Основы тензорного анализа

 
 
Электростальский политехнический 
институт (филиал) 
 
Кафедра высшей математики и информатики 

Б. Е. ГОПЕНГАУЗ 

 

 

 

ОСНОВЫ  ТЕНЗОРНОГО  АНАЛИЗА

Курс лекций 
для студентов специальности 1106 

 
Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института в качестве учебного пособия 

МОСКВА 2001

 

УДК 512.942 
Г66 
 
Г66  
Б.Е. Гопенгауз. Основы тензорного анализа – М: МИСиС, 
2001. – 165с. 
 

Рассмотрены следующие вопросы курса «Основы тензорного анализа». 
1.  Тензорное исчисление и некоторые его приложения; 
2.  Теория поля (векторный анализ), в том числе в криволинейных 
координатах;  
3.  Тензорное поле и его дифференцирование. 
Подробно изложен программный материал по приведенным выше 
разделам курса, предложены решения типовых задач, а также упражнения для 
самостоятельного решения с ответами. 
Предназначено для студентов специальности 1106. 

 
 
 

 Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический университет) 
(МИСиС), 2001

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .................................................................................................. 4 
1. Тензорное исчисление .............................................................................. 5 
1.1. Преобразование базисов и координат ............................................. 5 
1.2. Понятие тензора .............................................................................. 12 
1.3.Основные свойства тензоров. Операции над тензорами .............. 19 
1.4. Метрический тензор ....................................................................... 29 
1.5. Приведение тензора к главным осям ............................................ 37 
1.6. Векторные операции в тензорных обозначениях ........................ 46 
1.7. Некоторые приложения тензорного исчисления ......................... 52 
2. Основы теории поля (векторный анализ) ............................................. 59 
2.1. Векторная функция скалярного аргумента .................................. 59 
2.2. Скалярное поле и его характеристики .......................................... 66 
2.3. Интегралы по поверхности первого рода ..................................... 75 
2.4. Интегралы по поверхности второго рода (по координатам) ...... 81 
2.5. Векторное поле и его характеристики ............................................... 89 
2.6. Оператор Гамильтона и его применения .................................... 106 
2.7. Некоторые типы векторных полей .............................................. 110 
3. Теория  поля  в  криволинейных координатах ................................... 120 
3.1. Криволинейные  координаты в  пространстве ........................... 120 
3.2. Ортогональные криволинейные координаты ............................. 127 
3.3. Основные  операции  векторного  анализа в  
ортогональных  криволинейных координатах .......................... 131 
3.4. Оператор  Лапласа  в  ортогональных  системах  
координат ...................................................................................... 139 
3.5. Понятие тензорного поля ............................................................. 141 
3.6. Символы  Кристоффеля  и  их  свойства .................................... 145 
3.7. Дифференцирование  тензоров .................................................... 150 
ОТВЕТЫ .................................................................................................... 158 
Раздел 1 .............................................................................................. 158 
Раздел 2 .............................................................................................. 162 
Раздел 3 .............................................................................................. 164 
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................... 167 
 

П Р Е Д И С Л О В И Е 

Настоящее пособие посвящено изложению важного для 
практического применения теоретического материала. Применение 
тензорного исчисления полезно во всех случаях, когда используется 
координатный метод для математического изучения геометрических 
или физических объектов. Основная идея тензорного исчисления – 
выделение тех свойств изучаемых объектов, которые не зависят от 
выбора системы координат. 
Тензорное исчисление (тензорный анализ) имеет многочисленные применения в геометрии, механике, физике, теории 
упругости, кристаллографии, механике сплошной среды и других 
науках. В настоящем пособии эти приложения тензорного анализа 
не рассматриваются подробно именно в связи с тем, что они будут изучаться в прикладных дисциплинах (например, в курсе 
"Механика сплошной среды"). 
Тензорное исчисление использует аппарат линейной алгебры, некоторые понятия которой кратко напоминаются в подразделе 
1.1. Настоящий курс лекций можно рассматривать как продолжение 
пособия автора по линейной алгебре [10]. 
По тензорному анализу имеется довольно обширная литература (некоторые наименования приведены в списке литературы). К сожалению, эта литература в настоящее время мало доступна студентам. 
Настоящий курс лекций призван заполнить образовавшийся пробел. 
Наличие упражнений в конце каждого подраздела позволяет использовать его также и в качестве задачника по данному важному курсу. 

1. ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 

1.1. Преобразование базисов и 
координат 

1.1.1. Линейное пространство. Напомним некоторые понятия, подробно изученные в "Курсе лекций" [10, c. 40-41]. При этом 
для удобства дальнейшего изложения некоторые обозначения будут 
изменены. 
Множество L  называется линейным (векторным) пространством, если для всех элементов этого множества (векторов) определены операции сложения и умножения на число (действительное; в 
этом случае L  – линейное пространство над полем действительных 
чисел). При этом введённые операции должны подчиняться аксиомам линейного пространства [10, c.43]. 
Векторы 
k
2
1
x
x
x



,...,
,
называются линейно независимыми, если 
из соотношения 
 
0
...
2
2
1
1




=
λ
+
+
λ
+
λ
x
k x
x
x
 

следует, что 
0
...
2
1
=
λ
=
=
λ
=
λ
k
; в противном случае хотя бы 
один из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных. 
Размерностью линейного пространства называется максимально возможное количество линейно независимых векторов пространства. Линейное пространство размерности n назовём n-мерным 
пространством и обозначим 
n
L . Базисом пространства 
n
L называется 
совокупность n линейно независимых векторов этого пространства. 
Базис, состоящий из векторов 
n
e,
,
e,
e
2
1



...
, будем обозначать 
ie , подразумевая, что индекс i  изменяется от 1 до n. 
Координатами вектора x  в базисе 
ie  называются коэффициенты разложения x  по базису: 

 
n
n
x
x
x
e
e
e
x




+
+
+
=
...
2
2
1
1
 
(1.1) 

Координаты вектора в отличие от предыдущего пособия автора [10, c. 43] теперь будут нумероваться индексами вверху (смысл 
таких обозначений станет понятен в дальнейшем). 
Используем соглашение о суммировании (правило Эйнштейна): 
если в сумме индекс суммирования встречается как среди 
нижних индексов, так и среди верхних, знак суммы можно  
опустить.  
Тогда формула (1.1) примет вид: 

 
i
i
n

i
i
i
x
x
e
e
x



=
= ∑
=1

. 
(1.2) 

Примем ещё одно соглашение: элементы матрицы будем 
обозначать буквой с двумя индексами, из которых верхний означает 
номер строки, а нижний – номер столбца. Например элемент матрицы C, равной произведению квадратных матриц 
( )
i
j
a
=
A
 и 
( )
i
jb
=
B
 

порядка ,n запишем в виде: 

 
k
j
i
k

n

k

k
j
i
k
i
j
b
a
b
a
c
∑
=
=
=
1

. 
(1.3) 

Индексы i  и j  пробегают все значения от 1 до n . Индекс суммирования k  называется немым индексом и не входит в результат. 
Сопоставим каждому вектору x  матрицу – столбец из координат вектора, а базису 
ie  – столбец, состоящий из базисных векторов: 

 



















=

n
x

x

x



2

1

X
; 



















=

ne

e
e







2

1

E
. 
(1.4) 

Далее единичную матрицу будем обозначать I , а не E , как 
ранее. 
1.1.2. Преобразование базисов. Перейдём от "старого" 
базиса 
ie  к "новому" базису 
ie′  c помощью соотношения: 

 
j
j
i
i
p e
e

 =
′
, 
(1.5) 

которое показывает, что в матрице перехода 
( )
i
jp
=
P
 от базиса 
ie  к 

базису 
ie′ координаты нового базисного вектора 
ie′  по старому базису 
образуют i -й столбец. В дальнейшем штрихами будут обозначаться 
координаты геометрических объектов в новом базисе. Например,  

 



















′

′

′

=
′

n
x

x

x



2

1

X
; 



















′

′
′

=
′

n
e

e
e

E







2

1

; x =
i
i
x e′
′  . 
(1.6) 

Запишем переход к новому базису в матричной форме: 

 
E
P
E
T
=
′
, 
(1.7) 

где символом 
T
P  обозначена транспонированная матрица. Решая 
матричное уравнение (1.7) (метод решения представлен в пособии 
[10, с. 22]), получим формулы обратного перехода от базиса 
ie′  к базису
ie  в матричной форме 

 
(
) E
P
E
′
=
−1
T
. 
(1.8) 

Применяя известное свойство операции транспонирования 
матриц 

 
(
)
T
T
T
A
B
AB
=
, 

к соотношению 

 
I
PP
=
−1
 
(1.9) 

получаем 

I
P
P
=
−
T
T
1)
(
, откуда следует, что (
)
(
)
T
1
1
T
−
− = P
P
. 

Учитывая это, (1.8) перепишем в виде: 

 
(
) E
P
E
′
=
−
T
1
. 
(1.10) 

Обозначим 
( )
i
jq
=
=
−
Q
P 1
. Из равенства (1.10) получаем фор
мулы перехода от нового базиса к старому в координатной форме 

j
j
i
i
q e
e
′
=


. 
(1.11) 

Из соотношений (1.10) и (1.11) видно, что матрица Q играет 
роль матрицы перехода от базиса 
ie′  к базису 
ie . Использование этого факта упрощает вывод многих последующих формул. 
Из соотношения (1.9) следует полезная формула 

 
i
j
k
j
i
k q
p
δ
=
, 
(1.12) 

где
i
j
δ  – символ Кронекера, определяемый равенствами: 

 




=
≠
=
δ
j
i
j
i
i
j
 
если
 
если
 
,1
,0
 

Приведём несколько примеров применения символа Кронекера 
i
j
δ . 

1. Если 
n
u
u
u
,
,
,
2
1

 – независимые переменные, то 

 
i
j
j

i

u
u
δ
=
∂
∂
. 

2. При использовании соглашения о суммировании по i  
n
i
i =
δ
 

3. Использование 
i
j
δ  в операциях подстановки (замена одно
го индекса другим): 

ij
i
k
kj
ij
k
i
kj
k
k
j
j
k
i
k
i
a
a
a
a
a
a
a
a
=
δ
=
δ
=
δ
=
δ
;
;
;
. 

В тензорном исчислении используются также некоторые модификации символа Кронекера. 
По определению, 
i
j
j
i
j
i
δ
=
δ
=
δ
. Аналогично символу Кроне
кера 
i
j
δ  вводится обобщённый символ Кронекера: 

– если верхние индексы различны и нижние индексы получаются из 
верхних с помощью чётного количества транспозиций (перестановок соседних индексов), то по определению 

1
...
...
2
1

2
1
=
δ
p

p

i
i
i
j
j
j
; 

– если верхние индексы различны и нижние индексы получаются из 
верхних с помощью нечётного количества транспозиций, то 

1
...
...
2
1

2
1
−
=
δ
p

p

i
i
i
j
j
j
, 

в остальных случаях 

0
...
...
2
1

2
1
=
δ
p

p

i
i
i
j
j
j
 

П р и м е р 1.1. Вычислим все значения 
ki
lj
δ  в случае 
2
=
n
. 

В силу определения обобщенного символа Кронекера, приведённого 
выше, получаем: 

1
,1

,0
,0

,0
,0

21
12
12
21
21
21
12
12

11
22
21
22
12
22
22
11
21
11
12
11

22
21
22
12
22
22
11
21
11
12
11
11

−
=
δ
=
δ
=
δ
=
δ

=
δ
=
δ
=
δ
=
δ
=
δ
=
δ

=
δ
=
δ
=
δ
=
δ
=
δ
=
δ

 

1.1.3. Преобразование координат вектора. При переходе от нового базиса к старому координаты вектора преобразуются 
по закону, который может быть записан в матричной форме [10, 
с.11] 

 
X
P
X
′
=
, 
(1.13) 

откуда следует его координатная форма 

 
j
i
j
i
x
p
x
′
=
. 
(1.14) 

Для обратного перехода от старого базиса к новому получаем 
соответствующие формулы: 

 
j
i
j
i
x
q
x
=
′
=
′
−
 ;
1X
P
X
. 
 (1.15). 

1.1.4. Преобразование матрицы линейного преобразования. Линейное преобразование (линейный оператор) A представляет собой векторную функцию y  векторного аргумента x

( )
x
y


A
A
=
:
 или 
x
y
A
=

, 
(1.16) 

обладающую свойством линейности: 

(
)
(
)
(
)
(
)
( )
x
x
x
x
x
x






A
c
c
A
A
A
A
=
+
=
+
,
2
1
2
1
, 
(1.17) 

где с – скаляр. 
Пусть 
( )
i
j
a
=
A
 – матрица линейного преобразования A. То
гда, как известно, линейное преобразование может быть представлено в виде матричного соотношения 

 
X
A
Y =
, 
(1.18) 

или в координатной форме 

 
j
i
j
i
x
a
y =
. 
(1.20) 

В новом базисе 
ie′  линейному преобразованию A соответст
вует новая матрица 
( )
i
j
a′
=
′
A
. Как известно [см. 10, с.68], 

AP
P
A
1
−
=
′
, 

откуда следует формула преобразования элементов матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису: 

 
m
j
k
m
i
k
i
j
p
a
q
a =
′
. 
 (1.21) 

1.1.5. Линейная функция и линейная форма. Рассмотрим скалярную функцию векторного аргумента
)
(x
f
=
ϕ
, линейную 
по этому аргументу: 

 
(
)
( )
( )
(
)
( )
x
x
y
x
y
x






cf
c
f
f
f
f
=
+
=
+
;
 
(1.22) 

Разложим вектор x  по базису 
ie : 
i
ix e
 =
x
. В силу линейности функции
)
(x
f

( )
(
)
( )
i
i
i
i
x
a
f
x
x
f
f
=
=
=
i
i
e
e


x
, 
(1.23) 

где 
( )
i
i
f
a
e
=
. Выражение в правой части (1.23) представляет собой 
линейный многочлен относительно координат вектора x  и называется линейной формой. Таким образом, линейной функции
)
(x
f
 ставится в соответствие последовательность 
ia  коэффициентов соответствующей линейной формы, зависящая от выбора базиса. 

В новом базисе 
ie′  имеем: 

( )
(
)
( )
i
i
i
i
i
x
a
f
x
x
f
f
′
′
=
′
′
=
′
′
=
e
ei


x
, 

где 

( )
(
)
( )
j
j
i
j
i
j
i
i
a
p
f
p
p
f
f
a
=
=
=
′
=
′
j
j
i
e
e
e



, 

т.е. при переходе к новому базису коэффициенты 
ia  линейной формы преобразуются по следующему закону: 

 
j
j
i
i
a
p
a =
′
. 
(1.24) 

У п р а ж н е н и я 

1. Вывести формулу (1.11) из формулы (1.5), используя соотношение (1.12). 
2. Вычислить все значения 
3
2
1

3
2
1
i
i
i
j
j
j
δ
 для 
3
=
n
. 

3. Задан старый базис: 
(
)
(
)
3
,
2
,
2
,1
2
1
=
=
e
e


 
 и матрица пе
рехода к новому базису 







−
=
1
1
1
1
P
. Найти новый базис 
′
′
2
1 , e
e


. 

Р е ш е н и е 
Столбцы матрицы P  представляют собой координаты новых 
базисных векторов относительно старого базиса. Поэтому  

(
)
(
)
5
,3
;
1
,1
2
1
2
1
2
1
=
+
=
′
=
−
=
′
e
e
e
e
e
e






 
. 

4. Задан старый базис 
(
)
(
)
3
,2
,
2
,1
2
1
=
=
e
e


 
 и новый базис
(
)
(
)
1
,1
,
7
,4
2
1
=
′
=
′
e
e


 
. Найти матрицу перехода P . 
 
Р е ш е н и е 
Элементы матрицы P  образуют систему: 




+
=
′
+
=
′

.
2
2
2
1
1
2
2

2
2
1
1
1
1
1
e
e
e
e
e
e







p
p
p
p
 

Подставляя координаты базисных векторов и решая полученные системы, находим