Основы статики сооружений

УДК 624.041:531.2
ББК 30.12я7
А72

Авторы: Антипин Максим Иванович, канд. техн. наук

Филкова Анастасия Петровна

Рецензенты: Марк Александр Викторович, кандидат физико-математических наук

(ФГБОУ ВО «Академия ГПС МЧС России»)

Яковенко Татьяна Анатольевна, кандидат технических наук

(ФГБОУ ВО «Уральский институт ГПС МЧС России»)

Антипин, М.И. Основы статики сооружений [Текст]: учебное пособие / М.И. 

Антипин, А.П. Филкова – Железногорск: ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная 
академия ГПС МЧС России, 2021. – 85с.: ил.

Учебное пособие содержит систематизированную информацию о классификации 

сооружений и их расчетных схемах, методах определения перемещений в балках и рамах 
при изгибе, методах расчета  статически определимых  и статически неопределимых 
стержневых систем. Изложение теоретической части курса построено на основе единой 
методической системы с позиции пользователя, для которого важны не математические 
подробности выводов, а осмысление  и использование теоретических результатов  для 
практического применения. 

Практическая часть представлена указаниями к решению задач с поэтапной 

отработкой целесообразной последовательности выполнения расчетов статически 
определимых  и статически неопределимых стержневых систем.

Издание предназначено для обучающихся по специальности 20.05.01 Пожарная 

безопасность и направлению подготовки 20.03.01 Техносферная безопасность.

© ФГБОУ ВО Сибирская пожарно-спасательная академия ГПС МЧС России, 2021
© Антипин М.И., Филкова А.П., 2021

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ............................................................................................
3

ГЛАВА 1. Основные понятия и определения …………………………….
4

ГЛАВА 2. Определение перемещений в балках и рамах при изгибе……
15

2.1 Метод непосредственного интегрирования………………………
17

2.2 Метод начальных параметров……………………………………..
19

2.3 Интеграл Мора ……………………………………………………..
23

2.4  Способ Верещагина………………………………………………..
27

2.5 Задачи……………………………………………………………….
32

ГЛАВА 3. Статически определимые стержневые системы……………...
41

3.1 Многопролетные (шарнирные) балки, рамы……………………..
41

3.2 Трехшарнирные арки и рамы………………………………………
43

3.3. Фермы………………………………………………………………
48

3.4 Задачи……………………………………………………………….
51

ГЛАВА 4. Статически неопределимые стержневые системы…………..
62

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............................................................................................
84

БИБИЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК......................................................
85

ПРЕДИСЛОВИЕ

Существуют разнообразные инженерные сооружения и конструкции, 

отличающиеся своим назначением, формой, размерами и материалами, из 

которых они возведены.

Несущая способность конструкции в условиях пожара – это свойство

конструкции сохранять свои функции, воспринимая собственный вес, 

приложенные
нормативные нагрузки, а также температурные усилия, 

возникающие в условиях огневого воздействия.

Для несущих конструкций (колонны, балки, фермы, арки, рамы) 

предельным состоянием по огнестойкости является только потеря их несущей 

способности. В зависимости от вида материала и характера работы конструкции 

предельное состояние по огнестойкости может наступить в результате хрупкого 

разрушения материала или за счет развития больших необратимых деформаций.

Суть расчета предела огнестойкости конструкций заключается в 

определении времени, по истечении которого в условиях высокотемпературного 

воздействия при пожаре наступает одно из предельных состояний. Расчет 

предела огнестойкости строительных конструкций состоит из двух частей:

теплотехнической и статической (прочностной).

Формирование навыка выполнения статической части расчета предела 

огнестойкости у обучающихся невозможно без знания принципов и методов

расчета сооружений, находящихся под действием статической нагрузки.  

Поэтому в рамках дисциплины «Прикладная механика» изучают статику 

сооружений. Статика сооружений является частью строительной механики, так 

как она рассматривает те же вопросы, что и строительная механика, но 

исследования статики сооружений ограничиваются статическим воздействием 

сил  на сооружения, в отличие от воздействия динамической нагрузки, т.е. 

нагрузки внезапной, ударной или периодической (пульсирующей).

Статика сооружений изучает только неподвижные и геометрически 

неизменяемые сооружения.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Сооружения и их классификация. Расчетная схема сооружения.

Любое сооружение общественного, культурно-бытового или промышленного 

назначения должно быть надежным, экономичным и долговечным. Иными 

словами, любое сооружение под нагрузкой должно быть неподвижно 

(устойчиво) относительно своего основания и не должно изменять своей 

геометрической формы как при монтаже, так и в течение установленного срока 

его эксплуатации.

Статика сооружений изучает и разрабатывает принципы конструирования 

и методы расчета инженерных сооружений. Решая задачи статики сооружений, 

устанавливают рациональную форму сооружения, величину внутренних усилий 

и упругих деформаций во всех элементах сооружения и проверяют степень 

(запас) общей устойчивости сооружения на сдвиг или опрокидывание от 

действия внешних нагрузок.

В зависимости от вида образующих элементов все сооружения самого 

различного назначения делят на три группы: массивные, тонкостенные и 

стержневые.

Массивные сооружения (подпорные стенки, каменные своды, плотины, 

фундаменты) имеют все три измерения (длину, ширину и высоту) одного 

порядка, обладают значительным объемом (массой) и хорошо сопротивляются 

действию горизонтальных нагрузок значительной величины1. Такие сооружения 

обычно возводят из каменных и кирпичных блоков, монолитного бетона, 

железобетона и дерева с балластом (ряжи).

Тонкостенные
сооружения 
(тонкостенные 
своды, 
резервуары, 

трубопроводы, силосы) состоят из элементов (пластинок), толщина которых 

значительно меньше их, остальных размеров. Криволинейные пластинки 

называют оболочками. Пластинки воспринимают усилия в двух направлениях,

                                            
1 Сооружения устойчивость которых обеспечивается за счет их собственного веса, часто 
называют гравитационными

что приводит к экономии строительных материалов. Эти сооружения возводят 

из дерева металла, железобетона.

Стержневые сооружения состоят из элементов (стержней), два измерения 

которых значительно меньше третьего (длины). К таким сооружениям 

(системам) относятся колонны, балки, фермы, рамы, шарнирные арки.

В зависимости от расположения нагрузки и элементов, образующих 

конструкцию, сооружения называют плоскими или пространственными. В 

плоских сооружениях оси всех элементов и нагрузки лежат в одной плоскости.

Для выполнения статических расчетов составляют и рассматривают 

упрощенную 
схему 
конструкции 
сооружения. 
В 
некоторых 
случаях 

пространственные сооружения можно заменить более простой плоской 

расчетной схемой, при этом точность результатов расчета не изменится. Часто 

такую схему конструкции называют системой.

Схема или система конструкции сооружения состоит из условно 

обозначенных элементов конструкции – стержней, пластинок, связей – опор и 

нагрузок – сосредоточенных и распределенных (рисунок 1.1). Расчетная схема

позволяет сделать план расчета сооружения достаточно четким и оценить 

степень точности и надежности полученных результатов.

а-балка; б-ферма; в-арка

Рисунок 1.1 - Расчетные схемы инженерных сооружений

Геометрически неизменяемые и изменяемые системы. Инженерные

сооружения, подверженные внешнему силовому воздействию, должны 

сохранять свою геометрическую форму неизменной в течение монтажа и всего

Р  

l  

Р  

l  
l  

а  

Р  

q  

а  
б  
в  

срока их эксплуатации. Этому условию удовлетворяют
геометрически

неизменяемые системы. Примером такой системы может служить шарнирный 

треугольник АВС (рисунок 1.2,а).

Под нагрузкой Р треугольник АВС вследствие упругих деформаций его 

элементов может принять положение АВ'С; эти перемещения системы 

настолько малы, что ими можно пренебречь.

Геометрически изменяемой называют систему, форма которой под 

нагрузкой Р может меняться даже без деформации составляющих ее элементов 

(рисунок 1.2,б).

а-геометрически неизменяемая; б-геометрически изменяемая 

Рисунок 1.2 - Геометрическая изменяемость стержневых систем

Инженерные сооружения по своей структуре должны быть только 

геометрически неизменяемыми системами, неподвижно соединенными со 

своим основанием АС или AD (фундаментом, грунтом).

Степень свободы или степень изменяемости плоской системы. Каждое 

свободное плоское тело - диск – имеет в своей плоскости три степени свободы (п 

= 3): два поступательных перемещения в направлении осей координат Ох и Оу и 

один поворот. В качестве диска можно принять как отдельный стержень, так и 

любую плоскую геометрически неизменяемую стержневую систему – ферму.

Связи ограничивают свободу перемещения диска. Следовательно, общее 

число степеней свободы плоской системы (диска) с жесткими элементарными 

связями:

Р  
Р  

а  
б  

А  
С  

В  
В 

А  

В  

В 

С  
С  

D  

С
Д
п

 3
(1.1)

где Д– число жестких дисков; 

С – число жестких элементарных связей.

Число степеней свободы системы, определенное по формуле (1.1), 

называют ее степенью изменяемости.

Опорный стержень с шарнирными концами (О) как простая жесткая 

элементарная связь уменьшает степень свободы диска на единицу.

Простой шарнир (Ш) равнозначен двум жестким элементарным связям, 

т.е. степень свободы диска уменьшается на две единицы.

Простая жесткая связь (Ж) уменьшает степень свободы диска на три 

единицы, т.е. связь эквивалентна трем шарнирным стержням.

Простым называют шарнир, соединяющий только два стержня; тоже 

следует сказать о простой жесткой связи (рисунок 1.3,а).

Шарнирные и жесткие заделки (связи), соединяющие более двух 

стержней, называются кратными (рисунок 1.3,б).

Если шарнир или жесткая связь соединяют в узле m стержней, то они 

эквивалентны соответственно (m-1) простым шарнирам. Если все многообразие 

связей 
системы 
заменить 
равнозначным 
ему 
количеством 
жестких 

элементарных связей (стержней), то

О
Ж
Ш
С



3
2
(1.2)

Подставив в формулу (1.1) значение С, определяемое  по формуле (1.2), 

получим степень свободы плоской стержневой системы

О
Ж
Ш
Д
п




3
2
3
(1.3)

где Д – число жестких дисков системы;

Ш – число простых шарниров с учетом кратности сложных шарниров; 

Ж – число простых жестких связей с учетом кратности (сложных) жестких 

связей; 

О – число опорных стержней.

а-простые связи; б-кратные связи 

Рисунок 1.3 - Типы связей

.

Для геометрически неизменяемой системы необходимо чтобы
0

п
. 

Системы с нулевой степенью изменяемости (
0

п
) называют статически 

определимыми2.

Частные 
случаи 
образования 
геометрически 
неизменяемых, 

статически определимых систем. Возможны случаи, когда и при нулевой 

степени изменяемости (
0

п
) плоские стержневые системы становятся

геометрически неизменяемыми лишь в результате весьма малых перемещений

их элементов. Такие системы называют мгновенно изменяемыми системами

(рисунок 1.4). Плоские мгновенно изменяемые системы образуются в случае, 

если две или три геометрически неизменяемые системы соединяются между 

собой:

- тремя и более стержнями, пересекающимися в одной точке О, которая 

становится их мгновенным центром вращения (рисунок 1.4,а);

- тремя и более параллельными стержнями разной длины, что допускает их 

мгновенное линейное перемещение (рисунок 1.4,б);

- шарниром и стержнем, ось которого или ее продолжение проходит через 

центр этого шарнира (рисунок 1.4,в);

- тремя шарнирами, центры которых расположены на одной прямой 

(рисунок 1.4,г);

- тремя парами непараллельных стержней, точки пересечения которых 

лежат на одной прямой (рисунок 1.4,д).

                                            

2 Системы с одной степенью изменяемости называются механизмами 

1

Ш
 

а  
б  

1

Ж
 
4

Ш
 
4

Ж
 

Условия образования абсолютно жестких; стержневых систем требуют 

соблюдения следующих правил.

Рисунок 1.4 - Схемы мгновенно изменяемых плоских систем

1.
В основе образования плоских геометрически неизменяемых 

шарнирно-стержневых систем лежит треугольник (рисунок 1.2,а), являющийся 

элементарной геометрически неизменяемой системой.

2.
Для неподвижного присоединения к неизменяемой системе  одного

узла (рисунок 1.2,а) необходимы два стержня, не лежащие на одной прямой. Два 

шарнирно соединенных стержня называются диадой.

3.
Присоединение к системе или отсоединение от системы любого 

количества диад  не нарушает статического состояния (неизменяемости) 

системы.

4.
Две неизменяемые системы, соединенные между собой тремя 

непараллельными и непересекающимися в одной точке стержнями (рисунок

1.4,а), образуют геометрически неизменяемую систему.

5.
Две неизменяемые системы, соединенные между собой одним 

шарниром и одним стержнем, ось которого не проходит через шарнирное 

соединение (рисунок 1.4,в), образуют геометрически неизменяемую систему.

Статически определимые и неопределимые плоские системы. 

а  
б  

О  

в  

д  

г  

Статически определимой называют геометрически неизменяемую систему, 

реакции связей и внутренние усилия  в элементах которой можно определить, 

решая только систему уравнений статики.

Усилия в
элементарных связях можно определить из уравнений 

равновесия статики, если число связей системы равно числу этих уравнений. 

Иначе статически определимой называют геометрически неизменяемую 

систему, не содержащую лишних связей.

Статически неопределимой называется геометрически неизменяемая 

система с лишними связями (
0

п
). Лишними называют связи, после удаления 

которых система по-прежнему остается статически неизменяемой. Число 

лишних связей в системе Л определяет степень ее статической неопределимости:

Д
С
Л
3


,                              
 (1.4)

или, используя формулу (1.2), получаем

Д
О
Ж
Ш
Л
3
3
2




.
(1.5)

Степень статической неопределимости указывает на то, сколько 

дополнительных уравнений, характеризующих деформацию данной системы, 

необходимо добавить к уравнениям статики, чтобы решить задачу о величине 

реакций связей и внутренних усилий в элементах статически неопределимой 

системы.

Анализ статически неопределимых систем. Устройство лишних связей 

в статически неопределимых геометрически неизменяемых системах делает 

сооружение как более надежным, так и более экономичным. Например, значение 

изгибающего момента зависит от длины пролета балки l (рисунок 1.5,а),

которую можно уменьшить за счет трех дополнительных («лишних»)

промежуточных опор (рисунок 1.5,б). При этом четырехпролетиая балка 

становится трижды статически неопределимой.

Рассмотрим примеры основных статически неопределимых систем.

Многопролетные неразрезные балки. Число опорных элементарных 

стержней четырехпролетной неразрезной балки 
6

оп
С
(рисунок 1.5,б), число 

независимых уравнений статики плоской системы равно 3. Следовательно, для

неразрезных балок степень их статической неопределимости будет равна

3


оп
С
Л
.              
(1.6)

а-однопролетные; б-многопролетные

Рисунок 1.5 - Схемы балок

Фермы 
могут 
быть 
как
внешне, 
так 
и 
внутренне 
статически

неопределимыми (рисунок 1.6). Подобно неразрезным балкам фермы могут 

иметь лишнее число опорных стержней (рисунок 1.6,а), которое и будет 

соответствовать степени их статической неопределимости. Если же ферма в 

своей решетке имеет лишнее количество стержней (рисунок 1.6,б), то для 

определения степени ее внутренней статической неопределимости пользуются 

формулой (1.5).

а-внешне б-внутренне

Рисунок 1.6 - Статически неопределимые фермы

Рамы. Для определения числа лишних связей в рамах, т.е. степени их 

статической неопределимости Л кроме формул (1.4) и (1.5) можно пользоваться 

формулой

l  

l  

q  

а  
б  

q  

4
l
 
4
l
 
4
l
 
4
l
 

а  
б