Математические модели экономических систем: модели общего равновесия на макроэкономических рынках и проблемы макроэкономической нестабильности

УДК 330.101.541.001.57 

Б72 

Б72 
Бобкова И.А., Левин М.И. Математические модели экономических систем: модели общего равновесия на макроэкономических рынках и проблемы макроэкономической нестабильности: Учебное пособие для студ. спец. 1209, 2202, 0102. –М.: МИСиС, 2001. 72с. 

В пособии в сжатой форме даны основные понятия и соотношения, 
необходимые и достаточные для решения задач раздела «Макроэкономическое моделирование» по курсу «Математические модели экономических 
систем». Приведены разобранные варианты типовых задач по вопросам, 
связанным с поиском равновесия на различных рынках и общего макроэкономического равновесия, а также задачи для самостоятельной подготовки, 
которые дают наиболее полное представление о реальном процессе решения 
задач математического моделирования в области макроэкономики. 

Предназначено для студентов факультета информатики и экономики, 
обучающихся по специальностям 1209, 2209, 0102 и другим. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2001 

БОБКОВА Ирина Александровна 
ЛЕВИН Марк Иосифович 

Математические модели экономических систем: 
модели общего равновесия 
на макроэкономических рынках 
и проблемы макроэкономической нестабильности 

Учебное пособие 
для студентов специальностей 1209, 2202, 0102 

Рецензент проф. д-р техн. наук А.Г. Дьячко 

Редактор Г.С. Петренко 

Объем  73 стр.  
Тираж  220 экз. 

Заказ №892 
Цена “С” 
Регистрационный   № 452 

Московский государственный институт стали и сплавов, 
119991, Москва, Ленинский пр-т, 4 
Отпечатано в типографии издательства «Учеба» МИСиС, 
117419, Москва, ул. Орджоникидзе, 8/9 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................4 
1. РАВНОВЕСИЕ НА РЫНКЕ БЛАГ.......................................................7 

1.1. Основные понятия и соотношения ..........................................7 
1.2. Типовые задачи........................................................................11 
1.3. Задания для самостоятельного решения ...............................16 

2. РАВНОВЕСИЕ НА РЫНКЕ ДЕНЕГ ..................................................19 

2.1. Основные понятия и соотношения ........................................19 
2.2. Типовые задачи........................................................................22 
2.3. Задания для самостоятельного решения ...............................27 

3. МОДЕЛЬ IS-LM....................................................................................29 

3.1. Основные понятия и соотношения ........................................29 
3.2. Типовые задачи........................................................................31 
3.3. Задания для самостоятельного решения. ..............................35 

4. РАВНОВЕСИЕ НА РЫНКАХ АКТИВОВ.........................................37 

4.1. Основные понятия и соотношения ........................................37 
4.2. Типовые задачи........................................................................39 
4.3. Задания для самостоятельного решения ...............................43 

5. СОВОКУПНЫЙ СПРОС И СОВОКУПНОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ.  
AD-AS МОДЕЛЬ............................................................................45 
5.1. Основные понятия и соотношения ........................................45 
5.2. Типовые задачи........................................................................49 
5.3. Задания для самостоятельного решения. ..............................53 

6. ОБЩЕЕ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ И 
МАКРОЭКОНОМИЧЕСКАЯ НЕСТАБИЛЬНОСТЬ..................56 
6.1.  Основные понятия и соотношения .......................................56 
6.2. Типовые задачи........................................................................58 
6.3. Задания для самостоятельного решения ...............................66 

ОТВЕТЫ  К  ЗАДАЧАМ..........................................................................69 
ЛИТЕРАТУРА ..........................................................................................72 

ВВЕДЕНИЕ 

Целью макроэкономического моделирования является выявление результатов функционирования национальной экономики, исследование факторов, определяющих уровень национального дохода, 
безработицы, темпы инфляции, экономического роста, поиск решений 
по ликвидации макроэкономической нестабильности. Для этого разрабатываются два типа моделей: ex post – для анализа уже достигнутых результатов и ex ante – определяющие закономерности формирования макроэкономических параметров.  
При создании макроэкономических моделей следует помнить, 
что в ни
а
г
х используются гре ированные параметры.  
Агрегирование по экономическим агентам (субъектам). 
Считается, что в  макроэкономической среде действуют четыре типа 
субъектов, называемых секторами экономики и представляющих собой совокупность реальных хозяйственных единиц. 
1. Сектор домашних хозяйств составляют отдельные хозяйственные единицы внутри страны, деятельность которых направлена 
на удовлетворение собственных потребностей. Они являются собственниками факторов производства, за счет продажи или аренды которых они получают доход,  в дальнейшем направляя его на потребление или сбережение. 
2. Частный сектор – это совокупность всех фирм, зарегистрированных внутри страны, создающих и реализующих определенные 
блага – товары или услуги. Деятельность частного сектора сводится к 
приобретению производственных ресурсов, производству и предложению благ и инвестированию. 
3. Государственный сектор  – все государственные институты и учреждения, занимающиеся  производством общественных благ, 
т.е. таких благ, которые достаются потребителю без непосредственной 
оплаты каждой потребляемой единицы (наука, медицина, армия и 
т.п.). Источником государственных расходов служат налоговые поступления, а направления расходов формируются на основании закона 
о бюджете страны. 

4. Сектор заграницы – все экономические субъекты, которые 
зарегистрированы за пределами данной страны, и иностранные государственные институты. Воздействие заграницы на отечественную экономику осуществляется посредством экспортно-импортных отношений. 

Агрегирование по рынкам. Выделяют четыре укрупненных 
рынка, которые являются объектами моделирования: 

1) рынок благ – все множество рынков отдельных товаров и 
услуг, объединяемых в агрегированный рынок, на котором функционирует одно абстрактное благо. Оно может быть как предметом потребления, так и средством производства; 

2) рынок труда (факторов производства) – рынок одного из 
факторов производства, на котором продается и покупается один вид 
труда; 

3) денежный рынок – рынок, на котором формируются спрос и 
предложение национальной валюты, создается вся обращающаяся в 
стране денежная масса; 

4) рынок капитала (активов) – рынок, на котором формируется 
инвестиционный портфель, состоящий из различных видов активов 
(акций, государственных облигаций), и устанавливается процентная 
ставка на различные виды кредитов. Основное назначение этого рынка – трансформировать сбережения в реальные инвестиции.  

Агрегирование агентов и рынков позволяет упростить в модели анализ взаимосвязей между ними. При построении макроэкономических моделей обычно ограничиваются четырьмя типами функциональных уравнений, в которых используются: 

1) функции поведения, выражающие предпочтения, складывающиеся в данном обществе в данный момент времени (функции потребления, сбережений, инвестиций и т.п.); 

2) производственные функции, характеризующие технологические условия производства (линейная, Кобба –  Дугласа и т.п.); 

3) институциональные функции, представляющие собой установленные зависимости между отдельными параметрами модели (сумма налоговых поступлений как функция от дохода и ставки подоходного налога, 
объем инвестиций как функция от текущей ставки процента и т.п.); 

4) дефиниционные функции, устанавливающие зависимости, вытекающие из дискриптивного (словесного) определения экономических явлений и понятий (совокупный спрос как суммарный 
спрос домашних хозяйств, частного сектора, государства, заграницы – y=C+I+G+NE). 

 
После создания модели макроэкономического рынка, выбора 
эндогенных и экзогенных параметров находят такой вектор эндогенных величин, при котором экономика оказывается в состоянии макроэкономического равновесия либо на отдельном рынке, либо в системе 
в целом

6 
 

 (в зависимости от модели). 
Общее экономическое равновесие – это состояние, при котором объем производства и обмена складывается таким образом, что на 
всех рынках одновременно достигается равенство спроса и предложения и при этом участники рыночных сделок не заинтересованы в изменении объемов продаж или покупок. Общее экономическое равновесие (ОЭР) не является типичным состоянием экономики, поэтому 
важно установить, является оно устойчивым или нет. В этом случае 
рассматривают два типа моделей: с саморегулирующейся экономикой, 
которая самостоятельно возвращается в исходное равновесное состояние, и нестабильной экономикой, которая возвращается в исходное 
состояние благодаря определенному внешнему воздействию либо со 
стороны государства (правительства), осуществляющего бюджетноналоговую политику, либо со стороны Центрального банка страны, 
реализу
с
.
ющего монетарные тратегии   
Структура данного пособия, посвященного наиболее распространенным моделям макроэкономического равновесия, отражает общую логику процессов, проходящих в реальных экономических системах, – сначала рассматриваются вопросы установления равновесия 
на отдельно взятом рынке, затем – вопросы совместного и общего 
равновесия в экономике в целом и проблемы восстановления этого 
равновесия при возникновении макроэкономической нестабильности. 

1. РАВНОВЕСИЕ НА РЫНКЕ БЛАГ 

1.1. Основные понятия и соотношения 

Основные допущения рынка благ: 
1) неизменность уровня цен; 
2) отсутствие различий между номинальными и реальными 
значениями экономических показателей; 

3) эластичность предложения благ. 

Условие равновесия (основное тождество рынка благ): 

y = C + I + G + NE, 

где  y – предложение благ; 
C – потребительский спрос; 
I – спрос частного сектора на инвестиции; 
G – государственные расходы; 
NE – чистый экспорт.  

Функции, отражающие спрос на  рынке благ: 

7 
 

ν
⋅
+
=
ν
y
C
C
C
y
a

ν
y
Tr
T
y
yv
+
−
=
y

t =
y
T
T
y
a

1) функция потребления:  
, 

где 
 – располагаемый доход, 
, 
здесь 
 – реальный доход; 
T – налоговые вычеты, которые могут представляться либо в абсолютном выражении 
, либо по ставке подоходного налога 

, либо выражаться формулой T

Ta

Ty
=
+
, трансферты  Tr, 

как правило, задаются экзогенно; 
 – автономное потребление, не зависящее от текущего или 
располагаемого дохода; 
 – предельная склонность к потреблению, представляющая 

Ca

Cyν

 
собой часть дополнительно полученной населением денежной 
единицы, увеличивающей его реальный (y) или располагаемый 
(yν) доход и направляемая на дополнительное потребление: 

8 
 

ν
ν ≅
Δ
Δ
=
ν
dy
dC
y
C
C y

y
S
−
=
y
S
S
S
y
a

; 

Вместо функции потребления может использоваться функция 
сбережений: 

+
⋅
=
, 
C или в явном виде 

где 
реальный доход; 

a  – автономное накопление (например, сбережения прошлых 
лет); 

 – предельная склонность к сбережению, 

−
y
S

Sy
dy
dS
y
S
S y
≅
Δ
Δ
=

)
*
(
i
R
I
I

; 

=
−
, 
2) функция автономных инвестиций: 
i

где  
 – предельная склонность к инвестированию вида 
Ii
di
dI
i
I
Ii
≅
Δ
Δ
=
; 

i – текущая ставка процента. 
R* – предельная эффективность капитала, представляющая собой 
то значение дисконтной ставки R, которая превращает в равенство неравенство экономической целесообразности инвестицион
ного проекта вида  
∑
=
+

π
≤

T

t
t
o
R
K
)
1(
t 1
, здесь K0 – вложения в те
кущ
π
 
ем периоде, 
t – прибыль в периоде t;
3) спрос государства – G, или государственные расходы, определяется государственным бюджетом, который утверждается Государственной Думой и поэтому задается экзогенно; 

4) функция чистого экспорта: NE=E – Z, 

E
=
+
где 
 – экспорт, 
g
E
E
0
здесь E

⋅θ , 

0 –  величина экспорта, определяемая внешними факторами, 
не рассматриваемыми в модели;  
θ – показатель реальных условий обмена показывающий, сколько 

импортных благ страна (потребитель) может получить в обмен на 

единицу отечественного блага, 
z
p
p

p

⋅
ε
=
θ

y
y

, 

где p, pz – уровни цен внутри страны и за рубежом, εp – обменный 
курс национальной валюты; g – предельная склонность к экспортированию; 
Z
Z
Z
a
⋅
+
=
 – импорт, определяемый независи
мым спросом на импортные блага 
и предельной склонностью 

к импортированию
. 

a
Z

y
Z

y
y
S
D
=

Модель «доходы – расходы» («Крест Кейнса») представляет собой кейнсианскую модель равновесия национального дохода, в которой 
планируемые расходы (спрос) и национальный продукт (предложение) 
являются функцией дохода, не зависят от цен, а национальный доход равен наличному доходу вместе с чистыми налогами. Геометрически «Крест 
Кейнса» состоит из двух линий (рис. 1.1): 

1) линия равновесия – биссектриса первого квадранта, или линия «доход – продукт», графически представляет равенство национального дохода и национального продукта, т.е. это линия равновесия 
на рынке благ: 
; 

2) линия планируемых расходов – кривая, показывающая 
взаимосвязь уровня реальных планируемых расходов и уровня реального дохода и определяемая основным уравнением рынка благ (см. 
рис. 1.1).  

Реальный доход, yS

Реальный 
продукт yD

Рис. 1.1 «Крест Кейнса» 

9 
 

 
В результате установления на рынке благ кейнсианского равновесия можно вывести уравнения кривой, представляющей собой все 
возможные комбинации пар (y,i), характеризующих равновесие на товарном рынке, и носящей название «линия IS»:  
 

10 
 

y
y
y

i
Z
T
S
I
A
+
+
−
y =
  или  

i

y
y
y
I

Z
T
S
A
i
)
(
−
+
+

=
, 

где А – все автономные расходы. 
Мультипликационные эффекты представляют собой изменения в равновесном уровне национального дохода, превышающие 
инициирующее изменение в планируемых расходах. Эти изменения 
выражаются мультипликатором автономных расходов, показывающим, во сколько раз сумма прироста или сокращения НП, НД или денежного обращения превышает первоначальную сумму инвестиций, 
государ
в
ст енных расходов и т.п. 
В зависимости от участия различных экономических агентов 
изменение уровня НД определяется следующими соотношениями:  

а) в общем виде: 
A
m
A
Z
a
y
y
Δ
=
Δ
+
⋅
+
−
=
Δ
1
1

T
C
C
y
, 

y
y
ν
ν

где 
A
Δ  – изменение автономных расходов; 
ma –  
б) в экономике без заграницы:  

развернутый мультипликатор автономных расходов; 

A
m
G
I
a Δ
⋅
=
Δ
+
)
T
C
C
y

y
y
y
Δ
⋅
+
−
=
Δ

ν
ν
(
1
1
 (вызвано измене
нием государственных расходов или инвестиций), 

где m  – мультипликатор  автономных расходов; 
a

T
m
y
y
t
y
Δ
⋅
=
Δ
+
)
(
T
T
C
C

C
y

y
y
y

y
Δ
⋅
+
−
=
Δ

ν
ν

ν

1
, (вызвано измене
нием ставки подоходного налога), 

m
где 
t – налоговый мультипликатор; 
ΔT –  изменение объема налоговых поступлений; 

в) 
в 
экономике 
без 
государства 
и 
заграницы: 

11 
 

I
m
I
C
a

y
Δ
⋅
=
Δ
−
ν

1
y =
Δ
1
. 

1.2. Типовые задачи 

Пример 1. Пусть в экономике отсутствует воздействие государства и заграницы. Отобразить графически взаимоотношение функций потребления и сбережений, пользуясь данными табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

Состояние экономики 

Реальный доход, 
Потребление, 

у.е. 
у.е. 

A 
500 
600 

B 
1000 
1000 

C 
1500 
1400 

D 
2000 
1800 

Решение 
Найдем показатели, необходимые для построения графиков 
функций потребления и сбережений по формулам, 

Y
S
S
Y
Y
C
C
y
i
i

i
i
Δ
Δ
=
−
Y
C
C y

−
=
Δ
Δ
=

+

+
;

1

1
. 

Заполним таблицу.