Неопределенный интеграл

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК

ИНФРА-М

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

И.Г. ЛУРЬЕ

2018

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
Л86

Лурье И.Г.
Неопределенный интеграл: учеб. пособие / И.Г. Лурье. — 

М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2018. — 112 с.

ISBN 978-5-9558-0280-0 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-006214-3 (ИНФРА-М)

Пособие написано в соответствии с действующей учебной про
граммой по математике для вузов. Содержит большое количество типовых примеров с подробным решением. В конце каждой темы даны 
упражнения для самостоятельной работы.

Предназначено для студентов первых курсов всех специальностей 

и имеет целью помочь студентам овладеть методами и техникой интегрирования. Может быть использовано также студентами старших 
курсов.

Л86

© Вузовский учебник, 2013

Подписано в печать 25.02.2013. Формат 6090/16. Бумага офсетная 

Гарнитура Newton. Усл. печ. л. 6,86. Уч.-изд. л. 5,12. ПТ20.

ТК 402950-11854-250213

ООО «Издательский Дом «Вузовский учебник»

127247, Москва, ул. С. Ковалевской, д. 1, стр. 52

www.vuzbook.ru

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

E-mail: books@infra-m.ru        http://www.infra-m.ru

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»

127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1

Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

Р е ц е н з е н т ы :
Е.Н. Кикоть, д-р пед. наук, профессор;
Т.П. Фунтикова, канд. физ.-мат. наук, доцент

ISBN 978-5-9558-0280-0 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-006214-3 (ИНФРА-М)

ФЗ 

№ 436-ФЗ

Издание не подлежит маркировке 
в соответствии с п. 1 ч. 2 ст. 1

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73

ВВЕДЕНИЕ

Приступая к изучению темы «Неопределенный интеграл», необходимо знать таблицу производных, общие правила и методы дифференцирования. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию. Однако интегрирование значительно сложнее дифференцирования. Так, если нахождение производной элементарных 
функций производится по установленным правилам и формулам 
(некоторому алгоритму), то вычисление интегралов – задача сложная, она требует знания различных методов интегрирования, логического мышления, индивидуального подхода и времени.
Чтобы правильно выбрать метод интегрирования, удачно применить подстановку или просто преобразовать подынтегральное выражение и свести данный интеграл к табличному, нужен большой опыт 
и практика. Обучаемый должен приложить огромное старание для 
приобретения умения и навыков интегрирования.
Настойчивость и желание, помноженные на кропотливый труд, 
обязательно приведут к успеху.

Единственный путь, ведущий
к знанию, – деятельность.
Бернард Шоу

§ 1. Первообразная функция. 
Неопределенный интеграл
 
Литература: [9, ч. 1, гл. Х, § 1–3], [3, § 5.1] 

Во многих теоретических и прикладных вопросах математического анализа приходится решать задачу, обратную дифференцированию, а именно: по заданной производной 
′
=
F
x
f x
( )
( ), или, что 
то же самое, по заданному дифференциалу dF(x) найти первоначальную функцию F(x).

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке изменения переменной х, если в 
каждой точке этого промежутка производная функции F(x) равна 
f(х), или, что то же самое, дифференциал функции F(x) равен выражению f(x)dx, т.е.

′
=
F
x
f x
( )
( ),

или

dF x
f x dx
( )
( )
.
=

Например, функция F(x)  12x3 является первообразной для функции 
f(x)  36x2, так как
(12x3)  36x2,  или  d(12x3)  36x2dx.
Функция F x
x
( )
cos
=
2
 является первообразной для функции 

f x
x
( )
sin
,
= −2
2
 так как

(cos
)
sin
,
(cos
)
sin
.
2
2
2
2
2
2
x
x
d
x
x dx
′ = −
= −
  
  
или

Функция F x
x
( )
ln
=
2
 является первообразной для функции f x
x
x
( )
ln ,
= 2
 
так как 

(ln
)
ln ,
(ln
)
ln
.
2
2
2
2
x
x
x
d
x
x
x
dx
′ =
=
или

Если функция f (x) имеет первообразную F (x), то она имеет 
 бесконечное множество первообразных, причем все первообразные 
содержатся в выражении F (x)  C, где C — произвольная постоянная.

Например, для функции f x
e

x
( ) = 1
2
2  первообразной будет функция

F x
e

x
( )
,
=
2  так как 

e
e

x
x
2
2
1
2

⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟
′
=
.

Однако функции F x
e

x

1
2
10
( ) =
+
, F x
e

x

2
2
5
( )
,
=
−
F x
e

x

3
2
( )
,
=
+ π
F x
4( ) =

=
−
e

x
2
3
ln , ...,
 
F
x
e
C
m

x
( ) =
+
2
 также будут первообразными для функции

f x
e

x
( )
,
= 1
2

2  так как

e
e
e
e
e

x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
10
1
2
5
1
2
1
2
+
⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟
′
=
−
⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟
′
=
+
⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟

′
=
,
,
  
  
π
e

e
e
e
C
e

x

x
x
x
x

2

2
2
2
2
3
1
2
1
2

,

ln
, ...,
.
−
⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟
′
=
+
⎛

⎝⎜
⎞

⎠⎟

′
=
  
  

Свойства первообразных

Свойство 1. Если функция F(x) есть первообразная для функции 
f (x), а функция Ф(x) — первообразная для функции (x), то функ ция 
F(x) + Ф(x) есть первообразная для функции f (x) + (x), т.е.

( ( )
( ))
( )
( ),
F x
x
f x
x
+
′ =
+
Φ
ϕ

или

d F x
x
f x
x dx
( ( )
( ))
( ( )
( ))
.
+
=
+
Φ
ϕ

Свойство 2. Если функция F(x) есть первообразная для функции 
f (x), а k — произвольная постоянная, то функция kF(x) — первообразная для функции kf (x), т.е.

(
( ))
( ),
kF x
kf x
′ =

или

d kF x
kf x dx
(
( ))
( )
.
=

Свойство 3. Если функция F(x) есть первообразная для функ
ции f (x), а k и b — постоянные, причем k  0, то 1
k F kx
b
(
)
+
 есть первообразная для функции f (kx + b), т.е.

1
k F kx
b
f kx
b
(
)
(
),
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
′
=
+

или

d k F kx
b
f kx
b dx
1
(
)
(
)
.
+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+

Примеры. Найти общий вид первообразных для следующих 
функций:

1. f x
x
x
( ) =
+
3
2
1 .

Решение. Так как для x3 одна из первообразных есть x4

4 , а для
1

2
x

одной из первообразных является − 1

x ,  то согласно свойству 1

одной из первообразных для функции f x
x

x

( ) =
+
3

2
1  будет функция 

F x
x

x
( )
.
=
−

4

4

1  Общий вид всех первообразных будет представлять 

функция 

F x
x

x
C
( )
.
=
−
+

4

4

1

2.
f x
x
( )
cos .
= 5

Решение. Так как для cos  x одна из первообразных есть sin  x, то согласно свойству 2 получаем 

F x
x
C
( )
sin
.
=
+
5

3.
y
x
=
−
sin(
).
3
2

Решение. Для sin  x одной из первообразных является cos  x, поэтому, 
применяя свойство 3, имеем

F x
x
C
( )
cos(
)
.
= −
−
+
1
3
3
2


Задача. Материальная точка массой 2 кг движется по оси Ох

под действием силы, направленной вдоль этой оси. В момент времени t эта сила равна F(t)  3t  2. Найти закон движения S(t) точки, 
если известно, что скорость точки при t  2 c равна 3 м/с.

Решение. Согласно второму закону Ньютона F  ma, где a — ускорение. Учитывая условие m  2, получаем

a t
F
m
t
( )
.
=
=
−
3
2
1

Скорость v (t) точки есть первообразная для ее ускорения a(t), по
этому

v t
t
t
C
( )
.
=
− +
3
4

2

1

Постоянную C1 находим из условия v (2)  3:

3
4 4
2
3
2
1
1
⋅
−
+
=
=
C
C
,
.

Тогда

v t
t
t
( )
.
=
− +
3
4
2
2

Функция S(t) есть первообразная для скорости v (t), поэтому

S t
t
t
t
C
( )
.
=
−
+
+
1
4

1
2
2
3
2

2

Постоянную C2 находим из условия S(2)  1:

1
4 8
1
2 4
4
1
3
2
2
⋅ −
⋅
+
+
=
= −
C
C
,
.

Итак, закон движения точки:

S t
t
t
t
( )
.
=
−
+
−
1
4

1
2
2
3
3
2


Определение. Совокупность всех первообразных функции  f (x) 
называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается 
f x dx
( )
∫
.

Таким образом, по определению

f x dx
F x
C
( )
( )
,
∫
=
+

где f (x) — подынтегральная функция; f (x)dx — подынтегральное 

выражение; x — переменная интегрирования; С — произвольная 
постоянная.

Отыскание неопределенного интеграла от функции f (x) называ
ется интегрированием этой функции.

Геометрически в системе координат xОy графики всех первооб
разных функций от данной функции f (x) представляют семейство 
кривых, зависящих от одного параметра С, которые получаются одна 
из другой путем параллельного сдвига вдоль оси Oy (рис. 1).

Рис. 1

y

х
О

Основные свойства неопределенного интеграла

Свойство 1. Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции, т.е.

f x dx
f x
( )
( ).
∫(
)′ =

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен 
подынтегральному выражению, т.е.

d
f x dx
f x dx
( )
( )
.
∫(
) =

Свойство 3. Интеграл от дифференциала некоторой функции 
равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

dF x
F x
C
( )
( )
.
=
+
∫

З а м е ч а н и е. Знаки интеграла и дифференциала, если они стоят рядом, 
взаимно уничтожаются.

Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак 
неопределенного интеграла, т.е.

kf x dx
k
f x dx
( )
( )
,
∫
∫
=

где k  const.

Свойство 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы 
конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов 
от этих функций, т.е.

f x
x dx
f x dx
x dx
( )
( )
( )
( )
,
±
(
)
=
±
∫
∫
∫
ϕ
ϕ

если интегралы в правой части равенства существуют.

Свойство 6. Если 
f x dx
F x
C
( )
( )
=
+
∫
 и u
x
= ( )
ϕ
 — некоторая дифференцируемая функция от x, то

f u du
F u
C
( )
( )
.
∫
=
+

Это свойство называется свойством инвариантности (постоянства) 
интеграла. 
Основные формулы интегрирования I–XVII представлены таблицей простейших интегралов (см. Приложение 3). В этих формулах 
a — постоянная, u — независимая переменная или любая дифференцируемая функция от независимой переменной. При вычислении 
интегралов будем пользоваться этой таблицей.

Примеры. Найти следующие интегралы:

1.

dx

x5
3∫
.

Решение. Применяя формулу I (см. Приложение 3) при a
u
x
= −
=
5
3,
,

получаем 

dx

x

x
dx
x
C
x
C

x
5
3

5
3

5
3 1
2
3

5
3
1
2
3

3

2
∫
∫
=
=

−
+

+
=

−

+
= −

−

− +
−

2
3
+ C.

2.
dt

t2
3
+
∫
.

Решение. Согласно формуле X при u
t a
=
=
,
3  получаем

dt

t

t
C
2
3

1

3
3
+

=
+
∫
arctg
.

3.
dϕ

ϕ2
5
−
∫
.

Решение. Согласно формуле XII при u
a
=
=
ϕ,
5  получаем

d
C
ϕ

ϕ

ϕ
ϕ

2

2

5

5

−

=
+
−
+
∫
ln
.

З а м е ч а н и е. Справедливость формул интегрирования, а также каждый 
результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования, 
ибо, как было упомянуто, интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.

4.
3
5
z
z dz
⋅
∫
.  Проверить результат дифференцированием.

Решение. Согласно формуле IV при u
z a
=
=
,
15  получаем

3
5
15
15

15

z
z
z

z

dz
dz
C
⋅
=
=
+
∫
∫
ln
.

Проверка. Находим дифференциал полученной функции и убеж
даемся, что он равен подынтегральному выражению:

d
C
C
d
z
dz

z
z

z
z
15

15

15

15

1
15 15
15
15
ln
ln
ln
ln
.
+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =
+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟
′

=
⋅
=
z
d


Упражнения. Найти следующие интегралы:

1)







7)
8)
9)

10)
5

2
dx

x
cos
;
∫
11)
dβ

β2
4
−
∫
;
12)
γ
γ
γ
4
7
d
∫
;

13)
dy

y
81
2
−
∫
;
14)
32

4

w

w dw
∫
;
15)
ds

s
7
2
sin
.
∫

dx

x3
∫
;

du

u2
3∫
;

dy

y
3
2
∫
;

dϑ

ϑ2
3
+
∫
;

dr

r
2
2
−
∫
;

dϕ

ϕ
2 −
∫
;

dz

z2
7
+
∫
;

3
3
x
x
e
dx
∫
;
sin
;
ada
∫