Применение метода ЛАЧХ и ЛФЧХ для анализа электронных цепей

УДК 681.5 
К 78 

АННОТАЦИЯ 

В 
учебном 
пособии 
изложены 
основные 
понятия, 
определения, 
а 
также 
приемы 
построения 
логарифмических 
амплитудно- и фазочастотных характеристик. Представлен алгоритм 
применения метода ЛАЧХ и ЛФЧХ для анализа электронных цепей. 
Рассмотрены конкретные примеры анализа дифференцирующих и 
интегрирующих цепей. Даны задачи для самостоятельного решения. 

© Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС) 2001 

КРАСНОПОЛЬСКИЙ Александр Евгеньевич 
СЕРОВА Нина Александровна 
ДУШИН Андрей Николаевич 

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАЧХ И ЛФЧХ ДЛЯ 
АНАЛИЗА ЭЛЕКТРОННЫХ ЦЕПЕЙ 

Учебное пособие 
для практических занятий для студентов специальностей 070900, 
120900, 220200, 200100, 200200 

Рецензент доц. каф. электротехники и интроскопии МЭИ 
Князьков М.О. 

Редактор Кравченко Т.А. 

Объем 39 стр. 
Тираж 140 экз. 

Заказ 
Цена “С” 
Регистрационный № 377 

Московский государственный институт стали и сплавов, 
119991 Москва, Ленинский пр-т, 4 
Отпечатано в типографии издательства «Учеба» МИСиС, ул. Орджоникидзе, 8/9 

СОДЕРЖАНИЕ 

1. Построение логарифмических амплитудно- и 
фазочастотных характеристик (диаграмм Боде) 
4 

1.1. Методика построения 
4 

1.2. Алгоритм построения асимптотических 
частотных характеристик 
10 

1.3. Задачи для самостоятельного решения 
11 

2. Применение метода ЛАЧХ и ЛФЧХ для анализа 
дифференцирующих цепей 
12 

2.1. Описание дифференцирующих цепей 
12 

2.2. Дифференцирующая RC-цепь 
13 

2.3. Задачи для самостоятельного решения 
16 

3. Применение метода ЛАЧХ и ЛФЧХ для анализа 
интегрирующих цепей 
17 

3.1. Описание интегрирующих цепей 
17 

3.2. Интегрирующая RC-цепь 
17 

4. Применение метода ЛАЧХ и ЛФЧХ для анализа 
активных дифференцирующих и интегрирующих 
цепей на операционном усислителе 
24 

4.1. Операционный усилитель (ОУ) 
24 

4.2. Активная дифференцирующая цепь на ОУ 
26 

4.3. Активная интегрирующая цепь на ОУ 
27 

4.4. Активный полосовой фильтр 
30 

5. Применение программ для анализа частотных 
характеристик электронных схем 
34 

Рекомендуемая литература 
38 

3 

1. ПОСТРОЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ 
АМПЛИТУДНО- И ФАЗОЧАСТОТНЫХ 
ХАРАКТЕРИСТИК (ДИАГРАММ БОДЕ) 

1.1. Методика построения 

Логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики (ЛАЧХ, ЛФЧХ), или асимптотические диаграммы, предложенные Боде, являются приближенным методом ускоренного построения частотных и фазовых характеристик для линейных аналоговых 
схем, систем автоматического регулирования. Они являются удобным средством анализа устойчивости линейных систем и служат для 
расчета корректирующих цепей. 

Амплитудночастотные характеристики строятся в логарифмическом масштабе. По оси ординат откладывают отношение амплитуд выходного и входного сигналов, выраженное в децибелах. 

Децибел ([дБ] – русское обозначение, [dВ] – международное) – это специальная единица, определяемая отношением мощностей P1 и P2 или амплитуд A1 и A2 двух сигналов. 

Иными словами, отношение мощностей, равное 1,25893, или 
амплитуд сигналов, равное 1,12202 соответствует 1 дБ в логарифмических единицах: 

1 дБ = 10 lg(P2/P1); 1 дБ=20 lg(A2/A1) 
(1.1) 

P2/P1 = 100,1 = 1,25893; A2/A1 = 100,05 = 1,12202 
(1.2) 

Принято по оси абсцисс диаграмм Боде откладывать отношение частот сигналов (или частоту) в логарифмическом масштабе. Логарифмический масштаб удобен для графического представления 
частотных характеристик, так как, во-первых, позволяет свести все 
операции умножения и деления числовых выражений к простым 
операциям сложения и вычитания их логарифмов, во-вторых, проанализировать поведение частотных характеристик в достаточно широком диапазоне частот. 

4 

Отношение частот двух гармонических колебаний называется 
интервалом, интервал, соответствующий удвоению частоты, октавой, а изменению частоты в десять раз - декадой. 

Например, увеличению частоты в 4 раза соответствует интервал в две октавы, в 8 раз - интервал в три октавы и т. д. Если задан 
интервал частот co1/co0 или f1/f0, где со - круговая частота, f - линейная 
частота, то число октав N 0 согласно определению может быть найдено из формулы: 

N 0 = l o g 2 ( 1 ) « 3 , 3 2 l g ( 1 ) ; 
1 = 2N 0. 
(1.3) 

CO0 
CO0 
CO0 

Часто интервал оценивают не в октавах, а в декадах. 
Декада - интервал частот, отличающихся друг от друга в 
10 раз; например, интервалы частот co1/co0 или f 1/f0 от 0,1 до 1; от1 до 
10;от 10 до 100; … одинаковы и равны одной декаде, а весь интервал 
от 0,1 до 1000 равен 4 декадам. 

Число декад определяется по формуле: 

Ng =lg( 
1 ). 
(1.4) 

ω0 

Удобство логарифмических характеристик заключается в 
возможности их аппроксимации отрезками прямых - асимптотами, 
имеющими различные углы наклона. Углы наклона этих кривых 
обычно выражают в децибелах на декаду - [дБ/дек] или в децибелах 
на октаву [дБ/ок]. 

Для построения диаграмм Боде передаточную функцию цепи 
в области комплексной частоты удобно представить в виде отношения двух полиномов: 

ω
ω 
) 
ω ) 
(1 + j 
)(1 + j 
... (1 + j 
ω 01 
ω 02 
ω 0n 

K(j ω) = K 
= K-ej^, 
(1.5) 

0 
) 
(1 + 
)(1 + j 
... (1 + 
) 

ωn1 
ωn2 
ωnq 

где CO0 i, G>ni - корни полинома в числителе - нули и в знаменателе полюса, соответственно; 
K, ф - модуль и фаза частотнофазовой характеристики, соответственно. 

5 

Тогда выражение для амплитудно-частотной характеристики 
(АЧХ) можно представить в виде 

K (ω) = |^(7ω0)| = '^0 

(1 + ( 
))...(1 + ( 
) ) 

ωШ 
On 

2 
ω 
2 
(1 + ( 
))...(1 + ( 
) 

(1.6) 

ω 1 n 
ω ng 

а выражение для логарифмической амплитудно-частотной 
характеристики (ЛАЧХ) в этом случае будет иметь вид 

n 
д 

20lg|^(7ω)| = 20lg^0 +10^lg(1 + ( 
)2)-10^lg(1 + ( 
)2), (1.7) 

y=1 

Окончательно выражение для ЛАЧХ представляют следующим образом: 

K (ω) = ^ 0 +10 n lg 

г=1 

ω 

\.ω 0 j 
10Xlg 

ω 

v ω y 

(1.8) 

где К0 - число, представляющее коэффициент передачи на нулевой 
частоте, [дБ]. 
Члены передаточной функции могут быть представлены следующими выражениями: 

20lg 
ω 
и -20lg. 
ω 

ω n^ 
; 
(1.9) 

при ω » ω 0 ; 20 lg 
ω 
«20lg 
ω 
(1.10) 

при ω « ω n^ -20lg 
«-20lg 
ω 
ω 
(1.11) 

В полулогарифмическом или логарифмическом масштабах 
выражения (1.9)-(1.11) можно представить отрезками прямых линий. 

6 

2 

Таким образом, в результате аппроксимации модуль частотной характеристики состоит из константы и абсолютных углов наклона 
прямых к оси абсцисс, например: 

20lg2 = 6 дБ/октаву 
или 
20lg10 = 20дБ/декаду; 
изменение наклона происходит соответственно в точках излома характеристики: 

ω = ω 0г 
и 
ω = ω„j. 

При ω < ω 0г и при ω > ω „j участки АЧХ представляют собой 
полупрямые, лежащие на оси абсцисс (0 дБ). 

Пример. Построить 
асимптотическую 
характеристику 
модуля 
(ЛАЧХ) трехкаскадного операционного усилителя. Уравнение передаточной характеристики схемы имеет вид 

K „ = 
1000 

j f 

2 103 

f 
j
4 
4 10 

j 
f 

(1.12) 

1,2 105 

Решение 

Запишем выражение для логарифмической амплитудночастотной характеристики (ЛАЧХ) схемы: 

К^ (ω) = 20 lg(1000) - 20 lg 
f 

2 103 

(1.13) 

-20lg. 
f 

4 104 

-20lg 
f 

1,2 105 

, [дБ]. 
(1.13) 

Поскольку 20lg(1000) = 80 дБ - на диаграмме это прямая линия на уровне 80 дБ. Изломы характеристики соответствуют частотам 2 103 Гц, 4 104 Гц, 1,2 
105 Гц. Абсолютные углы наклона прямых составляют -20 дБ/дек (рис. 1.1). 

7 

Рис. 1.1. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика 

(ЛАЧХ) 

Результирующая характеристика представляет собой сумму 
отрезков по участкам. 

Фазочастотная характеристика комплексной передаточной 

функции ~^ выглядит следующим образом: 

(ω) = arctg ω 

ω 01 + arctg 

ω 

ω02 
arctg 

ω 

ω0; 
arctg 

ω 

- arctg 

ω 

ω n2 

- . . . - arctg 

n2 

ω 

ω nq 
nq 

(1.14) 

Рассмотрим отдельную фазовую характеристику вида 

(ω) = arctg ω 

ω 1 

(1.15) 

. 

8 

Эта фазовая характеристика может быть аппроксимирована 
отрезками прямых линий следующим образом: 

ф = 

0,ω<(ω 1/10) 

o 
45°(1 + lg ω Vω 1 

ω 1 
\ 1 J 10 

<ω<10ω 1. 
(1.16) 

IV 
90°,ω>10ω 1 

В логарифмическом масштабе диаграмма фазового сдвига 
может быть представлена тремя отрезками прямых, изломы характеристики соответствуют частотам со/10, 10соi. Ее наклон составляет 
45град/дек. 

Построим асимптотическую характеристику фазы (ЛФХЧ) 
для рассматриваемого примера. 

Для этого запишем выражение для логарифмической фазочастотной характеристики в следующем виде: 

/ ω 
i f 
ща) = arctg 

2-10 

arctg 
f 
4-104 
arctg 
f 

V 1,2-105 

(1.17) 

Далее строим три характеристики, которые, исходя из вышеизложенной методики, можно представить в таком виде: 

0,f<2-103 10 = 2-102 

ф1 = 
-45°,еслиf = 2-103 ; 

-90°,еслиf>2-104 

0,еслиf<4-103 

Ф2 = -45°,еслиf = 4-104; 
(118) 

90°,еслиf>4-105 

0,еслиf<1,2-104 

Ф3= 
45°,еслиf = 1,2-105. 

-90°,еслиf>1,2-106 

Результирующая характеристика представляет собой сумму 
трех построенных характеристик (рис. 1.2). 

9 

Рис. 1.2. Логарифмические фазо-частотные характеристики (ЛФЧХ) 

1.2. Алгоритм построения 

асимптотических частотных 

характеристик 

Алгоритм построения ЛАЧХ. 
1. Выражение для комплексного коэффициента передачи 
представляют в виде произведения полиномов 1-ой степени в числителе и знаменателе. 

2. Каждый ноль в числителе изображают 2-мя полупрямыми 
линиями: на уровне 0 дБ при со < со 0; и с наклоном 20 дБ/дек при 

со > СО0г. 

3. Каждый полюс изображают полупрямой на уровне 0 дБ 
при со < со„д и полупрямой с наклоном -20 дБ/дек при со > со„д 

4. Результирующая ЛАЧХ есть сумма ЛАЧХ отдельных 
звеньев, причем, Дсо) изображается в дБ, а со - в логарифмическом 
масштабе. 

Алгоритм построения ЛФЧХ. 
1. Каждый член выражения для комплексного коэффициента передачи в числителе представляют значением фазы 90 ° для 
со > 10со0 ; 0 для со < со 0/10; отрезком прямой, проходящей через точки 
со = со0 /10 и 10со0г а также +45 ° для со = со0;. 

10 

2. Каждый член этого выражения в знаменателе представляется значением фазы -90 ° для со > 10соnj; 0 для со <соnj/10, отрезком 
прямой, проходящей через точки со = соnj/10 и 10соnj, а также -45 ° для 

СО 
VJ nj. 

3. Результирующая ЛФЧХ есть сумма ЛФЧХ отдельных 
звеньев. 

1.3. Задачи для самостоятельного 
решения 

Задача 1.1. Построить асимптотические диаграммы Боде 
(ЛАЧХ и ЛФЧХ) по заданному комплексному коэффициенту передачи: 

f 
1 + j 
K 1 =50 
. 

1 + j f— 
100 

Задача 1.2. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ по заданному комплексному коэффициенту передачи: 

f 

K 2 =100 
00 
. 

1 + j f 
1000 

Задача 1.3. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ по заданному комплексному коэффициенту передачи: 

~ = 
50 

3 
f (1 
f 
. 

1001^ 
1000 j 

Задача 1.4. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ по заданному комплексному коэффициенту передачи: 

ω Л 
ω 
j — 
1 + — 
~ = 
6281^ 
314 

4 
ω У 
ω 
1 + j — 
1+j 

628)\ 
1256 

11