Планирование эксперимента

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 3237 

Кафедра электротехники 
и информационно-измерительных систем 

П.Е. Степанов 

ПЛАНИРОВАНИЕ 
ЭКСПЕРИМЕНТА 

Учебно-методическое пособие 
по анализу и обработке 
экспериментальных данных 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2017 

УДК 681.518 
 
С79 

 

Степанов П.Е. 
С79  
Планирование 
эксперимента : учеб. 
метод. 
пособие / 
П.Е. Степанов. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2017. – 22 с. 
 

Целью изучения дисциплины является приобретение знаний и навыков 
по организации экспериментально-измерительного процесса, знакомство с 
основными принципами работы измерительных приборов и измерительных 
систем, с методами получения, оценки и обработки полученных результатов. 
 
УДК 681.518 

 
 П.Е. Степанов, 2017 
 

НИТУ «МИСиС», 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .......................................................................................... 4 
Планирование эксперимента ............................................................... 5 
1. Типы величин ............................................................................... 5 
    Случайная величина ............................................................... 5 
    Постоянная величина ............................................................. 5 
    Изменяющаяся величина ....................................................... 6 
2. Виды измерений .......................................................................... 6 
    Прямые .................................................................................... 6 
    Косвенные ............................................................................... 6 
    Совместные ............................................................................. 6 
3. Методики получения результата ................................................ 7 
    Абсолютные ............................................................................ 7 
    Относительные ....................................................................... 7 
4. Типы погрешностей измерения .................................................. 7 
Основные типы погрешностей .................................................. 7 
    Погрешность ........................................................................... 7 
    Промахи или грубые погрешности ....................................... 8 
    Приборная погрешность ........................................................ 8 
    Модельная погрешность ........................................................ 8 
    Случайная погрешность......................................................... 8 
5. Обработка результатов измерения ............................................. 9 
Учет погрешностей результата измерений .............................. 9 
Определение необходимого числа измерений ........................ 9 
Виды распределения .................................................................. 10 
Биноминальное распределение ................................................. 10 
Распределение Пуассона............................................................ 11 
Нормальное распределение (Гаусса) ........................................ 11 
Показательное распределение ................................................... 12 
Равномерное распределение ...................................................... 12 
Правило « стандартов» .............................................................. 12 
Оценка экспериментальных данных......................................... 14 
Примеры проверки гипотез ....................................................... 14 
Интерполяция ............................................................................. 17 
Метод наименьших квадратов .................................................. 18 
Ведение лабораторного журнала .............................................. 20 
Список литературы ............................................................................... 21 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Возрастающая скорость получения, обработки информации и увеличение ее объемов – все это выдвигает новые требования к организации, планированию и математическому аппарату. При этом необходимо учитывать, что увеличение технической оснащенности эксперимента неизбежно приводит к возрастанию затрачиваемых ресурсов. 
Развитие математических методов и вычислительной техники 
расширяет возможности обработки экспериментальных данных. Основной задачей планирования эксперимента является оценка соотношения между затратами, в том числе временными, с одной стороны, и объемами, а так же ценностью информации – с другой.  

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА 

Целью изучения дисциплины является приобретение знаний и 
навыков по организации экспериментально-измерительного процесса, знакомство с методами получения, оценки и обработки полученных результатов. 

1. Типы величин 

Случайная величина. Такая физическая величина связана со 
случайными процессами, поэтому результат отдельного измерения 
не может быть однозначно предсказан заранее. Вместе с тем проведение достаточно большого количества измерений случайной величины позволяет установить, что результаты измерений отвечают 
определенным статистическим закономерностям. Их выявление, изучение и учет составляют неотъемлемую часть любого эксперимента. 
В качестве случайных величин можно рассматривать, например, 
громкость звука в фиксированный момент времени, отклонение значения амплитуды сетевого напряжения от номинальной величины, 
время, необходимое для распада ядра радиоактивного атома, и т.п. 
 
Постоянная величина. К таким величинам должны быть отнесены физические постоянные, например, скорость света в вакууме, заряд электрона, постоянная Больцмана и т.п. Можно считать постоянными величинами также некоторые характеристики конкретного 
объекта, находящегося при фиксированных условиях. Этот тип физических величин чаще всего встречается в экспериментах, например, при определении длины образца, его массы, теплоемкости и т.п. 
Однако многократные измерения постоянной величины могут дать 
неодинаковые результаты. Дело в том, что результаты измерений 
подвержены неконтролируемым, а значит, неучтенным влияниям 
многочисленных воздействий внешней среды, включая неконтролируемые процессы в исследуемых объектах и используемых измерительных приборах. Вследствие этого постоянная величина зачастую 
проявляет себя как случайная величина, а результаты ее измерений 
отражают случайную природу воздействий и отвечают определенным статистическим закономерностям. Именно поэтому для обработки результатов измерения постоянной величины естественно использовать методы, характерные для обработки результатов измерения случайной величины.  

Изменяющаяся (переменная) величина. Такая величина закономерно меняется с течением времени вследствие процессов, проходящих 
в исследуемом объекте. Примерами могут служить: скорость сложной 
химической реакции, затухание амплитуды колебаний свободного маятника и т.п. Измерения, проводимые в различные моменты времени, 
фиксируют величину в новых условиях. Набор результатов однократных измерений представляет собой результаты принципиально неповторимых измерений, так как время нельзя повернуть вспять, а измерение в целом не может расцениваться как многократное.  
Особого внимания заслуживает нестабильная величина. Она 
меняется с течением времени без каких бы то ни было статистических закономерностей. К основной характеристике нестабильной величины следует отнести отсутствие у экспериментатора информации 
о ее зависимости от времени. Измерения такой величины дают набор 
данных, не несущих сколько-нибудь полезных сведений. Вместе с 
тем нестабильная величина может быть переведена в разряд изменяющихся величин, если экспериментально или теоретически установлена закономерность в зависимости ее от времени.  

2. Виды измерений 

Прямыми называют измерения, при которых искомая величина 
прямо пропорциональна измеряемой величине. При прямых измерениях непосредственно определяется измеряемая величина. 
Например, измерение тока амперметром, размера линейкой, определение массы на весах и т. п.  
Косвенные измерения, при которых искомая величина представляется как явная функция непосредственно измеряемых величин. 
При косвенных измерениях результат получают после прямых измерений ряда величин, связанных с искомой величиной известной зависимостью. 
Например, электрическое сопротивление определяют при помощи 
вольтметра и амперметра, емкость или индуктивность по резонансной частоте колебательного контура. 
Совместные – многократные измерения, в уравнениях которых 
искомые величины представляют собой неявные функции непосредственно измеренных величин, для определения их функциональной 
зависимости. 

3. Методики получения результата 

Абсолютные измерения позволяют определить значения измеряемой величины непосредственно в установленных для нее единицах. 
Относительные измерения дают результат сравнения двух значений однородных величин, указывающий, насколько или во сколько 
значение искомой величины отлично от измеряемой. 

4. Типы погрешностей измерения 

Погрешность – количественная характеристика неоднозначности 
результата измерения. Ее оценивают исходя из всей информации, 
накопленной при подготовке и выполнении измерений. Эту информацию обрабатывают для совместного определения окончательного 
результата измерения и его погрешности. Окончательный результат 
нельзя расценивать как «истинное значение» измеряемой физической 
величины, так как в этом нет смысла из-за наличия погрешности.  
Погрешность может быть выражена в единицах измеряемой величины x, в таком случае она обозначается Δx и носит название абсолютной погрешности. Однако абсолютная погрешность не отражает 
качества измерений: например, абсолютная погрешность 1 мм при 
измерении размеров помещения свидетельствует о высоком качестве 
измерения, та же погрешность совершенно неприемлема при измерении диаметра тонкой проволоки.  
Критерием качества измерения является отношение абсолютной 
погрешности к окончательному результату измерения: 

 
x
x
x

 
 

Это отношение безразмерно. Величину δx называют относительной погрешностью и используют как в абсолютном, так и в процентном выражении. Высокой точности измерения соответствует 
малое значение относительной погрешности.  

Основные типы погрешностей 

Промахи или грубые погрешности возникают вследствие неисправности измерительных приборов или ошибок в эксперименте, 
сделанных по невнимательности. Естественно стремление избегать 
промахи, но, если стало понятно, что они все-таки допущены, соответствующие им результаты измерений необходимо отбросить и при 
возможности повторить эксперимент в этой области значений. 

Приборная погрешность – систематическая погрешность, присутствующая в результатах измерений, выполненных с помощью 
любого измерительного прибора. Приборная погрешность, как правило, неизвестна и не может быть учтена. Ее можно оценить только 
путем сравнения показаний прибора с показаниями другого, более 
точного. Иногда результаты специально проведенного сравнения 
приводят в паспорте прибора, однако чаще указывают максимально 
возможную погрешность для приборов данного типа.  
Модельная погрешность. В основу любого экспериментального 
исследования, сопряженного с измерениями, заложена модель. Модель содержит физическое описание исследуемого объекта или процесса, которое позволяет составить его математическое описание, а 
именно, набор функциональных соотношений, включающих физические величины. Неверно построенная модель, в которой не нашли 
отражения какие-то важные процессы или факторы, влияющие на 
результат измерений, также приводит к несоответствиям. Как следствие измеряемые в эксперименте величины, вычисляемые по полученным из модели рабочим формулам, содержат погрешности, которые носят название модельных погрешностей. К разряду модельных 
может быть отнесена погрешность взвешивания на рычажных весах. 
Согласно закону Архимеда, вес тела и гирь уменьшается из-за действия выталкивающей силы воздуха. Напомним, что вес 1 м3 воздуха 
равен примерно 10 ньютонов. Для того чтобы правильно найти массу 
взвешиваемого тела, нужно ввести поправки на потерю веса гирями 
и самим телом. Вместе с тем, как и при любых измерениях, здесь необходим разумный подход. Например, при работе с грубыми техническими весами бессмысленно вводить поправку на Архимедову силу, так как она окажется много меньше погрешностей, вносимых в 
результат измерения гирями и самими весами.  
Случайные погрешности. При повторных измерениях погрешности этого типа показывают свою случайную природу. Возникают 
они вследствие множества причин, совместное воздействие которых 
на каждое отдельное измерение невозможно учесть или заранее 
установить. Такими причинами могут оказаться, к примеру, незначительные колебания температуры различных деталей и узлов установки, скачки напряжения, вибрации, турбулентные движения воздуха, 
трение в механизмах, ошибки считывания показаний приборов и т.п. 
Единственно возможный способ объективного учета случайных погрешностей состоит в определении их статистических закономерностей, проявляющихся в результатах многократных измерений. Рас

считанные статистические оценки вносят в окончательный результат 
измерения.  
Основным типом погрешностей, изучению которых посвящено 
последующее изложение, являются случайные погрешности. Они 
поддаются строгому математическому описанию, что позволяет делать выводы о качестве измерений, в которых они присутствуют.  

5. Обработка результатов измерения 

Учет погрешностей результата измерений 

Строгого решения задачи об оценке общей погрешности не существует. Однако можно применить методику расчета, которая дает 
удовлетворительный результат, хотя и не может быть строго обоснованной. Вытекает она из следующих соображений. Допустим, что 
для общей погрешности установлены границы 
Δ

. Тогда значение 
погрешности лежит в какой-то точке, преимущественного положения 
которой в заданном интервале указать нельзя, ее положение можно 
считать равномерным. Поэтому вместо неизвестного значения погрешности можно ввести «эквивалентную» случайную величину. 
Помимо случайной погрешности, при использовании в эксперименте каких-либо измерительных приборов необходимо учитывать 
приборную (систематическую) погрешность. В паспорте прибора 
принято указывать предел допустимой погрешности θ, означающий 
максимально возможную погрешность при рекомендованных условиях работы прибора. Если бы приборная погрешность была распределена по нормальному закону, то из такого определения θ следовало 
бы, что распределение характеризуется средним квадратичным отклонением: 

 
3

 
 

Определение необходимого числа измерений 

Для уменьшения абсолютной погрешности измерений используют 
различные методы численной обработки экспериментальных данных. 
Можно доказать, что среднее значение от измеряемой величины 
имеет меньшую абсолютную погрешность, чем отдельная измеряемая величина. 

1

1
n

i
i

x
x
n

 

 
Действительно, если принять, что случайные ошибки имеют как 
положительные, так и отрицательные значения и распределены симметрично, то при суммировании должны частично компенсироваться.  
Оценить ошибку полученной величины можно как среднее квадратичное отклонение. 

 




2

1

1
1

n

i
i

x
x
n

 

 
 
Отсюда можно утверждать, что при увеличении количества изме
рений – n, случайная ошибка уменьшается пропорционально 1
n
.  

Виды распределения 

Измеряемые величины, представленные в числовой форме, из-за 
неточности измерений или воздействия внешних и временных факторов подчиняются определенным статистическим законам распределения. Теоретически должно существовать множество видов распределения, но, как правило, с удовлетворительной точностью полученные результаты удается привести к одному из основных законов 
распределения. Рассмотрим некоторые из них.  

Биноминальное распределение 

Существуют процессы, в которых величины принимают только 
фиксированные значения, такие величины называются дискретными. 
Примером таких процессов можно считать: результат броска игральной кости, попадание в цель при стрельбе, рождение мужской или 
женской особи и пр. 
Если испытания имеют только два исхода с вероятностью соответственно p и q = 1 – p , то вероятность k исходов из n испытаний 
определяется формулой Бернулли: 

 
 




!
1
!
!

n k
k
n
n
P k
p
p
k
n
k





 

Распределение называется Биноминальным и определяется формулой: 

 


1
n
p
q

  
В общем случае, когда исходов больше двух с вероятностями pi , 
то вероятность определяется как слагаемое бинома по обобщенной 
формуле: 

 
1
1

n
m

i
i
p




 





 

Распределение Пуассона 

При большом количестве испытаний n число событий с вероятностью p равно np = λ. Тогда по формуле Бернулли:  

 
 



!
1
!
!

k
n k

n
n
P k
k
n
k
n
n





 




 



 

 
Можно доказать, что 

 
 
lim
!

k

n
n
P k
e k





 
Отсюда следует: 

 
 
!

k

nP k
e k



 
Примером распределения Пуассона является количество бракованных деталей в партии, количество вызовов АТС, количество сбоев работы аппаратуры и пр. 

Нормальное распределение (Гаусса) 

Случайные величины могут быть не только дискретными, тогда речь 
идет о вероятности попадания величины в определенный интервал. 

 
 


2

2
2

2

x x
e
f x







