Организация эксперимента

№ 1509 
московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 

Технологический университет 

МИСиС 

Кафедра высшей математики 
Ck 

Одобрено 
методическим 
советом института 

ОРГАНИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА 

Учебное пособие 
для практических занятий студентов специальностей 09.03,11.02, 11.03, 
11.07, 11.08, 11.10, 21.03 и по выполнению курсовой работы студентами 

специальности 11.08 

МОСКВА, 1998 

АННОТАЦИЯ 

Настоящее издание является учебным пособием для подготовки к 
практическим занятиям по первой части курса “Организация эксперимента” 
студентов специальностей 09,03, 1102, 1107, 1110, 2103; курса “Организация 
эксперимента и метрология” студентов специальности 1108; курса “Методы 
теплотехнических исследований” студентов специальности 1103. В пособии, 
кроме того, даются указания по выполнению курсовой работы студентами 
специальности 1108. Для студентов других специальностей разделы 
курсовой работы могут служить расчетно-графическими ддомашними 
заданиями. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический 
университет) (МИСиС) 1998 

СОДЕРЖАНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ 
5 

Раздел 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ 

ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
7 

1.1. Практические занятия по теории вероятностей 
7 

1.1.1. Непосредственный расчет вероятностей 
7 

1.1.2. Расчет вероятностей с помощью правил сложения и 
умножения 
12 

1.1.3. Формула полной вероятности и формулы Байеса 
21 

1.1.4. Дискретные случайные величины, их числовые 
характеристики 
24 

1.1.5. Биномиальное распределение дискретной случайной 
величины 
31 

1.1.6. Числовые характеристики систем случайных величин .. 35 
1.1.7. Непрерывные случайные величины, их числовые 
характеристики 
37 

1.2. Задания для самостоятельной работы студентов .... 51 

1.2.1. Типовой расчет “Непрерывные случайные величины” ..51 
1.2.2. Упражнения для самостоятельной работы 
56 

1.2.3. Примерные варианты контрольной работы 
59 

Раздел 2. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ 

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 
64 

2.1. Практические занятия по обработке результатов 

эксперимента 
64 

2.1.1. Первичная обработка результатов эксперимента и оценка 
основных параметров генеральной совокупности 
64 

2.1.2. Оценка дисперсии по нескольким сериям 
экспериментов 
68 

2.1.3. Регрессионный анализ. Построение линейной и 
квадратичной регрессионных моделей 
70 

2.1.4. Построение доверительных интервалов 
76 

2.1.5. Проверка гипотез о равенстве дисперсий. Критерий 
Фишера 
80 

2.1.6. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий. 
Критерий Стьюдента 
83 
3 

2.1.7. Проверка гипотезы об адекватности регрессионной 

модели 
83 

2.1.8. Построение гистограммы распределения. Критерии 
согласия 
84 

2.2. Указания по выполнению курсовой работы 

“Обработка основных типов данных промышленного 
эксперимента” 
89 

2.2.1. Часть 1. Первичная обработка данных, проверка 
статистических гипотез 
89 

2.2.2. Часть 2. Обработка данных методами регрессионного 
анализа 
100 

2.2.3. Часть 3. Обработка данных методами корреляционного 
анализа 
109 

Приложение: ТАБЛИЦЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 

СТАТИСТИКИ 
114 

ЛИТЕРАТУРА 
121 

4 

ВВЕДЕНИЕ 

Пособие относится к первой части курса “Организация эксперимента”. 
Эта часть курса состоит из двух разделов. Первый раздел – основные понятия теории вероятностей (6 ч лекций, 12 ч практических занятий), второй – 
методы обработки экспериментальных данных (12 ч лекций, 22 ч практиче-
ских занятий). Согласно учебному плану по первому разделу предусмотрена 
контрольная работа и выполнение типового расчета “Непрерывные случайные величины”. По второму разделу студенты специальности 1108 выполняют курсовую работу “Обработка основных типов данных промышленного 
эксперимента”, для студентов других специальностей разделы указанной 
курсовой работы могут служить расчетно-графическими домашними заданиями. 

Пособие содержит указания по решению задач для подготовки к практическим занятиям. Приводятся все необходимые формулы, даются примеры 
решения типовых задач. Формулируется содержание типового расчета и 
курсовой работы, даются примеры их выполнения. Теоретическая часть 
курса изложена в пособии [1]. 

Индивидуальные комплекты исходных данных для курсовой работы выдаются преподавателем в виде распечатки ЭВМ. Пакет программ для ЭВМ, 
генерирующих любое количество неповторяющихся вариантов, разработан 
преподавателями кафедры математики МИСиС. Номер варианта исходных 
данных шестизначный: первая цифра означает последнюю цифру года поступления в институт учебной группы, в которой учится студент; вторая – 
номер факультета; третья и четвертая – двузначный номер группы на этом 
факультете; пятая и шестая – двузначный номер студента по списку АСУ. 
Например, вариант 830517 означает, что учебная группа учится в МИСиС с 
1998 года на факультете № 3 (технологическом), номер группы 5, номер 
студента по списку АСУ-17. 

Исходные данные для типового расчета выдаются преподавателем также 
в виде распечатки ЭВМ. Соответствующая программа генерации исходных 
данных разработана на кафедре высшей математике № 1 Ленинградского 
Электро-технического Института им. В.И. Ульянова (Ленина). Номер варианта содержит три цифры. 

Отчет по типовому расчету и курсовой работе должен включать: 

1 – стандартный титульный лист; 
2 – распечатку ЭВМ с исходными данными, которую студент приклеи
вает в начале отчета; 

3 – формулировку решаемой задачи; 

5 

– подробное решение поставленной задачи и проверку полученных 

результатов, если это возможно; 

5 – аккуратно вычерченные графики; 
6 – распечатки ЭВМ, полученные в процессе выполнения курсовой ра
боты; 

7 – полученные результаты и необходимые выводы. 

6 

Раздел 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

1.1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРИИ 
ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

1.1.1. Непосредственный расчет теории вероятностей 

Рассмотрим множество Q всех возможных, взаимно исключающих друг 
друга, исходов некоторого испытания. Это множество будем называть пространством элементарных исходов, а сами эти исходы будем толковать, как 
точки со G Q. 

Примеры: Пусть испытание состоит в подбрасывании одной монеты, тогда 
Q 1 = {Г, Р}, Г - герб, Р - решка. Пусть испытание состоит в подбрасывании двух монет, пятака и гривенника, тогда Q2 = {ГГ, 
ГР, РГ, РР}, первая буква относится к пятаку, вторая к гривеннику. Случайное событие есть некоторое множество точек пространства Q. Если при испытании осуществился исход СО G А, то 
говорят, что произошло событие А. В частности, если А = Q, то 
событие называется достоверным, если А = 0 , то событие называется невозможным. Число исходов, входящих в пространство Q 
может быть конечным или бесконечным. 
Классическая модель имеет место в таких задачах, которые удовлетворяют двум условиям: 

1) множество исходов конечно Q = {СО 1, СО2, .., СО л?}; 
2) все исходы испытания равновозможны. 

Равновозможность исходов устанавливается либо из соображений симметрии, как при подбрасывании монеты (мы считаем, что герб и решка равновозможны), при бросании игрального кубика (выпадения любого числа 
очков от 1 до 6 равновозможны), либо из условия тщательного предварительного “перемешивания” исходов, как при розыгрыше “Спортлото”, игре в 
карты, “Домино” и т. п. Тогда всем исходам приписана одинаковая вероятность pj^ = P((£) ^ ) = — и вероятность любого события А равна 

7 

П.1.1. Практические занятия по теории вероятностей 

P(A) = У^ P((£) k) =N
A, 
(11) 

(й k 
еA 

где NA - число исходов, входящих в множество А, или, как обычно говорят, 
число исходов, благоприятствующих событию А; 
N - общее число возможных исходов. 

Пример: Пусть испытание состоит состоит в подбрасывании двух монет: 
пятака и гривенника, тогда множество исходов 

Q = {ГГ, ГР, РГ, РР}, Г - герб, Р - решка, первая буква относится к пятаку, вторая к гривеннику, N = 4. Пусть событие А = 
{ГГ} (выпадение двух гербов), тогда NA = 1; В = {ГР, РГ} (выпадение точно одного герба), в этом случае NB = 2, С = {ГГ, РГ, 
ГР} (выпадение хотя бы одного герба), здесь NC = 3. Тогда согласно формуле (1.1) вероятности событий равны P(A) = 1/4, 
Р(В) =2/4 = 1/2, Р(С) = 3/4. 

1.1. 13 человек рассаживается за круглым столом случайным образом. 
Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом. 

Решение: Пусть Иванов сел на произвольное место за столом. Для Петрова 
осталось 13 - 1 = 12 мест, N = 12, около Иванова есть только два 
соседних места, слева и справа, т. е. NA = 2, поэтому 

N 
12 
6 

1.2. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма 
выпавших очков равна 7. 

Решение: Число возможных исходов при бросании двух игральных кубиков 
равно N = 6 • 6 = 36. Выпишем благоприятные исходы: (1,6); (2,5); 
(3, 4); (4,3); (5,2); (6,1). Значит NA = 6 и Р(А) = 6/36 =1/6. 

1.3. Случайно открываем книгу, в которой 185 страниц. Найти вероятность того, что номер страницы оканчивается на цифру “2”. 

Решение: NA = 18 + 1 = 19, N = 185, P(A) = 19/185. 

8 

РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

1.4. Брошены 3 игральных кубика. Найти вероятность того, что на них 
выпадет одинаковое количество очков. 

Решение: Число возможных исходов при бросании трех игральных кубиков 
равно N = 6 
6 
6 = 216. Выпишем благоприятные исходы: 

(1, 1, 1); 
(2, 2, 2), 
..., 
(6, 6, 6), 
поэтому 
NA = 6 
и 
Р(А) = 6/216 = 1/36. 

Применение формул комбинаторики 

Рассмотрим n разных элементов. Всевозможные группировки из данных 
n элементов по m элементов в каждой, отличающиеся друг от друга хотя бы 
одним элементом, называются сочетаниями из n элементов по m. Например, n = 4, имеем 4 элемента: а, b, c, d. 

Выпишем сочетания из четырех элементов по два: ab, ac, ad, bc, bd, cd. 
Из определения следует, что сочетания ab и ba не различимы. Число 

всевозможных сочетаний из n элементов по m обозначают символом Cn 
и вычисляют по формуле: 

n 
n! 
n(n-1)(n-2) 
...(n-m 
+ 1) 

C 
= 
= 
m 
(1.2) 

m!(n-m)! 
1 2 3... 

Из формулы (1.2) видно, что 

Cn
m=Cn
n-m 
(m = 
1,2,...,n-1) 

0 
Cn
n 

Для удобства полагают также Cn = 
= 1. 
Примеры вычисления: 

1.5. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные 
детали окажутся окрашенными. 

Решение: Число возможных исходов равно числу способов, которыми можно выбрать 3 детали из пятнадцати, т. е. числу сочетаний из пятнадцати элементов по 3, 

N = C15= 
15 14 13 = 5 7 13 = 455 
1 2 3 

9 

П.1.1. Практические занятия по теории вероятностей 
Аналогично, число благоприятных исходов равно числу способов, которыми 
можно выбрать окрашенные детали из 10 окрашенных, т. е. числу сочетаний 
из десяти элементов по три, 

N A 
C130 
10-9-8 
1-2-3 

120; 
P(A) 
NA 
120 

= 
N 
455 

0,26 

1.6. Устройство содержит 5 элементов, из которых 2 изношены. При 
включении устройства случайным образом включаются 2 элемента. Найти 
вероятность того, что они окажутся неизношенными. 

Решение: 
P(A) 
C3
2 

C5
2 
10 
0,3 . 

Перейдем теперь к рассмотрению более общей задачи: 
В партии из N деталей имеется n стандартных и N – n нестандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных 
деталей k стандартных и m – k нестандартных (событие А) (рис. 1.1). 

"Т/'П нестандартных 

стандартных 
т-и. нестандартных 

Рис. 1.1 

Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно 

извлечь m деталей из N деталей, т. е. равно CN
m – числу всевозможных 

сочетаний из N элементов по m. Подсчитаем число исходов, благоприятст
вующих нашему событию. Среди m деталей ровно k стандартных; их можно 

взять Cm
k способами, при этом остальные m – k деталей нестандартных 

Следовательно, число благоприятных исхо
дов равно Cm
k 

сп 
N-n 

k 
m-k 
m 
CN-n 

10 

РАЗДЕЛ 1. О С Н О В Н Ы Е ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

P(A) 

k 
m-k 
C 
CN-m 

k 
m 

CN
m 
(1.3) 

1.7. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табелю наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 
точно 3 женщины. 

Решение: Событие А = {среди отобранных лиц 4 мужчины, 3 женщины} 
(рис. 1.2). 

Рис. 1.2 

Согласно формуле (1.3) 
P(A) 
C6
4 C4
3 

C7 
10 
C4
3 = C4
1 = 4, 

C6
4 =C6
2 = 6 5 = 15; C1
7
 0 
1 2 

C130 
1 0 - 9 - 8 

1 2 - 3 

120; P(A) 

15 4 
1 

120 

0 5 . 

11 

П.1.1. Практические занятия по теории вероятностей 

1.8. Студент купил карточку “Спортлото 6 из 49” и зачеркнул 6 номеров 
в карточке. Найти вероятность того, что ровно 5 номеров из зачеркнутых 
появятся при розыгрыше тиража “Спортлото” (событие А). 

Решение: Пусть С – номер, на который упал выигрыш, Н – невыигравший 
номер. Тогда (рис. 1.3). 

C5 C1 

P(A)= 
6 
4 3, C6
5 

C46 9 

C1 
43 
43 . 

C 49 = 49 48 47 46 45 44 

1 2 3 4 5 6 

Рис. 1.3 

После сокращения находим Р(А) 
1,84 10–5. 

1.1.2. Расчет вероятностей с помощью правил сложения и 
умножения 

Суммой случайных событий А и В называется событие С, соответствующее объединению множеств А и В (С = А + В). В этом случае можно 
сказать, что произойдет хотя бы одно из событий А и В (или только событие 
А, или только событие В, или оба вместе). События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно при одном и том же 
испытании, т. е. если пересечение множеств А и В пусто. 

Для несовместных событий А и В 

12 

.