Основы теории литейных процессов : кристаллизация сплавов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2395 

Кафедра технологии литейных процессов

М.В. Пикунов 
А.Н. Коновалов 
 

Основы теории литейных
процессов 

Кристаллизация сплавов 

Учебное пособие 

Допущено учебно-методическим объединением 
по образованию в области металлургии в качестве учебного 
пособия для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлению 150400 – Металлургия 

Москва  2015 

УДК 621.746 
 
П32 

Р е ц е н з е н т ы :  
д-р техн. наук, проф. В.С. Золоторевский; 
канд. техн. наук, доц. А.В. Михайловская; 
д-р техн. наук, проф. И.В. Беляев (ВлГУ им. Столетовых) 

Пикунов М.В. 
П32  
Основы теории литейных процессов  : кристаллизация сплавов : учеб. пособие / М.В. Пикунов, А.Н. Коновалов. – М. : Изд. 
Дом МИСиС, 2015. – 91 с. 
ISBN 978-5-87623-825-2 

Рассмотрена кристаллизация двойных сплавов в системах с непрерывными твёрдыми и жидкими растворами, с эвтектическим и перитектическим 
превращениями, а также в сложной двойной системе с температурным минимумом, промежуточными фазами и с указанными превращениями кристаллизации. Приведены примеры происходящих процессов с подробными 
количественными расчётами, в которых необходимы знания аналитической 
геометрии и дифференциального анализа. Рассмотрена равновесная кристаллизация сплавов, определяемая диаграммами состояния двойных систем, а 
также неравновесная кристаллизация по модели Петрова–Шейля. 
Предназначено для учебного курса «Основы теории литейных процессов», предусмотренного учебным планом подготовки бакалавров по направлению «Металлургия». 

УДК 621.746 

ISBN 978-5-87623-825-2 
© М.В. Пикунов, 
А.Н. Коновалов, 2015 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение....................................................................................................4 
1. Сплавы в системе А–В с неограниченными жидкими 
и твёрдыми растворами............................................................................6 
1.1. Кристаллизация сплава 1.1 (А + 20 % В) ....................................8 
1.2. Кристаллизация сплава 1.2 (А + 50 % В) ..................................17 
1.3. Кристаллизация сплава 1.3 (А + 85 % В) ..................................24 
2. Сплавы в системе А–В с эвтектическим превращением ................28 
2.1. Кристаллизация сплава 2.1 (А + 15 % В) ..................................29 
2.2. Кристаллизация сплава 2.2 (А + 35 % В) ..................................33 
3. Сплавы в системе А–В с перитектическим превращением............40 
3.1. Кристаллизация сплава 3.1 (А + 14 % В) ..................................41 
3.2. Кристаллизация сплава 3.2 (А + 30 % В) ..................................47 
3.3. Кристаллизация сплава 3.3 (А + 60 % В) ..................................54 
3.4. Кристаллизация сплава 3.4 (В + 20 % А) ..................................62 
4. Сплавы в сложной двойной системе А–В........................................67 
4.1. Кристаллизация сплава 4.1 (А + 8 % В) ....................................69 
4.2. Кристаллизация сплава 4.2 (А + 20 % В) ..................................74 
4.3. Кристаллизация сплава 4.3 (А + 80 % В) ..................................81 
Библиографический список...................................................................90 
 

ВВЕДЕНИЕ 

В настоящее время процессы кристаллизации различных веществ, 
в частности металлических сплавов, осмыслены и описаны как аналитически, так и с помощью разнообразных компьютерных программ. Однако студенты, изучающие металлургию, литейное производство, сварку, пайку, основы металловедения, получают недостаточно полное представление о кристаллизации – этом важнейшем 
физико-химическом процессе, реализуемом во многих технологиях 
обработки металлов. Методически целесообразно в первую очередь 
подробно и всесторонне рассмотреть качественно и количественно 
различные стороны как равновесной, так и самой простой модели 
неравновесной кристаллизации типичных сплавов в двойных системах. В этом заключается одна из целей данного учебного пособия. 
Другая цель состоит в том, что при проработке излагаемого материала студент должен вспомнить и использовать элементы аналитической геометрии и дифференциального анализа. Положительная сторона данной работы заключается также в том, что рассматриваемые 
расчёты требуют большой внимательности и аккуратности – свойств, 
необходимых молодому специалисту, где бы он ни начинал свою 
профессиональную деятельность. 
В пособии представлены расчёты различных показателей процессов кристаллизации типичных сплавов в модельных двойных системах с неограниченными жидкими и твёрдыми растворами, с эвтектическим и перитектическим превращениями. Для упрощения вычисления линии ликвидуса и солидуса приняты прямыми. Используемые 
формулы можно найти в работах [1, 2, 3], где даются их выводы с 
подробным описанием принятых ограничений. 
В пособии рассматривается равновесная кристаллизация сплавов, 
возможная лишь при бесконечно малой скорости охлаждения, т.е. 
при бесконечно большом времени процесса кристаллизации или в 
случае бесконечно больших коэффициентов диффузии в жидкой и 
твёрдой фазах – Dж → ∞, Dтв → ∞. Неравновесная кристаллизация 
рассматривается в рамках модели, развитой Г. Гулливером (Англия), 
Е. Шейлем (Германия), Д.А. Петровым (СССР) (далее модель Петрова–Шейля), в которой принято Dж → ∞, Dтв = 0 и возможно с определёнными ограничениями использовать равновесные двухкомпонентные диаграммы состояния. 

Необходимо подчеркнуть, что ни одна из ныне разработанных 
моделей кристаллизации, в той или иной степени успешно используемых в теоретических исследованиях, лабораторных экспериментах и в производственной обстановке, не охватывает в полной мере 
все стороны даже равновесного процесса, потенциально существующего в единственном варианте, не говоря уже о разнообразных моделях неравновесной кристаллизации. Сказанное относится и к модели Петрова–Шейля, рассматриваемой в данном пособии. 
Большой объём технической работы при подготовке рукописи 
данного пособия был проведён инженерами кафедры технологии литейных процессов С.С. Асеевой и Л.Д. Митевой, за что авторы искренне и глубоко им признательны. 

1. СПЛАВЫ В СИСТЕМЕ А–В 
С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ЖИДКИМИ 
И ТВЁРДЫМИ РАСТВОРАМИ 

Как видно на рис. 1.1, прямые линии ликвидуса и солидуса выходят из одной точки tА = 2000 °С, соответствующей температуре плавления компонента A, и с понижением температуры расходятся. При 
t = 1290 °С состав жидкости равен Сж = 72 % В, состав твёрдой фазы 
Ств = 36 % В. При этой температуре на обеих линиях имеются точки 
перелома, так что линии ликвидуса и солидуса с дальнейшим понижением температуры начинают сходиться и при 500 °С пересекаются, т.е. имеют общую точку tВ, являющуюся температурой плавления 
компонента В. 

 

Рис. 1.1. Диаграмма А–В с непрерывным рядом 
однофазных растворов 

Для проведения расчетов необходимо выразить прямые линии ликвидуса и солидуса на диаграмме состояния системы А–В (см. рис. 1.1) 
уравнениями tл = f(Cж), tс = f(Cтв). Верхние индексы (tл, tс) означают, 
что речь идет о линиях ликвидуса или солидуса на диаграмме состояния. Нижними индексами (tл, tс) отмечены температуры ликвидуса и солидуса сплавов конкретного состава. 
Согласно законам аналитической геометрии линия ликвидуса от 
точки tА до 1290 °С выражается уравнением tл = 2000 – a1·Cж. Коэффициент a1 находим, используя указанное на диаграмме А–В значение Сж = 72 % В при t = 1290 °С: 1290 = 2000 – а1·72. Отсюда а1 = 
= (2000 – 1290) / 72 = 710 / 72 = 9,86. Таким образом, при 2000 ≥ t ≥ 1290 °С 
tл = 2000 – 9,86·Cж и Cж = (2000 – t) / 9,86. Линия солидуса выражается уравнением tc = 2000 – а2·Ств. При tc = 1290 оС (см. рис. 1.1), состав 
Ств = 36 % В, так что 1290 = 2000 – а2·36. Отсюда а2 = (2000 – 1290) / 
/ 36 = 710 / 36 = 19,72. Таким образом, при 2000 ≥ t ≥ 1290 °С 
tс = 2000 – 19,72·Ств и Ств = (2000 – t) / 19,72.  
В области диаграммы А–В ниже 1290 °С прямые линии ликвидуса 
и солидуса выражаются содержанием компонента А следующими 
зависимостями: tл = 500 + a3·Cж и tс = 500 + a4 Ств. На рис. 1.1 видим, 
что при 1290 °С состав жидкости равен Сж = 72 % В, что равносильно 
Сж = (100 – 72) = 28 % А. Таким образом, 1290 = 500 + а3·28, отсюда 
а3 = (1290 – 500) / 28 = 790 / 28 = 28,21. Следовательно tл = 500 + 
+ 28,21·Сж и Сж = (t – 500) / 28,21. На рис. 1.1 видно также, что при 
1290 оC состав Ств = 36 % В = (100 – 36) = 64 % А. Поэтому можно записать: 1290 = 500 + а4·64, откуда а4 = (1290 – 500) / 64 = 790 / 64 = 12,34. 
Итак при 1290 ≥ t ≥ 500 °С tс = 500 + 12,34·Ств и Ств = (t – 500) / 12,34. 
По характеру кристаллизации сплавы рассматриваемой двойной 
системы А–В можно разделить на три группы. В первую группу входят сплавы, содержащие от 0 % до 36 % В (можно использовать как 
массовые, так и мольные проценты). Равновесная кристаллизация 
сплавов этой группы осуществляется по одному единому механизму 
– от tл до температуры равновесного солидуса сплава tс.равн. Неравновесная кристаллизация этих сплавов проходит в два этапа по двум 
разным закономерностям. Первый этап реализуется от температуры 
ликвидуса сплава tл до 1290 °С, второй этап – от 1290 °С до температуры неравновесного солидуса сплава tс.неравн. 
Вторая группа сплавов содержит от 36 до 72 % В. Равновесная 
кристаллизация этих сплавов проходит в два этапа – первый от tл до 
1290 °С и второй от 1290 °С до температуры равновесного солидуса 
tс.равн. Неравновесная кристаллизация проходит также в два этапа – от 

tл до 1290 °С и от 1290 °С до температуры неравновесного солидуса 
tс.неравн. 
Третью группу составляют сплавы, содержащие от 72 до 100 % В, 
т.е. от (100 – 72) = 28 % А до чистого компонента В (0 % А). Подобные сплавы кристаллизуются равновесно по единому механизму от tл 
до tс.равн. Неравновесная кристаллизация сплавов третьей группы 
проходит в один этап от tл до tс.неравн. 
Следует сделать еще одно замечание. На диаграмме A–B (см. рис. 1.1), 
при расчетах независимо от того, рассматривается равновесная или 
неравновесная кристаллизация, если t ≥ 1290 °C, составы сплавов и 
образующихся фаз выражаются содержанием компонента B, и «работает» коэффициент распределения именно этого компонента kB = 
= Cтв / Cж (см. далее). Если же процесс идет при t ≤ 1290 °C, составы 
сплавов и фаз выражаются содержанием компонента A, и используется коэффициент распределения этого компонента kA = Cтв / Cж. Перечисленные изменения в расчетах обусловлены переломом прямых 
линий ликвидуса и солидуса на диаграмме состояния A–B при 
1290 °C. По этой же причине различаются выражения зависимостей 
от температуры массовых долей фаз и темпа кристаллизации при 
t ≥ 1290 °C и t ≤ 1290 °C. 

1.1. Кристаллизация сплава 1.1 (А + 20 % В) 

Равновесная кристаллизация сплава 

Этот сплав (см. рис. 1.1) относится к первой группе из перечисленных выше по закономерностям кристаллизации. Вычислим температуры ликвидуса и солидуса сплава 1.1 (A + 20 % B). При температуре ликвидуса рассматриваемый сплав полностью жидкий. Следовательно Сж = 20 % В и температура ликвидуса сплава, согласно 
найденному ранее выражению, равна tл = 2000 – 9,86·Сж = 2000 – 
– 9,86·20 = 2000 – 197 = 1803 °С. При температуре равновесного солидуса Ств = С0 = 20 % В. Следовательно температура равновесного 
солидуса сплава 1.1 (A + 20 % B) (см. tс.равн = 2000 – 19,72·Ств) равна 
tс.равн = 2000 – 19,72·20 = 2000 – 394 = 1606 °С. Равновесный температурный интервал кристаллизации сплава 1.1 (А + 20 % В) равен 
(δt)равн = tл – tс = 1803 – 16060 = 197 °С. 
Используя выражения Сж = (2000 – t) / 9,86 и Ств = (2000 – t)/19,72, 
находим составы жидкой и твёрдой фаз в равновесном температурном интервале кристаллизации от 1803 до 1606 °С (табл. 1.1). 

Таблица 1.1 

t, °C 
1803 
1750 
1700 
1650 
1606 

Сж, % B 
20 
25,35 
30,43 
35,50 
40 

Ств, % B 
10 
12,68 
15,21 
17,75 
20 

kВ= Ств / Сж 
0,5 

Одним из показателей кристаллизации сплавов является коэффициент распределения отдельных компонентов, вычисляемый как отношение содержания компонента в твёрдой фазе к его содержанию в 
равновесной жидкой фазе k = Ств / Сж. Для сплава 1.1 (А + 20 % В) 
коэффициент распределения компонента В представлен в табл. 1.1, 
видно, что при всех температурах коэффициент распределения компонента В равен kВ = Ств / Сж = 0,5. Можно также видеть, что kB = 
= [(2000 – t) / 19,72] / [(2000 – t) / 9,86] = 9,86 / 19,72 = 0,5. Это постоянство величины kB предопределяется тем, что прямые линии ликвидуса и солидуса на диаграмме состояния А–В выходят из одной точки tА = 2000 °С. Указанная закономерность является чисто геометрической, и читатель может самостоятельно это доказать. 
Определение массовых долей твёрдой и жидкой фаз в ходе равновесной кристаллизации сплава 1.1 (А + 20 % В) производим по правилу рычага (отрезков) согласно формуле 

 
ж
0
тв.равн
ж
тв
;
С
С
m
С
С
−
=
−

0
тв
ж.равн
ж
тв
.
C
С
m
С
С
−
=
−
 
(1.1) 

В этой формуле С0 = 20; Сж = (2000 – t) / 9,86; Ств = k · Cж ; k = kB = 
= 0,5. Массовая доля твёрдой фазы равна mтв.равн = (Cж – 20) / (Cж – 
– k·Cж) = 1 / (1 – k) –20 / Cж (1 – k) = 1 / (1 – 0,5) – 20·9,86 / [(2000 – t)(1 – 
– 0,5)] = 2 – 20·9,86 / [(2000 – t)(1 – 0,5)] = 2 – 20·9,86·2 / (2000 – t) = 2 – 
– 394/(2000 – t). Массовая доля жидкой фазы равна mж.равн = 1 –  
– mтв.равн = 1 – 2 + 394 / (2000 – t) = 394 / (2000 – t) –1.  
Вычисляем массовые доли обеих фаз от температуры ликвидуса 
(1803 °С) до температуры равновесного солидуса (1606 °С). 
Результаты этих расчетов заносим табл. 1.2. 

Таблица 1.2 

t, °C 
1803 
1750 
1700 
1650 
1606 

m тв.равн 
0 
0,58 
0.69 
0.87 
1 

mж.равн 
1 
0.42 
0,31 
0,13 
0 

В табл. 1.1 и 1.2 видно, какие глубокие изменения происходят в 
ходе равновесной кристаллизации сплава 1.1 (A + 20 % B). В жидком 

состоянии при t ≥ 1803 °С – это однородный жидкий раствор, содержащий 20 % В. В момент начала кристаллизации при t = 1803 °С в 
жидкости появляются первые кристаллы, содержащие 10 % В. По 
мере снижения температуры содержание компонента В в твёрдой 
фазе (кристаллах) монотонно возрастает от 10 до 20 %. В жидкости 
также происходит увеличение содержания компонента В от 20 до 
40 %, при этом массовая доля жидкости уменьшается, а массовая доля твёрдой фазы увеличивается. При температуре равновесного солидуса tс.равн = 1606 °С содержание компонента В в твёрдой фазе 
равно 20 %. В жидкости содержание компонента В достигает 40 %. 
Массовая доля кристаллов в этот температурный момент становится 
равным единице, а массовая доля жидкости – нулю, т.е. жидкость 
исчезает, равновесная кристаллизация закончилась. 
В результате равновесной кристаллизации, возможной лишь при 
бесконечно малой скорости охлаждения или при условии, что диффузия в жидкой и твёрдой фазах проходит с бесконечно большой интенсивностью (Dж → ∞, Dтв → ∞), сплав 1.1 (А + 20 % В) оказывается 
совершенно однородным твёрдым раствором, что отражено на диаграмме состояния А–В (см. рис. 1.1). График mтв.равн = f (t) представлен на рис. 1.2. 

 

Рис. 1.2. Зависимость массовой доли твёрдой фазы от температуры 
при равновесной и неравновесной кристаллизации сплава 1.1 (А + 20 % В) 

t, °С 

Описанный процесс равновесной кристаллизации скрывает в себе 
очень важное обстоятельство, заключающееся в том, что в ходе равновесной кристаллизации непрерывно происходят диффузионный 
массоперенос не только в пределах каждой из фаз (твёрдой и жидкой), но и между ними. 
Очень важной характеристикой является темп кристаллизации 
сплава. Он предопределяет такие литейные свойства, как объёмная 
усадка и кристаллизационные трещины в отливках и слитках. Темп 
кристаллизации обозначается как i = dmтв / dt, т.е. это первая производная массовой доли твёрдой фазы по температуре. Следует иметь в 
виду, что темп кристаллизации непосредственно не связан со временем кристаллизации, хотя слово «темп» заимствовано из латинского 
языка – tempus, что означает «время». 
Поскольку масса твёрдой фазы как функция возрастает при понижении аргумента (температуры), величина i как производная отрицательна, но знак минус отбрасывается, чтобы не затруднять понимание происходящего процесса. В случае равновесной кристаллизации реализуется равновесный темп кристаллизации iравн, при неравновесной кристаллизации – неравновесный темп iнеравн. 
Массовая доля твёрдой фазы при равновесной кристаллизации 
сплава 1.1 (А + 20 % В) уже была определена: mтв.равн = 2 – 394 / 
/ (2000 – t). Дифференцирование этого уравнения: 

 
iравн = dmтв.равн / dt 2 = –394 / (2000 – t)2. 
(1.2) 

Знак минус отбрасываем и вычисляем iравн от tл = 1803 до tс.равн = 
= 1606 °С. Заносим результаты в табл.1.3. 

Таблица 1.3 

t, °C 
1803 (tл) 
1700 
1650 
1606 (tс.равн) 

iравн 
10,2·10–3 
4,4·10–3 
3,2·10–3 
2,5·10–3 

iср.равн 
5,1·10–3 

Из полученных результатов видно, что темп равновесной кристаллизации сплава 1.1 (А + 20 % В) имеет наибольшую абсолютную 
величину в самом начале процесса при температуре ликвидуса 
tл = 1803 °С, где iравн = 10,2 ·10–3. По мере снижения температуры 
темп кристаллизации iравн монотонно уменьшается, достигая величины 2,5 ·10–3 при температуре равновесного солидуса tс.равн = 1606 °С, 
т.е. снижается в (10,2·10 – 3) / (2,5·10 – 3) = 4 раза.  
Следует вычислить средний темп равновесной кристаллизации 
iср.равн (см. табл. 1.3). Его величина равна частному от деления массо