Основы цифрового управления : анализ и синтез цифровых систем управления. Ч. 2

№ 597

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Кафедра компьютерных информационных и управляющих
систем автоматики

Г.Г. Шапкарина

Основы цифрового
управления

Анализ и синтез цифровых систем
управления

Учебное пособие
Часть 2

Рекомендовано редакционноиздательским
советом университета

Москва   Издательский Дом МИСиС
2009

УДК 681.5.011 
 
Ш23 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. С.Н. Богданов 

Шапкарина Г.Г. 
Ш23  
Основы цифрового управления. Анализ и синтез цифровых систем управления: Учеб. пособие. Ч. 2. – М.: Изд. Дом 
МИСиС, 2009. – 143 с. 

Является продолжением учебного пособия «Основы цифрового управления. Основные понятия и описание цифровых систем управления. Часть 1». 
Представлены основные методы цифрового описания сигналов и сиcтем, 
используемые при решении задач анализа систем цифрового управления. 
Предназначено для студентов специальности 220301. 

© Государственный технологический  
университет «Московский институт 
стали и сплавов» (МИСиС), 2009 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

3. Математическое описание дискретных систем управления.............4 
3.1. Анализ последовательностей .......................................................4 
3.2. Линейные разностные уравнения ................................................9 
3.3. Дискретное преобразование Фурье............................................18 
3.4. Дискретное преобразование Лапласа ........................................21 
3.5. Z-преобразование.........................................................................25 
3.6. Дискретная передаточная функция............................................27 
Примеры решения задач и контрольные задания к разделу 3........30 
4. Анализ импульсных систем...............................................................48 
4.1. Устойчивость линейных дискретных систем............................48 
4.2. Анализ качества и точности импульсных систем.....................73 
5. Синтез импульсных систем ...............................................................94 
5.1. Принцип регулирования с помощью ЦВМ...............................94 
5.2. Дискретное представление дифференциальных 
уравнений непрерывных ПИД-регуляторов ..................................101 
5.3. Алгоритмы управления первого и второго порядков ............107 
5.4. Алгоритмы управления с заданным начальным 
значением управляющей переменной ............................................109 
5.5. Модификации дискретных алгоритмов управления ..............111 
5.6. Методы выбора периода квантования в системах НЦУ........124 
5.7. Алгоритмы синтеза регуляторов НЦУ ....................................133 
Заключение............................................................................................141 
Библиографический список.................................................................142 
 

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ 
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ 

3.1. Анализ последовательностей 

Дискретные и цифровые системы управления отличаются от непрерывных или аналоговых тем, что сигналы в одной или нескольких 
точках этих систем представляют собой последовательность импульсов или цифровой код. 
Следует иметь в виду, что квантование по времени делает систему 
автоматического управления дискретной, а квантование по амплитуде приводит систему к нелинейной. Для упрощения практических 
расчетов можно использовать квантование по времени. ЦВМ объединяет в единой системе значительное количество нелинейных элементов и обладает переменной структурой, изменяющейся по командам управляющих устройств. 
Цифровые и дискретные системы – это системы, обрабатывающие 
дискретный набор дискретных значений сигнала. Интервал дискретизации по уровню определяется разрядностью АЦП и уменьшается с увеличением разрядности, интервал же дискретизации по времени определяется частотой дискретизации АЦП и уменьшается с ее ростом. Изменение сигнала происходит с изменением времени, и дискретный набор 
значений сигнала соответствует разным моментам времени. Большинство дискретных сигналов имеет именно такую природу. Следует учитывать, однако, что практический интерес могут представлять также 
сигналы, зависящие не от времени, а от какой-либо другой непрерывной 
величины, например от пространственной координаты.  
Дискретный сигнал может быть определен как счетный (на практике, 
разумеется, конечный, но для удобства аналитического рассмотрения 
имеет смысл учесть вариант бесконечного числа отсчетов) набор величин, заданных в моменты времени xΔ и принимающих непрерывный 
ряд значений. Дискретный сигнал называется конечным, если он имеет 
конечное число отличных от нуля значений, и ограниченным, если сумма абсолютных значений его отсчетов конечна, или, иными словами, 
тот сигнал x, для которого ряд значений является сходящимся. 
Примером дискретного сигнала может служить сигнал, значения 
отсчетов которого определяются выражением 
(
)
sin
;
m
x nT
U
n T
=
ω

2
,f
ω = π
 xn = Asin(ωnΔ). Такой сигнал называют гармоническим сиг

налом с амплитудой A и частотой ω. Частота ω  называется циклической частотой и имеет физический смысл «количество радиан в 

единицу времени» в отличие от частоты 
2
f
ω
=
π , имеющей смысл 

«количество периодов в единицу времени». 
Для математического описания дискретного сигнала используется 
«решетчатая функция» (последовательность, временной ряд) x[nT], 
которая может принимать любые значения в некотором интервале 
a < t < b, в то время как независимая переменная n принимает лишь 
дискретные значения, причем n = 0, 1, …; T – интервал дискретиза
ции; 
1

nf
T
=
 – частота дискретизации. Таким образом, теория дис
кретных систем связана с описанием и обработкой временных и частотных последовательностей. 
Используются и иные способы обозначения решетчатой функции: 
x[n], xn, когда интервал дискретизации тем или иным способом нормирован и остается постоянным, или {x[nT]}, когда необходимо подчеркнуть, что речь идет о решетчатой функции в целом, а не об отдельном значении (отсчете) этой функции при t = nT. Конечная последовательность, т.е. дискретный сигнал, число отсчетов которого 
конечно, представляет собой вектор и часто обозначается через x. 
Например, конечная последовательность, состоящая из трех отсчетов 
x[0] = 1, x[T] = – 2, x[2T] = 5, может быть задана в следующей форме: 
x = [1, –2, 5]T, где T – символ транспонирования. 
Последовательность может быть получена несколькими способами. Проще всего взять набор чисел и расположить в виде последовательности. Например, числа 0, 1, 2, …, (N – 1) образуют пилообразную последовательность x(n) = n, 0 ≤ n ≤ N – 1. Другой способ состоит в использовании некоторого рекуррентного соотношения. Напри
мер, равенство 
(
1)
( )
2

x n
x n
−
=
 с начальным условием x(n) = 0 дает 

последовательность 
1
( )
2

n

x n
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
, 0 ≤ n ≤ ∞. Третий способ – взять 

равноотстоящие отсчеты непрерывного колебания и из их величин 
образовать последовательность, т.е. положить 
(
)
( ) t nT
x nT
x t
=
=
, где 

T – интервал дискретизации. Обычно для получения последовательностей методом дискретизации непрерывных колебаний используются аналого-цифровые преобразователи. Первые два метода полу

чения последовательностей не связаны с временем, тогда как третий 
существенно от него зависит. 
Часто полезным и информативным является графическое изображение последовательностей. Для получения графического изображения последовательности (рис. 3.1) n0-й элемент последовательности 
изображается отрезком соответствующей длины, проведенным от 
оси абсцисс из точки n = n0. Во многих случаях нет смысла изображать каждую выборку, достаточно провести только огибающую последовательность, как показано на рис. 3.1. 

 
 
a 
б 
в 

Рис. 3.1. Геометрическая интерпретация решетчатой функции:  
а – аналоговый сигнал; б – решетчатая функция;  
в – модифицированная решетчатая функция 

Ниже приведены (и графически изображены на рис. 3.2) некоторые важные последовательности, часто используемые в цифровых 
системах управления. На рис. 3.2, а показан цифровой единичный 
импульс (или единичный отсчет), который определяется следующим 
образом: 

 
0
1, при
0;
[ ]
0, при
0.

n
x n
n
=
⎧
= ⎨
≠
⎩
 

В дискретных системах этот импульс играет такую же важную 
роль, как единичный сигнал (или дельта-функция) в непрерывных 
системах. Важное различие между ними состоит в том, что первый 
является физически реализуемым сигналом, тогда как второй рассматривается только как обобщенная функция. 
На рис. 3.2, б изображен единичный импульс, задержанный на n0 
отсчетов, который определяется так: 

 
0

0
0

0

1, при
;
[
]
0, при
.

n
n
x n
n
n
n

=
⎧
−
= ⎨
≠
⎩
 

На рис. 3.2, в представлен единичный скачок u–1(n), заданный следующим образом: 

 
1
1, при
0;
[ ]
0, при
0.

n
x
n
n
−
≥
⎧
= ⎨
<
⎩
 

Единичный скачок связан с единичным импульсом соотношением 

 
1
0
[ ]
( )

n

l

x
n
u l
−
= ∑
. 

Убывающая экспонента x(n) и косинусоида x(n) определяются соответственно как 

 
, при
0;
[ ]
0, при
0

n
a
n
x n
n

⎧
≥
⎪
= ⎨
<
⎪⎩
 

и 

0

2
( )
cos
n
x n
n
⎛
⎞
π
=
⎜
⎟
⎝
⎠
 для всех n. 

 
 
a 
б 
в 

Рис. 3.2. Некоторые важные последовательности, используемые 
при описании цифровых систем управления 

Дискретный сигнал может быть вещественным или комплексным. 
В первом случае отсчеты принимают лишь вещественные значения, 
во втором – комплексные. Примером комплексной последовательности является комплексная экспонента 
cos(
)
sin(
)
j n
e
n
j
n
ω =
ω
+
ω
. Поскольку эта последовательность является комплексной, для ее изображения необходимы раздельные графики вещественной и мнимой 
частей. 

Произвольную последовательность легко выразить через основную последовательность (единичный импульс), используя задержку 
и масштабирование; например числовая последовательность a(0), 
a(1), a(2), …(где a(n) – величина n-го элемента) описывается равен
ством 
0
{ ( )}
( )
(
)

m

a n
a m u
n
m

∞

=−∞
=
−
∑
. 

Дискретная система по существу является алгоритмом преобразования одной последовательности (называемой входной) в другую 
(называемую выходной). Функционально входная и выходная последовательности связаны соотношением x(n) = ψ [x(n)], где вид оператора ψ [·] зависит от свойств конкретной системы. 
В дальнейшем рассматриваются линейные дискретные системы с 
постоянными параметрами (ЛПП-системы). 
Цифровой сигнал описывается квантованной решетчатой функцией (квантованной последовательностью, квантованным временным 
рядом) xц[nT], т.е. решетчатой функцией, принимающей лишь ряд 
дискретных значений – уровней квантования h1, h2, …, hn, в то время 
как независимая переменная n принимает значения 0, 1, …; таким 
образом, можно записать: 

 
xц[nT] = OK(Umsin nωT); ω = 2πf; Um = 1 В; 

 
1
1
Гц;
;
1
0,95(
1),
2
4
f
T
h
t
c
π
=
=
= − +
−
π
 

где t = 1, 2, …, K, здесь K = 9, а нелинейная функция OK(p) определяется следующим образом: 

 

2
1
1

1
1

1

при
;
2

при
;
2
2

при
,
2, 3,...,
1.
2

l
l
l
l
K
l

K
K
K

h
h
h
p

h
h
h
h
O
h
p

h
h
h
p l
K

−
+

−

+
⎧
≤
⎪
⎪
+
+
⎪
=
<
≤
⎨
⎪
+
⎪
<
=
−
⎪⎩

 

Частотный спектр дискретного процесса. При рассмотрении 
непрерывных сигналов основополагающее значение имеет понятие 
спектра сигнала. 
Понятие спектра дискретного сигнала можно ввести, если поставить ему в соответствие непрерывный сигнал, представляющий со

бой набор δ-функций, сосредоточенных в моменты времени t = nΔ  
(часто ΔT обозначается как Δ) и имеющих амплитуды xnΔ. 
 Множитель Δ в выражении введен для того, чтобы определенные 
интегралы от непрерывного сигнала не зависели от интервала дискретизации по времени. При неизменном интервале дискретизации 
этот множитель можно опустить. Спектром дискретного сигнала x, 
таким образом, называют величину 

 

2
1
*

0

(
)
,
,..., 0,...,
.
2
2

kn
N
j
N
n
k
k

N
N
F x
F
x e
n

π
−
−

=
≡
=
= −
∑
 

Если отсчеты сигнала являются чисто действительными, то спектр 
является симметричной функцией. Таким образом, спектр дискретного сигнала обладает свойством периодичности. Периодичность 
спектра присуща именно дискретным сигналам и обусловлена тем, 
что само понятие «частота» определено для дискретного сигнала неоднозначно. Так, например, гармонический сигнал с частотой 
ω + 2πΔ совпадает с гармоническим сигналом с частотой ω:  

2
sin
sin
2
sin(
2
)
sin(
).
A
n
A
n
n
A
n
n
A
n
⎛
⎞
π
Δ
⎛
⎞
⎛
⎞
ω+
Δ =
ω Δ + π
=
ω Δ + π
=
ω Δ
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
Δ
Δ
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
 

Если непрерывный сигнал имеет верхнюю граничную частоту ωВ , 

т.е. сосредоточен в полосе частот [−ωВ +ωВ], то при его дискретиза
ции с интервалом дискретизации Δ периодические повторы его спектра не будут накладываться друг на друга при выполнении условия 

B
B

1

2 f

π
Δ ≤
=
ω
. Сформулированное выше условие соответствует тео
реме Котельникова и обычно определяет частоту дискретизации непрерывных сигналов.  

3.2. Линейные разностные уравнения 

Для математического описания линейных дискретных систем используется аппарат разностных уравнений. По своей структуре эти 
уравнения во многом напоминают дифференциальные уравнения непрерывных систем. 
Разностные уравнения и решетчатые функции. Для получения 
разностного уравнения достаточно любую дискретную функцию, 
зависящую от другой дискретной функции, представить в рекур

рентной форме. Линейное разностное уравнение порядка m имеет 
вид 

 
1
0
1
( )
(
1)
...
(
)
( )
(
1)
...
(
)
m
m
y k
a y k
a y k
m
b x k
b x k
b x k
m
+
−
+
+
−
=
+
−
+
+
−
. (3.1) 

Здесь аргумент kТ0 заменен индексом k. Величину выходного сигнала при любом k можно вычислить с помощью рекуррентной формулы 

 
1
0
1
( )
(
1) ...
(
)
( )
(
1) ...
(
)
m
m
y k
a y k
a y k
m
b x k
b x k
b x k
m
= −
−
−
−
−
+
+
−
+
+
−
,(3.2) 

если известны текущее значение входного сигнала x(k) и m предшествующих значений x(k – 1), …, x(k – m) , а также соответствующие 
значения выходного сигнала y(k – 1), …, y(k – m). 
Другой способ построения разностных уравнений состоит в дискретизации дифференциальных уравнений. При этом дифференциальное уравнение первого порядка аппроксимируется разностным 
уравнением первого порядка, дифференциальное уравнение второго 
порядка – разностным уравнением второго порядка и т.д. При замене 
дифференциалов левыми разностями справедливы следующие соотношения: 

 
0

2

2
0

:

d ( )
( )
(
)
lim
;
d

d ( )
d (
)
d
( )
d
d
lim
.

d

t

t

первая производная

вторая производная

Непрерывная функция

x t
x t
x t
t
t
t

x t
x t
t
x t
t
t
t
t

Δ →

Δ →

−

−

−
− Δ
=
Δ

− Δ
−
=
Δ

2

:

( )
( )
(
1);

( )
( )
(
1)

( )
2 (
1)
(
2).

разность первого порядка

разность второго порядка

Дискретная функция

x k
x k
x k

x k
x k
x k

x k
x k
x k

−

−

Δ
=
−
−

Δ
= Δ
− Δ
−
=

=
−
−
+
−

 

Описанные выше способы аппроксимации дают удовлетворительные результаты только в тех случаях, когда такт квантования 
мал по сравнению с постоянной времени. 
Выражение (3.1) является наиболее распространенной формой записи разностных уравнений. Если использовать разности высших 
порядков вплоть до m-го, разностное уравнение можно представить в 
виде, аналогичном дифференциальному уравнению: 

1
1
1
0

1
1
1
0

( )
( )
...
( )
( )

( )
( )
...
( )
( ).

m
m
m
m

m
m
m
m

y k
y k
y k
y k

x k
x k
x k
x k

−
−

−
−

α Δ
+ α
Δ
+
+ α Δ
+ α
=

= β Δ
+ β
Δ
+
+ β Δ
+ β
 
(3.3) 

Прямой и обратный разностные операторы. С помощью уравнений в конечных разностях оперируют с функциями дискретной 
переменной. Оператор сдвига E определяется в виде 

 
E[x(k)] = x(k + 1). 

Последовательное применение этого оператора дает выражение 

 
E2[x(k)] = E[Ex(k)] = x(k + 2), 

или, в общем случае, выражение вида 
 
En[x(k)] = x(k + n), 
(3.4) 
для любого положительного целого числа n. 
Разностный оператор Δ определяется как Δx(k) = x(k + 1) – x(k), 
поэтому можно записать: 

 
Δx(k) = (E – 1)x(k), 

где операторы Δ и E связаны соотношением 
 
Δ = E – 1. 
(3.5) 
Δx(k) называется первой разностью функции x(t). Разности высшего порядка определяются следующим образом (графическая иллюстрация приведена на рис. 3.3): 

 
Δ2x(k) = Δ[Δx(k)] = x(k + 2) – x (k + 1) + x(k); 
 
Δ3x(k) = Δ[Δ2x(k)] = x(k + 3) – x(k + 2) + x(k + 1) – x(k) 

или, в общем случае, соотношением 

 

0

( )
( 1)
(
)

n
n
r

r

n
x k
x k
n
r
r
=

⎛ ⎞
Δ
=
−
+
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
, 
(3.6) 

где n

r

⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
 означают биномиальные коэффициенты.  

Выражение (3.6) совместно с уравнениями (3.4) и (3.5) позволяет 
получить выражение для определения разности n-го порядка: 

 

0

( )
(
1)
( )
( 1)
( )

n
n
n
r
n r

r

n
x k
E
x k
E
x k
r

−

=

⎛ ⎞
Δ
=
−
=
−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
.