Математическое моделирование в экономике

Министерство сельского хозяйства Российской Федерации

Департамент научно-технологической политики и образования

Федеральное государственное бюджетное образовательное 

учреждение высшего образования 

«Волгоградский государственный аграрный университет»

Ю.Н. Назарова

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 

В ЭКОНОМИКЕ

ПРАКТИКУМ 

Специальность: 38.05.01 «Экономическая безопасность»

Специализация: Судебная экономическая экспертиза

Волгоград

Волгоградский ГАУ

2019

УДК 519.86:330.4
Ббк 22.18:65
Н-19

Рецензенты:

доктор экономических наук, заведующий кафедрой «Информационные 
системы и технологии» Волгоградского государственного технического
университета Н.Н. Скитер; кандидат физико-математических наук, 
доцент кафедры «Информационные системы и технологии» Волгоградского государственного аграрного университета А. С. Матвеев

Н-19
Назарова, Юлия Николаевна
Математическое моделирование в экономике: практикум.

Специальность: 38.05.01 «Экономическая безопасность».
Специализация: «Судебная экономическая экспертиза» / 
Ю.Н. Назарова – Волгоград: ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ, 
2019. – 68 с.

Практикум разработан с целью оказания помощи студентам спе
циальности «Экономическая безопасность» в выполнении практических заданий по дисциплине «Математическое моделирование в экономике». 

Освещена методика их выполнения, а также изложены требова
ния к содержанию и оформлению практических работ. 

Учтены требования действующего Федерального Государствен
ного образовательного стандарта высшего образования.

УДК 519.86:330.4

ББК 22.18:65

 ФГБОУ ВО Волгоградский ГАУ, 2019
 Назарова Ю.Н., 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ……………………………………………………………….
5

1. Сетевое моделирование в экономике ……………………………...
7

2. Модель многоотраслевой экономики ……………………………...
16

3. Решение задач линейного программирования распределительным методом (транспортная задача) …………………………………
26

4. Симплексный метод решения задач линейного программирования
36

5. Решение задач с использованием искусственного базиса (м-метод)
45

6. Графический способ решения задач линейного программирования
57

Список использованной литературы ……………………...………….
66

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время без математического моделирования в эко
номике нельзя представить себе функционирование мирового хозяйства. На основе использования экономико-математического моделирования имеется реальная возможность определить оптимальную специализацию хозяйства, оптимизировать производство, определить оптимальный состав автомобильного парка, то есть, прежде чем решать 
вопросы организационного характера, необходим детальный предварительный расчет последствий с помощью моделирования. Другими 
словами, оно дает возможность реализовать пословицу «Семь раз отмерь, один отрежь».

Целью изучения дисциплины «Математическое моделирование 

в экономике» является формирование у студентов теоретических 
знаний и практических навыков моделирования экономических 
процессов.

Изучение дисциплины направлено на решение следующих задач:
- расширение и углубление теоретических знаний о качествен
ных свойствах экономической системы, количественных взаимосвязях 
и закономерностях экономического развития, механизмах управления 
общественным хозяйством;

- овладение методологией и методикой построения, анализа и 

применения математических моделей экономических процессов;

- изучение наиболее характерных моделей и получение навыков 

практической работы с моделями, используемыми в практике.

Изучение дисциплины направлено на формирование обще
культурных компетенций, а также знаний, умений, навыков, необходимых 
для 
решений 
профессиональных 
задач 
в 
расчетно
экономической 
и 
проектно-экономической, 
информационно
аналитической деятельности:

- ОПК-1 – способность применять математический инструмен
тарий для решения экономических задач;

- ПК-4 – способностью выполнять необходимые для составле
ния экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и 
представлять результаты работы в соответствии с принятыми стандартами;

- ПК-30 – способностью строить стандартные теоретические и 

эконометрические модели, необходимые для решения профессиональных задач, анализировать и интерпретировать полученные результаты.

Практикум разработан с целью оказания помощи студенту спе
циальности «Экономическая безопасность» в подготовке к выполнению практических заданий по дисциплине «Математическое моделирование в экономике». Освещена методика их выполнения, а также 
изложены требования к содержанию и оформлению практических работ. Учтены требования действующего Федерального Государственного образовательного стандарта высшего образования.

1. СЕТЕВОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

Сетевой метод моделирования помогает осуществить рацио
нальное планирование крупных проектов, в которые включено много
взаимосвязанных между собой работ. Это могут быть проекты в сфере 
строительства, создания сложных технических систем и так далее. 
Выполняемый комплекс работ наглядно представляется как ориентированный граф. Дуги графа – это выполняемые работы, а его вершины 
– это события. Вершины соответствуют моменту завершения отдельных работ. Дуги в ориентированном графе последовательны, причем, 
располагаются в том порядке, в котором выполняются работы.

Первый шаг в построении сетевой модели производственного 

процесса – это разбиение целой операции на отдельные работы. Каждая работа связана с затратами времени, то есть имеет свое начало и 
конец. Последовательность работ обычно составлена лицами, компетентными именно в данном проекте (например, эксперты, исполнители проекта и так далее). Для каждой работы на сетевом графике определяется ее продолжительность, необходимые средства, а также непосредственно предшествующие работы, которые надо выполнить, чтобы своевременно начать данную работу.

Понятие и элементы сетевого графика

Процесс производства может включать несколько работ. Если 

они протекают последовательно, то графически это представляют одной линией.

Существует 2 основных элемента, составляющих график:
1-й элемент: событие – отражающее факт окончания предшест
вующей работы и начала последующей; в модели обозначается как 
кружок; считается, что происходит мгновенно;

2-й элемент: работа, включающая 3 вида:
1. собственно сама работа – это процесс, который требует за
трат времени и ресурсов, в модели изображается сплошной стрелкой;

2. работа-ожидание – это процесс, требующий затрат только 

времени (например, ожидание всходов после сева в полевых работах);

3. работа-логическая – это связь, которая не требует затрат ни 

времени, ни ресурсов, показывающая опосредованную связь между 
событиями, существует, скорее, для соблюдения правил построения 
сетевых моделей, в целях не допустить нелогичного обрывания процесса в середине модели, изображается пунктирной стрелкой.

1
2
3
4

Для примера рассмотрим работы, протекающие параллельно 

(или одновременно). Для этого изучим период весенних полевых работ. Составим структурную таблицу – то есть перечень работ, включаемых в период:

1. подготовка семян к моменту сева;
2. подготовка полевых дорог;
3. организация питания работников;
4. доставка горюче-смазочных материалов;
5. регулировка техники и комплектование агрегатов;
6. боронование;
7. культивация;
8. сев;
9. прикатывание.
Вполне очевидно, что эти часть этих работ можно провести од
новременно. 

Таким образом, составить сетевой график можно, зная строгую 

технологическую последовательность выполняемых работ.

Путь – это совокупность работ сетевого графика. В каждом се
тевом графике есть несколько путей, идущих от начального до конечного события.

Сетевой график этого комплекса будет выглядеть так:

Правила построения сетевых моделей

1. Сетевая модель построена без учета масштаба.
2. В сетевой модели время движется слева направо.
3. В сетевой модели события, в которые не входит ни одной 

работы (кроме начального события), не должны быть.

4. В сетевой модели события, из которых не выходит ни одна

работа (кроме конечного события), не должны быть.

1

2

3

4

5

6

7

8
9

10

11

12

семена

питание

дороги

техника

ГСМ

боронование

культивация 

сев

сев

прикатывание

культивация

5. В сетевой модели не должны быть построены циклы (пример 

зацикливания – 3-4-5).

При зацикливании какого-либо процесса на графике происходит 

круговое движение, которое невозможно прекратить и завершить 
производственный процесс, то есть достичь наступления конечного 
события.

6. Два события в сетевой модели могут соединиться только од
ной работой.

Сетевая модель, изображенная выше, отражает следующие пра
вила чтения графиков сети:

а) работы 2-5 и 2-4 начнутся только, когда завершится работы 1-2;
б) работы 4-5 и 4-6 начнутся только после завершения работ 2-4, 

1-4, 3-4;

в) работы, которые выходят из одного события, протекают од
новременно (параллельно).

7. Чтобы пронумеровать по порядку события в сетевой модели 

руководствуются следующими правилами:

а) надо вычеркнуть все работы, выходящие из начального собы
тия и определить те события, в которые ни одна работа не входит. Им
присваиваются следующие по порядку (после первого) номера – это 
будут события 1-го порядкового уровня;

1
4
5

2

3

1

2
5

3

4

6

б) затем вычеркивают все работы, выходящие из событий 1-го 

уровня. И уже следующим событиям, в которые не входит ни одной
работы, присваиваются следующие по порядку номера – это будут события 2-го порядкового уровня и т. д. – пока не наступит конечное
событие сетевой модели.

На примере следующей сетевой модели можно рассмотреть 

применение правила нумерации событий, в случаях, когда график 
представлен моделью с пустыми кружками, обозначающими события:

Временные параметры работ и событий сетевой модели
Чтобы определить время выполнения работ в сетевом графике

tij, где

i – это порядковый номер входящего события;
j – порядковый номер исходящего события, применяют сле
дующие расчетные методики:

1. tij определяется по нормам затрат времени на определенные 

работы;

2. длительность работ определяется с учетом наличия ресурсов 

по формуле:

t = 

           

                                               

3. tij определяется на основе экспертных оценок:
а) Тmin – оптимистическая (минимальная продолжительность) 

оценка времени выполнения работы;

б) Tmax – пессимистическая (максимальная продолжительность) 

оценка времени выполнения работы;

в) Т Н.В. – наиболее вероятный срок времени выполнения работы.
На основе этих оценок ожидаемое время определяется:

Тож = 

                

 

Если неизвестно наиболее вероятное время выполнения работ, 

то ожидаемое время определяется:

Тож = 

           

 

1

2

3

4

5

6

7

8

На основе данных оценок, поскольку они носят вероятностный 

характер, определяется дисперсия ожидаемой продолжительности работы:

δ2 = (

          

 
 2

Небольшая величина дисперсии свидетельствует о малой неоп
ределенности временной оценки, то есть о малом риске, и наоборот.

Дисперсия становится минимальной, если максимально сбли
зятся пессимистическая и оптимистическая оценки.

Сетевая модель позволяет найти специальные показатели – вре
менные параметры – для каждой работы, которая входит в нее. Это 
даст возможность осуществить управление производственным процессом в реальном масштабе времени.

Временные параметры работ сетевой модели рассмотрим на 

следующем примере:

Критический путь в сетевой модели обозначают Lkr.
От начального события графика 1 к его конечному событию 8 

ведет 14 путей. Например,

1.
L1-2-4-5-7-8 = 15

2.
L1-2-4-5-8 = 30

3.
L1-2-4-6-7-8 = 21

4.
L1-2-4-6-8 = 23

5.
L1-2-5-8 = 32

6.
L1-2-5-7-8 = 17

7.
L1-2-4-7-8 = 13

8.
L1-3-6-8= 20

9.
L1-3-6-7-8 = 18

10.
L1-3-4-5-8 = 29

11.
L1-3-4-7-8 = 12

12.
L1-3-4-6-8 = 22

13.
L1-3-4-5-7-8 = 14

14.
L1-3-4-6-7-8 = 20

1

2

3

4

5

6

7
8

3

5

8

4

11

7
2
1

1

3
6

2

18

7

Самый продолжительный путь, ведущий от начального к конеч
ному событию – это критический путь.

В нашем случае критический путь проходит через события 1, 2, 

5, 8 и Lkr равен 32 дням.

Критический путь определяет окончательные сроки выполнения 

всего комплекса работ в целом, поэтому, чтобы не допустить нарушения данного директивного срока, все работы, лежащие на нем, должны выполняться в сроки, строго установленные для них.

Временные параметры работ рассмотрим на примере работы 4-6.
1-й: время раннего начала Тij

РН – это самый продолжительный

путь от начального события сетевой модели к входящему событию 
данной работы:

Т4-6

РН = max {1-2-4; 1-3-4} = max {10; 9} = 10 дней.

То есть, приступить к выполнению работы 4-6 мы можем, толь
ко завершив работы 1-2, 2-4; 1-3, 3-4, то есть через 10 дней после начала всего комплекса по данному проекту.

2-й: время раннего окончания работы:
Тij

РО = Тij

РН + tij (продолжительность данной работы)

Т4-6

РО = 10 + 6 = 16 дней.

То есть, раньше, чем через 16 дней после начала всего комплек
са, работа 4-6 не может завершиться.

3-й: Тij

ПН – время позднего начала определяется как разность 

между продолжительностями критического пути и самого длинного
пути, идущего от входящего события данной работы через данную работу к конечному событию сетевой модели:

Т4-6

ПН = Lkr - max {4-6-7-8; 4-6-8}= max {11; 13} = 13} = 32 – 13 = 

19 дней.

4-й: время позднего окончания работы Тij

ПО = Тij

ПН + tij

Т4-6

ПО = 19 + 6 = 25 дней.

Показатель полного резерва времени выполнения работы (Rij) 

определяется разностью между параметрами позднего и раннего начал 
или позднего и раннего окончаний:

R4-6 = Тij

ПН - Тij

РН = 19 - 10 = 9 или Тij

ПО - Тij

РО = 25 - 16 = 9 дней.

Данный параметр помогает установить границы, в  которых 

можно отсрочить начало выполнения данной работы или увеличить ее 
продолжительность, чтобы не нарушить директивного срока выполнения всего комплекса работ в целом. Работы критическом пути полным резервом времени не располагают. Если данная работа использует свой резерв времени полностью, то она оказывается на критиче