Решение. а) Рассмотрим систематическую запись трехзначного 

числа в виде упорядоченной тройки переменных величин XYZ , принимающих значения из множества А. Тогда первая цифра может принять 4 значения (с нуля число не начинается), вторая – 4, третья – 3. 

Согласно теореме умножения имеется 
48
3
4
4
различных выборок 

значений соответствующих цифр, то есть искомых трехзначных чисел будет 48.

б) Если цифры могут повторяться, то цифры десятков и единиц 

могут принимать любые из пять значений, а первая цифра только 4 
значения. Таким образом, количество трехзначных чисел в этом случае равно 
100
5
5
4
.

Комментарии. Данная задача легко переводится в термины пра
вила умножения. Однако еѐ можно решать, используя и формулы 
комбинаторики. Для этого заметим, что мы из множества, содержащего пять элементов, составляем подмножества из трех элементов 
либо по схеме без повторений, либо по схеме с повторением, с учетом 
специфики выбора первой цифры трехзначного числа. Тогда понятна 
следующая запись решения:

а) 
48
3
4
3
4
5

2

4

3

5
A
A
б) 
100
5
5
~
~
2
3
2

5

3

5
A
A

Таким образом, от способа рассуждения зависит и выбор той 

или иной формулы комбинаторики или еѐ правил.

2. Сколькими способами можно посадить 3 человек на 5 стульев?
Решение. Для того, чтобы усадить 3 человек на стулья, надо вы
брать три стула из пяти. Это можно сделать 
10
!3

3
4
5
3

5
C
способа
ми. При каждом способе выборов 3 стульев можно менять людей местами 3! = 6 способами. По правилу умножения число всевозможных 
способов посадки 3-х человек на 5 стульев равно 60.

Комментарии. Заметим, что 
60
!3

3

5

3

5
A
C
. Возникает вопрос: 

как построить рассуждения, чтобы сразу прийти к формуле размещений. Очевидно, что для этого необходимо каким-либо образом упорядочивать множество людей. Для этого, например, можно занумеровать 5 стульев и присваивать каждому из 3 человек, как переменным 
величинам, определенный номер стула. Задача свелась к  отысканию
количества различных троек чисел из данных пяти без повторения (на 
одном стуле не может сидеть сразу несколько человек).

3. В ящике 15 деталей, среди них 6 бракованных. Наудачу выби
рается комплект из 5 деталей. Сколько всего может быть комплектов, 
содержащих 2 бракованные детали?

Решение. Решение данной задачи фрагментально входит в ре
шение задачи на определение вероятности того, что среди наудачу 
взятых 5 деталей 2 детали окажутся бракованными. Для подсчета 
числа таких пятерок удобно пользоваться  следующей схемой:

х
стандартны

х
бракованны
дет 9

6
.
15
х
стандартны

х
бракованны
дет 3

2
.
5

Каждая пятерка состоит из двух видов деталей (двух объектов) –

бракованных и стандартных. Для выбора деталей первого вида име
ется 
15
!2
5
6
2

6
C
способов, а для выбора деталей второго вида име
ется 
84
!3

7
8
9
3

9
C
способа. Согласно правилу умножения выбрать 

две 
детали 
бракованных 
и 
три 
стандартных 
можно 

1260
84
15

3

9

2

3 C
C
способами.

4. Каждый ученик класса – либо девочка, либо блондин, либо 

любит математику. В классе 20 девочек, из них 12 блондинок и одна 
любит математику. Всего в классе 24 ученика-блондина, математику 
из них любят 12, а всего учеников (мальчиков и девочек), которые 
любят математику –17, из них 6 девочек. Сколько учеников в данном 
классе?

Решение. Обозначим через А – множество девочек класса, В –

множество блондинов, С – учеников, которые любят математику. Тогда 
)
(
C
B
A
N
– искомое число. 
B
A
– множество блондинок, 

C
A
– девочки-математики, 
C
B
– блондины, которые любят ма
тематику, 
C
B
A
– множество блондинок-математиков. Из усло
вия задачи следует, что: 
12
)
(
B
A
N
, 
6
)
(
C
A
N
,
12
)
(
C
B
N
, 

1
)
(
C
B
A
N
. Применяя формулу подсчета числа элементов в 

объединении трех множеств, получим:

32
1
12
6
12
17
24
20
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

C
B
A
N
C
B
N

C
A
N
B
A
N
C
N
B
N
A
N
C
B
A
N

5. Три человека вошли в лифт на 1-м этаже восьмиэтажного до
ма. Сколько можно составить вариантов выхода пассажиров из лифта 
на нужных этажах?

Решение. Каждый пассажир может выйти на любом из семи 

этажей со 2-го по 8-й включительно. Следовательно, надо рассматривать схему выбора с повторением. Будем различать пассажиров каким-либо образом, например 1, 2, 3 пассажиры. Тогда наборы из трех 
этажей отличаются не только номерами, но и принадлежностью тому 
или иному пассажиру. Значит, надо использовать формулу числа размещений с повторением из семи по три:

343
7
~
3
3

7A

6. В киоске имеется 3 вида поздравительных открыток к 8 марта. 

Сколькими способами юноши могут купить 7 открыток, чтобы поздравить девушек своей группы с праздником?

Решение. Поскольку видов открыток меньше, чем требуется ку
пить, и порядок выбора открыток роли не играет, то подсчет вариантов ведем по формуле сочетаний с повторением:

36
!2
8
9
~
2

9

7

9

7

3
C
C
C
.

7. Мужская сборная по волейболу в составе 12 человек прибыла

в гостиницу, в которой есть один 4-хместный, два 3-хместных и один 
2-хместный номера.
Сколько существует способов размещения 

спортсменов в гостинице?

Решение. Поскольку каждому спортсмену будет соответство
вать свой номер в гостинице, то заняты будут все 12 мест в четырех 
номерах. Тогда подсчет вариантов размещения спортсменов произведем по формуле числа перестановок с повторением:

200
277
!2
!3
!3
!4

!
12
)
2
,3
,3
,4
(
12
P
.

1.1.3. Задачи для самостоятельного решения 

1. Сколько существует различных десятизначных телефонных
номеров, не содержащих 1 и не начинающихся с нуля? 
2. Из пункта А в пункт В имеется 5 дорог. Сколько существует
вариантов проезда из пункта А в пункт В и обратно? 
3. Из пункта А в пункт В имеется 4 дороги. Из В в С имеется 7
дорог. Сколько существует вариантов проезда из пункта А в пункт С? 
4. Из 100 студентов университета английский язык знают 31,
немецкий – 27, французский – 45, английский и немецкий – 13, английский и французский – 12, немецкий и французский – 11, все три языка 
знают 3 студента. Сколько студентов не знают ни одного языка? 
5. Из 100 студентов университета английский язык знают 31,
немецкий – 27, французский – 45, английский и немецкий – 13, английский и французский – 12, все три языка знают 3 студента. Не 
знают ни одного языка 30. Сколько студентов знают немецкий и 
французский языки? 
6. В киоске продают 8 видов конвертов и 6 видов марок. Сколькими способами можно купить 3 различные конверта и 4 различные 
марки? 
7. Сколько существует различных пятизначных чисел, в которых
первая не может быть нулем, цифры не повторяются и последние две 
цифры должны быть 5 или 6? 
8. В колоде 36 карт. Сколькими способами можно вытащить из
колоды 6 карт, чтобы среди них было 2 туза? 
9. В урне лежат 6 красных, 5 синих и 4 зеленых шара. Сколькими способами можно вытащить из урны по два шара каждого цвета? 
10. В почтовом отделении имеются открытки 11 видов. Сколькими способами можно купить 9 открыток? 
11. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 фильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены одинаковые премии? 
12. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 фильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные  премии? 
13. Сколькими способами можно усадить за круглый стол 5
мужчин и 5 женщин так, чтобы ни какие 2 мужчины не сидели рядом?