Теоретическая механика : сборник заданий по теоретической механике. Динамика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2947 

Кафедра инжиниринга технологического оборудования

П.М. Вержанский 
Б.В. Воронин 
 

Теоретическая механика

Сборник заданий  
по теоретической механике. 
Динамика 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета 
 

Москва  2017 

УДК 531.01:622 
 
В31 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Н.И. Абрамкин 
 

Вержанский П.М. 
В31  
Теоретическая механика : сборник заданий по теоретической механике. Динамика : учеб. пособие / П.М. Вержанский, 
Б.В. Воронин – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 91 с. 
ISBN 978-5-906953-16-2 

Пособие содержит основы теории и алгоритмы решения задач по разделу 
динамика. В каждой задаче приведены подробные методические указания, 
позволяющие студентам самостоятельно решить задачу любой сложности. 
Для студентов, обучающихся по специальности 21.05.04 «Горное дело». 

УДК 531.01:622 

ISBN 978-5-906953-16-2 
 П.М. Вержанский, 
Б.В. Воронин, 2017 
 
 НИТУ «МИСиС», 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .............................................................................................. 4 
1. Задание Д1. Решение второй (основной) задачи динамики 
материальной точки .................................................................................. 5 
2. Задание Д2. Применение основных теорем динамики к 
исследованию движения материальной точки ..................................... 15 
3. Задание Д3. Определение параметров движения 
механической системы с помощью теоремы об изменении 
кинетической энергии ............................................................................ 27 
4. Задание Д4. Исследование равновесия механической 
системы с идеальными связями и одной степенью свободы при 
помощи принципа возможных перемещений ...................................... 44 
5. Задание Д5. Применение принципа Даламбера для 
определения реакций связей механической системы ......................... 54 
6. Задание Д6. Исследование движения механической системы 
с двумя степенями свободы при помощи уравнений Лагранжа 
2-го рода .................................................................................................. 67 
7. Задание Д7. Исследование собственных  (свободных) 
колебаний механической системы ........................................................ 79 
 

Предисловие 

Настоящее учебное пособие содержит необходимое количество 
знаний 
для 
самостоятельной 
работы 
студентов 
по 
разделу 
ДИНАМИКА теоретической механики.  
Каждое задание сопровождается краткими методическими указаниями по его решению, примерами выполнения и контрольными вопросами для проверки усвоения материала.  
Курсовое домашнее задание следует выполнять на листах формата А4, используя одну сторону листа и оставляя поля для замечаний 
рецензента. В начале работы необходимо привести полный текст задания, исходные данные и рисунок (чертеж) заданного механизма, 
который следует выполнить аккуратно с соблюдением стандартного 
масштаба и прочих требований ЕСКД и с учетом конкретных линейных и угловых параметров исследуемого механизма. Каждый рисунок должен иметь подрисуночную надпись. 
Каждое задание должно быть решено методом, рекомендованным 
в методических указаниях. Если выбор метода решения предоставлен студенту, необходимо указать на целесообразность или хотя бы 
некоторые преимущества применяемого метода.  
В начале решения следует поместить расчетную схему исследуемых механизмов. Решение должно сопровождаться краткими пояснениями и указаниями на используемые теоремы, принципы, законы, 
преобразования, программы персональных компьютеров и т.п. Математические зависимости следует сначала записать и по возможности решить в общем виде, а затем подставить численные значения с 
сохранением одинаковой последовательности величин в формуле и 
числовом решении. Необходимо указать размерность полученных 
результатов.  
Все отмеченные преподавателем ошибки и погрешности должны 
быть исправлены до защиты. Если исправленная работа направляется 
на повторную рецензию, то новое решение нужно представить вместе с незачётным.  

1. Задание Д1. Решение второй (основной) задачи 
динамики материальной точки 

Методические указания 

Дифференциальные уравнения движения 
материальной точки 

Задачами динамики для свободной и несвободной материальной 
точки являются следующие: 
Первая задача – для свободной материальной точки – заключается 
в том, что, зная закон движения точки, необходимо определить действующую на нее силу, или равнодействующую системы сил; для 
несвободной материальной точки – в том, что, зная закон движения 
точки и действующие на нее активные силы, необходимо определить 
реакцию связи. 
Вторая (основная) задача – для свободной материальной точки заключается в том, что, зная действующие на точку силы, необходимо 
определить закон ее движения; для несвободной материальной точки 
– в том, что, зная действующие на точку активные силы, необходимо 
определить закон ее движения и реакцию наложенной связи. 
Эти задачи решаются на основании уравнения, выражающего 
второй (основной) закон динамики: 

 
m а

 = F

 , 
(1.1) 

т.е произведение массы m точки на ускорение а , которое она получила под действием данной силы F

 , равно по модулю этой, а направление ускорение совпадает с направлением силы. 
Если на точку одновременно действуют несколько сил, то необходимо найти их равнодействующую R

 = Σ F



k. Ускорение точки 
при этом будет направлено вдоль этой равнодействующей, а уравнение (1.1) примет следующий вид: 

 
m а  = Σ F



k. 
(1.2) 

Проецируя уравнение (1.2) на координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях 
на декартовые оси координат: 

 
m x=ΣF x; m y =ΣF y; m z =Σ Fz, 
(1.3) 

где x, y  и z – проекции ускорения точки на соответствующие координатные оси: 

 

2
2
2

2
2
2
;
;
.
d x
d y
d z
x
y
z
dt
dt
dt






 
Очевидно, что при движении точки в одной плоскости будет два 
дифференциальных уравнения, прямолинейное движение точки описывается одним дифференциальным уравнением. 
 
В проекциях на естественные оси координат дифференциальные уравнения движения материальной точки имеют вид: 

;
dv
m
F
dt



2
,
n
v
m
F



 0 = Σ F b, 

где v – скорость точки; ρ – радиус кривизны траектории точки. 
Для решения второй (основной) точки задачи динамики необходимо дважды проинтегрировать дифференциальные уравнения (1.3), 
в результате чего можно найти закон движения материальной точки 
в виде: 

 
x = t1(t); y = t2(t); z = t3(t). 

Постоянные интегрирования определяются по начальным условиям, под которыми подразумеваются скорость точки в начальный момент времени и ее начальное положение, т.е. при t = 0: 

 

0

0

0

0
0

0
0

0
0

;
;

;
;

;
.

x
x

y
y

z
z

x
x
v
v
x

y
y
v
v
y

z
z
v
v
z


















 
Процесс интегрирования дифференциальных уравнений (1.3) зависит от закона изменения действующих сил. В данном задании действующие на точку силы постоянны по модулю и направлению. 
Задание Д1 
Варианты Д1-1, …, Д1-15 (рис. Д1-1). Тело, принимаемое за 

материальную точку, в течение t1, с, опускается из положения О в 
точку А наклонной плоскости, составляющей угол β с горизонтом. 
Длина участка ОА равна l, м; коэффициент трения скольжения тела 
по плоскости – f; начальная скорость тела – ν0, м/с. В точке А тело, 
имея скорость νА, покидает плоскость ОА и в течение времени t2, с, 

совершает свободное падение, в конце которого, обладая уже скоростью νB, встречается в точке В с плоскостью АС, наклоненной под 
углом α к горизонту. Сопротивление воздуха не учитывается. Необходимые для расчета величины, а также параметры, подлежащие определению, приведены в табл. Д1-1 

Варианты Д1-16, …, Д1-20 (рис. Д1-2). Тело 1, получив в точке 

О начальную скорость v0, движется по горизонтальному участку ОА 
длиной l в течение t1, с. Коэффициент трения скольжения тела по 
плоскости равен f. В точке А тело со скоростью vA покидает плоскость и после свободного падения в течение t2, с, попадает в точку В 
на поверхности DC, имея скорость vB. При решении задачи принять 
тело за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать. 
Необходимые расчетные данные приведены в табл. Д1-2. Там же 
указаны параметры, подлежащие определению. 

Таблица Д1-1 

Номер 

варианта l, м 

β, 

градус

α, 

градус

v0, 
м/с 

vA, 
м/с 
f 
t1, 
c 

t2, 
c 

b, 
м 

h, 
м 
Определить 

Д1-1 
– 
30 
60 
0 
– 
≠0 
2,5 
– 
– 
19,0 
f, 
l 

Д1-2 
19,2 
15 
45 

– 
– 

– 

0,2 
5,2 

– 
– 
– 

v0, 
h 

Д1-3 
– 
30 
60 
2,5 
7,5 
≠0 
1,6 
– 
– 
– 
l, 
b 

Д1-4 
– 
30 
60 
0 
– 
0 
– 
2,0 
– 
– 
l, 
t1

Д1-5 
– 
30 
45 
0 
– 
0,22 
3,0 
– 
– 
– 
l, 
t2

Д1-6 
– 
30 
– 
1,0 
– 
0,2 
– 
0,6 
– 
3,5 
l, 
b 

Д1-7 
– 
45 
– 
– 
2v0 
0,2 
1,0 
– 
4,0
– 
l, 
h 

Д1-8 
2,0 
– 
– 
0 
– 
0,1 
1,0 
– 
– 
5,35 
α, 
b 

Д1-9 
3,0 
15 

– 
– 
1,0 

– 
– 
≠0 
1,5 

– 
– 

2,87 
vB, 
b 

Д1-10 
2,45 
– 
– 
0 
– 
0,15 
1,0 
– 
– 
4,0 
α, 
b 

Д1-11 
– 
30 
– 
– 
7,0 
0,1 
1,5 
– 
6,8
– 
v0, 
h 

Д1-12 
– 
45 
– 
0 
– 
0,15 
2,0 
– 
7,0
– 
l, 
t2 

Д1-13 
– 
30 
– 
0 
– 
0 
2,0 
1,6 
– 
– 
l, 
h 

Д1-14 
– 
30 
– 
0 
– 
0,2 
2,5 
– 
– 
22,0 
l, 
b 

Д1-15 
– 
30 
– 
0 
– 
0,2 
2,0 
0,7 
– 
– 
l 
h 

Таблица Д1-2 

Номер 
v0, 
vA, 
f 
t1, 
t2, 
b, 
h, 
l, 
Опре- 

варианта 
м/с 
м/с 
с 
с 
м
м
м
делить 

Д1-16 
7 
– 
0,2 
1,4 
– 
8,4 
– 
19,0 
l, 
h 

Д1-17 
– 
2 
0,1 
2,0 
– 
– 
4,9 
– 
v0,
b 

Д1-18 
5 
3 
≠0 
– 
1,0 
– 
– 
3,0 
f, 
h 

Д1-19 
3 
– 
0,15 
– 
– 
2,0 
– 
2,5
vA, 
vB

Д1-20 
5 
– 
0,15 
1,0 
– 
– 
5,0 
– 
l, 
b 

Варианты Д1-21, …, Д1-30 (рис. Д1-3). Тело 1 массой т под дей
ствием постоянной на всем участке ОА силы F в течение t1, с, поднималось из положения О в точку А наклонной плоскости, составляющей угол β с горизонтом. Длина участка ОА равна l, м; коэффициент 
трения скольжения тела по плоскости равен f, начальная скорость 
тела – v0, м/с. В точке А тело, имея скорость vA, покидает плоскость 
ОА и в течение времени t2 совершает свободное падение, в конце которого, обладая некоторой скоростью vB, встречается в точке В с 
плоскостью DC, либо наклоненной под углом α к горизонту (варианты Д1-21, …, Д1-25; рис. Д1-3, а), либо горизонтальной, но расположенной на расстоянии h ниже точки А отрыва (варианты Д1-21, ..., 
Д1-25; рис. Д1-3, б). Сопротивление воздуха не учитывается. Необходимые для расчета данные, а также параметры, подлежащие определению, приведены в табл. Д1-3. 

а 
б 

 

Таблица Д1-3 

Номер 

варианта 

l, 
м 
β, градус α, гра
дус 

v0, 
м/с 

vA, 
м/с 

vB, 
м/с 
f 

Д1-21 
4,2 
20 
30 
– 
20,2 
– 
0,1 

Д1-22 
5,0 
15 
– 
–
15,0 
– 
0,1 

Д1-23 
– 
20 
– 
21,0 
20,0 
– 
0 

Д1-24 
– 
15 
– 
14,3 
13,25 
– 
0,1 

Д1-25 
– 
15 
– 
12,0 
– 
– 
0 

Д1-26 
– 
30 
0 
0 
4,5 
– 
0 

Д1-27 
40,0 
30 
0 
20,25 
– 
– 
0 

Д1-28 
42,7 
– 
0 
0 
– 
– 
0 

Д1-29 
40,0 
30 
0 
0 
7,0 
7,57 
0 

Д1-30 
50,0 
30 
0 
0 
– 
– 
0 

Окончание табл. Д1-3 

Номер 

варианта 

t1, 
c 

t2, 
c 

b, 
м 

h, 
м 

F, 
кН 

m, 
кг 

Опре– 
делить 

Д1–21 
– 
–
– 
– 
0 
– 
t1, h 

Д1–22 
– 
3,7 
– 
– 
0 
– 
v0, α 

Д1–23 
– 
– 
148 
– 
0 
– 
t1, h 

Д1–24 
– 
– 
– 
30
2 2 
0 
– 
t1, b 

Д1–25 
0,2 
– 
– 
– 
0 
– 
l, b 

Д1–26 
17,8 
– 
– 
– 
≠0 
– 
l, b 

Д1–27 
– 
– 
3,4 
– 
0 
– 
vA,h 

Д1–28 
20,0 
– 
– 
0 
2,0 
400 
β, b 

Д1–29 
– 
– 
– 
0 
2,2 
– 
m, b 

Д1–30 
– 
1,0 
– 
0 
– 
400 
F, b 

Пример выполнения задания Д-1. В аппарате для обогащения 
руды (рис. Д1-4) по наклонной 
плоскости ОA, образующей с горизонтом угол β = 30o , из состояния 
покоя (в точке О) движется кусок 
руды, который покидает эту плоскость в точке А со скоростью 
vA = 2 м/с. Коэффициент f трения 
скольжения по плоскости равен 
0,2. Считая кусок руды материальной точкой и пренебрегая сопротивлением 
воздуха, 
определить 
полное время движения куска из 
точки О в точку падения В, длину 

скольжения l, дальность полета b и скорость vB в точке падения В, 
если h = 1 м. 

Р е ш е н и е .  При движении куска руды по плоскости ОА на него 

действуют следующие силы: сила тяжести m g , нормальная реакция 

F

n плоскости и сила F



f трения скольжения (рис. Д1-5). 

Направляя ось Ох1 вдоль траектории ОA куска руды, составляем 
дифференциальное уравнение его движения: 

 
 

 
m
1x  = ∑Fx 

или 

 
т
1x  = mgsinβ – Ff. 
(Д1.4) 

Поскольку Ff = fFni, 

где Fn= mgcosβ,  

то 
m
1x =mg sin β – f mg cos β, 

или 

 
1x =g(sin β – f cosβ). 
(Д1.5) 

Разделяем в уравнении (Д1.5) переменные и дважды его интегрируем: 

 
d
1xv /dt= g(sinβ – fcosβ); d
1xv = g(sinβ – fcosβ)dt; 

 
1
(sin
cos )
;
x
dv
g
f
dt

 



 

 
1
1
(sin
cos )
xv
g
f
t
C

 


; 
(Д1.6) 

 
dx1/dt = g (sin β – fcosβ) t + C1 ;dx1= [g (sin β – fcosβ) t + C1]dt; 
 


1
1
(sin
cos )
;
dx
g
f
t
C dt

 




 
 
x1 = g(sinβ – fcosβ)t2/2 + C1t + C2. 
(Д1.7) 

Постоянные интегрирования C1 и С2 определяем из уравнений 

(Д1.6) и (Д1.7), учитывая начальные условия. При t = 0 координата 
точки x1(0) = 0 и начальная скорость 
1xv (0) = 0. 

Следовательно, 
1xv (0) = C1= 0 и x1(0) = С2 = 0. 

Тогда 

 
1xv = g (sinβ – fcosβ) t; 
(Д1.8) 

 
x1= g(sin β – fcosβ)t2/2. 
(Д1.9) 

Для момента времени t1, когда кусок руды покидает наклонную 
поверхность 

 
1xv = vA = g (sin β – fcos β) t1; 

 
x1 = l = g (sin β – fcos β)t1
2/2, 

откуда