Элементы дифференциальной геометрии

Министерство просвещения Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Московский педагогический государственный университет»

А. Р. Рустанов, С. В. Харитонова, Е. А. Полькина

ЭЛЕМЕНТЫ 
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Учебное пособие

МПГУ
Москва • 2020

УДК 514.7(078.5)
ББК 22.151.6я73
 
Р897

Рецензенты:
А.И. Нижников, доктор педагогических наук, профессор, заведующий 
кафедрой технологических и информационных систем Московского 
педагогического государственного университета
О.Н. Казакова, кандидат педагогических наук, доцент кафедры геометрии 
и компьютерных наук Оренбургского государственного университета

 
Рустанов, Алигаджи Рабаданович.
Р897  
Элементы дифференциальной геометрии : учебное пособие / 
А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова, Е.А. Полькина. – Москва : МПГУ, 
2020. – 100 с. 
 
 
ISBN 978-5-4263-0946-3
 
 
Учебное пособие содержит краткий теоретический материал, примеры решения типовых задач, задачи для самостоятельного решения, индивидуальные 
задания для проведения контрольных работ, список используемой литературы.
 
 
Настоящее пособие предназначено для студентов, изучающих высшую математику в различных высших учебных заведениях по направлениям подготовки 
44.03.05 «Педагогическое образование», 01.03.01 «Математика», 03.03.02 «Физика», 04.03.01 «Химия», 09.03.03 «Прикладная информатика», 09.03.02 «Информационные системы и технологии». Пособие может также быть использовано для 
организации аудиторной, самостоятельной и индивидуальной работы студентов 
заочной формы обучения различных направлений и специальностей подготовки, 
в том числе для обучающихся по индивидуальным образовательным программам.

УДК 514.7(078.5)
ББК 22.151.6я73

ISBN 978-5-4263-0946-3 
© МПГУ, 2020
 
© Рустанов А.Р., Харитонова С.В.,
 
 
Полькина Е.А., текст, 2020

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

1. ВЕКТОР-ФУНКЦИИ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.1. Вектор-функция одного скалярного аргумента  . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2. Вектор-функция двух скалярных аргументов  . . . . . . . . . . . . . . . . . .15

2. ЛИНИИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.1. Понятие линии. Гладкие линии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

2.2. Касательная к линии. Длина дуги линии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

2.3. Элементы сопровождающего трехгранника кривой. 
Формулы Френе. Кривизна и кручение. 
Натуральные уравнения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3. ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ  . . . . . . . . .52

3.1. Понятие поверхности. Гладкие поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

3.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности  . . . . . . . . . . . . . . .63

3.3. Первая квадратичная форма поверхности. 
Длина дуги линии, угол между линиями 
на поверхности, площадь поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

3.4. Кривизна кривой на поверхности. Вторая 
квадратичная форма. Главные кривизны. Полная 
и средняя кривизны поверхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

V nnttttttttRti∈Ri∈It∈I∈V nttt → ttttttt(
)
−
t
t→ t=
→
t
t
t
tttt
t
t
t
=
→
±tt±tftfttfttttttttttt

А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова, Е.А. Полькина. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

tttt

t
t
t

t
Δ
−
Δ
+

→
Δ
dt
t
d
′tdt
d ttdt

t
d
dt

t
d
dt
d fttdt
t
df
dt

t
d
ftftdt
d ttdt
t
d
ttdt
t
d
dt
d [
]t
t
t
dt
t
d
dt
t
d
t
dt

d ttt+
+
dt
t
d
t
t
t
dt
t
d
t
t
t
dt
t
d
dt
d ftdt
df
df
f
d
tt′ttttt
Δ
ϕ
Δ ΔtΔϕttΔtt′ttdt
t
t
d
=

1. Вектор-функции

Ck≥
k
kV tV txtytztxtytzttt
z
t
y
t
x
t
+
+
=
txtytztttxtytzttt

txtytzta
a
a
+
+
=
tta
t
x
t
t
=
→

a
t
y
t
t
=
→
a
t
z
t
t
=
→

txtytztttxtytzttttxtytztttxtytzttt′tx′ty′tz′tdtdxtdytdzt

А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова, Е.А. Полькина. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

(
)
(
)
(
) 
+
+
=
dt
t
z
dt
t
y
dt
t
x
dt
t
t
t
e
e
t
−
+
=
t
t
e
e
t
+
=
−
∈V.(
)
(
)
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
−
−
−
−
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
e
e
t
t
(
)(
)
+
+
=
−
t
t
e
e
(
)(
)
(
)
+
+
+
=
+
+
=
−
−
−
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
t
t
[
]
(
)[
]
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
t
t
+
=
+
+
=
−
−
−
t
t
t
+
=
t∈R.ttttt
t
t
t
=
→
t
t
−
t →tt
t
−
(
) =
+
−
+
t
t
t
t
(
)
(
) =
−
+
−
t
t
t
t
(
)(
)
(
)
→
−
+
+
−
=
t
t
t
t
t
t
t→t

1. Вектор-функции

tt
t
t
+
=
t∈Rt
t
t
+
=
t∈R. tttt
t
t
t

t
Δ
−
Δ
+

→
Δ
(
)
(
)
(
) =
Δ
+
−
Δ
+
+
Δ
+
=
Δ
−
Δ
+

→
Δ
→
Δ
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t

t
t
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+
=
+
Δ
+
=
Δ
+
Δ
+
Δ
=
Δ
Δ
+
Δ
+
Δ
=
→
Δ
→
Δ
→
Δ
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t

t
t
t
t∈R+
= t
t
V t
t
t
+
=
(
)t
t
t
−
=

 

( )
( )
+
=
+
=
t
t
t
t
( )
( )
=
+
=
t
t
=
t
t
t
−
=
t
t
t
′′′t
t
=
V 

А.Р. Рустанов, С.В. Харитонова, Е.А. Полькина. ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ


 

(
)
(
)
t
t
t
t
t
+
+
=
′
+
′
=
(
)


t

t
t
t
t
t
+
−
−
=
′
+
+
′
=
t′′′+
=
t
F
t
V .+
=
t
F
t
t
F
t =
t
F
t =
t
t
F
t
F
t
=
′′′′′′t
t
k
t
=
xtytzttx′′tktx′ty′′tkty′tz′′tktz′t=
dt
t
k
dt
t
x
t
x
=
dt
t
k
dt
t
y
t
y

=
dt
t
k
dt
t
z
t
z
t
x
t
x
t
y
t
y
t
z
t
z
x y z t
f
t
k
c
t
f
x
+
=
c
t
f
y
+
=
c
t
f
z
+
=
t
f
c e
e
x =
t
f
c e
e
y =
t
f
c e
e
z =
ce
a =
ce
a =
ce
a =
t
f
e
t
F
=
b
t
F
a
x
+
=
b
t
F
a
y
+
=
b
t
F
a
z
+
=
aibii(
)
a
a
a
=
(
)
b
b
b
=
+
=
t
F
t

1. Вектор-функции

(
)t
t
t
=
(
)
t
t
t
−
−
=
(
)t
t
t
t
t
t
=
(
)
−
=
t
t
t
(
)
−
=
t
e
t
t
t
(
)
(
)
(
)

−
−
−
+
=
t
e
t
t
t
t
t
t
+
=
t
t
t
+
=
V t∈Rt(
)
t
t
t
t
−
+
−
=
t
t
t
+
+
=
(
)
(
)−
+
=
t
t
t
−
+
=
t
t
t
′′′(
)
t
e
t
t
t
+
=
+
+
=
t
t
t
t
t
(
)t
t
e
t
e
t =
t
t
t
t
+
+
+
=
V (
)
i
i
M
M
M
=
→
i(
)
λ
=
→
M
f
M
M
(
)
(
)
(
)
±
=
±
→
M
M
M
M
(
)
(
)
[
] [
]
=
→
M
M
M
M
(
) (
)
(
)
λ
=
→
M
M
f
M
M
(
) (
)
(
)
=
→
M
M
M
M
(
) (
) (
)
(
)
=
→
M
M
M
M
M