Электротехника и электроника

Москва 2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ 
УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра Электротехники и информационно-измерительных систем

Е.В. Парфенова

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

Методические указания  
к выполнению домашнего задания

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3259

УДК 62138 
 
П18

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. А. С. Вознесенский

Парфенова Е. В.
П18  
Электротехника и электроника : метод. указ к выполнению домашнего задания / Е. В. Парфенова. – М. : Изд. Дом 
НИТУ «МИСиС», 2019. – 111 с.

Данные методические указания предназначены для выполнения домашнего задания по дисциплине «Электротехника и электроника». Подробно изложены примеры решения домашних заданий 
и приведены краткие теоретические сведения. В приложениях А и Б 
даны варианты задач для самостоятельного выполнения.
Предназначены для студентов специальности 21.05.05 «Физические процессы горного или нефтегазового производства».

УДК 62138

 Е. В. Парфенова, 2019
 НИТУ «МИСиС», 2019

СОДЕРЖАНИЕ

1 Линейные электрические цепи постоянного тока ................ 4
1.1 Метод эквивалентных преобразований ......................... 4
1.2 Применение законов Кирхгофа ................................... 4
1.3 Метод контурных токов ............................................. 5
1.4 Метод узловых потенциалов ....................................... 6
1.5 Метод наложения (суперпозиции) ............................... 7
1.6 Метод эквивалентного генератора................................ 7
1.7 Баланс мощностей ..................................................... 8
Задание 1.1. Расчет цепи с одним источником ........................ 9
Задание 1.2. Расчет цепи с несколькими источниками .......... 17
2 Линейные электрические цепи синусоидального тока ........ 26
2.1 Комплексные числа ................................................. 26
2.2 Источник напряжения ............................................. 27
2.3 Пассивный элемент электрической цепи .................... 28
2.4 Закон Ома .............................................................. 28
2.5 Законы Кирхгофа .................................................... 29
2.6 Последовательное и параллельное соединение 
сопротивлений ............................................................. 30
2.7 Комплексная мощность ........................................... 30
2.8 Баланс мощностей ................................................... 30
2.9 Построение топографических диаграмм ..................... 31
2.10 Резонанс в цепях синусоидального тока .................... 32
Задание 2.1. Пример расчета неразветвленной цепи .............. 33
Задание 2.2. Пример расчета разветвленной цепи ................. 41
Литература ..................................................................... 49
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Варианты задания 1.1 и 1.2. Расчет цепей 
постоянного тока ............................................................. 50
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Варианты задания 2.1 и 2.2. Расчет цепей 
переменного тока ............................................................. 82

1 Линейные электрические цепи 
постоянного тока

Закон Ома: напряжение участка цепи определяется как 
произведение сопротивления этого участка на протекающий 
через него ток:

 
.
U
I R
=
⋅

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов 
в узле равна нулю:

 

1
0.

N

k
k
I

=
=
∑

Второй 
закон 
Кирхгофа: 
алгебраическая 
сумма 
напряжений контура равна алгебраической сумме ЭДС этого 
контура:

 

1
1
1

.

N
N
N

k
k
k
k
k
k
k
U
R
I
E

=
=
=
=
⋅
=
∑
∑
∑

1.1 Метод эквивалентных преобразований

Сущность метода заключается в том, чтобы сложную 
разветвленную цепь с помощью эквивалентных преобразований 
привести к простейшей одноконтурной цепи, включающей 
ветвь с искомым током, значение которого определяется затем 
по закону Ома.
К 
эквивалентным 
преобразованиям 
относятся: 
преобразование 
представления 
источников 
электрической 
энергии; замена последовательных и параллельных соединений 
однотипных 
элементов 
эквивалентными 
одиночными 
элементами; 
преобразование 
соединений 
«звезда» 
– 
«треугольник» и «треугольник» – «звезда».

1.2 Применение законов Кирхгофа

Для данной цепи устанавливаем:
  число неизвестных токов;

 количество ветвей В (здесь и далее количество токов 
равно количеству ветвей в цепи);
  число узлов Y;
  число независимых контуров K = B – Y + 1;
  для каждой ветви задаем положительное направление 
тока;
  число уравнений, составленных по первому закону 
Кирхгофа – Y – 1;
  число уравнений, составленных по второму закону 
Кирхгофа – K;
Общее количество уравнений, составленных по законам 
Кирхгофа, должно составлять В.

1.3 Метод контурных токов

Метод основывается на том свойстве, что ток в любой 
ветви цепи может быть представлен в виде алгебраической 
суммы независимых контурных токов, протекающих по этой 
ветви.
При использовании данного метода:
  выбираем и обозначаем независимые контурные токи (по 
любой ветви цепи должен протекать хотя бы один контурный 
ток). Направление токов выбираем по часовой стрелке;
  общее число независимых контурных токов равно 
K = B – Y + 1;
  для K независимых контуров составляем уравнения 
по второму закону Кирхгофа.

 
11 11
12 22
1
11
...
,
k kk
R I
R I
R I
E
+
+
+
=

21 11
22 22
2
22
...
,
k kk
R I
R I
R I
E
+
+
+
=

 
…

 
1 11
2 22
...
,
k
K
kk kk
kk
R I
R
I
R I
E
+
+
+
=

где Rkk – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих 
в контур K или всегда положительное собственное сопротивление 
контура; Rkl = Rlk – сумма сопротивлений элементов, входящих 
в контуры K и L, причем, если направления контурных токов 
в общей для K и L ветви совпадают, то значение положительно, 

в противном случае оно отрицательно; Ekk – алгебраическая 
сумма ЭДС источников, включенных в ветви, образующие 
контур K.

1.4 Метод узловых потенциалов

Метод заключается в том, что составляются уравнения 
для потенциалов узловых точек относительно выбранной точки 
отсчета. Эти потенциалы называются узловыми напряжениями. 
Методу узловых потенциалов отдается предпочтение, если 
Y – 1 < B – Y + 1. Он позволяет уменьшить число совместно 
решаемых уравнений до Y – 1, где Y – число узлов схемы.
При использовании данного метода:
  один узел схемы цепи принимаем базисным с нулевым 
потенциалом;
  составляем уравнения для узловых напряжений для 
Y – 1 узлов;
  в общем случае система уравнений имеет вид:

 
11
11
12
22
1
11
...
,
k
kk
G
G
G
J
ϕ
+
ϕ
+
+
ϕ
=

21
11
22
22
2
22
...
,
k
kk
G
G
G
J
ϕ
+
ϕ
+
+
ϕ
=

 
…

 
1
11
2
22
...
,
k
k
kk
kk
kk
G
G
G
J
ϕ
+
ϕ
+
+
ϕ
=

где Gkk – проводимость, имеющая одинаковые индексы – 
собственная проводимость узла. Она равна сумме проводимостей 
всех ветвей, присоединенных к рассматриваемому узлу; Gkl – 
проводимости с разными индексами называются взаимными. 
Они определяются проводимостями, которые принадлежат 2-м 
узлам и всегда записываются со знаком «–»; Jkk – узловой ток, 
который равен алгебраической сумме токов источников тока, 
связанных с рассматриваемыми узлами 
/
.
kk
i
i
i
J
E
R
J
=
±
+
±
∑
∑

Со знаком «+» записываются слагаемые Ei / Ri и Ji, если 
ЭДС и токи направлены к рассматриваемому узлу.

1.5 Метод наложения (суперпозиции)

Метод основан на том, что ток в любой ветви равен 
алгебраической сумме частичных токов, создаваемых на этом 
участке от всех ЭДС цепи, действующих отдельно:

 
( )
( )
( )
( )

1
1
2
2

1
2
...
...

...
...
,

i
i
i
ik
k
ib
b

b
k
i
i
i
b

I
G E
G E
G E
G E

I
I
I
I

=
+
+
+
+
+
=

=
+
+
+
+
+

где 

( )i
i
ii
i

I
G
E
=
 – собственная проводимость ветви i, равная 

отношению частичного тока ветви к ЭДС источника этой 
ветви при условии, что ЭДС остальных источников равны 

нулю; 

( )
k
i
ik
k

I
G
E
=
 – взаимная проводимость ветвей i и k, равная 

отношению частичного тока ветви i к ЭДС источника ветви k 
при условии, что ЭДС остальных источников равна нулю; 
( )
k
iI
 – 
ток i ветви, возникающий под действием k-го источника.

Собственная проводимость ветви имеет положительное 
значение, так как положительное направление ее тока и ЭДС 
источника выбираются одинаковыми. Взаимная проводимость 
двух ветвей может иметь положительное и отрицательное 
значения, причем:

 
,
ki
ik
G
G
=

что означает выполнение принципа взаимности.

1.6 Метод эквивалентного генератора

Для нахождения тока в произвольной ветви всю внешнюю 
по отношению к ней электрическую цепь представляют 
в виде некоторого эквивалентного генератора с ЭДС Eэ и с 
сопротивлением Rэ. Тогда ток в этой ветви можно определить 
по закону Ома.
ЭДС эквивалентного генератора Eэ и его внутреннее 
сопротивление Rэ равны соответственно разности потенциалов 
и сопротивлению между точками (узлами) электрической 

цепи, к которым подключена ветвь с искомым током в режиме 
холостого хода, т. е. в режиме, когда эта ветвь отключена.
Искомую 
ЭДС 
можно 
определить 
любым 
методом 
анализа электрических цепей. При определении внутреннего 
сопротивления R источники электрической энергии должны 
быть заменены эквивалентными сопротивлениями: источники 
ЭДС – нулевыми сопротивлениями, т. е. коротким замыканием 
точек их подключения, а источники тока – бесконечно 
большими 
сопротивлениями, 
т. е. 
разрывом 
цепи 
между 
точками подключения.

1.7 Баланс мощностей

Для любой электрической цепи суммарная мощность Pист, 
развиваемая источниками электрической энергии (источниками 
тока и ЭДС), равна суммарной мощности PR, расходуемой 
потребителями (резисторами).
PR = RI2 – мощность, рассеиваемая резистором;
PE = ±EI – мощность источника ЭДС.
Мощности, 
рассеваемые 
резисторами, 
всегда 
положительны, 
в 
то 
время 
как 
мощности 
источников 
электрической 
энергии, 
в 
зависимости 
от 
соотношения 
направлений падения напряжения и тока в них, могут иметь 
любой знак. Если направление протекания тока через источник 
противоположно направлению падения напряжения на нем, 
то мощность источника положительна, т. е. он отдает энергию 
в электрическую цепь. В противном случае мощность источника 
отрицательна, и он является потребителем электрической 
энергии. 
Следует 
заметить, 
что 
направление 
падения 
напряжения 
всегда 
противоположно 
направлению 
ЭДС, 
поэтому для источника ЭДС условием положительной мощности 
является совпадение направлений ЭДС и тока.

ЗАДАНИЕ 1.1
Расчет цепи с одним источником

Для заданной цепи (рисунок 1):
1) методом эквивалентных преобразований рассчитать 
эквивалентное сопротивление цепи;
2) рассчитать токи всех элементов заданной цепи;
3) составить баланс мощностей;

Рисунок 1

Параметры элементов:
UBX = 50 В, R1 = 5 Ом, R2 = 10 Ом, R3 = 15 Ом, R4 = 25 Ом, 
R5 = 10 Ом, R6 = 20 Ом, R7 = 10 Ом, R8 = 5 Ом, R9 = 10 Ом.

Решение:
1 Рассчитаем эквивалентное сопротивление схемы.
1.1 Преобразование начинаем с конца схемы. Заменим 
последовательное 
соединение 
сопротивлений 
R8 
и 
R9 
эквивалентным сопротивлением R89 (рисунок 2):

Рисунок 2

 
89
8
9
5 10
15
R
R
R
=
+
=
+
=
 Ом.

1.2 Заменим параллельное соединение сопротивлений R6 
и R89 эквивалентным сопротивлением R689 (рисунок 3)

Рисунок 3

 
6
89
689
6
89

20 15
8,571
20 15
R
R
R
R
R

⋅
⋅
=
=
=
+
+
 Ом.

1.3 Заменим последовательное соединение сопротивлений 
R7 и R689 эквивалентным сопротивлением R6–9 (рисунок 4)

Рисунок 4

 
6 9
7
689
8,57
10
18,57
R
R
R
− =
+
=
+
=
 Ом.

1.4 Заменим параллельное соединение сопротивлений R5 
и R6–9 эквивалентным сопротивлением R5–9 (рисунок 5)

Рисунок 5

 
5
6 9
5 9
5
6 9

10 18,57
6,5
10 18,57
R
R
R
R
R

−
−
−

⋅
⋅
=
=
=
+
+
 Ом.

1.5 Заменим последовательное соединение сопротивлений 
R3 и R5–9 эквивалентным сопротивлением R35–9 (рисунок 6):

Рисунок 6

 
35 9
3
5 9
6,5 15
21,5
R
R
R
−
−
=
+
=
+
=
 Ом.

1.6 Заменим параллельное соединение сопротивлений R4 
и R35–9 эквивалентным сопротивлением R3–9 (рисунок 7):

Рисунок 7

 
4
3 9
3 9
4
3 9

25 21,5
11,559
25
21,5
R
R
R
R
R

−
−
−

⋅
⋅
=
=
=
+
+
 Ом.

1.7 Заменим последовательное соединение сопротивлений 
R2 и R3–9 эквивалентным сопротивлением R2–9 (рисунок 8):

Рисунок 8

 
2 9
2
3 9
11,56 10
21,56
R
R
R
−
−
=
+
=
+
=
 Ом.

1.8 Заменим параллельное соединение сопротивлений R1 
и R2–9 эквивалентным сопротивлением Rэ = R1–9 (рисунок 9):