Элементы теории полезности: парадигма ограниченного замещения и некомпенсируемости

УДК 330.13+519.86
ББК 65.011+65в631
 
Ф34

АВТОР

Федулов Юрий Григорьевич,

д-р техн. наук, профессор,

действительный член Международной академии информатизации,

Лауреат премии имени М.В. Фрунзе

Ф34

Федулов Ю.Г.
Элементы теории полезности: парадигма ограниченного за
мещения и некомпенсируемости. – М.: Финансы и статистика,
2017. – 336 с.

ISBN 978-5-279-03590-8

Монография посвящена изложению основ теории полезности на новой па
радигме ограниченного замещения и некомпенсируемости полезности частных
аспектов ценности объектов произвольной природы. Прежние теории по умолчанию допускали неограниченное замещение полезности одних сторон ценности
объектов полезностью других сторон ценности, даже, если они являются принципиально несоизмеримыми. Важная часть монографии – решение проблемы скаляризации (т.е. получения одного интегрального показателя по значениям многих
частных показателей) векторного критерия оценки ценности объектов человеком,
составляющие которого поддаются статистическому наблюдению и измерению.

Формулируются необходимые и достаточные условия существования функ
ций полезности, сохраняющих упорядочение пользователем объектов. Приводятся
аналитические зависимости соответствующих функций полезности. Доказывается
теорема о возможности демократических выборов как позитивная альтернатива теореме Эрроу. Публикуются новые результаты по предпочтениям группы-членов
коллегии органа власти.

Предложены тесты для распознавания введенных предпочтений.
Для специалистов – теоретиков и практиков, занятых в управлении социаль
но-экономическим и политическим развитием регионов, специалистов в области
информатизации органов государственной и муниципальной власти, а также студентов, магистров, аспирантов и преподавателей соответствующих специальностей.

УДК 330.13+519.86
ББК 65.011+65в631

ISBN 978-5-279-03590-8

© Ю.Г. Федулов, 2017
© Издательство «Финансы и статистика»,

2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
7

ГЛАВА 1. Парадигма замещения полезности . . . . . . . .  
21

§ 1.1. Причины перехода на парадигму замещения

полезности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
21

§ 1.2. Классификация индивидуальных предпочте
ний лиц, принимающих решения (ЛПР)  . .  
37

§ 1.3. Монотонное и немонотонное предпочтения.

Иерархическая классификация . . . . . . . . . .  
44

§ 1.4. Компенсационные предпочтения . . . . . . . .  
53

§ 1.5. Некомпенсационные предпочтения  . . . . . .  
55

§ 1.6. Детерминированные и стохастические предпочтения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
56

§ 1.7. Динамические предпочтения  . . . . . . . . . . .  
57

ГЛАВА 2. Компенсационные предпочтения  . . . . . . . . .  
62

§ 2.1. Иерархическая классификация компенсаци
онного предпочтения . . . . . . . . . . . . . . . . .  
62

§ 2.2. Взаимная и аддитивная независимость пред
почтения по критериям  . . . . . . . . . . . . . . .  
64

§ 2.3. Альтернативные условия существования ад
дитивной функции полезности . . . . . . . . . .  
75

ГЛАВА 3. Некомпенсационные предпочтения . . . . . . . .  
82

§ 3.1. Общие положения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
82

§ 3.2. Иерархическая классификация некомпенса
ционного предпочтения . . . . . . . . . . . . . . .  
84

§ 3.3. Схемы тестирования . . . . . . . . . . . . . . . . . .  
97

ГЛАВА 4. Частично-компенсационные предпочтения

индивидуумов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  121

§ 4.1. Классификация частично-компенсационных

предпочтений индивидуумов  . . . . . . . . . . .  121

§ 4.2. Простое
частично-компенсационное
пред
почтение (ℜ3). Без критических зон . . . . . .  126

§ 4.3. Простые частично-компенсационные пред
почтения класса ℵ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  134

ГЛАВА 5. Гетерогенные частично-компенсационные

предпочтения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  144

§ 5.1. Классификация гетерогенных предпочтений  144
§ 5.2. Принцип формирования функций полезно
сти для гетерогенных предпочтений . . . . . .  147

§ 5.3. Иерархическая классификация вида ℜA
G  . . .  150

§ 5.4. Иерархическая классификация вида ℜB
G  . . .  153

§ 5.5. Вид C гетерогенного предпочтения . . . . . . .  155
§ 5.6. Вид D гетерогенного предпочтения . . . . . . .  157
§ 5.7. Идентификация гетерогенных предпочтений 160

ГЛАВА 6. Стохастические предпочтения . . . . . . . . . . .  177

§ 6.1. Введение стохастического предпочтения . . .  177
§ 6.2. Оценка достоверности редких и уникальных

событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  178

§ 6.3. Степень риска  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  191
§ 6.4. Неординарные
стохастические
предпочтения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  199

§ 6.5. Слабо формализованные предпочтения  . . .  201

ГЛАВА 7. Нечеткие предпочтения . . . . . . . . . . . . . . . .  205

§ 7.1. Нечеткие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . .  205
§ 7.2. Проблемы практического использования ап
парата нечеткой математики . . . . . . . . . . . .  209

ГЛАВА 8. Предпочтения группы независимых лиц . . . .  220

§ 8.1. Постановка задачи исследования предпочте
ний группы независимых лиц . . . . . . . . . . .  220

§ 8.2. Свойства ориентированных графов . . . . . . .  223
§ 8.3. Теорема о возможности общественного вы
бора на демократических принципах  . . . . .  232

ГЛАВА 9. Коллегиальные предпочтения . . . . . . . . . . . .  245

§ 9.1. Проблема метризации коллегиальных предпочтений  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  245

§ 9.2. Метод ранжировки альтернатив готовящегося

и принимаемого коллегиального решения . . . 247

§ 9.3. Методы идентификации манипулирования

коллегией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  248

§ 9.4. Метод выявления коалиций в составе кол- 
легии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  264

§ 9.5. Методы идентификации непреднамеренной

некорректности отдельных участников коллегиальных решений . . . . . . . . . . . . . . . . . .  281

ГЛАВА 10. Кооперативные предпочтения . . . . . . . . . . .  298

Приложение  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  301

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  325

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  331

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Теоретико-множественные обозначения: 
Ас – дополнение множества А,
А  В – объединение множеств А и В,
А ∩ В – пересечение множеств А и В,
А\В – разность между множествами А и В, определяемая как А ∩ Вс,
A ⊆ В – А – подмножество множества В,
А ⊂ В – А — собственное подмножество множества В,
А ⊆\ В – А не является подмножеством множества В,
х ∈ В – х – элемент множества В,
х ∉ В – х не является элементом множества В⊆,
∅ – пустое множество,
|А| – мощность множества А (число элементов в А).

Логические обозначения:
̅ черта над символом (например, ̅∈ ) или перечеркивание символа

наклонной чертой / , например, ∉ – отрицание: не является элементом,
⇒ – влечет (если ..., то ...),
⇔ – тогда и только тогда (эквивалентность),
∀ – для всех,
∃ – существует.

Различные обозначения:
Rе1 – множество действительных чисел,
R+ – положительные действительные числа,
Rеn – n-мерное евклидово пространство, т.е. множество всех

n-мерных векторов с действительными координатами,

R – обозначение упорядочения или предпочтения общей катего
рии,

ℜ – обозначение специального упорядочения или предпочтения,
[а, b] – замкнутый интервал, содержащий все действительные чис
ла с, для которых а ≤ с ≤ b,
(а, b) – открытый интервал, содержащий все действительные числа

с, для которых а < с < b,

С

k
n – число сочетаний из n по k, равный

1

0
(
)

!

k

j
n
j

k

+

=
−
∏

,

≅ – знак конгруэнтности,

! – символ факториала, т.е.

1

!

n

k
n
k

=

= ∏ ,

1,n – множество целых чисел от 1 по n.

ВВЕДЕНИЕ

Объектом публикации является феномен предпочтения

индивидуумов и групп индивидуумов, предметом – формализация соответствующих умозаключений.

Предпочтение индивидуумов впервые стало объектом ис
следований ученых в ХVIII веке. На первых порах мотивом
исследований явились азартные игры. Одним из направлений исследований были основы теории вероятности редких
и уникальных событий. Например, каковы шансы игрока
в кости при очередном бросании получить 12 очков, 11 очков, 10 очков и т.д. Долгие годы ученые бились над решением этой задачи. И ими были получены определенные положительные результаты. Но в целом теория не могла помочь
игроку, так как с позиции теории вероятности Колмогорова
шансы получить что 12, что 11, что 10 очков и вообще любое
целое число очков от 2 до 12 очков одинаковы, если кости
изготовлены по стандарту и игрок не шельмует. Теория Колмогорова действенна в этом случае, так как она адекватно
отражает природу случайности.

Первые заметные результаты в теории индивидуальных

и групповых предпочтений были получены в ХVIII веке маркизом де Кондорсе. Он предложил способ упорядочения
оцениваемых объектов, между которыми индивидуум должен сделать выбор в пользу одного объекта, или отдать предпочтение одному объекту среди некоторого их множества.
С ХХ века подобный способ стали называть функцией группового выбора или упорядочения на заданном множестве.
Кондорсе первый открыл особенность выбора, названную
парадоксом Кондорсе. Суть парадокса: при выполнении требований асимметрии и транзитивности выбора не существует
функции группового выбора, согласованной с мнением простого большинства, т.е. когда с групповым выбором согласно
50% участников + один голос.

Позднее в этом же ХVIII веке этот парадокс был переот
крыт французским ученым мореплавателем Джино Чарльзом
де Борда. В XIX веке парадокс Кондорсе еще раз переоткрыл
Льюис Кэрролл. Де Борда предложил свою функцию груп

пового выбора, которая существует всегда, но может подчиняться диктатору – участнику, который голосует не так,
как остальные участники группового выбора, и зная наперед
голосование большинства, делает свою ранжировку, побеждающую ранжировки элементов множества выбора других
участников. Теперь данное свойство функции группового выбора называют нарушением аксиомы диктатора, имея
в виду, что при демократических выборах не должно быть
диктатора, вынуждающего большинство участников с единым мнением подчиняться одному участнику, не согласному
с мнением большинства.

В XIX веке наиболее заметные результаты в теории по
лезности принадлежат итальянскому экономисту Парето. Им
были:
• предложена функция группового выбора его имени;
• сформулированы принципы выбора экономических решений;
• обобщена и развита теория предельной убывающей полезности.

Функция группового выбора обладает некоторыми пре
имуществами
перед
другими
функциями,
но
существует

не всегда.

Попытку
обобщения
полученных
результатов
в
тео
рии полезности предпринял американский ученый Рамсей.
С этих пор исследование предпочтений стало на путь строгих
математических дисциплин. Мы не ставим задачу написания
истории развития теории полезности, а отмечаем лишь заметные с нашей точки зрения вехи этой истории.

В общих чертах в развитии теории полезности можно вы
делить три направления. Первое направление – это формализация понятия «индивидуальное предпочтение» с созданием функции полезности, позволяющей ответить на вопрос:
почему один объект из некоторого множества предпочитается остальным (другому). В настоящее время подобную
функцию полезности принято называть абсолютной оценкой
ценности объекта. Фактически произвольный объект из множества выбора характеризуется скалярной величиной, причем эта величина не всегда задана на количественной шкале.

Экзотическая ситуация – объекты задаются пользователем
на номинальной шкале (см. Приложение ), т.е. все объекты по усмотрению эксперта получают условные порядковые
номера. Чем больше (или наоборот, чем меньше) номер объекта, тем он полезнее. Задача пользователя, к какому номеру
такого упорядочения отнести тот или иной объект, который
он оценивает. Он может и ошибаться при выборе. Подобный подход был принят в СССР при производстве тканей.
Создавались альбомы эталонных образцов раскраски тканей.
Так, в СССР в 30-е годы прошлого века существовал альбом 114 оттенков черного цвета. При оценке качества выпускаемых тканей эксперты относили ткань черного цвета
к одному из оттенков такого альбома и далее следовала рекомендация по оценке качества ткани и ее отпускной цене.
Естественно, что такой подход уязвим для критики при попытках его переноса на другие ситуации. В общем случае
при скалярной характеристике объектов – вещественном
числе из Re1 – условия существования функции полезности,
сохраняющей упорядочение объектов из множества выбора, сформулировал в 70-х годах прошлого века П. Фишберн
(P. Fishburn). Однако вопрос о виде функции полезности
для общего случая им не обсуждался. Другие успешные попытки этого направления авторам данной публикации не известны. Но фактически корректный учет не скалярных характеристик объектов приводит к методам второго направления.

Второе направление – формализация понятия индивиду
альное предпочтение при структурированных объектах выбора. По определению объект выбора характеризуется частными показателями ценности. Второе направление теории
устраивает лиц, занятых управлением сложными процессами жизнедеятельности, первое направление плохо подходит
для этих целей.

Третье направление теории полезности – коллективные

решения. Данная публикация относится ко 2-му и 3-му направлениям теории полезности.

Исследованиями в названных трех направлениях теории

полезности занималось большое количество ученых. Упомянуть многих из них не представляется возможным по сооб

ражениям ограниченности объема материала данной публикации. Мы вынуждены упоминать лишь выдающиеся имена.

До отказа в СССР в конце 50-х годов прошлого века

считать кибернетику буржуазной лженаукой исследования
по теории полезности велись в основном в США и в меньшем объеме в других странах Запада.

Первой послевоенной публикацией в СССР по теории

полезности была работа Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1970 г.).
В ней в § 3 главы 1 была сформулирована аксиоматическая
теория полезности. К сожалению, эта аксиоматика определяет обычные свойства меры полезности, в предположении,
что эта мера существует, не давая однозначных указаний, какое математическое выражение связывает эту меру с характеристиками объектов оценки.

Фундаментальными работами по теории полезности 1-го

и 2-го направлений стали работы П. Фишберна. В русском
переводе широкой публике известна публикация [1]. В ней
формализованы
модели
индивидуального
предпочтения,

сформулированы необходимые и достаточные условия существования функций полезности, сохраняющих упорядочение объектов, заданное пользователем. В узком кругу известен перевод под редакцией д.т.н., проф. А.А. Федулова
книги П. Фишберна (1972), посвященный принятию решений с разными функциями полезности. В ней излагались
подходы по формированию функций полезности для ряда
управленческих ситуаций. В том числе предлагались методы
принятия решений при порядковой мере полезности. Круг
ситуаций применения его методов был ограничен и требовал
от пользователя высокой математической культуры.

Огромное значение для этого направления исследова
ний имела книга Р.Л. Кини и Х. Райфа «Принятие решений
при многих критериях: предпочтение и замещение» (1981 г.).
В ней впервые появился термин «замещение» полезности.
Это было революцией в теории полезности. Впервые были
предложены теоремы о существовании аддитивной и полилинейной функций полезности. Стала ясной несостоятельность без должных исследований применения средневзве

шенной величины в качестве интегральной оценки качества
принимаемых решений. Между тем средневзвешенная является единственной формой оценки проектов у экономистов
и специалистов других
дисциплин. Результаты Р.Л. Кини

и Х. Райфа говорят, что в этом случае имеет место неограниченное замещение полезности одних свойств объектов
полезностью других свойств. Такого в реальной жизни быть
не может. При объяснении этого свойства большинство сторонников средневзвешенной соглашаются с тем, что может
произойти серьезная методическая ошибка. Но сила инерции мышления и невысокая математическая культура многих пользователей с гуманитарным образованием не дают
хода корректным математическим подходам. В итоге такие
индикаторы измеряют не то, что надо пользователям. Очевидно, их поддерживает надежда, что ошибки будут незначительными, приемлемыми. Однако исследования показали, что такие надежды напрасны. Результаты применения
средневзвешенной могут привести к катастрофе или к очень
большой ошибке (см. [2]).

В третьем направлении теории полезности к 1950 г. был

накоплен солидный багаж исследований. Но стала очевидной закономерность: ни одна из многочисленных функций
группового выбора не удовлетворяет всем разумным требованиям к индивидуальным предпочтениям и к групповому
предпочтению. Или функция группового выбора не всегда
существует, или нарушается требование асимметрии, или нарушается требование транзитивности, или она не защищена от диктатора, или групповым предпочтением является
упорядочение альтернатив выбора, которого нет ни у одного из участников. Точку в исследованиях поставил американский ученый Кеннет Эрроу. Он в 1951 г. опубликовал
труд, основным содержанием которого является «теорема
о возможности». Суть теоремы: при асимметрии и транзитивности индивидуальных предпочтений и выполнении четырех сформулированных им аксиом не существует функции
группового выбора, согласованной с мнениями участников,
число которых не менее 3, при числе альтернатив не менее
3. Фактически эта теорема говорит о невозможности демо

кратических выборов. Эта теорема стала настоящей интеллектуальной бомбой, подорвавшей веру в демократические
выборы, и еще хуже – веру в возможность социальной справедливости и т.д. Долгие годы предпринимались попытки
опровергнуть теорему Эрроу, кончившиеся безрезультатно:
аксиомы Эрроу бесспорны и носят универсальный характер.
Уязвимой казалась 2-ая в порядке представления в публикации Эрроу аксиома – аксиома независимости несвязных
альтернатив. Но она неверна, если имеется численное значение полезности альтернатив для каждого участника группового выбора. Но тогда возникает проблема определения
таких функций полезности, с которыми согласны все участники группового выбора. Опять пришли к необходимости
согласования мнений по упорядочению группой других объектов – индивидуальных функций полезности, а это тупик.
С какого-то момента начались попытки создания функций
группового выбора с измененными требованиями к индивидуальным предпочтениям и/или специфическими множествами выбора. Мы не будем останавливаться на них. Читатель может найти детали в книге Ф.С. Робертса [4].

Книга Ф.С. Робертса является фундаментальным вкладом

и в теорию полезности, и в математическую базу этой теории. Очень важными аспектами теории являются предложенные им теории измерений и содержательности.

Анализ публикаций по теории полезности позволил авто
ру данной работы придти к следующим выводам.

1. Очень часто упорядочения множеств выбора, произ
водимые практиками с высоким служебным положением
в государственном управлении СССР, а после установления
рыночных отношений – государственными служащими высокого ранга или представителями крупного бизнеса, не могли быть описаны без искажений существующими математическими средствами.

2. Измерения полезности зачастую были не валидными,

т.е. измерялось не то, что было надо пользователям. При измерении полезности нарушались требования теории систем
и теории измерений, вследствие чего нельзя было установить
уровень методических ошибок.

Все это вместе взятое при появлении идеи замещения по
лезности в работе Р.Л. Кини, Х. Райфа натолкнуло автора
данной монографии на идею новой парадигмы теории полезности. Суть новой парадигмы – существование упорядочения некоторых групп существенных показателей ценности
объектов множества выбора и недопустимости замещения
полезности одних показателей полезностью других показателей и наличия упорядочения с возможностью ограниченной
компенсации потери полезности по некоторым показателям
ростом полезности за счет роста значений третьих показателей. Для краткости эту парадигму назовем парадигмой замещения/некомпенсации. Были разработаны новые виды
упорядочения множеств выбора произвольной природы, позволявшие производить упорядочение во всех ранее невозможных ситуациях. Были сформулированы и доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях существования
функций полезности, сохраняющих соответствующие упорядочения множеств выбора. Были предложены аналитические
зависимости для этих функций полезности, разработаны тесты для идентификации всех новых категорий упорядочения.

Настоящая публикация является работой в рамках 2-го

и 3-го направлений теории полезности.

Она включает 10 глав.
В главе 1 излагается суть парадигмы замещения/неком
пенсации, обоснование целесообразности перехода к этой
парадигме, принцип фасетно-иерархической классификации
индивидуальных предпочтений лиц, принимающих решения
(ЛПР). Графически она имеет форму дерева, перевернутого
корнем вверх. Каждый очередной ниже лежащий слой этого
дерева дает определение предпочтения с увеличивающейся
детализацией. Предлагаемая классификация относится к числу искусственных, т.е. не вытекающих «из природы вещей».
В связи с этим имена у каждого слоя иерархии признаков
условны. Принята следующая последовательность старшинства признаков систем в классификации: род, вид, класс,
подкласс, тип, семейство, отряд и т.д. Другими словами, самое старшее понятие – род, затем – вид, за ним – класс,
затем – подкласс, потом – тип, после – семейство и т.д.