Временное и частотное преобразование сигналов в системах управления

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение 
4 

1. Сигнал и его характеристики 
6 

2. Разложение сигналов в ряды по элементарным функциям 
8 

3. Специальные функции 
11 

4. Разложение непрерывного сигнала по специальным функциям.... 14 
5. Классификация функций 
19 

6. Базисные функции 
22 

7. Ортогональное представление сигналов 
22 

8. Частотное представление периодических сигналов 
28 

9. Ряд Фурье и наименьшая среднеквадратическая ошибка 
41 

10. Преобразование Фурье для непериодических функций 
43 

11. Текущий и мгновенный спектры 
63 

12. Дискретный ряд Фурье и дискретное преобразование Фурье 
68 

Заключение 
74 

Библиографический список 
75 

3 

Введение 

Используемые в теории регулирования методы исследования автоматических систем базируются на ряде разделов высшей математики. Математическими моделями систем автоматического регулирования в большинстве случаев являются дифференциальные или 
разностные уравнения, поэтому знание основных разделов теории 
дифференциальных и разностных уравнений необходимо при проектировании и исследовании систем управления. 

При изучении теории дифференциальных и разностных уравнений наиболее целесообразно использовать матричную (векторную) 
форму записи этих уравнений. Матричная форма записи уравнений 
автоматических систем является весьма компактной, что имеет существенное значение при анализе многомерных систем управления. 
Компактность записи уравнений в матричной форме, а также характерные приемы матричного исчисления, связанные с решением уравнений, приводят к упрощению и наглядности самого процесса решения. Понимание основных вопросов теории дифференциальных 
уравнений, а также необходимых элементов матричного исчисления 
и линейной алгебры позволяет, кроме того, овладеть общей теорией 
устойчивости движения и разработанными на основе теории методами исследования устойчивости автоматических систем. 

В теории автоматического управления получили широкое распространение частотные методы анализа и синтеза систем. Частотные 
методы являются весьма удобным инструментом, пригодным для 
суждения об устойчивости системы, точности ее работы, качестве 
переходных процессов и т.д. Математической основой частотных 
методов является спектральное представление сигналов и связанные 
с этими представлениями частотные характеристики системы. В 
свою очередь, спектральные представления непосредственно опираются на ту часть математического анализа, в которой рассматривается теория рядов Фурье и интеграла Фурье. Таким образом, знание 
этих разделов высшей математики необходимо для восприятия частотных методов исследования систем управления. 

Частотные методы предусматривают анализ систем управления в 
комплексной плоскости, поэтому чрезвычайно важным является изучение аппарата теории функций комплексного переменного. 

Одним из важнейших математических инструментов, применяемых при исследовании систем управления, является операционное 

4 

исчисление. Использование методов операционного исчисления при 
интегрировании многих типов дифференциальных, интегродифференциальных и разностных уравнений приводит к упрощению процесса решения, и поэтому операционное исчисление нашло значительное применение в теории управления при определении процессов, происходящих в системах. 

Основная задача, возникающая при исследовании систем автоматического управления, заключается в математическом описании основных устройств системы и модели сигналов рассматриваемой системы. При всем многообразии классификации как устройств, так и 
сигналов прежде всего они (системы и сигналы) подразделяются на 
непрерывные и дискретные. 

Для устройств системы, которые описываются как непрерывными, так и дискретными уравнениями связи, основным классификационным признаком является их принадлежность к линейному или нелинейному классу математических описаний. Он принимается во 
внимание при анализе функционирования и при синтезе системы, 
начиная уже с рассмотрения статических характеристик системы. 
Если элемент системы можно линеаризовать в малых приращениях, 
то такая система может быть линеаризована, в противном случае 
система называется существенно нелинейной. 

В предлагаемом пособии рассматриваются методы преобразования, применяемые в задачах управления как для устройств систем, 
так и для сигналов. 

5 

1. Сигнал и его характеристики 

Передача, преобразование и получение информации в системах 
автоматического управления и связи неразрывно связаны с понятием 
сигнала. 

Сигнал - это материальный носитель информации в широком 
смысле слова. Один и тот же материальный объект, используемый в 
качестве сигнала, может иметь различные математические описания, 
или представления. Под представлением сигналов понимается построение такой их математической модели, которая с достаточной 
полнотой отражала бы основные свойства реальных сигналов, необходимые для решения данной задачи или данной группы задач. 

В реальных системах связи и управления сигнал передается на 
более или менее далекое расстояние чаще всего в виде электромагнитного возмущения, поэтому физической величиной, определяющей характер сигнала, обычно является напряжение (или ток), изменяющееся во времени по определенному закону, отображающему 
передаваемое сообщение. В теоретических исследованиях сигнал, 
независимо от его физической природы, заменяется математическим 
представлением в виде некоторой функции времени, описывающей 
закон изменения во времени, заложенный в реальном сигнале. 

При всем многообразии сигналов для исследования задач автоматического управления наиболее целесообразным представляется использовать следующую классификацию математического представления сигналов: детерминированные сигналы и случайные сигналы. 

Детерминированным (регулярным) называется сигнал, значения 
которого в любые моменты времени являются известными величинами, иначе говоря, регулярный сигнал соответствует известному 
сообщению. 

Выражение регулярного сигнала определенной функцией времени 
называют временным представлением сигнала. Если значения сигнала в любые моменты времени будут случайными величинами, то такой сигнал называется случайным. 

Сигналы каждой из названных групп в свою очередь могут быть 
подразделены на непрерывные и дискретные. 

Непрерывным называется сигнал, являющийся функцией непрерывно изменяющейся независимой переменной t. Сигнал должен 
быть однозначно определен для всех значений t на заданном интервале за исключением, возможно, счетного числа точек. (Определение 
непрерывного сигнала шире, чем математическое определение не
6 

прерывной функции: например, функция, изображенная на рис. 1,а, 
не является непрерывной и терпит разрыв в определенной точке, хотя и описывает согласно приведенному выше определению непрерывный сигнал на интервале 
a<t<b.) 

x(t)i 

X(t)i 

x(t)' 

г) 

о 
1 2 
3 
4 
5 
6 
7 

X(t) 
^ 

6 

4 

2 

-у 
\ \ 
^^ 

1 2 
3 
4 
5 
6 
7 

Рис. 1 

Дискретным называется сигнал, определенный только для последовательности дискретных значений независимой переменной t 
(рис. 1,б-д). Часто при отличных от указанной последовательности 

7 

значениях t сигнал равен нулю, что, однако, несущественно с точки 
зрения приведенного определения. Во многих практически интересных случаях моменты времени, в которые определяется сигнал, равноотстоят друг от друга и обозначаются h^ta + кТ, где Г - промежу­
ток времени между последовательными моментами, а к принимает 
целые значения. В этом случае сигнал зависит от дискретной независимой переменной к. 

Существует и другое определение: дискретным называется сигнал, квантованный по уровню или по времени (или по уровню и по 
времени одновременно). При квантовании по уровню все возможные 
значения сигнала в данный момент времени представляются некоторым конечным числом разрешенных уровней, отстоящих друг от 
друга на конечные интервалы. Квантование можно упрощенно трактовать как округление до ближайшего подходящего значения подобно округлению числа до ближайшего целого, т.е. квантованным по 
уровню сигналом называется сигнал, который может принимать 
только определенное число различных значений. Квантованные по 
уровню сигналы могут быть как непрерывными, так и дискретными. 
При квантовании по времени, как было указано ранее, сигнал представляется своими значениями только в некоторые фиксированные 
моменты времени. 

Однократно квантованный сигнал (т.е. квантованный только по 
уровню или только по времени) иногда рассматривают как дискретно-непрерывный, считая дискретным только сигнал, одновременно 
квантованный как по уровню, так и по времени. Однако чаще пользуются первым определением дискретного сигнала. Является привычным пространственно-временное представление сигналов: различные физические величины, представленные нами как х^ых и х^х 
(например, напряжение электрического тока, положение механических элементов, параметры течения жидкости и т.п.), изменяются во 
времени. Для величин х^ых и х^х, являющихся функциями времени t, 
введем единое обозначение x{t) или х ^f{t). 

2. Разложение сигналов в ряды 
по элементарным функциям 

Одной из основных задач теории управления является задача определения реакции устройства или системы на внешнее входное воздействие. Для определенного вида входных сигналов реакцию системы определить проще, чем при произвольном входном сигнале. 
Для линейных систем справедлив принцип суперпозиции, поэтому 

8 

можно выразить данный произвольный входной сигнал в виде суммы 
элементарных функций, так как если для каждой элементарной 
функции реакция системы известна или может быть легко определена, то для выходного сигнала эту сумму можно записать в виде 

L[ciXi (О + CjXj (01 = c^L{x^ it) + c^L{x^ (0]. 
( 

Данная схема пригодна как для стационарных, так и для нестационарных линейных систем. 

Свойства системы могут быть выражены различными способами: 
при помощи дифференциальных уравнений или путем определения 
реакции системы на определенные элементарные функции. Как правило, можно перейти от одного метода к другому, но этот переход не 
всегда легко осуществить. 

Предположим, что рассматриваемые входные сигналы можно 
представить в виде ряда элементарных функций hi (г = О, 1,2, ...), т.е. 

х^^(0 = ХаД.(0. 

Каждая из составляющих ряда {ki} является функцией времени t. 
Введем параметр X, с помощью которого выделим отдельные элементарные функции; теперь ki может рассматриваться как непрерывная функция времени t и дискретная функция X, и выражение (2) 
можно записать в виде k{t,X). Коэффициенты ряда {щ} - постоянные величины, указывающие на удельный вес элементарных функций, образующих Хех(0, и, конечно, различны для различных элементарных функций. Так как щ являются дискретными функциями времени, то можно записать их в виде а{Х), тогда входной сигнал представится как 

х,ЛО = Х«(^Д). 

функцию 
yt(?,^) называют составляющей или 
элементарной 
функцией, а aQC) - спектральной функцией сигнала ДО по отношению к k{t,X). Реакцию системы на элементарную функцию обозначим как Kit,}.). На основе принципа суперпозиции реакция линейной системы на сигнал x,,(t) 

x^^^-^a(X)K(t,X). 

X 

9 

Для непериодических функций нельзя представить x^^(t) в виде 
счетного множества элементарных функций. В этом случае требуется 
континуальное множество элементарных функций; 
k{t,X)ua{X) 
становятся непрерывными функциями параметра X, и вместо уравнения (3) получим выражение 

m^\a{X)k{t,X)dX. 
(5) 

Функции k{t,X)vL а{Х) по-прежнему называются соответственно 
элементарной и спектральной функциями. Если реакцию линейной 
системы на сигнал k{t,X) обозначить как K{t,X), то реакция на x,^{t) 
будет 

= \a(X)K(t,X)dX. 
x^,Jt)^ja(X)K(t,X)dX 

Параметр X в общем случае может быть комплексной переменной. Пределы суммирования и интегрирования в уравнениях (3)-(6) 
зависят от используемого класса элементарных функций, но в общем 
случае интегрирование должно производиться по всей области параметра X. Для действительного значения X пределы суммирования и 
интегрирования в общем случае берутся от -да до +оо. Описанный 
метод эффективен при соблюдении следующих условий: 

а) существует метод, позволяющий легко определить коэффициенты аСк) для произвольной функции времени; 

б) существует метод, позволяющий легко находить реакцию произвольной линейной системы на элементарную функцию. 

С учетом указанных условий следует выбирать и класс элементарных функций k{t,X). Одними из таких функций являются единичная 
ступенчатая и единичная импульсная функции. Все функции данного 
класса должны совпадать по виду. Единственное отличие разных 
функций одного класса в том, что они «действуют» в различное время. 
В связи с этим Kit,}.) являются различными функциями времени при 
различных значениях параметра X. Так как время непосредственно 
присутствует на всех этапах решения, использование ступенчатой и 
импульсной функций приводит к «временному анализу». 

В качестве k{t,X) при анализе систем автоматического управления 

рассматриваются экспоненциальные функции вида е^', где Х- комплексный параметр: - оо < г < +оо или О < ? < +оо . Однако в этом слу
10 

чае две функции, соответствующие двум различным значениям X, не 
совпадают по виду. (Для стационарных систем K(t,X) не зависит от t.) 

Использование экспоненциальных функций приводит к «частотному анализу в комплексной области», включающему в себя преобразования Фурье и Лапласа. 

Разложение реальных сигналов, действующих в системах управления, на элементарные функции предопределяет вид элементарных 
функций так называемыми специальными функциями, которые являются предметом исследования отдельного раздела курса математики. Для рассматриваемого класса задач приведен узкий диапазон видов специальных функций. 

3. Специальные функции 

Специальными функциями называется класс функций, составляющих основу временного анализа систем. Каждая специальная 
функция и ее производные являются непрерывными функциями времени при всех, кроме одного, действительных значениях времени t. 
Специальные функции могут быть получены одна из другой последовательным дифференцированием или интегрированием. Наиболее 
распространена единичная ступенчатая функция t/_i, показанная на 
рис. 2, а. 

u.,(t) 

U,(t-a) 

а) 

i 

I 
б) 

Можно записать: 

U_,(t) 

Рис.2 

[О при t<0; 

1 при 
t>0. 
(7) 

11 

Хотя значение этой функции в точке разрыва считают иногда равным 
или 1, более распространено считать функцию неопределенной в этой точке. 

Для произвольной функции времени/г'-а) (рис. 2,6) представляют 
собой ДО, смещенную вправо на а единиц. Поэтому вполне логично 
обозначить единичную ступенчатую функцию с разрывом в точке t = а 
в виде 

U-^(t-a) = [О при 
1 при t 

t <а: 

> а. 

(8) 

Следует отметить, что разрыв функции соответствует равенству 
нулю величины в скобках. Таким образом, единичная ступенчатая 
функция равняется нулю или единице, если ее аргумент соответственно отрицательный или положительный. 

U.,(t) 
UJt) 

а) 
б) 

Рис.3 

Интегрируя единичную ступенчатую функцию, получим специальные функции: 

единичную линейную возрастающую (рис. 3,а): 

V 
Го при t<0; 

и_2(0= \u_^(t)dt 
' 

функцию t/_3(0 (рис. 3,6): 

t 
и-ъ{()= 
\ujt)dt 

t при t>0. 

О 

2 

при t<Q; 

при t>Q. 

(9) 

(10) 

12 

Последовательное интегрирование типа (9) и (10) позволяет получить бесчисленное множество специальных функций. Сформируем 
специальные функции посредством последовательного дифференцирования единичной ступенчатой функции с учетом того, что производная от t/_i равна нулю при ?< О и не существует при t>O.C целью более детального изучения рассмотрим функцию вида /_i(0, 
представленную на рис. 4,а, аппроксимирующую единичную ступенчатую функцию. Производная OT/_I(0 равна/О(0 И представлена 
на рис. 4,6: 

f-,(t) 
fo(t) 

а) 
б) 

Рис.4 

fM)^—fM), 
dt 

t 

f_^(t)= \fo(t)dt. 

(11) 

Чем меньше величина А, тем точнее /_i(0 аппроксимирует единичный скачок. При этом/о(0 становится более узким и высоким импульсом, сохраняя ограниченную площадь равной единице. Очевидно, что 

lim/_i(0 = U.i{t) 

за исключением, возможно, t = 0. Предел/о(0 обозначим 

[О при 
t^O, 
|оо при t = 0. 
t/o=lim/o(0 = 

(12) 

(13) 

Uo(t) называется единичной импульсной функцией; ее свойства иллюстрируются рис. 5 (рис. 5,а - в момент времени to, рис. 5,6 - в момент времени ?-а). 

13