Прикладной функциональный анализ

Москва  2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ  
И АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Кафедра автоматизации

А.В. Шаронов
А.О. Маркарян

ПРИКЛАДНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ 
АНАЛИЗ

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3619

УДК  004.056.53 
Ш25

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. Ю.Б. Склеймин (МАИ)

Шаронов А.В.
Ш25  
Прикладной функциональный анализ : практикум / 
А.В. Шаронов, А.О. Маркарян. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2019. – 40 с.

В практикуме рассмотрены отдельные разделы прикладного 
функционального анализа. Показаны особенности применения методов функционального анализа для решения задач автоматизации и 
управления в технических системах. По каждому практическому занятию даны основные теоретические сведения, приведены примеры 
с развернутым решением, предложены задания для самостоятельной 
работы.
Практикум предназначен для обучающихся в магистратуре по направлениям подготовки 15.04.04 «Автоматизация технологических 
процессов и производств» и 27.04.04 «Управление в технических системах». Материалы могут быть полезны аспирантам, осуществляющим научно-исследовательскую деятельность в области динамических систем.

УДК 004.056.53

© А.В. Шаронов,  
А.О. Маркарян, 2019
© НИТУ «МИСиС», 2019

Cодержание

Введение ........................................................................... 4
Тема № 1. Метрические пространства ................................... 5
Тема № 2. Линейные нормированные пространства .............. 14
Тема № 3. Аппроксимация в метрическом пространстве ........ 18
Тема № 4. Отображение линейных пространств входов систем 
на линейные пространства их выходов ................................ 20
Тема № 5. Отображение геометрических фигур  
на плоскости ................................................................... 24
Тема № 6. Ограниченность линейных операторов, заданных 
на векторных пространствах входов. Норма линейного  
оператора ........................................................................ 27
Тема № 7. Построение линейных операторов по заданной 
структурной схеме ........................................................... 32
Библиографический список ............................................... 39

ВВЕДЕНИЕ

Методы функционального анализа широко используются для 
решения задач автоматического управления. Применение этих 
методов обусловлено независимостью от ряда гипотез, выдвигаемых в классической теории автоматического управления: гипотезы о неизменности свойств управляемого объекта во времени, 
гипотезы о нелинейности объекта и гипотезы о независимости 
свойств объекта от его расположения в пространстве. 
Методы функционального анализа дают возможность исследовать свойства операторов систем, заданных на конкретных 
пространствах, образуемых множеством входных воздействий, и 
позволяют решать задачи, для которых классические методы неприменимы, например, задачи, возникающие в нестационарных 
и нелинейных системах.
Предлагаемый практикум структурирован по темам, изучаемым магистрами в рамках дисциплины «Прикладной функциональный анализ». По каждому практическому занятию даны 
краткие теоретические сведения, приведены примеры типовых 
задач с подробным решением, а также предложены задания для 
самостоятельного решения.
Практикум является дополнением учебного пособия А.В. Шаронова «Методы функционального анализа в теории систем автоматического управления».

Тема № 1 

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

Задачи идентификации и диагностики объектов управления 
предполагают необходимость сравнения, по крайней мере, двух 
элементов. Например, принятие решения об исправности объекта осуществляется на основании сравнения результатов наблюдений за входом и выходом с эталонными. Возможность такого 
сравнения обусловлена введением метрики, т.е. определением 
способа вычисления расстояния между элементами в выбранных метрических пространствах.
Определение 1.1. Метрическим пространством называется 
пара (X, ρ), состоящая из некоторого множества (пространства) 
элементов (точек) X и расстояния – однозначной, неотрицательной, действительной функции ρ(x,y), определенной для ∀ x, 
y ∈ X, и подчиненной следующим трем аксиомам:
1) ρ(x,y) ≥ 0, причем ρ(x,y) = 0 тогда и только тогда, когда 
x = y;
2) ρ(x,y) = ρ(y,x) (аксиома симметрии);
3) ρ(x,z) ≤  ρ(x,y) + ρ(y,z) (аксиома треугольника).
Метрическое пространство обозначается, как правило,
R = (X, ρ) или X.

Примеры метрических пространств
1. Пространство изолированных точек:

 

=

= 
≠


0, если 
,
( , ) 
0, если 
.

x
y
x y
x
y  
(1.1)

2. Пространство действительных чисел R1 с расстоянием

 
ρ(x, y) = |x – y|. 
(1.2)

3. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел образует:
3.1. n-мерное арифметическое евклидово пространство Rn, где

 

(
)
(
)

=
ρ
=
−
∑
2

1
.

n

k
k
k
x, y
y
x
 
(1.3)

3.2. Пространство 
1
n
R  с расстоянием

 

(
)

=

ρ
=
−
∑
1
.

n

k
k

k
x, y
y
x
 
(1.4)

3.3. Пространство 
∞
n
R  с расстоянием

 

(
)

≤ ≤

ρ
=
−

1
.
max
k
k

k n
x, y
y
x
 
(1.5)

3.4. Пространство 
n
p
R  (p ≥ 1 – любое фиксированное число), 
где

 

(
)

=



ρ
=
−






∑

1

1
.

n
p
p
k
k
k
x, y
y
x
 
(1.6)

4. Множество непрерывных функций, определенных на [a, b], 
образует:
4.1. Пространство C [a, b] с расстоянием

 

(
)

≤ ≤

ρ
=
−
( )
( ) .
max
a t b
x, y
x t
y t
 
(1.7)

Множество C [0, 1] обозначается C.
4.2. Пространство C2[a, b] с квадратичной метрикой:

 

(
)
(
)
ρ
=
−
∫
2
( )
( )
.

b

a
x, y
x t
y t
dt  
(1.8)

4.3. Пространство C1[a, b] с интегральной метрикой:

 

(
)
ρ
=
−
∫
( )
( )
.

b

a
x, y
x t
y t dt  
(1.9)

5. Пространство C(s)[a, b] функций, определенных на [a, b] и 
имеющих на этом отрезке непрерывные производные s-го порядка с метрикой:

 

(
)

≤ ≤
=
ρ
=
−
∑
0
( )
( ).
 max

s
j
j

a t b
j

d
d
x, y
x t
y t
dt
dt
 
(1.10)

6. Множество всевозможных последовательностей действительных чисел x = (x1, x2, …, xn, …) образует:

6.1. Пространство lp, элементы которого удовлетворяют условию

 

∞

=
< ∞
∑
1
,
p
k
k
x
 

где p ≥ 1 – некоторое фиксированное число, а расстояние определяется

 

(
)

=



ρ
=
−






∑

1

1
.

n
p
p
k
k
k
x, y
y
x
 
(1.11)

При  p = 2 имеем пространство l2 с метрикой

 

(
)
(
)

∞

=
ρ
=
−
∑
2

1
.
k
k
k
x, y
y
x
 
(1.12)

6.2. Пространство m ограниченных последовательностей 
с расстоянием

 

(
)
ρ
=
−
.
sup
k
k

k
x, y
y
x
 
(1.13)

Замечание. Способ введения расстояния между двумя элементами зависит от исходной задачи и влияет на принимаемое решение. Ниже рассмотрены прикладные задачи, определяющие выбор метрики.
1. Для вычисления расстояния между объектами A и B населенного пункта целесообразно ввести метрику в соответствии 
с формулой (1.4), так как путь пролегает там, где проложены дороги, и, соответственно, длина преодолеваемого пути складывается из длин отрезков этих дорог.
2. Задача параметрической идентификации заключается 
в определении параметров модели таким образом, чтобы обеспечить наилучшее совпадение выходных координат моделируемой 
системы и модели. Для ее решения необходимо минимизировать 
функционал ошибки e(t) между выходом системы y(t) и выходом 
модели yм(t). Если выходной сигнал непрерывен, e(t) можно определить с помощью формулы квадратичного расстояния (1.8):

 

( )
(
)
=
−
∫
2
м
0

( )
( )
.

T
e t
y
t
y t
dt

3. Решение об исправности объекта принимается по результатам спектрального анализа выхода z(t). Разложение в ряд Фурье 
эталонного выходного сигнала z*(t), соответствующего исправному объекту, имеет вид

( )

∞

=
=
+∑
*
0
1
cos 
.
n
n
z
t
a
a
nt

По результатам наблюдений за изменением z(t) найдены коэффициенты Фурье cn, и они содержат ошибку cn = an + ε/n, где 
e – малая величина. Тогда

( )

∞

=
=
+∑
0
1
cos 
.
n
n
z t
a
c
nt

Принятие решения об исправности объекта может быть осуществлено путем сравнения разложения Фурье эталонного сигнала z*(t) с разложением Фурье выходного сигнала z(t). В качестве метрического пространства можно выбрать l2 с расстоянием 
(1.14) и определить условие, при котором объект считается исправным, например, при ρ(an, cn) ≤ 1,5ε. Тогда

(
)
(
)

∞
∞

=
=

π
ρ
=
−
= ε
= ε
=
ε <
ε
∑
∑

2
2

2
1
1

1
1,282
1,5 .
6
n
n
n
n
n
n
a ,c
a
c
n

Таким образом, объект исправен.
4. Разрабатывается система контроля, которая должна принять решение о состоянии системы по результатам измерений, 
содержащих ошибки измерения. Пусть измерения содержат малую ошибку η(t) = ε sin t (0 < ε << 1) и проводятся на промежутке времени t ∈ [0, 2p]. В этом случае целесообразно в качестве 
метрического пространства выбрать C [a, b] с расстоянием (1.7). 
Ошибка определяется значением величины ε:

( )

≤ ≤ π
η
=
ε
= ε
0
2
sin 
.
max
t
t
t

Ниже разобраны примеры типовых заданий по данной теме.

Пример 1.1
Определить, является ли метрикой на числовой прямой 
функция

ρ(x, y) = ||x| – |y||.

Решение
Функция является метрикой на некотором множестве, если 
она задает расстояние на этом множестве, поэтому для решения 
задачи необходимо проверить, удовлетворяет ли функция аксиомам расстояния.
Числовая прямая представляет собой множество действительных чисел, обозначим R. Функция ρ(x, y) неотрицательна ∀ x, 
y ∈ R.
Проверим выполнение первой аксиомы: ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y.
Очевидно, что достаточное условие аксиомы выполняется ∀ x, 
y ∈ R:

x = y ⟹ ρ(x, y) = ||x| – |x|| = 0 ⟹ верно.

Проверим необходимое условие первой аксиомы:

ρ(x, y) = ||x| – |y|| = 0 ⟹ x = y или x = – y.

Полученное равенство обращается в тождество как при x = y, 
так и при x = – y, но, согласно первой аксиоме, ρ(x, y) = 0 тогда 
и только тогда, когда x = y, следовательно, необходимое условие 
первой аксиомы не выполняется и ρ(x, y) метрикой на R не является.
Ответ: не является.

Пример 1.2
Является ли метрикой на множестве R действительных чисел 
функция ρ(x, y) = ln |1 + |x – y|| ?
Решение
Функция ρ(x, y) неотрицательна ∀ x, y ∈ R. Проверим, удовлетворяет ли она аксиомам расстояния. 
1) ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y.
Необходимое условие:

ρ(x, y) = ln |1 + |x – y|| = 0 ⟹ 1 + |x – y| = 1 ⟹ x = y ⟹ верно.

Достаточное условие:

x = y ⟹ ρ(x, y) = ln |1 + |x – x|| = ln 1 = 0 ⟹ верно.

Следовательно, первая аксиома выполняется ∀ x, y ∈ R.
2) Аксиома симметрии: ρ(x, y) = ρ(y, x).

ρ(y, x) = ln |1 + |y – x|| = 
= ln |1 + |x – y||  = ρ(x, y) ⟹ верно ∀ x, y ∈ R.

3) Аксиома треугольника: ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z).
В данном случае нужно доказать, что ∀ x, y, z ∈ R 

ln |1 + |x – z|| ≤ ln |1 + |x – y|| + ln |1 + |y – z||

⇔ ln |1 + |x – z|| ≤ ln |(1 + |x – y|)·(1 + |y – z|)|.

Так как ln |t| – монотонно возрастающая функция на всей области определения, достаточно показать, что верно неравенство

1 + |x – z| ≤ (1 + |x – y|)·(1 + |y – z|).

Выполнив преобразования над правой частью, получим

1 + |x – z| ≤ 1 + |x – y| + |y – z| + |x – y| · |y – z| 

⇔ |x – z| ≤ |x – y| + |y – z| + |x – y| · |y – z|.

По свойствам модуля

 
|x – z| ≤ |x| + |z|, 
(*)

|x – y| + |y – z| ≤ |x| + |y| + |y| + |z|.

Добавляя 
справа 
неотрицательную 
составляющую 
2|y| + |x – y| · |y – z|, неравенство (*) усиливается:

|x – z| ≤ |x| + |z| +2|y| + |x – y| · |y – z|⟹ верно.

Третья аксиома выполняется ∀ x, y, z ∈ R.
Функция ρ(x, y) = ln |1 + |x – y|| удовлетворяет всем трем аксиомам расстояния, следовательно, является метрикой на R.
Ответ: является.

Пример 1.3
Найти расстояние между точками A(–2; 4), B(–4; –2) в пространстве R2.

Решение
В двумерном евклидовом пространстве R2 расстояние задается формулой

 
(
)
(
)
(
)
ρ
=
−
+
−
2
2
1
1
2
2
.
x, y
y
x
y
x
 

Подставляя координаты точек A и B, получаем

 
(
)
(
)
(
)
ρ
=
− +
+ − −
=
=
2
2
4
2
2
4
40
2 10.
x, y
 

Ответ: 2 10 .

Пример 1.4
Найти расстояние между функциями x(t) = t2 и y(t) = 2t + 3 
в пространстве C [0, 7/2].
Решение
В пространстве C [a, b] непрерывных действительных функций, определенных на [a, b], расстояние задается формулой (1.7).
Обозначим g(t) = x(t) – y(t) = t2 – 2t – 3.

 

(
)

∈
ρ
=
−
−
2

7
[0, ]
2

2
3 .
max

t
x, y
t
t
 

Для решения необходимо выбрать максимум из значений 
функции g(t) в точках экстремума и на концах отрезка [0, 7/2]. 
Несложно убедиться, что функция g(t) = t2 – 2t – 3 имеет локальный минимум в точке t = 1. Для этого нужно взять производную 
и приравнять ее к нулю. В области [0, 1) функция монотонно 
убывает, а на участке (1, 7/2] – монотонно возрастает. Следовательно:

 

(
)
( )
( )

∈
∈







ρ
=
=
−
−
=












7
7
[0, ]
[0, ]
2
2

7
1
0
,
1 ,
3 ,
4 , 2
4.
max
max
2
4
t
t
x, y
g
g
g
 

Ответ: 4.