Организация эксперимента : планы второго порядка и исследование области оптимума

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 1986 

Кафедра порошковых материалов и функциональных покрытий

В.Ю. Лопатин 
В.Н. Шуменко 
 

Организация эксперимента

Планы второго порядка 
и исследование области оптимума 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 519.2:621.762 
 
Л77 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. В.А. Соколов 

Лопатин, В.Ю. 
Л77  
Организация эксперимента : Планы второго порядка и исследование области оптимума : учеб. пособие / В.Ю. Лопатин, 
В.Н. Шуменко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 46 с. 
ISBN 978-5-87623-403-2 

В учебном пособии описаны композиционные планы второго порядка, 
которые позволяют изучить влияние факторов и получить зависимость параметра оптимизации в виде уравнений второй степени. Главной особенностью 
планов второго порядка является то, что они могут быть получены из планов 
ПФЭ или ДФЭ, путем «добавления» необходимых экспериментов и последующего пересчета коэффициентов уравнения. Преобразование уравнения к 
каноническому виду позволяет найти область оптимума и построить изолинии равного значения параметра оптимизации в зависимости от изменения 
значений факторов. На конкретном примере показано изучение влияния факторов и построение изолиний. Для самоконтроля приведено несколько примеров использования планов второго порядка, взятых из научноисследовательских работ. 
Соответствует программе курса «Организация эксперимента». 
Предназначено для обучения бакалавров и магистров по направлению 
150400. 

УДК 519.2:621.762 

ISBN 978-5-87623-403-2 
© Лопатин В.Ю., 
Шуменко В.Н., 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................4 
1. Критерии оптимальности планов экспериментов .............................5 
2. Симметричные ортогональные композиционные планы ...............12 
3. Симметричные композиционные планы типа Bk ............................17 
4. Центральные композиционные ротатабельные планы ...................21 
5. Поиск экстремума...............................................................................24 
Метод градиента.................................................................................25 
Модифицированный метод градиента..............................................27 
Метод «крутого восхождения» .........................................................28 
Нахождение области оптимума по уравнениям второго 
порядка ................................................................................................31 
Отыскание оптимума при наличии нескольких 
поверхностей отклика ........................................................................35 
6. Задачи для самостоятельного решения ............................................38 
Библиографический список...............................................................44 
Приложение.........................................................................................45 
 

Введение 

Планы экспериментов второго порядка позволяют [1, 2] строить 
модели соответственно второго порядка следующего вида: 

 
2

0
1
1
1

,

k
k
k

i
i
ij
i
j
ii
i
i
i
i

x
x x
x

=
=
=
η = β +
β
+
β
+
β
∑
∑
∑
 

где η – истинная величина функции отклика; βi, βij, βii – истинные 
значения коэффициентов регрессии; k – число факторов. 
Число членов такой модели рассчитывается по формуле комбинаторики для числа сочетаний из k + 2 по k: 

 
(
)
(
)(
)
(
)(
)

2

2 !
!
1
2
1
2 .
!2!
!2
2

k
k
k
k
k
k
k
k
C
k
k
+
+
+
+
+
+
=
=
=
 

Поскольку число опытов N для построения модели не может быть 
меньше числа членов в ней, эта величина определяется неравенством 

 
(
)(
)
1
2 .
2

k
k
N
+
+
≥
 

Еще одним условием реализации планов второго порядка является 
варьирование факторов не менее чем на трех уровнях. 
Факторным пространством для планов второго порядка может 

быть k-мерный гиперкуб 
1
ix ≤  или k-мерный гипершар 
2

1

1

k

i
i
x

=
≤
∑
. 

По результатам опытов рассчитывают выборочные оценки коэффициентов модели и строят уравнение регрессии вида 

 
2

0
1
1
1

,

k
k
k

i
i
ij
i
j
ii
i
i
i
i

Y
b
b x
b x x
b x

=
=
=
=
+
+
+
∑
∑
∑
 

при этом взаимодействиями вида xixj
2 пренебрегают. 
Для построения моделей второго порядка существует две группы 
планов: некомпозиционные и композиционные. Под композиционностью понимают последовательную достройку линейных планов до 
планов второго порядка. Это предполагает реализацию полных или 
дробных факторных экспериментов (ДФЭ), называемых в таком случае ядром плана, а затем добавление к ним некоторого количества 
дополнительных опытов («звездных точек»), особым образом расположенных в факторном пространстве. К настоящему времени разработано очень большое количество композиционных ненасыщенных 
планов на базе целого ряда критериев оптимальности. 

1. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ПЛАНОВ 
ЭКСПЕРИМЕНТОВ 

Критерии оптимальности планов (и соответственно способы организации экспериментов) принято делить на три группы. В первую 
группу входят критерии оптимальности, связанные с оценкой коэффициентов регрессии и их точностью. (Оценки коэффициентов представляют собой случайные величины, поэтому имеют разброс, характеризуемый неким эллипсоидом рассеяния оценок). 
Ортогональность, которая позволяет оценивать коэффициенты 
уравнения регрессии независимо друг от друга и поэтому упрощать 
или даже усложнять модели (исключая или добавляя некоторые коэффициенты) без пересчета остальных. При этом число выполняемых вычислений минимально, а эллипсоид рассеивания ориентирован таким образом, что направления его главных осей совпадают с 
направлением координатных осей в пространстве коэффициентов. 
D-оптимальность (от англ. determinant – определитель) характеризуется минимальным эллипсоидом рассеяния оценок коэффициентов. В статистическом смысле эта оптимальность обеспечивает минимум обобщенной дисперсии всех оценок коэффициентов. 
А-оптимальность (от англ. average variance – средняя дисперсия), 
при которой эллипсоид рассеивания имеет минимальную сумму 
квадратов длин осей и наименьшую длину диагонали параллелепипеда, описанного около него. А-оптимальность обеспечивает минимум средней дисперсии оценок коэффициентов регрессии. 
Е-оптимальность (от англ. eigen value – характеристическое или 
собственное значение) минимизирует длину максимальной оси эллипсоида рассеяния оценок коэффициентов, не позволяя ему приобрести слишком вытянутую форму. Со статистической точки зрения 
такая оптимальность не дает некоторым оценкам коэффициентов 
иметь слишком большую дисперсию. 
Критерии оптимальности второй группы определяют точность 
предсказания значений отклика с помощью построенной модели. 
Ротатабельность (от англ. rotatable – вращающийся, способный 
к вращению) обеспечивает одинаковую точность предсказания для 
точек, равноудаленных от центра плана по любому направлению. 
Иными словами, дисперсии предсказания независимы от вращения 
координатных осей факторного пространства. 

Униформность (от англ. uniform – равномерный) в дополнение к 
ротатабельности требует, чтобы в некоторой области вокруг центра 
плана дисперсия предсказания была примерно постоянной. 
G-оптимальность (от англ. general variance – общая дисперсия) 
сводит к минимуму максимально возможную дисперсию предсказаний. В этом случае гарантируется отсутствие в области эксперимента 
точек, имеющих слишком низкую точность оценки функции отклика. 
Q-оптимальность минимизирует среднюю дисперсию предсказаний. 
К третьей группе критериев оптимальности относят свойства 
планов, связанные со стратегией планирования. 
В большинстве случаев экспериментатор естественно стремится 
минимизировать количество опытов. Этот минимум задается числом 
коэффициентов модели, а приближение к нему служит мерой насыщенности плана. 
Важным обстоятельством является шаговый принцип планирования и связанный с ним принцип композиционности. При композиционной стратегии эксперимент реализуется по частям, шаг за шагом. 
Решение о продолжении экспериментов можно и должно принимать 
на основании анализа сделанного. Композиционность, как уже отмечалось, предполагает постепенную достройку и усложнение модели. 
Следует однако иметь в виду, что композиционность может снизить 
собственно количество экспериментов, но одновременно привести к 
увеличению срока проведения работ. Иными словами, иногда может 
оказаться более выгодным сразу приготовить и испытать одну большую серию образцов, чем несколько серий меньшего суммарного 
объема. 
При проведении длительных экспериментов можно наблюдать 
интенсивное воздействие неконтролируемых факторов (часто связанных с выходом оборудования из строя). В этом случае целесообразно всю серию экспериментов разбить на ортогональные блоки, 
что позволит учитывать временной дрейф факторов. Для борьбы с 
отрицательным влиянием неконтролируемых факторов можно использовать рандомизацию, т.е. проведение опытов в случайном порядке, отличающемся от их порядка в матрице плана. 
Построить планы, удовлетворяющие сразу нескольким критериям 
оптимальности, удается не всегда. Идеальным примером таких планов являются полные и дробные планы для факторов, варьируемых 
на двух уровнях (т.е. 2k и 2k – p). Они одновременно являются D-, A-, 
E- и G-оптимальными, ротатабельными и ортогональными. 

Тем не менее, на практике чаще приходится выбирать один из 
критериев, жертвуя остальными. Именно такая ситуация возникает в 
случае композиционных планов для построения полных квадратичных моделей [формула (4)]. 
Примером композиционного плана может служить план полного 
факторного эксперимента (ПФЭ) 22 с дополнительными «звездными 
точками» и опытом в центре плана (табл. 1). Общее число опытов в 
композиционных планах при k факторах и отсутствии дублирования 
всех опытов 

 
N = N1 +2k + n0, 
(1) 

где N1 – число опытов в ядре плана (N1 = 2k или 2k – p); 2k – число 
«звездных точек»; n0 – число опытов в центре плана (дублирование в 
центре плана). 

Таблица 1 

Матрица композиционного плана на базе плана ПФЭ 22 

№ опыта 
x1 
x2 
Элемент плана 

1 
–1 
–1 

2 
+1 
–1 

3 
–1 
+1 

4 
+1 
+1 

Ядро плана – ПФЭ 22 

5 
–α 
0 

6 
+α 
0 

7 
0 
–α 

8 
0 
+α 

«Звездные точки» 

9 
0 
0 
Центр плана 

В обобщенном виде матрицу композиционного плана можно записать в виде табл. 2. 

Таблица 2 

Обобщенная расширенная матрица композиционного плана 

x1 
x2 
… 
xk 

–1 
–1 
… 
–1 

+1 
–1 
… 
–1 

. 
. 
. 
. 

. 
. 
. 
. 

. 
. 
. 
. 

+1 
+1 
… 
+1 

–α 
0 
… 
0 

+α 
0 
… 
0 

0 
–α 
… 
0 

Окончание табл. 2 

x1 
x2 
… 
xk 

0 
+α 
… 
0 

. 
. 
. 
. 

. 
. 
. 
. 

. 
. 
. 
. 

0 
0 
… 
–α 

0 
0 
… 
+α 

0 
0 
… 
0 

Аппарат матричной алгебры, используемый в математическом 
планировании эксперимента, включает в себя понятие моментов 
плана, которые могут быть нечетными или четными. Нечетными 
считают те моменты, в которые входит хотя бы один сомножитель в 
нечетной степени: 

 

1

N

iu

u

x

=∑
, 

1
(
)

N

i
j u
u

x x

=∑
, 

1
(
)

N

i
j
u
u

x x x

=∑
ℓ
, 
2

1
(
)

N

i
j u

u

x x

=∑
, 
3

1

.

N

i u
u

x

=∑
 

Аналогично в четные моменты входят сомножители только в четной степени: 

 
2

1

N

iu

u

x

=∑
, 
2
2

1
(
)

N

i
j
u
u

x x

=∑
, 
4

1

.

N

i u
u

x

=∑
 

Анализ обобщенной расширенной матрицы плана, приведенной 
выше, показывает, что все его нечетные моменты равны нулю: 

 

1

0,

N

iu
u
x

=
=
∑
 
(2) 

 

1
(
)
0,

N

i
j u
u
x x

=
=
∑
 
(3) 

 

1
(
)
0

N

i
j
u
u
x x x

=
=
∑
ℓ
 
(4) 

и так далее.  
Четные моменты нулю не равны: 

 
2

2
1

1
;

N

iu
u

x
N
=
λ =
∑
 
(5) 

 
2
2
3
1

1
(
) ;

N

i
j
u
u
x x
N
=
λ =
∑
 
(6) 

4

4
1

1
.

N

iu
u

x
N
=
λ =
∑
 
(7) 

Приведенный выше вид четных моментов плана соответствует 
стратегии, в которой нет дублирования всех опытов или все опыты 
дублируются равномерно. При неравномерном дублировании четные 
моменты плана выглядят следующим образом: 

 

2

1
2

1

;

N

u
iu
u
N

u
u

n x

n

=

=

λ = ∑

∑

 
(8) 

 

2
2

1
3

1

(
)

;

N

u
i
j
u
u
N

u
u

n
x x

n

=

=

λ = ∑

∑

 
(9) 

 

∑

∑

=

=
=
N

u
u

N

u
iu
u

n

x
n

1

1

4

4
λ
 
(10) 

Легко видеть, что при nu = const = n формулы (8) – (10) легко преобразуются в формулы (5) – (7). 
Для расчета коэффициентов уравнения регрессии для композиционного плана целесообразно ввести вспомогательные коэффициенты 
a, b, c и d. 

 

2
2
2
4
3
3
2

1;
k
a
k
k
λ
=
+
λ − λ + λ − λ
 
(11) 

 
2
2
4
3
3
2

1;
b
k
k
λ
=
+
λ − λ + λ − λ
 
(12) 

 

4
3

1
;
c = λ − λ
 
(13) 

 
(
)(
)

2
3
2
2
4
3
4
3
3
2

;
d
k
k

λ − λ
=
λ − λ
λ − λ + λ − λ
 
(14) 

Полезными могут оказаться достаточно простые соотношения для 
проверки правильности расчетов по формулам (11) – (14): 

 
2
1;
a
bk
−
λ =
 
(15) 

 
(
)
2
0;
b
d k
c
+
−
λ =
 
(16) 

 
(
)
2
3
4
1
0.
b
d k
c
d
λ + ⎡
−
− ⎤λ +
λ =
⎣
⎦
 
(17) 

Собственно коэффициенты уравнения регрессии для композиционного плана второго порядка в общем случае рассчитываются по 
более сложным формулам, чем в случае полного или дробного факторного эксперимента: 

 
2
0
1
1
1

;

N
k
N

u
iu u
u
i
u

a
b
b
Y
x Y
N
n
=
=
=
=
−
∑
∑∑
 
(18) 

 

1
2

1
;

N

i
iu u
u

b
x Y
N
=
=
λ ∑
 
(19) 

 
(
)
1
3

1
;

N

ij
i
j
u
u
u

b
x x
Y
N
=
=
λ ∑
 
(20) 

 
2
2

1
1
1
1

.

N
k
N
N

ii
iu u
iu u
u
u
i
u
u

c
d
b
b
x Y
x Y
Y
N
N
N
=
=
=
=
=
−
−
∑
∑∑
∑
 
(21) 

Формулы (18) – (21) применяются в случае равномерного дублирования всех опытов и дублирования опытов в центре плана (в последнем случае вместо Yu подставляются средние значения 
uY ). При 
неравномерном дублировании они приобретают следующий вид: 

 
2
0
1
1
1

1
1

;

N
k
N

u u
iu u
N
N
u
i
u
u
u
u
u

a
b
b
n Y
x Y

n
n
=
=
=

=
=

=
−
∑
∑∑
∑
∑

 
(22) 

 

1
2
1

1
;

N

i
u
iu u
N
u
u
u

b
n x Y

n
=

=

=
λ
∑
∑

 
(23) 

 
(
)

1
3
1

1
;

N

ij
u
i
j
u
N
u
u
u
u

b
n
x x
Y

n
=

=

=
λ
∑
∑

 
(24) 

2
2

1
1
1
1

1
1
1

.

N
k
N
N

ii
u
iu u
u
iu u
u u
N
N
N
u
i
u
u
u
u
u
u
u
u

c
d
b
b
n x Y
n x Y
n Y

n
n
n
=
=
=
=

=
=
=

=
−
−
∑
∑∑
∑
∑
∑
∑

 
(25) 

При этом 

 

1
.

u
n

ug
g
u
u

Y

Y
n

=
=
∑
 
(26) 

Если nu = const = n, группа формул (22) – (25) превращается в группу 
(18) – (21).  
Оценки коэффициентов определяются с дисперсиями, рассчитываемыми по следующим формулам: 

 

0
2
2;
b
Y
a
S
S
N
=
 
(27) 

 
2
2

2

1
;

ib
Y
S
S
N
=
λ
 
(28) 

 
2
2

3

1
;

ij
b
Y
S
S
N
=
λ
 
(29) 

 
2
2.

ii
b
Y
c
d
S
S
N
−
=
 
(30) 

При неравномерном дублировании в формулы (27) – (30) вместо 

величины N подставляется выражение 

1

N

u

u

n

=∑
, а при равномерном – 

произведение Nn. 
Свойства симметричных композиционных планов сильно зависят 
от величины «звездного плеча» α и числа опытов в центре плана.