Теоретическая механика. Статика металлоконструкций

№ 109

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра теоретической механики и сопротивления
материалов

В.Н. Шинкин
Ю.А. Поляков

Теоретическая механика

Статика металлоконструкций

Учебное пособие

Под редакцией профессора В.Н. Шинкина

Допущено учебнометодическим объединением
по образованию в области металлургии в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению Металлургия

Москва   Издательский Дом МИСиС
2009

 

УДК 531 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев 

Шинкин В.Н., Поляков Ю.А. 
Ш62  
Теоретическая 
механика. 
Статика 
металлоконструкций: 
Учеб. пособие / Под ред. В.Н. Шинкина – М.: Изд. Дом МИСиС, 
2009. – 138 с. 
 
 
ISBN 978-5-87623-246-5 

Рассмотрены основные теоретические и практические вопросы статики 
твердого тела, изучение которых формирует у студентов базисные навыки, 
необходимые для выполнения расчетов элементов металлоконструкций, металлургических машин и оборудования. 
Учебное пособие предназначено для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 150100 «Металлургия». 
 
УДК 531 

ISBN 978-5-87623-246-5 
© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2009 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..............................................................................................5 
1. Основные понятия статики..................................................................6 
1.1. Главный вектор системы сил .......................................................... 6 
1.2. Момент силы относительно точки и оси ....................................... 7 
1.3. Аксиомы статики............................................................................ 10 
1.4. Опоры и их реакции ....................................................................... 13 
1.5. Теорема вариньона......................................................................... 13 
2. Основная теорема статики (теорема Пуансо) ..................................15 
2.1. Теорема Пуансо .............................................................................. 15 
2.2. Приведение к простейшему виду плоской системы сил............ 17 
2.3. Приведение к простейшему виду пространственной  
системы сил............................................................................................ 18 
3. Равновесие твердого тела под действием плоской системы сил ...21 
3.1. Равновесие твердого тела под действием плоской системы 
параллельных сил.................................................................................. 21 
3.2. Равновесие твердого тела под действием произвольной  
плоской системы сил............................................................................. 25 
4. Равновесие составной конструкции под действием  
произвольной плоской системы сил .....................................................31 
4.1. Составные конструкции................................................................. 31 
4.2. Определение реакций опор конструкции, состоящей из двух 
твердых тел............................................................................................. 31 
4.3. Определение реакций опор конструкции, состоящей из трех 
твердых тел............................................................................................. 41 
5. Равновесие твердых тел при наличии сил сцепления .....................53 
5.1. Равновесие твердого тела при наличии сил сцепления.............. 53 
5.2. Равновесие системы твердых тел при наличии сил  
сцепления................................................................................................ 56 
6. Равновесие конструкции под действием произвольной 
пространственной системы сил.............................................................62 
7. Система сходящихся сил ...................................................................74 
7.1. Теоремы о сходящихся силах........................................................ 74 
7.2. Примеры расчета систем сходящихся сил................................... 75 
8. Расчет плоских ферм..........................................................................84 
8.1. Общие сведения о плоских фермах.............................................. 84 
8.2. Расчет плоских ферм методом вырезания узлов ........................ 85 
8.3. Расчет плоских ферм методом сечений (методом Риттера)...... 94 

9. Центр параллельных сил и центр тяжести.....................................101 
9.1. Центр параллельных сил ............................................................. 101 
9.2. Центр тяжести тела ...................................................................... 102 
9.3. Центр тяжести оболочки (поверхности).................................... 103 
9.4. Центр тяжести бруса (стержня).................................................. 104 
9.5. Методы нахождения центра тяжести......................................... 105 
9.6. Центры тяжести простейших фигур .......................................... 106 
9.7. Определение центра тяжести системы твердых тел,  
для каждого из которых известны вес и положение центра  
тяжести ................................................................................................. 111 
9.8. Определение центра тяжести тела, составленного из 
однородных тонких стержней постоянного поперечного  
сечения.................................................................................................. 115 
9.9. Определение центра тяжести  площади плоской фигуры 
(однородной тонкой плоской пластинки)......................................... 119 
9.10. Определение центра тяжести однородного объемного  
твердого тела........................................................................................ 126 
9.11. Определение центра тяжести неоднородного объемного 
твердого тела........................................................................................ 135 
Библиографический список.................................................................... 137 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В металлургическом производстве широко используются различные механизмы, оборудование и другие металлоконструкции. В связи с этим уже на этапе общеинженерной подготовки, в процессе изучения раздела «Статика» дисциплины «Теоретическая механика», 
следует уделять должное внимание формированию у студентов навыков конструирования и расчета элементов конструкций. Расчет 
металлоконструкций, металлургических машин и оборудования неразрывно связан с вопросами определения опорных реакций их элементов, усилий в шарнирно-стержневых конструкциях, включая расчет плоских ферм, а также с необходимостью определения центров 
тяжести шарнирно-стержневых систем, плоских и объемных твердых 
тел. Именно эти задачи и получили расширенное освещение в данном учебном пособии в рамках рассмотрения основных теоретических и практических вопросов статики твердого тела. 
В результате изучения раздела «Статика» студенты металлургических специальностей высших учебных заведений получают знания, 
необходимые для выполнения расчетов элементов металлургических 
машин и оборудования, а также качественного усвоения таких дисциплин, как «Сопротивление материалов», «Детали машин и основы 
конструирования», «Теория механизмов и машин», «Механика 
сплошных сред» и «Обработка металлов давлением». 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ 

Статика – раздел теоретической механики, в котором изучаются 
методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и условия равновесия сил, приложенных к твердому телу. 

1.1. Главный вектор системы сил 

Сила – мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. 
Сила – векторная величина, характеризующаяся модулем, точкой приложения и направлением (линией действия силы) (рис. 1.1). 

 

Рис. 1.1 

(
) [ ]
,
,
,
H (Ньютон),
x
y
x
x
y
z
F
F
F
F F F
=
+
+
=
=
F
i
j
k
F

, ,
единичные орты,
1.
−
=
=
=
i j k
i
j
k
 

2
2
2
модуль силы.
x
y
z
F
F
F
F
=
+
+
−
 

Главным вектором системы сил {
}
1, ... ,
n
F
F
 называется их геометрическая сумма (рис. 1.2): 

1

,

n

O
i
i=
=∑
F
F

y 
O 

Твердое тело 

F 

z 

j 

k

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 

Линия  
действия  
силы 

(
)
,
,
,
O
Ox
Oy
Oz
F
F
F
=
F
 
(
)
,
,
,
i
ix
iy
iz
F
F
F
=
F
 

1

,

n

Ox
ix
i

F
F

=
=∑
 

1

,

n

Oy
iy
i

F
F

=
=∑
 

1

.

n

Oz
iz
i

F
F

=
=∑
 

Главный вектор не зависит от выбора полюса (точки). 

 

Рис. 1.2 

1.2. Момент силы относительно точки и оси 

Моментом силы относительно точки называется векторное 
произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы (рис. 1.3): 

( )
O
= ×
M
F
r
F  = 

(
)
(
)
(
)
z
y
x
z
y
x

x
y
z

x
y
z
yF
zF
zF
xF
xF
yF
F
F
F
=
=
−
+
−
+
−
=
i
j
k
i
j
k
 

=(
),
,
,
Oz
Oy
Ox
M
M
M
 

где r = (x, у, z) 
– радиус-вектор точки приложения силы, 
 
F = (Fx, Fy, Fz) – вектор силы, 
 
MOx = yFz – zFy, MOy = zFx – xFz, MOz = xFy – yFx, – моменты силы 
относительно осей x, y и z. 

F1 

F2 

Fn 

Полюс O 

FO 

F1 
F2 

Fn 

Твердое тело 
Силовой многоугольник 

Рис. 1.3 

Момент силы MO перпендикулярен радиус-вектору r и вектору 
силы F. Действительно, скалярные произведения 

(
)

(
)
(
)
(
)

cos
,

0,

O
O
O

z
y
x
z
y
x

M r

yF
zF
x
zF
xF
y
xF
yF
z

•
=
=

=
−
+
−
+
−
=

M
r
M
r
 

(
)

(
)
(
)
(
)

cos
,

0.

O
O
O

z
y
x
x
z
y
y
x
z

M F

yF
zF
F
zF
xF
F
xF
yF
F

•
=
=

=
−
+
−
+
−
=

M
F
M
F
 

Следовательно, 
(
)
cos
,
0,
O
=
M
r
 
(
)
cos
,
0.
O
=
M
F
 
Поэтому 

o
(
, )
90 ,
O
∠
=
M
r
 
o
(
, )
90 .
O
∠
=
M
F
 
Положительным направлением момента силы считается то направление, откуда поворот силы виден происходящим против хода 
часовой стрелки. 
В механике плечом называется кратчайшее расстояние от точки 
до линии действия силы. По абсолютной величине момент силы относительно точки равен произведению «силы на плечо»: 

(
)
(
)
(
)
sin
,
sin
,
.
O
rF
F r
Fh
=
×
=
=
=
M
r
F
r F
r F
 

Для определения направления момента силы пользуются «правилом правой руки» (рис. 1.4). 

y 
O 

F – сила 

j 

k

i 

h 
r – радиус-вектор 

x 

MO(F) 

Против хода 
часовой стрелки 

Момент силы 
h − плечо 

z 

Рис. 1.4 

Направляем указательный палец правой руки вдоль радиусвектора r, а средний палец правой руки – вдоль вектора силы F. Тогда направление момента 
( )
F
r
F
M
×
=
O
 будет совпадать с направлением большого пальца правой руки. 
Плоскостью действия момента 
( )
F
r
F
M
×
=
O
 называется плоскость, образованная радиус-вектором r и вектором силы F. Момент 
силы перпендикулярен плоскости его действия. 
Главным моментом системы сил относительно выбранной точки называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно этой точки: 

(
)

1
1

.

n
n

O
O
i
i
i

i
i
=
=
=
=
×
∑
∑
M
M
F
r
F  

Главный момент системы сил зависит от выбора полюса. 
Действительно, относительно произвольных точек А и В он равен 

(
)

1
1

1
1

,

n
n

B
Bi
i
Ai
i
i
i

n
n

i
Ai
i
O
A
i
i

=
=

=
=

=
×
=
+
×
=

=
×
+
×
=
×
+

∑
∑

∑
∑

M
r
F
BA
r
F

BA
F
r
F
BA
F
M

.
B
O
A
=
×
+
M
BA
F
M

MO(F) 

r 

F 

Правило правой руки 

Отсюда следует, что если главный вектор и главный момент системы сил одновременно равны нулю относительно одной точки, то 
они равны нулю относительно любой другой точки. 

1.3. Аксиомы статики 

Материальной точкой называют материальное тело, размерами 
которого можно пренебречь. Абсолютно твердым телом называется тело, в котором расстояние между любыми двумя его точками всегда неизменно во времени. 
Системой сил называется совокупность нескольких сил, действующих на твердое тело. Если одну систему сил можно заменить другой 
системой сил, не нарушая состояния тела, то такие системы сил называются эквивалентными. Если система сил эквивалентна одной силе, 
то последняя называется равнодействующей. Две системы сил эквивалентны тогда и только тогда, когда у них относительно одного и того 
же полюса соответственно равны главные векторы и главные моменты: 

1
2
1
2
,
.
O
O
O
O
=
=
F
F
M
M
 

Если абсолютно твердое тело находится в состоянии покоя под действием системы сил, то эта система сил называется уравновешенной. 
1. Аксиома инерции (принцип инерции Галилея). Под действием 
взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. 
2. Аксиома равновесия двух сил. Две силы, приложенные 
к твердому телу, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, 
когда их модули равны, и они направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.5). 

 

Рис. 1.5 

F1 

F2 

3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил. Действие системы сил на твердое тело не изменится, 
если к ней присоединить или из нее исключить систему взаимно 
уравновешивающихся сил. 
Из вышеприведенной аксиомы следует, что не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и 
направление (рис. 1.6). 

 

Рис. 1.6 

Действительно, добавим к исходной силе (рис. 1.6, а) уравновешенную систему сил (рис. 1.6, б). Тогда по аксиоме присоединения 
и исключения уравновешивающихся сил состояние тела не изменится. Далее исключим уравновешенную систему сил, состоящую из 
исходной силы F и силы – F. Тогда получим утверждение аксиомы 
присоединения и исключения уравновешивающихся сил (рис. 1.6, в). 
4. Аксиома параллелограмма сил. Равнодействующая двух пересекающихся сил приложена в точке пересечения их линий действий и изображается диагональю параллелограмма, построенного на 
этих силах (рис. 1.7). 

 

Рис. 1.7 

F1 

F2 
R 

φ 

2
2
1
2
1
2
2
cos
R
F
F
F F
=
+
+
ϕ

F 

F 

F 

– F 
F 

а
б
в

5. Аксиома равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона). Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие (рис. 1.8). 

 

Рис. 1.8 

6. Принцип отвердения. Равновесие деформируемого твердого 
тела не нарушится, если мысленно жестко связать его точки и считать тело абсолютно твердым (рис. 1.8, в). 
Тело называется свободным, если его перемещения ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, 
называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения данного тела, называются связями. 
Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются 
реакциями связей. Силы, не зависящие от реакций связей, называются активными силами, а реакции связей называются пассивными 
силами. Внутренние силы – силы взаимодействия между точками 
данного тела. Внешние силы – силы, действующие на данное тело со 
стороны других тел. 
7. Принцип освобождаемости от связей. Всякое несвободное тело (рис. 1.8, а) можно рассматривать как свободное тело, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к данному телу 
(рис. 1.8, б). 

R 

P 

T 

P 

а 
в

R 

P 

б