Лекции по дифференциальному исчислению функций одной переменной

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»





М. Э. Абрамян





Лекции
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебник для студентов физико-математических и технических специальностей









Ростов-на-Дону - Таганрог
Издательство Южного федерального университета 2020

УДК 517.4(075.8)
ББК 22.162я73
      А164

Печатается по решению учебно-методической комиссии Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета (протокол № 2 от 14 февраля 2020 г.)

Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» Южно-Российского государственного политехнического университета, почетный работник высшего профессионального образования РФ,
профессор А. Э. Пасенчук;
доктор физико-математических наук, зав. кафедрой информатики и вычислительного эксперимента Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича Южного федерального университета, профессор В. С. Пилиди

        Абрамян, М. Э.
А164       Лекции по дифференциальному исчислению функций одной
        переменной : учебник / М. Э. Абрамян ; Южный федеральный университет. — Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2020. — 228 с.
           ISBN 978-5-9275-3495-1

           Учебник содержит лекционный материал первого семестра курса по математическому анализу и включает такие темы, как предел последовательности, предел функции, непрерывные функции и дифференцируемые функции (вплоть до формулы Тейлора, правила Лопиталя и исследования функций методами дифференциального исчисления). Особенностью книги является возможность ее изучения одновременно с просмотром набора из 22 видеолекций, записанных автором и доступных на сайте youtube.com. Разделы и подразделы учебника снабжены сведениями о номере лекции, времени начала соответствующего фрагмента и длительности этого фрагмента. В электронном варианте учебника эти сведения оформлены в виде гиперссылок, позволяющих немедленно перейти к просмотру требуемого фрагмента лекции.
           Учебник предназначен для студентов физико-математических и технических специальностей.
УДК 517.4(075.8)
ББК 22.162я73
ISBN 978-5-9275-3495-1
                                     © Южный федеральный университет, 2020
                                     © Абрамян М. Э., 2020
                                     © Оформление. Макет. Издательство
Южного федерального университета, 2020

                Оглавление




Предисловие ............................................... 7
Видеолекции .............................................. 10
   Использование видеолекций ............................. 10
   Использование субтитров ............................... 14
Предварительные сведения ................................. 15
   Математическая логика ................................. 15
   Множества ............................................. 15
   Кванторы .............................................. 17
   Абсолютная величина и целая часть вещественного числа . 17
   Принцип математической индукции ....................... 17
   Отображения и функции ................................. 18
1. Границы множеств ...................................... 20
   Аксиома непрерывности множества вещественных чисел .... 20
   Границы и точные границы числовых множеств ............ 20
   Арифметические операции над множествами ............... 24
2. Предел последовательности ............................. 27
   Окрестность и симметричная окрестность точки .......... 27
   Определение предела последовательности ................ 28
   Простейшие свойства предела последовательности ........ 32
3. Свойства предела последовательности ................... 34
   Бесконечно малые последовательности: определение и свойства . . . 34
   Критерий сходимости последовательности в терминах бесконечно малых последовательностей .............. 35
   Арифметические свойства предела последовательности .... 35
   Переход к пределу в неравенствах ...................... 38
4. Бесконечные пределы ................................... 41
   Окрестности бесконечно удаленных точек ................ 41
   Бесконечно большие последовательности ................. 41
   Арифметические свойства бесконечно больших последовательностей ....................... 43

М. Э. Абрамян. Лекции по дифференциальному исчислению

5. Монотонные последовательности ......................... 46
   Ограниченные и монотонные последовательности: определения . . . 46
   Сходимость монотонных последовательностей ............... 46
   Примеры применения теоремы о сходимости монотонных последовательностей ...................... 48
6. Теорема о вложенных сегментах и теорема Больцано — Коши о предельной точке ..............55
   Теорема о вложенных сегментах ......................... 55
   Предельные точки множества. Теорема Больцано-Коши .......57
7. Подпоследовательности. Критерий Коши .................. 60
   Подпоследовательности. Теорема Больцано - Вейерштрасса .. 60
   Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности ......... 64
8. Предел функции .......................................... 69
   Определение и единственность предела функции .......... 69
   Критерий существования предела функции в терминах последовательностей ...................... 71
   Примеры функций, имеющих и не имеющих пределы ......... 73
   Пределы функции в бесконечно удаленных точках и бесконечные пределы ............................... 75
9. Свойства предела функции ................................ 77
   Предел функции и арифметические операции .............. 77
   Переход к пределу в неравенствах для функций .......... 78
   Теорема о пределе суперпозиции функций ................ 79
10. Односторонние пределы. Некоторые важные пределы функций ......................... 82
   Определение односторонних пределов функций ............ 82
   Критерий существования предела функции в терминах односторонних пределов ................... 83
   Первый замечательный предел ........................... 85
   Второй замечательный предел ........................... 88
11. Пределы монотонных ограниченных функций. Критерий Коши для функций ................................ 91
   Монотонные и ограниченные функции ..................... 91
   Критерий Коши существования предела функции ........... 93

Оглавление

5

12. Непрерывность функции в точке .......................... 97
   Определение непрерывной функции в точке ................. 97
   Примеры непрерывных функций ............................. 98
   Простейшие свойства непрерывных функций ................. 99
   Арифметические свойства непрерывных функций ......... 100
   Суперпозиция непрерывных функций .................... 102

13. Непрерывность функции на множестве .................... 107
   Теорема о промежуточном значении ....................... 107
   Теоремы Вейерштрасса о свойствах функций, непрерывных на сегменте .......................... 110
   Равномерная непрерывность .............................. 114

14. Точки разрыва ......................................... 119
   Точки разрыва функций, их классификация и примеры ...... 119
   Точки разрыва монотонных функций ....................... 121
   Критерий непрерывности монотонной функции .............. 124
   Теорема об обратной функции ............................ 125

15. O-символика ............................................128
   Функции, бесконечно малые по сравнению с другими функциями 128
   Функции, ограниченные по сравнению с другими функциями . 130
   Некоторые свойства, связанные с O-символикой .........131
   Эквивалентные функции в точке .......................... 132

16. Дифференцируемые функции .............................. 135
   Предварительные замечания и основные определения ....... 135
   Непрерывность дифференцируемой функции ................. 137
   Дифференциал функции ................................... 138
   Производные некоторых элементарных функций ............. 140

17. Свойства дифференцируемых функций ..................... 142
   Арифметические свойства производных и дифференциалов ... 142
   Дифференцирование суперпозиции ......................... 145
   Дифференцирование обратной функции ..................... 149

18. Гиперболические и обратные гиперболические функции 153
   Гиперболические функции и их свойства .................. 153
   Обратные гиперболические функции и их свойства ......... 154

М. Э. Абрамян. Лекции по дифференциальному исчислению

19. Физический и геометрический смысл производной ........ 158
   Физический смысл производной .......................... 158
   Геометрический смысл производной ...................... 159
20. Производные высших порядков .......................... 162
   Производные высших порядков: определение и примеры .... 162
   Производные высших порядков для суммы и произведения функций ........................... 164
   Число сочетаний: определение и свойства ............... 165
   Формула Лейбница дифференцирования произведения ...... 167
21. Основные теоремы дифференциального исчисления ........ 170
   Локальные экстремумы функций. Теорема Ферма ........... 170
   Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши ........................ 172
22. Формула Тейлора ..................................... 179
   Формула Тейлора для многочленов и произвольных дифференцируемых функций .......... 179
   Различные представления остаточного члена в формуле Тейлора 183
   Разложение элементарных функций по формуле Тейлора в окрестности нуля ............................... 188
23. Правило Лопиталя ..................................... 193
   Формулировка и доказательство правила Лопиталя ........ 193
   Примеры применения правила Лопиталя ................... 197
   Дополнение. Пример дифференцируемой функции, производная которой не является непрерывной ...... 198
24. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций ................................ 201
   Локальные экстремумы функций .......................... 201
   Выпуклые функции ...................................... 204
   Точки перегиба функции ................................ 208
   Расположение графика функции относительно касательной . 212
   Асимптоты ............................................. 215
   Пример исследования функции ........................... 217
Литература ............................................... 221
Указатель ................................................ 223

                Предисловие




  Книга содержит лекционный материал первого семестра курса по математическому анализу, читавшегося автором на протяжении ряда лет в Институте механики, математики и компьютерных наук им. И. И. Во-ровича Южного федерального университета (направление подготовки 01.03.02 - Прикладная математика и информатика). Она включает такие темы, как предел последовательности, предел функции, непрерывные функции и дифференцируемые функции (вплоть до формулы Тейлора, правила Лопиталя и исследования функций методами дифференциального исчисления).
  Излагаемый материал входит, с теми или иными модификациями, в большинство учебников математического анализа, поэтому имеет смысл остановиться на тех особенностях книги, которые оправдывают ее написание.
  Книгу можно отнести к категории «кратких учебников», охватывающих только тот материал, который обычно удается дать на лекциях. В этом отношении она подобна книгам [7, 9, 14, 15] и отличается от «подробных учебников», освещающих предмет с гораздо большей полнотой (наряду с классическим примером [11] можно отметить [3-6, 8, 10]). При этом изложение в книге ведется на достаточно высоком уровне строгости, и все приводимые утверждения снабжаются подробными доказательствами. Значительную часть книги составляют примеры, поясняющие смысл вводимых понятий и полученных результатов.
  Важнейшей особенностью книги, с точки зрения автора, является ее тесная связь с набором видеолекций, записанных в 2015/16 учебном году непосредственно на занятиях и содержащих практически тот же учебный материал. Можно сказать, что данная книга является подробным конспектом этих лекций. Поэтому наибольшую пользу читатель сможет извлечь из «параллельного» изучения книги и просмотра соответствующих фрагментов видеолекций. Такая возможность оказывается особенно полезной для студентов-младшекурсников, слабо подготовленных к восприятию формальных математических текстов. В своих лекциях автор уделяет много внимания неформальному описанию вводимых понятий, а также идей, лежащих в основе доказательств, активно пользуется рисунками и схемами, ведет диалог со студенческой аудиторией, задавая ей

М. Э. Абрамян. Лекции по дифференциальному исчислению

наводящие вопросы и отвечая на те вопросы, которые возникали у самих студентов, т. е. применяет те приемы, которые было бы затруднительно представить в виде обычного математического текста. В то же время наличие такого текста и возможность его чтения параллельно с просмотром видеолекции позволяет обеспечить, по мнению автора, лучшее понимание излагаемого материала. При этом, однако, желательно, чтобы текст учебника и содержание видеолекции были хорошо согласованы. В подобном согласовании автор и видит основную особенность данной книги.
   Чтобы максимально облегчить согласование материала, содержащегося в учебнике, с соответствующим фрагментом нужной видеолекции, автор снабдил разделы и подразделы учебника ссылками, включающими номер лекции, время начала фрагмента и его длительность. Особенно удобным является применение подобных ссылок в электронном варианте книги, поскольку в этом случае для немедленной загрузки и воспроизведения требуемого фрагмента лекции читателю достаточно выполнить щелчок на указанной гиперссылке. Такие гиперссылки выделяются в тексте электронного варианта книги синим цветом. Разумеется, необходимым условием является доступность интернета и сайта youtube.com, на котором размещены видеолекции.
   Следует отметить еще один источник, позволяющий улучшить восприятие изучаемого материала: субтитры к видеолекциям. В учебных видеоматериалах подобного рода роль субтитров не сводится к обеспечению возможности просмотра для тех студентов, которые имеют ограничения по слуховому восприятию или не владеют в достаточной степени русским языком. Подготавливая субтитры, автор корректировал в них некоторые фразы, дополняя их поясняющими словами или исправляя оговорки, а также воспроизводил в субтитрах записываемые на доске формулы. В некоторых случаях в субтитры добавлялись большие дополнительные фрагменты поясняющего текста, особенно в тех (немногочисленных) ситуациях, когда в ходе лекции автор допускал какую-либо оплошность. В субтитрах также отмечается начало каждого раздела лекции.
   Еще одной особенностью книги является то, что она сразу готовилась в двух вариантах: на русском и английском языках. Дополнительная цель английского варианта состоит в том, чтобы дать возможность англоязычным студентам ознакомиться с изложением учебного материала, принятым в русской учебной литературе. Порядок тем и подбор материала, используемый в английских учебниках, различается очень сильно; в качестве примеров, наиболее близких к русским учебникам, можно указать

Предисловие

9

переводные книги [14, 15, 16], а также [13]. Англоязычные студенты имеют возможность «параллельно» изучать книгу и просматривать видеолекции, поскольку все видеолекции снабжены английскими субтитрами.
   Два варианта книги (русский и английский) могут также использоваться студентами для изучения особенностей лексики и фразеологии, связанных с изучаемым предметом. Причем такое изучение может оказаться полезным как для русскоязычных студентов, изучающих английский язык, так и для англоязычных студентов, изучающих русский.
   В английском варианте книги используются принятые в изданиях на английском языке обозначения функций tan, arctan, sinh, arsinh и т. п. (вместо обозначений tg, arctg, sh, arsh, принятых в русских текстах). Однако обозначение числа сочетаний Cₙk было сохранено (несмотря на то, что в английских текстах принято использовать обозначение ⁿₖ ), чтобы упростить восприятие формул с этим обозначением в видеолекциях. Завершение доказательств помечается знаком .
   Предлагаемая книга не содержит набора упражнений для самостоятельного выполнения. Классическим источником таких упражнений является задачник [2]; кроме того, можно отметить учебник [1, 12], который также имеется в двух вариантах: русском и английском.
   Книга снабжена подробным указателем, содержащим все входящие в нее определения и теоремы. Для ссылок на теорему используется ее развернутое описание, которое приводится перед ее формулировкой и включается в указатель в разделе «Теорема». Теоремы, содержащие в своих названиях фамилии, упоминаются в указателе также в позициях, соответствующих этим фамилиям. В электронном варианте книги номера страниц в указателе и в оглавлении являются гиперссылками, позволяющими сразу перейти на данную страницу.
   Если материал раздела или его части отсутствует в видеолекциях или излагается в них несколько по-иному, то это отмечается в подстрочных примечаниях. Таких случаев очень немного; из больших фрагментов, включенных в книгу, но отсутствующих в видеолекциях, можно отметить доказательство правила Лопиталя в главе 23 и два последних раздела главы 24.
   В начальном разделе «Видеолекции» приводится полная информация о связанном с книгой наборе видеолекций, включающая их интернет-адреса, что позволяет быстро загрузить нужную лекцию даже при отсутствии электронного варианта книги. В этом же разделе кратко описываются обозначения, используемые в субтитрах к видеолекциям.

                Видеолекции




            Использование видеолекций


  Если рядом с заголовком раздела или подраздела указан текст в рамке, то это означает, что с этим разделом или подразделом связан фрагмент видеолекции. Текст в рамке состоит из трех частей: номера видеолекции, времени, с которого начинается данный фрагмент, и продолжительности фрагмента.
  Например, рядом с заголовком первого раздела главы 1, посвященного аксиоме непрерывности вещественных чисел, указан текст 1A/00:00 (09:55). Он означает, что эта тема обсуждается в самом начале лекции 1A и соответствующий фрагмент лекции длится 9 минут 55 секунд. Последний подраздел главы 24, связанный с видеолекциями, -это подраздел о расположении касательной в точке перегиба; рядом с его заголовком указывается текст 22B/10:37 (09:46) , означающий, что эта тема обсуждается в лекции 22B, начиная с 10:37, и продолжительность обсуждения равна 9 минутам 46 секундам.
  В электронной версии книги все тексты в рамках являются гиперссылками. Щелчок на таком тексте позволяет загрузить нужную лекцию и сразу запустить ее воспроизведение, начиная с указанного времени.
  При использовании бумажного варианта книги такая возможность, естественно, недоступна, поэтому ниже приводится дополнительная информация, которая позволит быстро загрузить требуемую видеолекцию. Набор из 22 видеолекций выложен на сайте youtube.com. Каждая видеолекция состоит из двух частей: A и B. После названия лекции указываются короткие ссылки на каждую часть.
  1. Границы множеств
       1A: https://youtu.be/BDK1ONCWwCc
       1B:  https://youtu.be/4Lg3JJ0PoYQ
  2. Предел последовательности
       2A: https://youtu.be/LK5ib5HberY
       2B:  https://youtu.be/ZTQahfP3Iyk
  3. Свойства предела последовательности
       3A: https://youtu.be/DfuFyplcXgg

Видеолекции

11

     3B:  https://youtu.be/sDqiPvQTXJE
4. Бесконечные пределы
     4A: https://youtu.be/CXoPKQKi_VM
     4B: https://youtu.be/iWiRSYKhuVQ
5. Монотонные последовательности
     5A: https://youtu.be/Lv3SSXrYL1k
     5B:  https://youtu.be/i-U5uIZtrmo
6. Подпоследовательности
     6A: https://youtu.be/RcwY89d5dtM
     6B:  https://youtu.be/ttrdB3DvYtg
7. Фундаментальные последовательности
     7A: https://youtu.be/KWp5LcPfWXQ
     7B: https://youtu.be/_YIw4f9bBqE
8. Предел функции
     8A: https://youtu.be/rsMlkECIHQ4
     8B: https://youtu.be/dgSu5rC_fEU
9. Свойства предела функции
     9A: https://youtu.be/h9TxJKC2-yM
     9B:  https://youtu.be/0_p6hDI1yD4
10. Односторонние пределы
     10A: https://youtu.be/9wS-L_B91J4
     10B: https://youtu.be/sEtRpPMMFUw
11. Непрерывность функции в точке
     11A: https://youtu.be/_XDGLsjrCus
     11B: https://youtu.be/7cXTvHaG4i4
12. Непрерывность функции на отрезке
     12A: https://youtu.be/JoiUa98DJzg
     12B: https://youtu.be/lFL2brIPQh8
13. Равномерная непрерывность
     13A: https://youtu.be/VwL8dHA-aFM
     13B: https://youtu.be/3rR0H127Rcs
14. Точки разрыва
     14A: https://youtu.be/U_BgRI07K-Y
     14B: https://youtu.be/CvbLVMD2oxM
15. O-символика
     15A: https://youtu.be/T2a2I55grwM

М. Э. Абрамян. Лекции по дифференциальному исчислению

       15B:  https://youtu.be/Qdn7OleJZ4A
   16. Дифференцируемые функции
       16A: https://youtu.be/gaUSmE7fE40
       16B:  https://youtu.be/ZHmxE-4QLjU
   17. Дифференцируемые функции - 2
       17A: https://youtu.be/umY4z-k4hus
       17B:  https://youtu.be/K6kewoPcZug
   18. Формула Лейбница. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа
       18A: https://youtu.be/iFFa4qHZIeg
       18B:  https://youtu.be/pw09UNC0zUE
   19. Формула Тейлора
       19A: https://youtu.be/mh6Kd-O1c-Q
       19B:  https://youtu.be/qQsKibWy_Ng
   20. Разложения функций по формуле Тейлора
       20A: https://youtu.be/XM0oD_tjCxs
       20B:  https://youtu.be/9JOiH_oNZeo
   21. Экстремумы функций. Выпуклые функции
       21A: https://youtu.be/BBhIKfiuBpk
       21B:  https://youtu.be/U-u9AqcvMs0
   22. Точки перегиба
       22A: https://youtu.be/NkbARe7z818
       22B:  https://youtu.be/P8VLjFPLcsI
   Можно сформировать ссылку, которая сразу воспроизводит видеолекцию, начиная с указанного времени. Опишем эту возможность на примере ранее упомянутого фрагмента 22B/10:37 (09:46) . Это фрагмент части B видеолекции 22, ее короткая ссылка имеет вид P8VLjFPLcsI. Нам требуется воспроизвести лекцию, начиная с времени 10:37.
   Для этого надо использовать интернет-ссылку https://www.youtube.com/watch?, указав после нее две опции: короткую ссылку на видеолекцию (опция v=) и время начала воспроизведения (опция t=). Сами опции разделяются символом &.
   В нашем случае полный текст интернет-ссылки будет следующим:
       https://www.youtube.com/watch?v=P8VLjFPLcsI&t=10m37s
   Обратите внимание на формат представления времени: после числа минут указывается буква m, а после числа секунд - буква s. Если число секунд равно 0, то можно указать только количество минут.

Видеолекции

13

   Набор гиперссылок на фрагменты видеолекций, содержащий также названия связанных с ними глав, разделов и подразделов данной книги, представлен на сайте Института математики, механики и компьютерных наук ЮФУ mmcs.sfedu.ru в среде Moodle (раздел «Видеолекции», ссылка http://edu.mmcs.sfedu.ru/course/view.php?id=254). В начале страницы сайта приводится набор гиперссылок с названиями на русском языке (рис. 1), а затем на английском (рис. 2).


Рис. 1. Гиперссылки к видеолекциям на странице сайта edu.mmcs.sfedu.ru (русский вариант)

Рис. 2. Гиперссылки к видеолекциям на странице сайта edu.mmcs.sfedu.ru (английский вариант)

М. Э. Абрамян. Лекции по дифференциальному исчислению



            Использование субтитров



   При просмотре видеолекций можно использовать субтитры на двух языках: русском и английском. Для включения или отключения субтитров предназначена первая кнопка в группе кнопок, расположенных в правом нижнем углу окна. Язык субтитров выбирается автоматически, с учетом настроек компьютера.
   Для смены языка субтитров надо нажать вторую кнопку в этой группе (на кнопке изображена шестеренка). В появившемся меню надо выполнить команду «Субтитры». В результате появится список доступных языков субтитров, в котором можно выбрать вариант «Русский» или «Английский».
   Опишем обозначения, которые используются в субтитрах для выделения специальных видов текста.
   Заглавие очередной части лекции обрамляется двойными символами =, например: ==АКСИОМА НЕПРЕРЫВНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ==.
   Реплики студентов заключаются в квадратные скобки [ ]. Слова, добавленные для связности текста, или дополнительные пояснения заключаются в угловые скобки < >.
   В текстах формул нижний индекс выделяется с помощью символа _, верхний индекс - с помощью символа ~. Например, ао обозначается как a_0, x² как x~2.
   Для обозначения проколотых окрестностей вместо кружка сверху ис-◦
пользуется кружок справа, например, окрестность Uₐ обозначается так: U ◦_a.
   Приведем еще несколько примеров.
   Предельное соотношение liinx ,ₐ f (x) = A записывается так: lim_(x,a) f(x) = A.
   Формула Cₙk + Cₙk⁻¹ = Cₙk₊₁ из леммы о свойстве числа сочетаний (глава 20, формула (4)) записывается так:

        C_n~k + C_n~(k-1) = C_(n+1)~k.
                                                 n Pₙ(k) (x₀)
   Формула Тейлора для многочленов Pn(x) = ⁿ —)(x
k=0
(глава 22, формула (2)) записывается следующим образом:
        P_n(x) = p_(k=0)~n P~(k)_n(x_0)/k! • (x - x_0)~k.

x0)k

—