Теоретическая механика : статика

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА 
 
Кафедра инжиниринга технологического оборудования

Москва 2019

№ 3430

Е. Е. Балахнина
Б. В. Воронин

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

СТАТИКА

Курс лекций

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета

УДК 531.1 
 
Б20

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. Н. И. Абрамкин

Балахнина Е. Е.
Б20  
Теоретическая механика : статика : курс лекций / Е. Е. Балахнина, Б. В. Воронин. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 
78 с.
ISBN 978-5-907061-26-2

Объектами рассматриваемых задач являются реальные машины и механизмы, используемые в горной технике и технологии, однако для облегчения 
вычислений отдельные сложные механические системы заменены упрощенными моделями, кинематически и геометрически подобными исходным конструкциям.
На основе положений курса «Теоретическая механика» авторы иллюстрируют возможность использования методов общетеоретических дисциплин 
для решения конкретных инженерных задач. Показан путь перехода от абстрактных научных положений к практической деятельности инженера и исследователя.
Курс лекций предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате 
по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» и 15.03.03 «Прикладная механика».

УДК 531.1

© Е. Е. Балахнина, 
Б. В. Воронин, 2019
ISBN 978-5-907061-26-2
© НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .................................................................................................. 5

Лекция № 1
1. Предмет теоретической механики и основные понятия ...................... 6
2. Законы классической механики .............................................................. 7

Лекция № 2
3. Связи ........................................................................................................ 10
4. Реакции связей ........................................................................................ 10

Лекция № 3
5. Момент силы относительно центра ..................................................... 12
6. Момент силы относительно оси ........................................................... 13

Лекция № 4
7. Аналитические формулы для моментов силы относительно 
координатных осей ..................................................................................... 15
8. Примеры решений с использованием сил натяжений нитей ............ 16

Лекция № 5
9. Основные характеристики произвольной пространственной  
системы сил. Главный вектор и главный момент ................................... 20
10. Два способа классификации сил, действующих  
на механическую систему ......................................................................... 21
11. Условия равновесия механической системы ..................................... 22

Лекция № 6
12. Уравнения равновесия произвольной системы сил ......................... 23
13. Частные случаи равновесия системы сил ......................................... 24

Лекции № 7 и № 8
14. Пример решения для сходящейся системы сил ................................ 27
15. Пример решений для плоской и пространственной  
систем сил .................................................................................................... 30

Лекция № 9
16. Эквивалентные системы сил ............................................................... 43
17. Пара сил и ее свойства ......................................................................... 45

Лекция № 10
18. Приведение произвольной системы сил к данному центру ............ 45
19. Частные случаи приведения ................................................................ 48

Лекция № 11 и № 12
20. Системы параллельных сил. Центр параллельных сил ................... 53
21. Центр тяжести ....................................................................................... 55
22. Способы определения положения центра тяжести .......................... 56

Лекция № 13
23. Трение покоя и скольжения ................................................................. 64
24. Примеры решений с использованием сил трения покоя 
и скольжения ............................................................................................... 66

Лекции № 14
25. Примеры расчетов с учетом трения ................................................... 68
26. Трение качения ..................................................................................... 72
Библиографический список ...................................................................... 77

ПРЕДИСЛОВИЕ

Курс лекций является учебным руководством по теоретической 
(общей) механике для студентов и отчасти аспирантов горных вузов, 
а также для самообразования и повышения квалификации работников 
горной промышленности.
Авторы ставили перед собой задачу дать студентам по возможности 
краткое представление о теоретической механике, в то же время уделив достаточное внимание наглядности изложения, физической сущности рассматриваемых явлений, а также связи теории с практикой.
Имея в виду студентов-горняков, авторы строили свой курс на базе 
горной техники, которая дает для этой цели исключительно обширный 
и богатый материал. В курсе лекций нашли отражение такие области 
горного дела, как подъем, рудничный транспорт, горные машины, 
крепление, закладка выработанного пространства, обогащение и т. д.
Все разделы курса лекций иллюстрируются примерами и задачами 
из различных областей горной механики и снабжены подробными решениями.

Лекция № 1

1. ПРЕДМЕТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ 
МЕХАНИКИ И ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Механика, как и любая естественная наука, служит для изучения 
одной из сторон окружающей нас действительности и помогает изменять эту действительность.
Механика изучает механическое движение, т. е. происходящее с течением времени изменение относительного расположения материальных тел в пространстве, а также изменение формы тел.
Реальные физические тела, движение и относительное равновесие 
которых изучает механика, являются сложными объектами. Изучая 
простейшие движения этих тел, в механике не рассматривают их физические и химические свойства, молекулярное строение, а вводят 
в рассмотрение упрощенные схемы (модели) этих объектов. К ним 
относятся:
а) материальная точка – тело, размерами которого в условиях 
данной задачи можно пренебречь и движение отдельных частей которого в данной задаче несущественно; массой тела не пренебрегаем;
б) механическая система – совокупность материальных точек, взаимодействующих между собой так, что положение каждой из них зависит от положения и движения остальных;
в) абсолютно твердое тело – тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь.
Теоретическая механика рассматривает взаимодействие, движение 
и равновесие механических точек, систем и абсолютно твердых тел.
В теории упругости изучаются тела упругие. В гидромеханике и 
аэромеханике рассматриваются соответственно жидкие и газообразные тела.
Законы и выводы теоретической механики широко применяются 
при технических расчетах в постройке различных сооружений, при 
проектировании машин, при изучении полетов снарядов, космических кораблей и т. п.
Состояние равновесия или движения данного тела зависит от характера его механических взаимодействий с другими телами (давление, притяжение, отталкивание).
Физическая величина, характеризующая взаимодействие материальных тел, называется силой. Сила является величиной векторной. 

Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы; 2) направлением силы; 3) точкой приложения силы. Основной единицей измерения силы является 1 ньютон (1 Н).
Как и любой вектор, сила может быть задана аналитически тремя 
проекциями на координатные оси FX, FY, FZ (или X, Y, Z).
Совокупность сил, действующих на твердое тело, называется системой сил.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну систему 
сил, действующих на тело, можно заменить другой системой, не изменяя при этом состояния покоя или движения, в котором находится 
тело.
Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил.
Система сил, под действием которой твердое тело может находиться в покое или двигаться поступательно равномерно и прямолинейно, 
называется уравновешенной.
В теоретической механике обычно различают три основных раздела: статику, кинематику и динамику.
Статика есть учение о равновесии материальных тел.
Кинематика изучает общие геометрические свойства движения тел.
Динамика рассматривает движения материальных тел под действием сил.

2. ЗАКОНЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Основные законы механики явились результатом длительного процесса накопления человечеством первоначальных знаний по механике и длительного и постепенного выявления в процессе практической 
деятельности ее закономерностей.
Эти 
законы 
получили 
современную 
формулировку 
лишь 
в ХVII столетии в трудах Галилея и Ньютона.
Они применимы в случаях движения сравнительно больших (молярных) масс, скорости которых значительно меньше скорости света 
(300 000 км / с).

I закон Ньютона (Галилея)
Материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного 
прямолинейного движения, если на нее не действуют никакие силы 
(закон инерции) или действия приложенных сил уравновешены.

II закон Ньютона
Ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально силе, действующей на эту точку, и обратно пропорционально массе этой точки:

 
,
F
a
m
=





где масса, как было показано в курсе физики, мера инерции точки, 
мера ее гравитационных свойств и мера энергии точки.

Рис. 1

Вектор силы всегда направлен по вектору ускорения и может 
не совпадать с вектором скорости точки (рис. 1).

III закон Ньютона
При взаимодействии двух материальных точек возникают две 
силы, равные по величине, противоположные по направлению и лежащие на одной прямой (рис. 2).

 
/.
= −


F
F

Рис. 2

Одной силы (действия) в природе не бывает (без противодействия).
Легко забивать (действие) гвоздь в стену, так как со стороны стены 
есть противодействие. Но нельзя забить гвоздь в воздух, так как со 
стороны последнего нет противодействия.

а 
б 
в 
г

Рис. 3

Силы 
→F и 
→F̸ всегда одной природы (притяжения, упругости и т. д.), 
приложены к разным телам и поэтому не образуют уравновешенной 
системы сил. Если шарик висит на нити (рис. 3, а), то сила действия 
→F – сила натяжения нити приложена к нити, а сила 
→F̸ – сила, удерживающая шарик, приложена к шарику (рис. 3, б). Обе являются силами 
упругости. Сила тяжести шарика 
→Fпр (действие) – есть сила притяжения его к земле. Противодействующей будет сила 
→F̸пр, с которой земля притягивается к шарику (рис. 3, в). К самому шарику приложены 
силы 
→Fпр и 
→F̸пр (рис. 3, г).

IV закон (Закон независимости действия сил)
Если на материальную точку действуют одновременно несколько 
сил, то ускорение этой точки равно геометрической сумме тех ускорений, которые получает эта точка при действии каждой из этих сил 
в отдельности:

 
1
2
...
.
n
a
a
a
a
=
+
+
+





Отсюда

 
1
2
1
2
(
...
)
...
.
n
n
ma
m a
a
a
ma
ma
ma
=
+
+
+
=
+
+
+








Учитывая II закон Ньютона,

 
1
2
...
.
n
ma
F
F
F
=
+
+
+






Обозначая 
→R = m→a, получаем силу, которая сообщает точке такое 
же ускорение, как и вся совокупность приложенных сил. Сила 
→R экви

валентна данным силам 
→F1, 
→F2, ..., 
→Fn и является равнодействующей 
этой системы сил:

 
1
2
1
...
.

n

n
i

i

R
F
F
F
F

=
=
+
+
+
=∑







Равнодействующая нескольких сил, приложенных к данной материальной точке (система сходящихся сил), равна их геометрической 
сумме.

Лекция № 2

3. СВЯЗИ

При решении большинства технических задач рассматриваются 
несвободные тела, для которых не все перемещения являются возможными.
Тела, которые ограничивают возможные перемещения данного 
тела, называются связями. Сила, с которой связь действует на тело, 
называется реакцией связи. По III закону Ньютона реакция связи 
всегда направлена противоположно тому движению, которому связь 
препятствует. Это правило дает возможность в ряде случаев указать 
направление реакций связей независимо от того, какие силы действуют на данной тело.

4. РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ

На рис. 4 показаны основные виды связей и их реакции:
а) тело опирается точкой на гладкую поверхность; такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке 
их касания. Поэтому реакция связи 
→N направлена по этому перпендикуляру;
б) тело опирается на точку гладкой поверхностью. Реакция связи 
направлена по нормали к поверхности самого тела;
в) связь – подвижная опора (катки); реакция связи 
→RA направлена 
по нормали к поверхности, по которой могут перемещаться катки;
г) связь – гибкая, нерастяжимая нить; так как нить может работать только на растяжение, то ее реакция 
→Fн направлена вдоль нити 
от тела. В случаях, изображенных на рис. 4, а–г, реакции имеют ука

занные направления при любых заданных силах и независимо от того, 
находится ли при этом тело в покое или в движении;

Рис. 4

д) связь – невесомый нерастяжимый стержень, шарнирно прикрепленный к телу и опоре; такой стержень может работать на растяжение и сжатие, и его реакция 
→R направлена вдоль стержня (может быть 
со знаком «плюс» и со знаком «минус»);
е) связь – цилиндрический шарнир; если пренебречь трением 
в шарнире, то реакция связи проходит через ось шарнира и расположена в плоскости, перпендикулярной к его оси; более точно, заранее 
определить направление реакции связи нельзя. Оно зависит от сил, 
действующих на тело. Поэтому при решении задач ее раскладывают 
на две составляющие, направленные по осям координат и, пользуясь 
уравнениями равновесия, определяют эти составляющие:

 

Z
Y
A
A
A
R
R
R
=
+





 и 
2
2 .
Z
Y
A
A
A
R
R
R
=
+


Направление этой реакции шарнира можно найти через угол α, у 
которого

 
tg
;
Z

Y

A

A

R

R
α =

ж) связь – цилиндрический подшипник. Его реакция может иметь 
любое направление в плоскости, перпендикулярной оси, вокруг которой может вращаться подшипник, и поэтому также изображается двумя составляющими:

 

Z
Y
B
B
B
R
R
R
=
+





 и 
2
2 ;
Z
Y
B
B
B
R
R
R
=
+


з) связь – подпятник и шаровой (сферический) шарнир. Этот вид 
связи закрепляет одну точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Реакция 
→R сферического шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. 
Ее модуль тоже неизвестен и эту реакцию заменяют составляющими 
по трем координатным осям, которые и определяют из уравнений 
равновесия:

 

X
Y
Z
A
A
A
A
R
R
R
R
=
+
+





 и 
2
2
2 ;

X
Y
Z
A
A
A
A
R
R
R
R
=
+
+



 
X
Y
Z
O
O
O
O
R
R
R
R
=
+
+





 и 

2
2
2 .

X
Y
Z
O
O
O
O
R
R
R
R
=
+
+



Лекция № 3

5. МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО 
ЦЕНТРА

Под действием силы твердое тело может наряду с поступательным 
перемещением совершать вращение вокруг того или иного центра.
Вращательный эффект силы характеризуется ее моментом и зависит от модуля силы F и плеча h, где h – величина перпендикуляра, 
опущенного из центра О на линию действия силы (рис. 5):

 
( )
.
O
M
F
F h
= ±
⋅



Знак момента силы зависит от направления вращения тела под 
действием этой силы относительно центра О и считается положительным, если сила вращает тело против часовой стрелки, и отрицательным, если по часовой стрелке. Так как при определении момента 
силы важно знать направление вращения, то, следовательно, эта величина является векторной.