Физика металлов

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 1 ^-л (Black plate) 

МЕТАЛЛУРГИЯ И МАТЕРИАЛОВЕДЕНИЕ XXI БЕКА 

к 75-аетию 

Московского Государственного института стали и сплавов 

(Технологического университета) 

Д.В. ЛИВАНОВ 

ФИЗИКА МЕТАЛЛОВ 

Допущено Министерством образования и науки РФ 

в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, 

обучающихся по специальности 

«Металловедение и термическая обработка металлов» 

и по направлению подготовки «Металлургия» 

МОСКВА 
•МИСИС» 

2006 

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 2 ^-л (Black plate) 

Издано при финансовой поддержке Федерального Агентства но 
печати и массовым коммуникациям в рамках Федеральной 
целевой программы «Культура России» 

УДК 669.53 
ББК 34.25 

Л 55 

Рецензенты: зав. кафедрой общей физики Московского 
физико-технического ршститута (государственного университета) докт. физ.-мат. наук, проф. А.Д. Глядун; 
кафедра физики твердого тела Московского инженернофизического института (государственного университета), 
докт. физ-мат. наук, проф. В.А. Кашурников 

Л 55 Ливанов Д.В. Физика металлов: Учебник для вузов. — М.: 
•МИСиС, 2006. - 280 с. 

ISBN 5-87623-168-1 

Изложены основы квантовой механики и статистической физики на 
уровне и в объеме, необходимом для последующего изложения. Даны основы электронной теории металлов, включая динамику кристаллической решетки, основные положения и результаты зонной теории и теории рассеяния электронов проводимости. Проведен анализ основных физических 
свойств металлических систем. Обсуждены важнейшие виды фаз в металлических сплавах. 

Учебник предназначен для студентов вузов, обучающихся по направлению «Металлургия». Может быть полезен также для аспирантов и инженеров-металлургов. 

Ил. 61. Табл. 7. Библиогр. список: И назв. 

ББК 34.25 

ISBN 5-87623-168-1 
© Ливанов Д.В. 
© МИСиС,2006 

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 3 ^-л (Black plate) 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие 
4 

Раздел 1. Основы квантовой механики 
7 

Глава 1. Основные понятия квантовой механики 
7 

Глава 2. Уравнение Шредингера 
36 

Глава 3. Движение в центрально-симметричном поле. 

Атом водорода 
53 

Глава 4. Спин частицы. Многоэлектронный атом 
63 

Задачи 
87 

Раздел 2. Основы статистической физики 
89 

Глава 5. Основные понятия статистической 

физиБси 
89 

Глава 6. Распределение Гиббса 
97 

Глава 7. Квантовые статистики 
116 

Задачи 
137 

Раздел 3. Основы теории металлов 
139 

Глава 8. Типы межатомных связей 

в металлических сплавах 
139 

Глава 9. Динамика щ)исталлической решетки 
154 

Глава 10. Электрон в периодическом потенциале 
181 

Глава 11. Электронная ферми-жидкость 
193 

Глава 12. Процессы рассеяния электронов 
208 

Глава 13. Магнитные свойства металлов 
222 

Задачи 
238 

Раздел 4. Фазы в металлических сплавах 
241 

Глава 14. Фазовые переходы 
241 

Глава 15. Твердые растворы 
257 

Глава 16. Виды фаз в металлических сплавах 
264 

Задачи 
277 

Библиографический список 
279 

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 4 ^-л (Black plate) 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Характерной особенностью развития современного материаловедения, в частности металловедения, является широкое 
использование основ теоретической физики, включая такие 
разделы, как квантовая механика, теория поля, статистическая 
физика. Именно понимание физической теории формирует современного исследователя-материаловеда с глубокими знаниями механизмов и процессов, влияющих на физичесБсие свойства и структуру материалов. С другой стороны, система материаловедческого образования в российской высшей школе традиционно была в большей степени ориентирована на изложение накопленных экспериментальных данных и эмпиричесБэгх 
зависимостей. 

Квантовая физика произвела в XX веке революцию не только в наших познаниях о природе, но и в технике. Атомная 
энергетика, компьютеры и другие электронные устройства, 
лазеры, сверхпроводимость не только стали реальностью, но 
полностью изменили жизнь человеческой цивилизации. Развитие науки, техники и экономики в XXI веке связывают с 
прогрессом в области нанотехнологий, т. е. технологий создания и использования материалов с заданной атомарной структурой и управления процессами, в которые вовлечены отдельные атомы или элементарные частицы. Физические явления, 
наблюдаемые в наноразмерном диапазоне, часто лежат на 
стыке наук. Исследования в области современного материаловедения затрагивают сферы биотехнологий, физики твердого 
тела, электроники и часто приводят к результатам, егце несколько лет назад казавшимся фантастикой. Не будет преувеличением сказать, что мы стоим на пороге новой технической 
революции, связанной с широБжм использованием наноматериалов и нанотехнологий. В этой ситуации актуальной являет

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 5 ^-л (Black plate) 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

СЯ задача повышения уровня фундаментальной подготовки 
инженеров, работающих в области современного материаловедения, что, в свою очередь, создает новые качественные требования к учебным Бсурсам. На решение указанной задачи и 
направлен учебник «Физика металлов». 

Основная трудность, возникшая при написании учебника, 
заключалась в необходимости адаптации материала соответствуюш,их курсов теоретической физики к уровню знаний студентов металлургических и материаловедческих специальностей технических вузов по физике и высшей математике. Действительно, в современных учебных планах таких специальностей, в отличие от физических, имеет место дефицит учебных часов на преподавание высшей математики, а курс теоретической физики, как правило, вообще отсутствует. Таким образом, необходимо было обеспечить краткое, но достаточно 
глубокое изложение основ квантовой механики и статистической физики с использованием соответствующего математического аппарата. 

Требуемого сочетания глубины и 1фаткости удалось добиться путем сохранения в первой части курса, посвященной основам квантовой механики, только тех разделов, которые необходимы для понимания дальнейшего материала: понятие волновой функции, уравнение Шредингера, движение в центрально-симметричном поле, понятие спина и строение многоэлектронных атомов. Математический аппарат квантовой механики 
излагается в объеме, необходимом для сохранения математической и физической строгости изложения материала. Аналогично построена и часть, посвященная изложению основ статистической физики. В ней рассмотрены основные понятия 
этой науки, виды и важнейшие приложения основных статистических распределений — Гиббса, Максвелла, Ферми—Дирака и Бозе—Эйнштейна. В третьей части курса рассмотрены основы квантовой теории твердого тела: зонная теория металлов, 
динамика кристаллической решетБО!, механизмы рассеяния 
электронов в металлах. На основании этого проанализированы 
основные физриеские свойства металлов: теплоемкость, электро- и теплопроводность, термоЭДС, магнитные свойства. В 
четвертой части учебника обсуждена теория фазовых переходов 

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 6 ^-л (Black plate) 

Раздел 1. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 

первого и второго рода и важнейшие виды фаз в металличесБэгх 
сплавах. 

Для более полного понимания теоретического материала в 
пособии приведено около 40 задач, направленных на развитие 
навьпсов практического применения полученных знаний. 

Автор благодарит коллективы кафедр теоретической физики 
и металловедения цветных металлов Московского государственного института стали и сплавов (технологический университет) за поддержку, внимание и ценные советы во время работы над учебником. 

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 1 г~л (Black plate) 

Раздел 1. ОСНОВЫ 
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 

КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 

Дуализм волна-частица. Волновая функция. Операторная формулировка квантовой механики. Понятие оператора физической величины. Собственные числа и собственные функции оператора 
физической величины. Предельный переход к случаю классической 
механики. Соотношение Гейзенберга. Операторы координаты, 
импульса, момента импульса, энергии. 

К концу XIX века физикой был накоплен ряд экспериментальных фактов, которые не могли получить объяснения в рамках классической механики. Перечислим основные из них. 

1. Существование стабильных атомов. В соответствии с представлениями классической механики заряженная частица, движущаяся с ускорением, должна излучать электромагнитные волны. Таким образом, электрон, совершающий вращательное движение в кулоновском поле атомного ядра, должен непрерывно 
терять энергию и в конечном итоге упасть на центр поля (ядро). 

2. Квантование колебаний электромагнитного излучения и 
вещества (атомов в кристаллической решетке). Гипотеза Планка: Е=п- (oh, где п — целое число, со — частота излучения, h — 
некоторая константа, равная по данным эксперимента приблизительно 10-3'' Дж • с. 

3. Фотоэлектрический эффект — испускание поверхностью 
металла электронов при облучении ее электромагнитным излучением. 

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 8 ^-л (Black plate) 

Раздел 1. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 

4. Дифракция электронов. При пропускании однородного 
пучка электронов через кристалл возникает картина, характеризующаяся чередованием минимумов и максимумов в интенсивности прошедшего через кристалл пучка, абсолютно аналогичная дифракционной картине, возникающей при прохождении электромагнитной волны через дифракционную решетку. 

5. Макроскопические квантовые явления (сверхпроводимость и сверхтекучесть). 

Такое глубокое противоречие между экспериментом и 
классической физикой свидетельствует о том, что физическая теория, описывающая явления микромира, т. е. атомного уровня, должна быть основана на других физических 
принципах. Проведем мысленный эксперимент, моделирующий явление дифракции электронов. Представим себе электронный поток, падающий на непроницаемый экран, в котором имеются два отверстия. Если одно из этих отверстий закрыть, то регистрация интенсивности пучка электронов, 
прошедших за экран, даст некоторое распределение. Точно 
так же можно получить результат прохождения пучка через 
второе отверстие, если первое закрыто. Возникает вопрос: 
как будет выглядеть картина распределения интенсивности 
прошедшего через экран пучка электронов, если открыты 
оба отверстия? Если бы электроны, подчиняясь классической механике, двигались каждый по своей траектории, картина представляла бы собой наложение картин, соответствующих случаям, когда одно из отверстий закрыто, поскольку вероятность прохода электрона через одно отверстие не 
зависит от вероятности прохождения через второе. Другими 
словами, электрон, двигаясь по определенной траектории, 
проходит либо через одно, либо через второе отверстие, и дифракционной картины не возникает. В действительности 
имеет место явление, известное как интерференция, и суммарная картина совсем не является суперпозицией двух других. Ясно, что этот результат не может быть совместим с 
представлением о движении электрона по определенной траектории. Таким образом, мы приходим к выводу, что в квантовой механике отсутствует понятие траектории частицы. 
Это обстоятельство называется принципом неопределенности. 

8 

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 9 ^-л (Black plate) 

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 

Отсутствие у квантовой частицы определенной траектории 
приводит к выводу и об отсутствии у нее каких-либо динамических характеристик. Действительно, легко понять, что в 
квантовой механике отсутствует понятие скорости частицы 
как предела, к которому стремится разность координат, измеренных в два момента времени, в пределе стремящегося к нулю 
интервала между измерениями Д/. Если бы такой предел существовал, то частица обладала бы определенной траекторией, 
что противоречит принципу неопределенности. Это означает, 
что если проводить через некоторые интервалы времени А^ измерения координаты электрона, то их результаты не лягут на 
какую-либо плавную кривую. Чем точнее проводятся измерения координат, тем более хаотический характер будут иметь их 
результаты. 

Мы приходим к выводу, что если квантовая частица обладает строго определенной координатой, то ее скорость не определена и, вообще говоря, может быть любой. Наоборот, обладая 
строго определенной скоростью, электрон может находиться в 
произвольной точке пространства. Чем выше точность измерения координаты, тем ниже точность измерения скорости, и наоборот. Можно сказать, что координата и скорость являются 
парой физических величин, не существующих одновременно. 
Далее это обстоятельство будет доказано математически, а также показано, что существуют и иные пары физических величин, обладающих этой особенностью. 

Известно, что если для классической системы в некоторый 
момент времени получены значения координат и скоростей 
всех частиц, то, решая уравнения движения, можно найти координаты и скорости в любой другой (последующий или предыдущий) момент времени. Таким образом, поведение классических систем является детерминированным. В квантовой механике точное предсказание будущего невозможно, поскольку 
координаты и скорости одновременно не существуют и, значит, описание системы является здесь принципиально менее 
полным. Таким образом, квантовая механика не может дать 
строго определенных предсказаний относительно будущего. 
При заданном начальном состоянии есть возможность лишь 
вычислить вероятность того или иного развития событий в бу

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 1(>-л 
(Black plate) 

Раздел 1. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 

дущем. Таким образом, задача квантовой механики состоит в 
определении вероятности того или иного результата при измерении в последующие моменты времени. Разумеется, в некоторых 
частных случаях эта вероятность может быть равной единице, 
т. е. вероятность переходит в достоверность, и результат измерения является однозначным. 

В квантовой механике используется следующий способ описания состояния квантовой системы. Определим совокупность 
координат квантовой системы при помощи набора переменных q. Пространство этих переменных назовем конфигурационным пространством системы. Будем описывать состояние путем 
задания определенной функции координат системы Ч'(^), такой, чтобы квадрат модуля этой функции | ¥(?) | ^ определял вероятность распределения координат системы. Это означает, что 
произведение mq)Vuq равно вероятности обнаружить при измерении координат системы эти координаты в бесконечно малом элементе объема конфигурационного пространства uq. Для 
одной частицы интеграл по некотором объему V 

\\nq) 'М 

равен вероятности обнаружить частицу внутри этой области 
пространства. Естественно, в силу своего определения 
функция ^{q) должна удовлетворять условию нормировки: 
интеграл от | Ч'(9) | ^ по всему конфигурационному пространству равен единице. Имеем: 

\\W{q)\4q = \w\q)W{q)Aq=\, 

где звездочка означает операцию комплексного сопряжения. 

Если состояние системы меняется со временем, то функция 
Y будет зависеть еще и от времени: ^{q, t). Функция ^{q, t) называется волновой функцией системы, знание которой позволяет вычислять вероятности тех или шгых результатов при измерении не 
только координат системы, но и остальных физических величин. 

Одним из основополагающих принципов квантовой механики является принцип суперпозиции, который заключается в 

10 

Livanovl.qxd 04.07.2006 23:15 Page 11^-л (Black plate) 

Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 

следующем. Пусть в квантовом состоянии, описываемом волновой функцией ^\{q), некоторое измерение приводит к определенному результату «7», а в состоянии, описываемом волновой функцией 4*2(9), то же самое измерение приводит к результату «2». Тогда всякая линейная комбинация CiViiq) + Сг^'гС?) 
есть волновая функция, описывающая состояние, в котором то 
же измерение даст либо результат «7», либо результат «2». Для 
системы, состоящей из двух невзаимодействующих частей, вероятности координат Qi первой части независимы от вероятностей координат Qi второй части, и, следовательно, распределение вероятностей для системы в целом равно произведению соответствующих распределений для ее частей. Отсюда сразу следует, что волновая функция такой системы может быть представлена в виде произведения волновых функций ее частей: 

^12(?Ь Ql) = 4'l(9l) • Ч'2(?2). 

Пусть /— некоторая физическая величина, характеризующая состояние системы. Эта величина при измерении может 
принимать определенные значения, называемые собственными 
значениями величины f. Совокупность собственных значений 
называется спектром собственных значений величины / Как 
будет ясно в дальнейшем, физические величины в квантовой 
механике могут иметь непрерывные (как в классической механике) или дискретные спектры собственных значений. Для 
простоты начнем рассмотрение со случая, когда величина / 
имеет дискретный спектр собственных значений, которые мы 
обозначим как f„, где и = 0,1,2,... Пусть ¥„—волновая функция состояния, в котором измерение величины / даст с достоверностью соответствующее собственное значение f„. Функции Ч'„ называются собственными функциями величины / Если система находится в произвольном состоянии с волновой 
функцией W, то измерение величины / даст одно из возможных собственных значений f„. В соответствии с принципом суперпозиции это означает, что волновая функция Y такого 
произвольного состояния может быть представлена в виде 

4' = J^a„4'„. 
(1.1) 

11