Кольца и модули


А.Н. Абызов
А.А. Туганбаев





                КОЛЬЦА И МОДУЛИ





















Москва Издательство «ФЛИНТА» 2017

УДК 512.55
ББК 22.144
     А13









     Абызов А.Н.
А13 Кольца и модули [Электронный ресурс] : монография / А.Н. Абызов, А.А. Туганбаев. — М. : ФЛИНТА, 2017. — 258 с.

     ISBN 978-5-9765-2940-3

     Данная монография посвящена изложению теории ассоциативных колец с единицей и модулей над ними в случае не обязательно коммутативных колец. Материал представлен в виде теорем, определений, примеров и задач.
     Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся кольцами и модулями. Она может служить учебным пособием для студентов и аспирантов, изучающих современную алгебру.
     Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 16-11-10013).
УДК 512.55
ББК 22.144







ISBN 978-5-9765-2940-3

© Абызов А.Н., Туганбаев А.А., 2017
             © Издательство «ФЛИНТА», 2017

                       Оглавление



   1 Кольца, алгебры и гомоморфизмы........................... 4
   2  Первичные и полупервичные идеалы .................... 29
   3  Радикал Джекобсона................................... 34
   4  Групповые кольца .................................... 38
   5  Модули, подмодули и гомоморфизмы .....................44
   6  Проективные и свободные модули .......................67
   7  Модули с условиями на прямые слагаемые ...............71
   8  Порождающие и копорождающие модули ...................79
9 Малые и существенные подмодули, дополнения и замыкания.................................... 85
10 Радикал Джекобсона и цоколь модуля, сингулярные и косингулярные модули ....................... 95
   11 Полупростые и кополупростые модули ................... 101
   12 Локальные и полулокальные кольца ................... 110
   13 Артиновы и нетеровы модули. Полуартиновы и полунетеровы модули ..................... 115
   14  Кольца, близкие к регулярным ...................... 130
   15 Модули, близкие к проективным и инъективным......... 151
   16  Непрерывные и дискретные модули...................... 162
   17 Тензорное произведение и плоские модули .............. 168
   18 Кольца формальных матриц. Подструктуры Hom ........... 175
   19 Решения и указания ................................. 190
   20  Список обозначений .................................. 257

Кольца, алгебры и гомоморфизмы

   Абелева группа A со еложением + называется преАояъцом, если A также является полугруппой относителвно дополнителвной операции умножения • и
(х + у) • z = х • z + y • z и z • (x + y) = z • x + z • y
для всех x,y,z E A. В этом случае группа A со еложением + назвхвает-ся аддитивной группой предколвца A. Множество N всех натуралвнвхх чисел не является предколвцом относителвно обвхчного сложения и умножения, посколвку не является группой по сложению. Предколвцо A со сложением + и умножением • назвхвается колъцом, если A обладает ней-тралвнвхм элементом относителвно •. Множество 2Z всех четнвхх целвхх чисел с обвхчнвхми сложением и умножением является примером предколвца, не являющегося колвцом.
   Если A - предколвцо и B - такое подмножество в A, что b1 + b₂ E B и b1b₂ E B для всех b1, b₂ E B, то B назвхвается подпредколъцом в A. Если A - колвцо и B - такое подпредколвцо колвца A, что B - колвцо, то B назвхвается подкольцом колвца A. Подпредколвцо 2Z в колвце целвхх чисел Z не является подколвцом в Z.
   Если B - подколвцо колвца A, содержащее единицу колвца A, то B назвхвается унитарным подкольцом в A. Если A - колвцо всех (n х п)-матриц над колвцом A, n > 1, и eii - матричная единица, то eiiAeii -подколвцо с единицей eii в A, не являющееся унитарнвхм подколвцом в колвце A.
   Если A - колвцо, содержащее централвное подколвцо R, то A назвхвается алгеброй над R или R-алгеброй. Тело гамилвтоноввхх кватернионов H является алгеброй над полем действителвнвхх чисел R, но не алгеброй над полем комплекенвхх чисел C.
   Элемент а колвца A назвхвается обратимым справа (соотв., слева), если ввхполнено равенство ab = 1 (cooтв., ba = 1) для некоторого b E A. Элемент обратимвхй справа и слева назвхвается обратимым. Множество всех обратимвхх элементов колвца A обозначается через U(A). Например, U (Z) = {1, —1}. Ес ли A - колвцо всех линейнвхх преобразований

4

бесконечномерного векторного пространства V с базисом v1,v₂,... и а, b - такие преобразования, что для любого i Е N имеем a(vi) = vᵢ₊₁, b(vᵢ₊₁) = vi, b(v1) - нулевой вектор, то ba - тождественное преобразование и a - обратимый слева элемент колвца A. Нетрудно проверитв, что а не обратим справа.
   Аентром колвца A называется подмножество {с Е A | ac = ca, Va Е A}, обозначав мое через C (A). Каждое под множество в C (A) назвхвается Антральным подмножеством в A. Элемент e Е A назвхвается идемпотентом., если e = e². Идемпотент e Е A назвхвается центральным, если e Е C(A).
   Элемент a Е A назвхваетс я правым (левым) делителе a нуля в A, если 'A(a) = 0 (rA(a) = 0). Эле мент a Е A назвхвается неделителем нуля в A, если rA(a) = 'A(a) = 0. Колвцо назвхвается областью, если произведение любвхх двух его ненулеввхх элементов не равен нулю.
   Пуств A - предколвцо. Элемент a Е A назвхвается нильпотентным, если an = 0 для некоторого n Е N. Множество всех нилвпотентнвхх элементов колвца R обозначавтся через Nil(R). Колвцо Z или любое поле не содержит ненулеввхх нилвпотентнвхх элементов. Подмножество B С A назвхвается нильпотентным, если существует такое n Е N, что b1.. .bₙ = 0 для любвхх элементов b1,... ,bₙ Е B (это означает, что Bⁿ = 0). Предколвцо назвхвается нилькольцом, если все его элементах нильпотентны. Правый (левый) идеал называется правым (левым) т/,ль-идеалом, если все его элементы нильпотентны. Кольцо A называется кольцом индекса 6 n, если существует такое n Е N, что aⁿ = 0 для каждого нильпотентного элемента a Е A. Кольцо A называется кольцом ограниченного индекса, если A - кольцо индекса 6 n для некоторого n Е N. Кольцо без ненулевых нильпотентных элементов называется редуцированным кольцом.

    Идеалы, факторкольца и факторалгебры

  1.1. Опишите идеалы в следующих кольцах:


  1) Z;

5

  2) F - поле;
  3) Pi x ... x Pₙ, где Pi,... , Pₙ - поля;
  4) Fi x ... x Rₙ, где Fi,..., Rₙ - кольца;
  5) P[x], где F - поле;
  6) Mₙ(P), где F - поле;
  7) Mn(R'), где F - произвольное кольцо;
  8) CFMi(P), где F - поле.

   1.2. Постройте факторкольца.

  1) W]/(2);
  2) W]/(5);
  3) Z[i]/(3);
  4) Z[i]/(7);
  5) Z[i]/(l + i);
  6) Z[C3]/(1 + 73);
  7) Z[C3«]/(1 + 2\/3i);
  8) ^[ж]/(ж);
  9) ^[ж]/(ж² — 3);
10) ^[ж]/(ж² — 3, 2ж + 4);
11) ад/(1 -2ж);
  12 ^2[ж]/(ж²);
13) 2^|ж]/(ж² + ж + 1);
14) ^2[ж]/(ж(ж + 1)).

6

   1.3. Докажите или опровергните следующие утверждения:
   1)   если I - минималвнвхй праввхй идеал колвца R, то Mₙ(I) - мини-малвнвхй праввхй идеал колвца Mₙ(R)
   2)   если I - максималвнвхй праввхй идеал колвца R, то Mₙ(I) - макси-малвнвхй праввхй идеал колвца Mₙ(R)
   3)   если I - минималвнвхй идеал колвца R, то Mₙ (I) - минималвнвхй идеал колвца Mₙ(R);
   4)   если I - максималвнвхй идеал колвца R, то Mₙ(I) - максималвнвхй идеал колвца Mₙ(R).
    1.4.    Покажите, что для идеала I колвца R следующие условия равносильны:
   1) I - максималвнвхй идеал;
   R R/I - простое колвцо.
   1.5. Пуств R - ненулевое колвцо. Тогда
   1)   всякий собственнвхй идеал колвца R содержится в максималвном идеале;
   R всякий собственнвхй праввхй идеал колвца R содержится в макси-малвном правом идеале.
   1.6.   Колвцо R назвхвается CI-кольцом, если для любой парвх идеалов A, B колвца R ввхполнено равенство AB = BA.

  1) Если R - CI-колвцо, то Mₙ(R) - CI-колвцо для любого натуралв-ного п.

  R Если R - CI-колвцо и e = e¹ ² ³ ⁴ ⁵ Е R, то eRe - CI-колвцо для любого натуралвного.

  3) Если R - простое колвцо, то R[x] - CI-колвцо.

  4) Ввхяснитв, является ли CI-колвцом колвцо Mₙ(R)[x], где R - коммутативное колвцо.

  5) Ввхяснитв, является ли CI-колвцом колвцо R[x], где R - CI-колвцо.

7

    Основные операции над идеалами


   1.7. Пусть A, B, C - идеалы кольца R. Докажите, что
  1) A(B + C) = AB + AC;
  2) A П (B + C) D A П B + A П C;
  3) если B C A, to A П (B + C) = B + A П C;
  4) если R - коммутативное кольцо и R = A + B, to A П B = AB.
   1.8. Пусть A, B, C - идеальi кольца Z. Докажите, что
  1) A П (B + C) = A П B + A П C;
  2) если A = (a), B = (b), то имеют место равенства
               AB = (ab), A + B = ((a, b)), A П B = ([a, b]),
    где через (a, b) и [a, b] обозначаются соответственно наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное элементов a и b.
   Семейство идеалов Д,... , Iₙ кольца R называется комаксималъным, если Is + It = R для каждой пары различных индексов s, t.
   1.9.   Покажите, что если Iᵢ,... , Iₙ - комаксимальное семейство идеалов коммутативного кольца R, то Iᵢ П ... П Iₙ = Iᵢ... Iₙ.
   1.10.    Докажите, что следующие условия равносильны для семейства идеалов Iᵢ,..., Iₙ кольца R :
  1) Д,..., Iₙ - комаксимальное семейство;
  2) R = Ii + Д ... In = I2 + I1I3 ... In-i = ... = In + Ii... In-i;
  3) R = I2 ... In + IiI3 ... In + ... + IiI2 ... In-i;
  4) Ims + Itmt = R, где s, t - различные индексы и ms, mt G N.

  Обратимые и нильпотентные элементы

8

   1.11. Пусть R - кольцо. Покажите, что если:
   1) n G Nil(R), то 1 + n G U(R);
   2) ab G Nil(R), то ba G Nil(R).
     1.12     (Лемма Джекобсона). Элемент 1 + ab кольца R обратим слева (соотв., справа) в точности тогда, когда элемент 1 + ba обратим слева (соотв., справа).
   1.13.   Пусть a,b,c- элементы кольца R. Покажите, что если aba = aca, то имеют место эквивалентности:
   1)   1 + ab - обратимый с права элемент о 1 + ca - обратимый справа элемент;
   2)   ab - обратимый с права элемент о ac - обратимый справа элемент;
   3)   r(1 + ab) = 0 о r(1 + ca) = 0;
   4)   l(ab) = 0 о l(ac) = 0.
   Кольцо R называется конечным по Дедекинду, если для любых элементов r,s G R из равенства rs = 1 еле дует sr = 1.
    1.14.    Покажите, что в каждом из следующих случаев кольцо R является конечным по Дедекинду:
   1) R - конечное кольцо;
   2) R - конечномерная алгебра над полем P;
   3) R - кольцо ограниченного индекса;
   4) R - редуцированное кольцо;
   5) R - кольцо без ненулевых нильпотентных идеалов;
   6)   в кольце R выполнено условие минимальности (максимальности) для главных правых идеалов порожденных идемпотентами;
   7)   в кольце R выполнено условие минимальности (максимальности) для правых аннуляторных идеалов.
    1.15.   Покажите, что если R - кольцо конечное по Дедекинду и е² = е G R, то eRe - кольцо конечное по Дедекинду.
   1.16.   Для произвольного кольца R через ф(Д) обозначим отображение ф(Д) : Nil(R) ■ U(R), действующее по правилу n ■ ■ 1 + n. Покажите, что:

9

   1)   ф(^п) является биекцией в точности тогда, когда n = 2k для некоторого натуралвного числа к;
   2)   если ф(Я) - биекция, то ф(Я[х]) также является биекцией;
   3)   если ф(Я) - биекция и e - идемпотент колвца Я, то ф(еЯе) - биекция;
   4)   если n Е Z и n > 1, то отображение ф(Мп(Я)) не является биекцией.
   1.17.   Пуств Я - коммутативное колвцо и f Е Я[х1,... , хп]. Покажите, что:
   1)   f Е U(R[xi,..., xₙ]) в точности тогда, когда свободный член многочлена f обратим, а остальные его коэффициентах - нильпотентные элементы;
   2)   f Е Nil(R[x1,..., xₙ]) в точности тогда, когда все коэффициенты многочлена f - нильпотентные элементы.
   1.18.   Пусть Я - ненулевое кольцо. Покажите, что если:
   1)   в кольце Я множество Я \ U(Я) аддитивно замкнуто, то Я \ U(Я) - идеал кольца Я, в котором содержится каждый собственный односторонний идеал кольца Я;
   2)   в кольце Я множество №1(Я) аддитивно замкнуто, то №1(Я) - под-предкольцо кольца Я.
    1.19.     Покажите, что всякая ненулевая конечномерная алгебра без делителей нуля является алгеброй с делением.
    1.20.    1) Пусть Я - коммутативное кольцо. Покажите, что матрица A Е Мп(Я) обратима в точности тогда, когда det(A) Е U(Я).
   2) Пусть Я - коммутативное подкольцо кольца S (не обязательно коммутативного). Покажите, что матрица A Е Мп(Я) обратима в кольце Mₙ(S) в точности тогда, когда det(A) Е U(S).

    Идемпотенты

   1.21.   Покажите, что для идемпотента e кольца Я следующие условия равносильны:
  1) e - центральный идемпотент;

10

  2) er = re = ere для каждого r E R;
  3) eR(1 - e) = (1 - e)Re = 0;
  4) Re, eR - идеалы кольца R;
  5) e коммутирует co всеми идемпотентами кольца R;
  6) e коммутирует co всеми нильпотентными элементами кольца R;
  7) e коммутирует со всеми обратимыми элементами кольца R.
   Идемпотент e кольца R называется полуцентралъным справа (соотв., слева), если er = ere (соотв., re = ere) для каждого r E R.
   1.22.   Покажите, что для идемпотента e кольца R следующие условия равносильны:
  1) e - полуцентральный справа идемпотент;
  2) 1 — e - полуцентральный слева идемпотент;
  3) Re - идеал кольца R;
  4) (1 — e)R - идеал кольца R;
  5) eR(1 — e) = 0.
   1.23.    Пусть e,f, g - полуцентральные слева идемпотенты кольца R. Покажите, что:
  1) e + f — ef - полуцентральный слева идемпотент и eR + fR = (e + f - ef )R;
  2) ef - полуцентральный слева идемпотент и eR П fR = efR;
  3) gR П (eR + fR) = gR П eR + gR П fR.
   1.24.    Пусть E1 - множество всех левых единиц предкольца R и E2 -множество всех правых единиц предкольца R. Покажите, что:
  1) если E1, E2 - непустые множество, то R - кольцо;

11