Математика : числовые, функциональные ряды, ряды Фурье

Москва  2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математики

МАТЕМАТИКА

ЧИСЛОВЫЕ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ,  
РЯДЫ ФУРЬЕ

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 2782

УДК  517.518.45 
М34

Р е ц е н з е н т ы  : 
д-р. техн. наук, проф. В.В. Шевелев (МТУ);
д-р техн. наук, проф. А.М. Лыков (ГУЗ)

А в т о р ы  :  
П.В. Макаров, А,Э. Адигамов, Н.В. Семенова, Ф.Л. Дамиан

 
 
Математика : числовые, функциональные ряды, ряды Фурье : учеб. пособие / П.В. Макаров [и др.]. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2019. – 105 с.
ISBN 978-5-906846-54-9

Учебное пособие охватывает содержание нескольких основных разделов 
программы курсов «Математика», «Математический анализ» и «Интегральное исчисление и ряды». Оно призвано помочь студентам как при выполнении 
домашних заданий и подготовке к контрольным работам, так и в самостоятельном изучении дисциплины. В нем кратко даны основные понятия теории 
числовых, функциональных и степенных рядов, а также рядов Фурье. Материал дан в объеме, достаточном для понимания различных курсов, изучаемых 
в дальнейшем. Также рассмотрены различные приложения теории рядов.
Теоретический материал сопровождается разобранными примерами и задачами для внеаудиторного решения, что необходимо для самостоятельной 
работы обучающихся.
Рекомендуется обучающимся всех специальностей, а также магистрам и 
аспирантам.
УДК 517.518.45

 Коллектив авторов, 2019
ISBN 978-5-906846-54-9
 НИТУ «МИСиС», 2019

М34

Оглавление

Введение ....................................................................................................4
1. Числовые ряды ......................................................................................6
1.1. Понятие числового ряда. Основные определения ........................ 6
1.2. Некоторые свойства числовых рядов ............................................. 9
1.3. Ряды с неотрицательными членами .............................................. 14
1.4. Знакопеременные ряды .................................................................. 25
2. Функциональные ряды .......................................................................33
2.1. Основные определения ................................................................... 33
2.2. Степенные ряды .............................................................................. 37
2.3. Радиус сходимости степенного ряда ............................................. 39
2.4. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов ........ 46
2.5. Ряды Тейлора и Маклорена ............................................................ 47
2.6. Разложение некоторых элементарных функций  
в ряд Маклорена ..................................................................................... 49
2.7. Применение степенных рядов к приближенным  
вычислениям ........................................................................................... 61
3. Ряды Фурье ..........................................................................................69
3.1. Периодические функции ................................................................ 69
3.2. Гармонические колебания .............................................................. 69
3.3. Ортогональные системы функций 
и тригонометрические ряды ................................................................. 71
3.4. Разложение функций в ряд Фурье  
на отрезке [–π, π]  ................................................................................... 76
3.5. Разложение четных и нечетных функций в ряд Фурье .............. 79
3.6. Разложение функций в ряд Фурье заданных на полупериоде ......80
3.7. Примеры разложения функции в ряд Фурье 
и суммирования числового ряда с помощью ряда Фурье ................. 81
3.8. Ряд Фурье функции с произвольным периодом .......................... 88
3.9. Комплексная форма ряда Фурье .................................................... 94
3.10. Комплексная форма ряда Фурье 
периодической функции с периодом 
2
T =
 ..................................... 97
Домашнее задание ...................................................................................99
Библиографический список .................................................................102
Приложение. Ряды Тейлора основных элементарных функций  
при x0 = 0 (т.е. ряды Маклорена) .........................................................103

ВВЕДЕНИЕ

Ряды являются важным математическим аппаратом, применяемым 
для вычислений и исследований как в различных разделах самой математики, так и во многих ее приложениях.
Решение многих задач сводится к вычислению значений функций 
и интегралов или к решению различных уравнений. Однако точное 
выполнение указанных математических операций во многих случаях 
оказывается весьма затруднительным или даже невозможным. В этих 
случаях можно получить приближенное решение многих задач с любой желаемой точностью с помощью рядов.
Метод разложения в функциональный ряд (и прежде всего в степенной ряд) является эффективным методом изучения функций, вычисления и оценок интегралов, решения всевозможных уравнений 
(алгебраических, дифференциальных, интегральных) и т.п. Мощным 
методом исследования является гармонический анализ, основанный 
на представлении периодических функций рядами Фурье. 
Простейшие случаи вычисления рядов с конечным числом членов (арифметических и геометрических прогрессий) встречаются 
в египетских папирусах и вавилонских клинописях, относящихся ко 
II тысячелетию до н.э. Древние греки обогатили учение о простейших рядах новыми предложениями и впервые рассмотрели ряды 
с бесконечным числом членов (именно убывающие геометрические 
прогрессии).
В XVII в. разработка исчисления бесконечно малых потребовала специальных исследований о рядах. Принципиальный шаг вперед сделал И. Ньютон, пришедший в 1665–1666 гг. к идее представления функций степенными рядами и придававший разложениям 
в ряд огромное значение. Он получил разложения (
)
1

m
x
+
, ln(1
)
x
+
, 
ex, arcsin x , sin x , cos x . У И. Ньютона степенные ряды становятся 
важнейшим средством вычисления и выражения функций, а также 
интегрирования функций и обыкновенных дифференциальных уравнений. Такое же применение, как у И. Ньютона, получили степенные 
ряды у Г. Лейбница, первым открытием которого в этой области были 

разложение arctg x  и ряд для 
1
1
1
1
...
4
3
5
7
π = −
+
−
+
.

В XVIII в. область применяемых в анализе рядов расширилась. 
Появились работы Б. Тейлора, К. Маклорена, Ж. Д’Аламбера, Ж. Ла

гранжа и др. Огромное число работ по рядам принадлежит Л. Эйлеру, 
который в 1748 г. вводит тригонометрический ряд.
Только в начале XIX в. ряды перестают быть лишь средством исследования и становятся сами объектом изучения. Построение теории 
рядов явилось одним из главных моментов проведенной в первой половине XIX в. реформы математического анализа. Теорию рядов значительно обогатили работы О. Коши, Н. Абеля, П. Дирихле, Б. Римана и многих других ученых. 

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

1.1. Понятие числового ряда. Основные 
определения

Определение. Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел 
1
2
,
,...,
,...
n
a a
a
. Составленный из этих чисел символ

 

1
2
1
...
...
n
n

n

a
a
a
a

¥

=
+
+
+
+
= å
 
(1.1)

называется числовым рядом, а сами числа 
1
2
3
,
,
, ...,
, ...
n
a
a
a
a
 называются членами ряда, член ряда 
n
a  с произвольным номером – общим членом ряда или n-м членом ряда.
Поясним это определение.
Определение. Суммы конечного числа членов ряда:

1
1
S
a
=
,

2
1
2
1
2
S
a
a
S
a
=
+
=
+
,

3
1
2
3
2
3
S
a
a
a
S
a
=
+
+
=
+
, … ,

1
2
3
1
...
n
n
n
n
S
a
a
a
a
S
a
=
+
+
+
+
=
+

называются частичными суммами ряда.
На основании определения число членов ряда бесконечно, поэтому 
частичные суммы ряда также образуют бесконечную последовательность – последовательность частичных сумм 
1
2
3
,
,
, ...,
, ...
n
S
S
S
S
 .
Определение. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится к какому-нибудь числу S , кото
рое называется суммой ряда, т.е. 

1
n
n

a
S

¥

=
=
å
. Если этот предел равен 

¥  или не существует, то ряд называется расходящимся.
Рассмотрим, например, ряд, являющийся суммой членов бесконечной геометрической прогрессии

  
2
3

1
1
1
1
1
1

0
...
...
n
n

n
b
b q
b q
b q
b q
b q

¥

=
+
+
+
+
+
+
= å
, 
(1.2)

где 1
0
b ¹
.
Известно, что сумма первых n  членов геометрической прогрессии

 

1
1
1
1
1
1
1

n
n

n
b
b q
b
b q
S
q
q
q
=
=
, 
(1.3)

где 
1
q ¹
.

Рассмотрим четыре случая:
1) если 
1
q <
, тогда 
0
n
q
®
 при n ® ¥  и 
1
lim
1
n
n
b
S
q
®¥
=
 и, сле
довательно, ряд (1.2) сходится и его сумма равна 
1
1
b
S
q
=
;

2) если 
1
q >
, тогда 

n
q
® +¥ при n ® ¥  и lim
n
n
S
®¥

 не существует, и, следовательно, ряд (1.2) расходится;

3) если 
1
q =
, тогда ряд имеет вид 
1
1
1
1
1
...
...
b
b
b
b
b
+
+
+
+
+
+
 и 

1
n
S
b n
=
, поэтому lim
n
n
S
®¥

= ¥ , и, следовательно, ряд (1.2) расходится;

4) 
если 
1
q = - , 
тогда 
ряд 
имеет 
вид 

1

1
1
1
1
1
...
( 1)
...
т
b
b
b
b
b
+
+
+ +
. Если n  – четное, то 
0
n
S
=
, если 

n  – нечетное, то 
1
n
S
b
=
, поэтому lim
n
n
S
®¥
 не существует и, следовательно, ряд (1.2) расходится.
Вывод: сумма членов бесконечной геометрической прогрессии является рядом, который сходится тогда и только тогда, когда 
1
q <
.

Пример 1. Ряд 0
0
0
0
...
0
...
+
+
+
+
+
+
 сходится и его сумма равна 0 .
Пример 2. Ряд 1
1
1
1
...
1
...
+
+
+
+
+
+
 расходится, так как 

n
S
n
=
® ¥  при n ® ¥ .

Пример 3. Ряд 
(
)
1
1
1
...
1
...
n+
- +
+ +
 расходится, так как последовательность его частичных сумм 1,0,1,0,1,...  (т.е. 
1
1
S =
, 
2
0
S
=
, 

3
1
S
=
, 
4
0
S
=
,…) не имеет предела.

Задача 1а. Написать ряд по его общего члену:

1) 

3

n
n
n
a
=
;   
2)
2
1
n
n
a
n
=
+ ;   
3) 
1

3 2
4

n
n
a
=

×

; 

4) 
2
!
n

n
n
n
a

n

×
=
; 
5) 

(
)

1

ln
n
n
a
n
=
;  
6) 

(
)

2
1

2
n
n
n
a
=
; 

7) 

2

2
2
1

n
n
a
n
=

+

;  
8) 
2
3
1
4
n
n
a
n
+
=
+
.

Задача 1б. Написать общий член ряда по его первым членам:

1) 
2
3
4
1
3
5
7
...
2
2
2
2
+
+
+
+
;

2) 
2
2
2
2
0
1
0
1
0
...
2
2
2
2
+
+
+
+
- +
;

3) 

2
3
4
2
3
4
5
...
3
7
11
15

æ ö
æ
ö
æ
ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
+
+
+
+
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è ø
è
ø
è
ø
;  
4) 
1
1
1
1
...
2
3
4
5
+
+
+
;

5) 1
0
3
0
5
0
7
0
...
+
+
+
+
+
+
; 6) 
5
7
9
11
3
...
3
5
7
9
- +
+
+
.

Пример 4. Доказать, что ряд сходятся и найти его сумму 

(
)(
)

1
1
1
1
1
...
...
1 3
3 5
5 7
7 9
2
1 2
1
n
n
+
+
+
+
+
+
×
×
×
×
+
.

Решение. Действительно, общий член ряда можно представить 

в виде 
(
)
(
)

1
1
1
2
2
1
2
1
n
a
n
n

æ
ö÷
ç
÷
ç
=
÷
ç
÷÷
ç
+
è
ø
.

Тогда 
1
1
1
1
2
3
a
æ
ö÷
ç
=
÷
ç
÷÷
çè
ø, 
1
1
1
1
2
3
S
æ
ö÷
ç
=
÷
ç
÷÷
çè
ø ,

2
1 1
1
2 3
5
a
æ
ö÷
ç
=
÷
ç
÷÷
çè
ø ,

2

1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
2 3
5
2
3
3
5
2
5
S
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
=
+
=
+
=
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø,

3
1 1
1
2 5
7
a
æ
ö÷
ç
=
÷
ç
÷÷
çè
ø,

3
2

1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2 5
7
2
3
3
5
5
7
2
7
S
S
æ
ö
æ
ö
æ
ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
=
+
=
+
+
=
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è
ø
è
ø
è
ø ,…,

(
)
(
)

1
1
1
2
2
1
2
1
n
a
n
n

æ
ö÷
ç
÷
ç
=
÷
ç
÷÷
ç
+
è
ø
, 
(
)

1
1
1
2
2
1
n
S
n

æ
ö÷
ç
÷
ç
=
÷
ç
÷÷
ç
+
è
ø
.

Следовательно, 
(
)

1
1
1
lim
lim
1
2
2
1
2
n
n
n
S
n
®¥
®¥

æ
ö÷
ç
÷
ç
=
=
÷
ç
÷÷
ç
+
è
ø

, т.е. это сумма 

имеет конечный предел и ряд, по определению, является сходящимся.

Задача 2. Доказать, что следующие ряды сходятся и найти их сумму:

1) 
(
)
1

1
1
n
n n

¥

=
+
å
;  
 
2) 
(
)(
)
1

1

3
2
3
1
n
n
n

¥

=
+
å
;  3) 
(
)
1

1
3
n
n n

¥

=
+
å
;

4) 
(
)(
)
1

1

2
1 2
5
n
n
n

¥

=
+
å
;  
5) 
(
)(
)
1

1
1
2
n
n n
n

¥

=
+
+
å
;  6) 

1

3
2

6

n
n

n
n

¥

=

+
å
.

1.2. Некоторые свойства числовых рядов

1. Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда.

Пусть дан ряд ∑

∞

=1
n
na . Рассмотрим ряд, полученный из ряда

∑

∞

=1
n
na  путем отбрасывания конечного числа k  его первых членов 

1

k
n

n
k

R
a

¥

= +
= å
.

Определение. Ряд 

1

k
n

n
k

R
a

¥

= +
= å
 называется остатком ряда ∑

∞

=1
n
na  
(после k-го члена).

Докажем, что ряды ∑

∞

=1
n
na  и 

1

k
n

n
k

R
a

¥

= +
= å
 сходятся или расходятся 

одновременно (т.е. сходимость ряда не зависит от поведения конечного числа его первых членов).
Пусть 
n
S  – n-я частичная сумма ряда ∑

∞

=1
n
na , а σn  – n-я частичная 

сумма ряда. Тогда при n
k
>
 имеем 
σ
n
k
n k
S
S
=
+
. Если в полученном равенстве перейти к пределу при n , стремящемся к бесконечности, то из того, что k  – число фиксированное, следует, что и 
k
S  – 
постоянное, тогда существование конечного lim
n
n
S
®¥
 (т.е. сходимость 

ряда ∑

∞

=1
n
na ) равносильно существованию конечного предела частич
ной суммы остатка этого ряда (т.е. сходимости ряда 

1

k
n

n
k

R
a

¥

= +
= å
).

2. Рассмотрим два ряда – ∑

∞

=1
n
na и 

1
n
n
b

¥

=å
.

Определение. Суммой этих рядов называется ряд 
(
)
n
n
a
b
+
å
, 
элементы которого получены в результате сложения исходных элементов с одинаковыми номерами (т.е. почленное сложение).

Теорема. Пусть сходятся ряды 
(1)

1
n
n

a
S

¥

=
=
å
 и 
( )
2

1
n
n

b
S

¥

=
=
å
. Тогда 

сходится и ряд 
(
)

1

α
β
n
n

n

a
b

¥

=
+
å
, где α  и β  – постоянные, и его сумма 

равна 
( )
( )
1
2
α
β
S
S
+
.
Доказательство. Пусть σn  – n-я частичная сумма этого резуль
тирующего ряда, а 
( )
1
n
S
 и 
( )
2
n
S
 – n-я частичные суммы соответству
ющих исходных рядов. Тогда 
( )
( )
1
2
σ
α
β
n
n
n
S
S
=
+
, значит, существует 
(из свойств пределов) конечный 

( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
1
2
1
2
1
2
lim
lim
lim
lim
σ
α
β
α
β
α
β
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
®¥
®¥
®¥
®¥
=
+
=
+
=
+
.

Следствие 1. Суммой сходящегося и расходящегося рядов является расходящийся ряд.
Следствие 2. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две взаимосвязанные задачи: исследование ряда на сходимость и нахождение его суммы, если это 
возможно (или хотя бы нахождение оценки суммы сходящегося ряда).
Из теории пределов последовательностей известен факт.
Критерий Коши (необходимые и достаточные условия сходимости числовой последовательности). Для того чтобы последовательность 
1
2
,
, ...,
, ...
n
a
a
a
была сходящейся, необходимо и достаточно, 
чтобы для любого 
0
ε >
 существовал такой номер N , что при n
N
>
 
и любом 
0
p >
, где p  – целое число, выполнялось бы неравенство 

ε
n
p
n
a
a
+ < .
Доказательство (необходимость)
Пусть 
n
a
a
®
, тогда для любого числа 
0
ε >
найдется номер 

N такой, что неравенство 
2
ε

n
a
a
<
 выполняется при n
N
>
. 

При n
N
>
 и любом целом 
0
p >
 выполняется также неравенство 

2
ε
n
p
a
a +
<
. Учитывая оба неравенства, получаем

 
(
)
(
)
2
2
ε
ε
ε
n
p
n
n
p
n
n
p
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
=
+
£
+
<
+
=
.

Необходимость доказана. Доказательство достаточности рассматривать не будем.

По аналогии сформулируем теперь критерий Коши для рядов.
Критерий Коши (необходимые и достаточные условия сходимо
сти числового ряда). Для того чтобы ряд 
1
2
1
...
...
n
n

n

a
a
a
a

¥

=
+
+
+
+
= å

был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы для любого 
0
ε >
 

существовал номер N  такой, что при n
N
>
 и любом 
0
p >
 выпол
нялось бы неравенство 
1
2
...
ε
n
n
n
p
a
a
a
+
+
+
+
+
+
< .
Однако на практике использовать непосредственно критерий Коши 
не очень удобно. Поэтому, как правило, используются более простые 
признаки сходимости.
Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд ∑

∞

=1
n
na  сходится, то lim
0
n
n
a
®¥
=
.

Доказательство. 
Так 
как 
1
n
n
n
a
S
S =
, 
lim
n
n
S
S
®¥
=
 
и 

1
lim
n
n
S
S
®¥
=
, так как ряд сходится, то 

(
)
1
1
lim
lim
lim
lim
0
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
S
S
S
S
S
S
®¥
®¥
®¥
®¥
=
=
=
=
.

Следствие. Если lim
0
n
n
a
®¥
¹
, то ряд ∑

∞

=1
n
na  расходится (так как, 

если бы он сходился, то lim
0
n
n
a
®¥
=
).

Пример 5. Исследовать сходимость ряда

 1
2
3
...
...
2
5
8
3
1
n
n
+
+
+
+
+
.

Решение. Найдем 
1
1
lim
lim
0
1
3
1
3
3
n
n
n
n

n

®¥
®¥
=
=
¹

 – необходимый 

признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда

 
8
6
16
4
1
...
...
9
7
19
5
1
n
n
+
+
+
+
+
+
.

Решение. Найдем 
4
4
4
lim
lim
0
1
5
1
5
5
n
n
n
n
n

®¥
®¥
=
=
¹

 – необходимый 

признак сходимости не выполняется, следовательно, ряд расходится.