Диофантовы уравнения

ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ 
Академия права и управления 

М. С. Маскина, С. А. Моисеев 

ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ 

Монография 

Научная редакция 
доктора физико-математических наук, профессора А. О. Фаддеева 

Рязань 
2019 

ББК  22.1я2 
    М74 
Рецензенты: 
В. П. Корячко, заслуженный деятель науки и техники РФ, 
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой 
систем автоматизированного проектирования вычислительных 
средств (Рязанский государственный радиотехнический 
университет); 
К. В. Бухенский, кандидат физико-математических наук, доцент, 
проректор по учебной работе (ФГБОУ ВО «Рязанский государственный 
радиотехнический университет») 

Маскина, М. С. 
Диофантовы уравнения : монография / М. С. Маскина, 
С. А. Моисеев. – Рязань : Академия ФСИН России, 2019. – 235 с. 

ISBN 978-5-7743-0943-6 

В монографии рассматриваются проблемы формирования теории 
диофантовых уравнений, проведена классификация основных 
методов решения таких уравнений элементарными средствами и их 
адаптация для старшеклассников. Каждый из рассматриваемых методов 
решения снабжен подробной иллюстрацией особенностей 
его применения на примерах и подборкой задач для самостоятельного 
решения. Она содержит теоретический материал по теории дио-
фантовых уравнений и широкую подборку задач для организации курса 
факультативных занятий, посвященного данной тематике. 
Предназначена студентам, курсантам и преподавателям физико-
математических, технических и экономических факультетов вузов, 
их абитуриентам, а также учащимся старших классов и учителям математики.  


ББК 22.1я2

ISBN 978-5-7743-0943-6 
© Маскина М. С., Моисеев С. А., 2019
© Академия ФСИН России, 2019 

М74

Оглавление 

Введение . ..................................................................................................... 4
Глава I

§ 1. Справочный материал из курса алгебры и теории чисел ............ 9
§ 2. Уравнение Ферма-Пелля ............................................................... 25
§ 3. Уравнение Пифагора ..................................................................... 53
§ 4. Линейные отображения пифагоровых троек .............................. 71
§ 5. Великая (последняя) теорема Ферма ........................................... 84
§ 6. Уравнение Маркова и его обобщения ....................................... 106

Глава II

§ 1. Использование свойств делимости чисел ................................. 132
§ 2. Использование остатков от деления .......................................... 138
§ 3. Простые и составные числа.  Основная теорема арифметики ... 145
§ 4. Разложение на множители. Сведение к делителям фиксиро- 
ванного числа ....................................................................................... 151
§ 5. НОД и НОК. Взаимно простые числа ........................................ 156
§ 6. Использование свойств неравенств  и дискретности N и Z ..... 164
§ 7. Использование принципа Дирихле ............................................ 174
§ 8. Использование свойств квадратного трехчлена ....................... 176
§ 9. Целочисленные многочлены ....................................................... 181
§ 10. Уравнения с бесконечным количеством решений ................. 185
§ 11. Различные задачи ....................................................................... 192
§ 12. Ответы, указания, решения ....................................................... 196

Заключение ........................................................................................... 231
Список использованной литературы .............................................. 233

3 

Введение 

В курсе математики средней школы не предусмотрено отдельной 
темы «Теория диофантовых уравнений», но ее изучение способствует 
развитию креативного мышления и формированию математической 
культуры обучаемого. Следует отметить, что такие уравнения все 
чаще появляются в текстах дополнительных вступительных испытаний 
на технические, физико-математические и экономические специальности 
престижных вузов и в последней задаче тестов профильного 
уровня ЕГЭ по математике.  

Диофантовы уравнения (иногда их называют неопределёнными) – 

это алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, имеющие 
число неизвестных, превосходящее число уравнений, и у которых 
разыскиваются целые или рациональные решения.  

Первые диофантовы уравнения известны ещё с древних времён.  
Диофант в сочинении "Арифметика" занимался нахлждением рациональных (
необязательно целых) решений специальных видов 
уравнений.  
Пифагорейцы Общая теория решения диофантовых уравнений 
первой степени была создана в XVII веке французским математиком 
К.Г. Баше. К началу XIX века трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, 
Ж. Лагранжа и К. Гаусса в основном было исследовано общее 
неоднородное диофантово уравнение второй степени с двумя неизвестными 
вида 
нашли способ построения всех решений уравнения x2+y2 = z2, поэтому 
оно сейчас и известно как уравнение Пифагора. 
ах2 + bxy + су2 + dx + еу + f = 0, 
где а, b, с, d, е, f – целые числа.  
П. Ферма утверждал, например, что уравнение x2 – Аy2 = 1 (уравнение 
Пелля), где А – целое положительное число, не являющееся 
квадратом, имеет бесконечно много решений. Дж. Валлис и Л. Эйлер 
дали способы решения этого уравнения, а Ж. Лагранж доказал бесконечность 
числа решений.  
С помощью непрерывных дробей Ж. Лагранж исследовал общее 
неоднородное диофантово уравнение второй степени с двумя неиз-

4 

вестными. К. Гаусс построил общую теорию квадратичных форм, являющуюся 
основой решения некоторых типов диофантовых уравнений. 
В исследованиях уравнений степени выше второй с двумя неизвестными 
серьёзные успехи были достигнуты лишь в ХХ веке. А. Туэ 
установил, что уравнение 
a0xn + a1xn–1y +... + anyn = с, 
где a0, а1,..., an, с – целые и многочлен a0tn + a1tn–1 +...+ an неприводим 
в поле рациональных чисел, не может иметь бесконечного числа целых 
решений. Английским математиком А. Бейкером получены эффективные 
теоремы о границах решений некоторых таких уравнений. 
Б. Н. Делоне создал другой метод исследования, охватывающий более 
узкий класс диофантовых уравнений, но позволяющий определять 
границы числа решений. В частности, его методом полностью 
решаются уравнения вида ax3 + y3 = 1. 
Следует отметить, что полная теория решения диофантовых 
уравнений создана только для уравнений второй степени. Даже для 
уравнений третьей степени, хотя и получено много интересных результатов, 
доказано много трудных теорем, однако полная теория 
решения таких уравнений отсутствует.  
Для уравнений выше второй степени с двумя и более переменными 
трудной является даже задача существования решений в целых 
числах. Например, не известно, имеет ли уравнение 
x3 + y3 + z3 = 30 
хотя бы одно целое решение. Более того, Ю.В. Матиясевичем было 
доказано, что в принципе не существует единого алгоритма, позволяющего 
за конечное число шагов давать ответ на вопрос, имеет ли 
решения в целых числах произвольное диофантово уравнение. 
Решение уравнений в целых числах имеет и теоретический, и 
практический интерес. Такие уравнения встречаются в физике, они 
тесно связаны со многими проблемами теории чисел и теории вероятностей. 
Теория диофантовых уравнений лежит в основе математической 
теории алгоритмов. Отнюдь не случайно, что среди проблем 
Гильберта, под знаком решения которых развивалась математика в 
течение всего XX века, содержатся проблемы теории диофантовых 
уравнений.  

5 

Однако эта тема, наряду с разделами, связанными с наиболее сложными 
и утончёнными разделами высшей математики, содержит и простые 
разделы, которые посильны и доступны для студентов, а ряд из 
них – и для школьников. Материал этот интересен, но весьма разбросан 
по разным публикациям и изданиям.  
Создание монографии было направлено на систематизацию 
накопленного по данной теме именно такого сравнительно простого 
материала, классификацию методов решения диофантовых уравнений 
и адаптацию их для студентов и старшеклассников, что и отразилось 
на структуре данной работы. Она состоит из двух частей: первая 
часть предназначена для студентов естественно-математических, 
экономических и технических специальностей, а вторая – для школьников 
старших классов, учителей математики и всех интересующихся 
математикой.  
Первая часть состоит из шести параграфов.  
Первый параграф является вспомогательным. В нем кратко рассматривается 
справочный материал из курса алгебры, который используется 
в данной работе. В частности, он содержит решение дио-
фантовых уравнений с одной переменной и уравнений первой степени 
с двумя переменными.  
Во втором параграфе рассматривается одно из классических 
уравнений – уравнение Ферма–Пелля x2 – Ay2 = 1 и его обобщение  
x2 – Ay2 = с. Вначале доказывается, что множество натуральных решений 
уравнения Ферма является циклической полугруппой относительно 
умножения, в которой порождающий элемент есть нетривиальное 
решение с наименьшим модулем. При доказательстве этого 
утверждения используются теория сравнений и свойства дискретности 
N и Z. Затем приводится второе доказательство этой теоремы, в 
котором существенно используются факты из геометрии чисел, в 
частности, лемма Минковского. 
В третьем параграфе рассматривается решение классического уравнения 
Пифагора. Вначале указываются два частных решения, которые 
приписывают Пифагору и Платону. Средствами элементарной теории 
чисел приводятся два доказательства теоремы об общем виде примитивных 
решений этого уравнения. Далее рассматривается третье, геометри-

6 

ческое доказательство этой теоремы, принадлежащее Ф. Клейну, и указывается 
на связь этого доказательства со свойствами тригонометрических 
функций. Приводятся примеры использования комплексных чисел 
при выводе формул для решений уравнения Пифагора. Указываются некоторые 
классы пифагоровых троек. 
Ряд классов пифагоровых троек задается формулами линейного 
вида, что наводит на мысль о рассмотрении их как точек трёхмерного 
пространства. Тогда формулы, задающие отмеченные семейства троек, 
могут быть истолкованы как линейные операторы, сохраняющие 
пифагоровы тройки. Это позволяет применить к изучению пифагоровых 
троек аппарат линейной алгебры.  
В четвёртом параграфе рассматриваются доказательства ряда новых 
результатов, полученных в этом направлении. Сформулируем 
один из них, наиболее интересный с нашей точки зрения. 
Рассматривая тройки чисел как точки псевдоевклидова пространства 
Е2, 1 с метрикой ds2 = dx2 + dy2 – dz2, получим, что пифагоровы 
тройки изображаются точками, лежащими на изотропном конусе  
x2 + y2 – z2 = 0. Всякое движение пространства Е2,  1 переводит пифагорову 
тройку вновь в пифагорову тройку. Справедливо и обратное 
утверждение. 
Группа движений Е2, 1 транзитивна на множестве пифагоровых 
троек. Иными словами, для любых двух примитивных пифагоровых 
троек существует движение, переводящее одну тройку в другую. 
В пятом параграфе излагается «Великая» теорема Ферма. В начале 
параграфа кратко описывается драматическая история попыток её 
доказательства, в конце параграфа популярно поясняется идея доказательства, 
предъявленного Э. Уайлсом.  
Далее подробно изучается доказательство теоремы Ферма для 
случаев n = 4 и n = 3. Доказательство для n = 4 является элементарным. 
Для n = 3 идеи и нестрогое доказательство, принадлежащие 
Л. Эйлеру, доводятся до надлежащего уровня строгости результатами 
из теории расширения полей и колец. Отметим, что остроумные идеи 
Л. Эйлера и значительные технические усилия, “спасающие” его нестрогое 
доказательство, дают яркое представление о тех трудностях, с 
которыми приходится сталкиваться в процессе доказательства теоре-

7 

мы даже на самых его начальных этапах. Это является сильным свидетельством 
в пользу того, что, видимо, П. Ферма ошибался, предполагая, 
что он доказал свою теорему. 
В заключение пятого параграфа излагается доказательство утверждения, 
аналогичного «Большой теореме Ферма», для многочленов. 
Шестой параграф посвящен решению уравнения Маркова, которое 
хотя и не является уравнением второй степени, однако примыкает к 
ним, прежде всего по методу его решения. Наряду с решением уравнения 
и доказательством его исключительности, рассматриваются обобщения 
уравнения Маркова, вначале на случай четырёх переменных, а 
затем и на случай n переменных. 
Во второй части монографии авторами осуществлена классификация 
основных методов решения диофантовых уравнений элементарными 
средствами. Здесь каждый параграф посвящен рассмотрению 
одного из методов решения с подробной иллюстрацией особенностей 
его применения на примерах и подборкой задач для 
самостоятельного решения. Названия параграфов достаточно полно 
передают их содержание. Отметим, что значительную часть проблем, 
идей и методов первой части удаётся успешно адаптировать к возможностям 
и уровню знаний школьников и студентов. В последнем 
параграфе второй части приведены ответы, указания и решения.  
Вторая часть монографии может послужить содержательной основой 
для создания факультатива1, посвященного изучению диофан-
товых уравнений в школе или на дополнительных кружковых занятиях 
в вузе.  
 

1 Подробный тематический план данного факультативаи опыт его проведения 
описан в статье [15]. 

8 

                                      

Глава I 

§ 1. Справочный материал из курса алгебры и теории чисел 

Конечные цепные дроби2 
В дальнейшем нам понадобится понятие цепной дроби (конечной 
и бесконечной) и их свойства. В курсе теории чисел доказывается, что лю-

бое рациональное число вида b
a , где a – целое, b – натуральное числа, можно 

представить в виде  

n
n
q
q

q
q
q
b
a

1
1

1
1

1

3
2

1

+
+
+
+
+
=

−



. 
 
 
 
(1) 

Здесь число q1 является целым числом, а все остальные числа  
q2, q3, ..., qn являются натуральными, причём qn > 1. Все эти числа 
называются неполными частными исходного числа. 
 
Выражение, стоящее в последнем равенстве справа, называют конечной 
цепной дробью. 
 
В курсе теории чисел доказывается, что представление рацио-

нального числа b
a  в виде (1) единственно. Будем писать при этом, что 

b
a  = [q1; q2, q3, ..., qn]. 

 
Выражения, получающиеся из цепной дроби при отбрасывании 
всех звеньев, начиная с некоторого, называются начальными отрезками 
цепной дроби. 

2 В данном параграфе собран достаточно известный алгебраический материал 
учебников [1, 2, 4, 10, 12, 14] из приведенного в конце монографии списка 
литературы, на который будем опираться при дальнейшем изучении диофанто-
вых уравнений. 

9 

                                      

Для любой конечной цепной дроби [q1; q2, q3, ..., qn] определим 

числа δk = 

k

k
Q
P , где Pk и Qk задаются следующими рекуррентными со-

отношениями: 
P1 = q1,  P2 = q1q2+1,  Pk = qkPk–1+Pk–2 при k ≥ 3;  
Q1 = 1,  Q2 = q2,   Qk = qkQk–1+Qk–2 при k ≥ 3. 
Будем называть эти дроби δk, где k ∈ 
n
,1
, подходящими дробями 
данной конечной дроби. 
 
Приведём без доказательства следующие две теоремы, которые 
доказываются в курсе теории чисел. 
 
Теорема 1. Значение любого начального отрезка конечной цепной 
дроби совпадает со значением подходящей дроби с тем же номером. 
 

Теорема 2. Свойства подходящих дробей. 
1°. Pk, Qk∈Z; (Qk) – возрастающая последовательность натуральных 
чисел. 
2°. Имеет место тождество:  
PkQk–1 – QkPk–1 = (–1)k. 
 
 
 
 
(2) 

3°. Подходящие дроби несократимы. 
4°. Подходящие дроби с нечётными номерами образуют возрастающую 
последовательность, подходящие дроби с чётными номерами 
образуют убывающую последовательность. 
5°. Каждая подходящая дробь δ2k больше, чем δ2k–1 и δ2k+1. 
6°. Каждая подходящая дробь δ2k+1 меньше, чем δ2k и δ2k+2. 
7°. Любая подходящая дробь δ2k больше любой подходящей дроби 
δ2l–1. 
8°. Если α∈Q+, то при его разложении в цепную дробь все нечётные 
подходящие дроби – приближения по недостатку, а все чётные 
подходящие дроби – приближения по избытку, за исключением последней 
дроби, совпадающей с α. 

10 

9°. Если α∈Q+ и δk – подходящая дробь в разложении α в цепную 
дробь, то |α–δk| ≤ (QkQk+1)–1 < Qk–2. 
 
Бесконечные цепные дроби 
Бесконечное выражение [q1; q2, q3, ..., qn, ...], которое определяется 
аналогично тому, как это сделано в п.1, в котором q1 является целым 
числом, а все остальные числа q2, q3, ..., qn, ... являются натуральными 
числами, называется бесконечной цепной дробью.  
 
В теории чисел доказывается, что всякое действительное число 
представляется в виде конечной или бесконечной цепной дроби, причём 
такое представление единственное. Почти очевидно, что число 
представляется в виде конечной цепной дроби тогда и только тогда, 
когда это число является рациональным числом. 
 
Как и для конечных цепных дробей, вводится понятие подходящей 
дроби. Свойства подходящих дробей для бесконечных цепных 
дробей – те же самые, что и для конечных цепных дробей. 
Для бесконечной цепной дроби α = [q1; q2, q3, ..., qn, ...] величины 
αn вида  

αn = [qn; qn+1, ..., ...] 

называются полными частными в разложении α. 
 
Справедлива следующая теорема, которую мы примем без доказательства. 
 

Теорема 3. Пусть α = [q1; q2, q3, ..., qn,   ] – бесконечная цепная 
дробь, αn+1 = [qn+1; qn+2, ..., ...] – полное частное в разложении α. Тогда 

α = 

1
1

1
1

−
+

−
+
+
+

n
n
n

n
n
n
Q
Q
P
P
α
α
  
 
 
 
 
(3) 

и 

αn+1 = 

n
n

n
n
P
Q
Q
P
−
−
−
−
α
α
1
1
,   
 
 
 
(4) 

11