Сопротивление материалов. Простые и сложные виды деформаций в металлургии

№ 1232

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Êàôåäðà òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè è ñîïðîòèâëåíèÿ
ìàòåðèàëîâ

Â.Í. Øèíêèí

Ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ

Ïðîñòûå è ñëîæíûå âèäû äåôîðìàöèé
â ìåòàëëóðãèè

Êóðñ ëåêöèé

Äîïóùåíî ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêèì îáúåäèíåíèåì ïî
îáðàçîâàíèþ â îáëàñòè ìåòàëëóðãèè â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî
ïîñîáèÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé,
îáó÷àþùèõñÿ ïî íàïðàâëåíèÿì Ìåòàëëóðãèÿ è Ôèçè÷åñêîå
ìàòåðèàëîâåäåíèå

Ìîñêâà   Èçäàòåëüñêèé Äîì ÌÈÑèÑ
2008

УДК539.3/.8 
 
Ш62 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Б.А. Романцев 

Шинкин В.Н. 
Ш62  
Сопротивление материалов. Простые и сложные виды деформаций в металлургии: Курс лекций. – М.: Изд. Дом 
МИСиС, 2008. – 307 с. 

В курсе лекций рассмотрены основные теоретические и практические вопросы сопротивления материалов в металлургии по следующим темам: основные положения статики и сопротивления материалов, центральное растяжение и сжатие, геометрические характеристики плоских сечений, кручение, 
прямой изгиб, сдвиг и смятие, напряженно-деформируемое состояние в точке, теории прочности, сложное сопротивление, устойчивость сжатых стержней, прочность при переменных напряжениях, задача Лямэ о равновесии толстостенной трубы, энергетические методы вычисления перемещений и метод 
сил вычисления перемещений в статически неопределимых системах. 
Все темы изложены с учетом специфики металлургических процессов. 
Так, в теме «Упруго-пластический изгиб бруса» подробно рассматриваются 
процессы производства металлургических труб большого диаметра на прессе 
пошаговой формовки. В приложении приведен сокращенный сортамент металлургической прокатной стали. 
Предназначен для студентов, обучающихся по специальности 150100 
(550500 и 651300) «Металлургия». 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2008 

Оглавление 

Введение....................................................................................................6 
1. Основные понятия статики..................................................................9 
2. Основные положения сопротивления материалов..........................21 
2.1. Допущения и гипотезы................................................................21 
2.2. Метод сечений .............................................................................23 
2.3. Напряжения и деформации.........................................................23 
3. Геометрические характеристики плоских сечений.........................26 
3.1. Статические моменты и моменты инерции сечения................26 
3.2. Теорема Штейнера о параллельном переносе осей..................28 
3.3. Изменение моментов инерции  при повороте осей..................29 
3.4. Моменты инерции простых сечений .........................................31 
4. Центральное растяжение и сжатие ...................................................47 
4.1. Закон Гука ....................................................................................47 
4.2. Статически неопределимые системы ........................................50 
4.3. Механические свойства материалов..........................................54 
4.4. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении  
и сжатии........................................................................................56 
5. Сдвиг и смятие....................................................................................74 
5.1. Сдвиг.............................................................................................74 
5.2. Смятие ..........................................................................................75 
6. Кручение..............................................................................................77 
6.1. Напряжения и угловые деформации при кручении .................77 
6.2. Полярные моменты сопротивления простых сечений.............79 
6.3. Расчеты на прочность и жесткость при кручении....................80 
7. Прямой изгиб ......................................................................................91 
7.1. Нейтральный слой при изгибе....................................................91 
7.2. Дифференциальные зависимости при изгибе...........................93 
7.3. Нормальные напряжения при изгибе.........................................94 
7.4. Моменты сопротивления простых сечений ..............................96 
7.5. Расчеты на прочность при изгибе ..............................................97 
7.6. Касательные напряжения при прямом изгибе ..........................97 
7.7. Дифференциальное уравнение упругой линии балки  
при изгибе...................................................................................102 
7.8. Расчет на жесткость при изгибе ...............................................104

8. Напряженно-деформированное состояние  в точке ......................123 
8.1. Тензор напряжений ...................................................................123 
8.2. Главные площадки и главные напряжения.............................125 
8.3. Виды напряженного состояния ................................................127 
8.4. Обобщенный закон Гука...........................................................135 
9. Теории прочности.............................................................................138 
10. Сложное сопротивление ................................................................141 
10.1. Косой изгиб..............................................................................141 
10.2. Изгиб с растяжением (сжатием).............................................143 
10.3. Внецентренное растяжение (сжатие).....................................145 
10.4. Кручение с изгибом.................................................................154 
11. Устойчивость сжатых стержней....................................................162 
11.1. Формула Эйлера ......................................................................162 
11.2. Влияние способов закрепления концов стержня  
на критическую силу...............................................................164 
11.3. Формула Ясинского.................................................................165 
11.4. Расчеты на устойчивость ........................................................166 
12. Прочность  при переменных напряжениях ..................................168 
12.1. Усталость материалов .............................................................168 
12.2. Предел выносливости..............................................................169 
12.3. Диаграммы предельных напряжений ....................................171 
12.4. Факторы, влияющие на предел выносливости .....................172 
13. Толстостенный цилиндр под внутренним и внешним  
давлением (задача Лямэ)......................................................................173 
13.1. Уравнения равновесия ............................................................173 
13.2. Решение в напряжениях..........................................................177 
13.3. Цилиндр, нагруженный только внутренним давлением......178 
13.4. Цилиндр, нагруженный только внешним давлением...........179 
13.5. Решение в перемещениях .......................................................180 
13.6. Пластическое состояние толстостенной трубы....................181 
13.7. Упруго-пластическое состояние толстостенной трубы.......182 
14. Тонкостенные осесимметричные оболочки.................................184 
14.1. Уравнение Лапласа..................................................................184 
14.2. Осевая равнодействующая внешних сил ..............................186 
15. Энергетические методы вычисления перемещений....................190 
15.1. Интеграл Мора.........................................................................190 
15.2. Правило Верещагина...............................................................192 
15.3. Площади и центры тяжестей простейших фигур.................196 

16. Канонические уравнения метода сил для статически  
неопределимых систем ........................................................................203 
16.1. Степень статической неопределимости системы  
и эквивалентные системы .......................................................203 
16.2. Канонические уравнения метода сил для один раз  
статически неопределимой системы......................................204 
16.3. Канонические уравнения метода сил для два раза  
статически неопределимой системы......................................206 
16.4. Канонические уравнения метода сил для три раза  
статически неопределимой системы......................................208 
17. Упруго-пластический изгиб бруса................................................218 
17.1. Графоаналитический способ построения напряжений ........218 
17.2. Гибка плоской пластины на прессе пошаговой  
формовки ..................................................................................230 
17.3. Гибка цилиндрической оболочки на прессе пошаговой  
формовки ..................................................................................233 
17.4. Гибка изогнутой оболочки на прессе пошаговой  
формовки ..................................................................................237 
Домашние задания................................................................................241 
1. Домашнее задание «Статика» .....................................................241 
2. Домашнее задание «Сопротивление материалов» ....................256 
Библиографический список.................................................................304 
Приложение. Сокращенный сортамент прокатной стали.................305 

ВВЕДЕНИЕ 

Настоящий курс лекций предназначен для студентов металлургических специальностей вузов, изучающих сопротивление материалов 
в уменьшенном объеме. Малое количество учебных часов требует 
рационального отбора учебного материала и правильного планирования учебных занятий. При этом студентам необходима учебная 
литература, строго соответствующая как объему учебного материала, 
так и его распределению по разделам. Большинство существующих 
многочисленных учебников имеют несколько сот страниц в объеме, 
что вызывает большие трудности у студентов при их изучении. Поэтому автор поставил перед собой задачу написать краткий курс 
лекций, включающий в себя основные разделы сопротивления материалов. Теоретический материал написан достаточно сжато, что соответствует практике его изложения в аудиторных условиях. Все используемые формулы и теоремы строго математически обоснованы. 
Приведен сокращенный сортамент прокатной стали, необходимый 
для выполнения расчетно-графических работ, и обширный список 
учебной литературы, носящий справочный характер. Курс лекций 
должен помочь студентам в их самостоятельной работе при решении 
задач и подготовке к экзаменам и зачетам. 
Начало развития сопротивления материалов как науки относят к 
1638 г. и связывают с именем Галилео Галилея, знаменитого итальянского ученого. Галилей был профессором математики в Падуе. Он 
жил в период разложения феодального строя, развития торгового капитала, международных морских сношений и зарождения горной и 
металлургической промышленности. 
Экономика того времени поставила на очередь решение ряда новых технических проблем. Оживление внешних торговых сношений 
вызвало необходимость увеличения тоннажа судов, а это повлекло за 
собой изменение их конструкции; одновременно стал вопрос о реконструкций и создании новых внутренних водных путей сообщения, включая устройство каналов и шлюзов. Эти технические задачи 
не могли быть решены простым копированием существовавших 
раньше конструкций судов и сооружений. Возникла необходимость в 
аналитических расчетах по оценке прочности элементов конструкции в зависимости от их размеров и величины действующих на них 
нагрузок. 

Значительная часть работ Галилея была посвящена решению задач о зависимости между размерами балок и стержней и теми нагрузками, которые могут выдержать эти элементы конструкции. Он 
указал, что полученные им результаты могут «принести большую 
пользу при постройке крупных судов, в особенности при укреплении 
палуб и покрытий, так как в сооружениях этого рода легкость имеет 
огромное значение». Исследования Галилея опубликованы в его книге «Discorsi e Dimostrazioni matematiche» (1638, Лейден, Голландия). 
Дальнейшее развитие сопротивления материалов шло параллельно с развитием техники строительства и машиностроения и связано с 
целым рядом работ выдающихся ученых-математиков, физиков и 
инженеров. Среди них значительное место занимают русские и советские ученые. 
Большой вклад в науку о сопротивлении материалов внес в XVIII в. 
действительный член Петербургской Академии наук Леонард Эйлер, 
решивший задачу об устойчивости сжатых стержней. 
В XIX в. мировую известность приобрели работы Д.И. Журавского и 
X.С. Головина. В связи с проектированием и постройкой ряда мостов на 
строившейся Николаевской (ныне Октябрьской) железной дороге между Петербургом и Москвой Журавский решил ряд важных и интересных вопросов, связанных с прочностью балок при их изгибе. Головин 
впервые правильно решил задачу о прочности кривых стержней. В мировую науку прочно вошли работы Ф.С. Ясинского по вопросам устойчивости элементов конструкций, вызванные к жизни изучением причин 
разрушения некоторых мостов. Профессор П.И. Собко организовал 
крупнейшую лабораторию по испытанию материалов в Петербургском 
институте инженеров путей сообщения. 
С начала XX в. роль русских ученых в науке о сопротивлении материалов стала ведущей. Профессор И.Г. Бубнов явился основоположником современной науки о прочности корабля. Академик 
А.Н. Крылов, помимо дальнейшего развития задач о расчете корабля, 
известен крупнейшими исследованиями в области динамических расчетов. Профессор Н.П. Пузыревский создал новую методику расчета 
балок на упругом основании. 
Из многочисленных трудов академика Б.Г. Галеркина достаточно 
упомянуть работы по развитию вариационных методов механики, 
общему решению пространственной задачи теории упругости и расчету плит. Многих вопросов расчета на прочность касались и работы 
С.П. Тимошенко. 

В советское время передовая роль России закрепилась еще в 
большей степени. Академик А.Н. Динник опубликовал ряд крупных 
работ 
по 
устойчивости 
элементов 
конструкций. 
Профессор 
Н.М. Герсеванов плодотворно работал в области механики грунтов − 
науки, решающей задачи прочности и устойчивости оснований и 
фундаментов сооружений и машин. 
Профессора П.Ф. Папкович и Ю.А. Шиманский стали во главе 
школы ученых, занимающихся вопросами прочности кораблей. Профессор Н.Н. Давиденков создал совместно со своими учениками новую теорию, объясняющую причины разрушения материалов. Большое значение имеют его труды по вопросам динамической прочности и разрушения при ударе. Усилиями наших инженеров разработана новая теория расчета железобетонных конструкций, которая более 
правильно, чем теории, принятые за границей, отражает действительный характер работы этих конструкций и при обеспеченной 
прочности дает значительную экономию размеров. Академик 
Н.И. Мусхелишвили развил современные методы теории функций 
комплексного переменного и теории сингулярных интегральных 
уравнений и применил их к решению ряда задач. Профессор 
В.3. Власов создал новую оригинальную теорию расчета тонкостенных оболочек и тонких стержней, имеющих широкое применение в 
различных конструкциях. 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ 

Сила есть мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила есть векторная величина и характеризуется модулем, 
точкой приложения и направлением (линией действия силы) 
(рис. 1.1). 
 

 

Рис. 1.1 

[ ]

2
2
2
,
H (Ньютон),
модуль,
x
y
x
x
y
z
F
F
F
F
F
F
F
=
+
+
=
=
+
+
−
F
i
j
k
F

, ,
единичные орты,
1.
−
=
=
=
i j k
i
j
k
 

Главным вектором системы сил {F1,…,Fn} называется их геометрическая сумма (рис. 1.2) 

 
0
1

,

n

i

i=
=∑
F
F  

 
 
(
)
,
,
,
i
ix
iy
iz
F
F
F
=
F
 
0
1

,

n

x
ix
i

F
F

=
=∑
 
0
1

,

n

y
iy
i

F
F

=
=∑
 
0
1

.

n

z
iz
i

F
F

=
=∑
 

y 
O 

Твердое тело 

F 
z 

j 

k 

Линия 
действия 
силы 

Точка приложения силы 

Сила 

i 

x 

Рис. 1.2 

Главный вектор не зависит от выбора полюса (точки). 
Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы 

 
( )
0
= ×
M
F
r
F  = 

 
(
)
(
)
(
)
z
y
x
z
y
x

x
y
z

x
y
z
yF
zF
zF
xF
xF
yF
F
F
F
=
=
−
+
−
+
−
=
i
j
k
i
j
k

 
(
)
0
0
0
,
,
,
x
y
z
M
M
M
=
 

где 
0
0
0
,
,
x
z
y
y
x
z
z
y
x
M
yF
zF
M
zF
xF
M
xF
yF
=
−
=
−
=
−
 − моменты 

силы относительно осей x, y и z (рис. 1.3). 

 

Рис. 1.3 

y 
O 

F – сила 
z 

j 

k

i 

h 

r – радиус-вектор 

x 

M0(F) 

Против хода часовой стрелки 

Момент силы 

h − плечо 

F1 

F2 

Fn 

Полюс O 

F0 

F1 
F2 

Fn 
Твердое тело 

Момент силы M0 перпендикулярен радиус-вектору r и вектору 
силы F. 
Действительно, скалярные произведения 

(
) (
)
(
)
(
)
0
0
0
cos
,
0,
z
y
x
z
y
x
M r
yF
zF
x
zF
xF
y
xF
yF
z
⋅
=
=
−
+
−
+
−
=
M
r
M
r

 
(
)

(
)
(
)
(
)

0
0
0
cos
,

0.
z
y
x
x
z
y
y
x
z

M F

yF
zF
F
zF
xF
F
xF
yF
F

⋅
=
=

=
−
+
−
+
−
=

M
F
M
F
 

Следовательно, 
(
)
0
cos
,
0,
=
M
r
 
(
)
0
cos
,
0.
=
M
F
 
Положительным направлением момента силы считается направление, откуда поворот силы виден происходящим против хода часовой стрелки. В механике плечом называется кратчайшее расстояние 
от точки до линии действия силы. По абсолютной величине момент 
силы относительно точки равен произведению «силы на плечо»: 

 
(
)
(
)
(
)
0
sin
,
sin
,
.
rF
F r
Fh
=
×
=
=
=
M
r
F
r F
r F
 

Для определения направления момента силы удобно пользоваться 
«правилом правой руки» (рис. 1.4): 

 

Рис. 1.4 

если направить указательный палец правой руки вдоль радиусвектора r, а средний палец правой руки – вдоль вектора силы F, то 
направление момента M0(F) = r × F будет совпадать с направлением 
большого пальца правой руки. 
Плоскостью действия момента M0(F) = r × F называется плоскость, образованная радиус-вектором r и вектором силы F. Момент 
силы перпендикулярен его плоскости действия. 

M0(F) 

r 

F 

Главным моментом системы сил относительно выбранной точки называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно этой точки: 

 
(
)
0
0
1
1

.

n
n

i
i
i
i
i
=
=
=
=
×
∑
∑
M
M
F
r
F  

Главный момент системы сил зависит от выбора полюса. Действительно, относительно произвольных точек А и В он равен 

 
(
)

1
1

0
1
1

,

n
n

B
Bi
i
Ai
i
i
i

n
n

i
Ai
i
A
i
i

=
=

=
=

=
×
=
+
×
=

=
×
+
×
=
×
+

∑
∑

∑
∑

M
r
F
BA
r
F

BA
F
r
F
BA
F
M

 

 
0
.
B
A
=
×
+
M
BA
F
M
 

Откуда следует, что если главный вектор и главный момент системы сил одновременно равны нулю относительно одной точки, то 
они равны нулю относительно любой другой точки. 
Необходимым и достаточным условием равновесия системы сил 
является равенство нулю главного вектора и главного момента этой 
системы сил: 

 
0
0
0,
0,
=
=
M
F
 

Эти два векторных равенства эквивалентны шести скалярным равенствам: 

 
0
0
0
0
0
0
0,
0,
0,
0,
0,
0.
x
y
z
x
y
z
F
F
F
M
M
M
=
=
=
=
=
=
 

Парой сил называется совокупность двух сил {F, − F}, равных по 
модулю и противоположных по направлению. Главный вектор пары 
сил равен нулю, а момент пары сил не зависит от выбора полюса. 
Действительно, 

 
0
0
0,
.
B
A
A
=
−
=
=
×
+
=
F
F
F
M
BA
F
M
M
 

Плоскостью действия момента пары сил называется плоскость 
действия пары сил. 
В теоретической механике доказывается теорема Пуансо (рис. 1.5)  
о том, что «любую систему сил, действующую на абсолютно твердое 

тело, можно привести относительно произвольно выбранного полюса 
к эквивалентной системе, состоящей из главного вектора F0, выходящего из этого полюса, и пары сил, с моментом, равным главному 
моменту этой системы сил M0 относительно того же полюса». 
 

 

Рис. 1.5 

Основные опоры и их опорные реакции имеют вид, приведенный 
на рис. 1.6. 

xA 

R 

yA 
R=yA 

xA 

yA 

R 

MA 

A 
A 

A 

Цилиндрическая 
шарнирно- 
неподвижная 
опора 

Цилиндрическая 
шарнирно- 
подвижная 
опора 

Жесткая заделка

 

Рис. 1.6 

F2 

Fn 
F0 

F1 

Твердое тело 

О 
О 

M0