Моделирование физических и технологических процессов

№ 616 

К.М. Розин 
К.В. Закутайлов 
 

Моделирование физических 
и технологических процессов 

Учебное пособие 

УДК 53.072 
 
Р64 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. С.Ю. Юрчук 

Розин К.М., Закутайлов К.В. 
Р64  
Моделирование физических и технологических процессов: 
Учеб. пособие. – М.: Изд. Дом МИСиС, 2009. – 103 с. 
 

Данное пособие включает в себя материал для самостоятельной подготовки по курсу «Математические методы моделирования физических процессов», накопленный кафедрой материаловедения полупроводников и диэлектриков по разделу «Математические методы моделирования получения 
диэлектрических монокристаллов». Пособие содержит практически полный 
перечень математических подходов к моделированию процессов получения 
оптических, акустических и полупроводниковых монокристаллов, выращиваемых из расплавов и растворов. 
Пособие предназначено для студентов, специализирующихся по направлениям 140400 «Техническая физика», 150601 «Материаловедение и технологии материалов». 

 

  
© Национальный исследовательский 
технологический университет 
«МИСиС», 2009 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ................................................................................................................ 4 
1. Моделирование неоднородности расплавных монокристаллов.................. 7 
1.1. Уравнение конвективной диффузии и модель диффузионного 
слоя (у фронта кристаллизации)..................................................................... 7 
1.2. Кинетика процесса межфазного распределения компонентов........... 13 
1.3. Явление концентрационного переохлаждения и критерий 
устойчивости фронта кристаллизации......................................................... 19 
1.4. Модель формирования осевой неоднородности при простой 
направленной кристаллизации (без подпитки жидкой фазы) ................... 27 
1.5. Модель формирования осевой неоднородности при 
направленной одномерной кристаллизации (с равномерной 
подпиткой жидкой фазы)............................................................................... 31 
1.6. Анализ влияния подпитки на осевую неоднородность 
монокристаллов.............................................................................................. 35 
1.7. Модель радиальной неоднородности.................................................... 38 
1.8. Модель неоднородности промышленных монокристаллов, 
выращенных методом многократной кристаллизации .............................. 40 
1.9. Стабилизация скорости кристаллизации весовым методом............... 48 
1.10. Модель осевой микронеоднородности ............................................... 55 
1.11. Анализ влияния летучести на неоднородность 
монокристаллов.............................................................................................. 60 
1.12. Экспериментальное определение параметров межфазного 
распределения компонентов. ........................................................................ 65 
2. Моделирование неоднородности растворных монокристаллов................ 75 
2.1. Кинетика межфазного распределения компонентов при 
кристаллизации из растворов (по В.Г. Хлопину) ....................................... 75 
2.2. Модель предкристаллизационной очистки маточного раствора ....... 78 
2.3. Модель неоднородности кристаллов, выращенных методом 
охлаждения (без подпитки)........................................................................... 82 
2.4. Модель неоднородности кристалла, выращенного методом 
изотермического испарения.......................................................................... 87 
2.5. Модель неоднородности кристаллов, выращиваемых из 
раствора методом испарения с твердой подпиткой.................................... 91 
2.6. Модель неоднородности кристаллов, выращенных методом 
испарения с жидкой подпиткой.................................................................... 97 
2.7. Экспериментальное определение параметров межфазного 
распределения компонентов растворных монокристаллов ..................... 100 
Библиографический список............................................................................. 102 

ВВЕДЕНИЕ 

Кристаллизационные процессы как типичные фазовые переходы 
первого рода сопровождаются скачкообразными изменениями 
свойств исходных фаз: атомной структуры, межатомных расстояний, 
фундаментальных физических свойств и даже химического состава 
фаз. 
Рассмотрим в качестве примера равновесную диаграмму состояния с неограниченной растворимостью компонентов, как в жидкой, 
так и в твердой фазах (рис. В1). При температуре Т0 из жидкой фазы 
состава С0Ж образуются кристаллы состава С0Т. В соответствии с 
рис. В1 состав жидкой фазы при температуре Т1 должен измениться 
до С1Ж, а равновесная твердая фаза примет состав С1Т. При этом изменение состава твердой фазы от С0Т до С1Т должно реализоваться с 
помощью сравнительно медленной выравнивающей диффузии. 
Однако при реальных скоростях кристаллизации выравнивание 
состава кристаллической фазы не успевает завершиться и практически выращиваемый кристалл будет неоднородным по своему составу 
и представлять собой конгломерат кристаллических слоев различного состава: от С0Т до С1Т (а на самом деле из-за указанной незавершенности диффузии в твердой фазе диапазон концентраций состава 
кристаллических слоев намного шире). 
Таким образом, процесс формирования химической неоднородности растущего монокристалла как бы запрограммирован уже при выборе самой технологии выращивания из расплава. 
Следует отметить, что при достижении равновесного соотношения составов жидкой и твердой фаз процесс кристаллизации сопровождается изменениями такого важного параметра выращивания монокристалла из расплава, как равновесный коэффициент распределения k0, определяемый как отношение концентраций компонента в 
твердой и жидкой фазах: 

 
0T
0Ж
1T
1Ж
:
:
С
C
С
C
≠
 или 
0
0
0
1
(
)
( )
k T
k T
≠
. 

Между тем, реальный процесс образования монокристалла характеризуется не только незавершенностью выравнивающей диффузии в 
качестве источника химической и физической неоднородности кристаллической фазы. Действительно, реальное отношение концентраций компонентов твердой и жидкой фаз, которое определяет химический состав каждого очередного кристаллического слоя и которое 

часто называют эффективным коэффициентом межфазного распределения того или иного компонента (чаще всего примесного или 
микрокомпонента), зависит не только (и не столько) от кривизны линий ликвидуса и солидуса равновесной диаграммы состояния, сколько от нестабильности таких важнейших технологических параметров 
как скорость кристаллизации, гидродинамические условия в жидкой 
фазе (например, интенсивность и конфигурация потоков в расплаве, 
турбулентные показатели), условия теплообмена в системе расплав – 
кристалл (температурные градиенты в твердой и жидкой фазах и, в 
первую очередь, – у границы раздела фаз – у фронта кристаллизации) 
и многие другие факторы этого сложнейшего процесса кристаллизации. 
Существенное влияние на изменение состава последовательных –
кристаллических слоев оказывает также монотонное обогащение 
жидкой фазы легкоплавким компонентом (см. рис. В1, компонент В) 
и соответствующее снижение температуры кристаллизации. 

 

Рис. В1. Равновесная двухкомпонентная диаграмма состояния 

Следует также указать на большинство методов выращивания монокристаллов из расплава, которые сопровождаются, в свою очередь, 
монотонным уменьшением объема жидкой фазы и адекватным увеличением объема растущего кристалла и, следовательно, существенными изменениями как условий теплоотвода, так и гидродинамики 
(естественной и принудительной конвекции жидкой фазы) в системе 
расплав – кристалл. 

Указанные изменения параметров кристаллизации носят последовательный, монотонный характер и определяют формирование макроскопической химической неоднородности в растущем монокристалле. Однако помимо указанных изменений кристаллизационных 
параметров монотонного и сравнительно долговременного характера 
для процесса образования последовательных кристаллизационных 
слоев весьма характерны также кратковременные колебания, которым подвергаются как скорость кристаллизации, так и многие другие 
первостепенные технологические параметры. 
При сопоставлении рассмотренной выше макроскопической неоднородности с микронеоднородностью, следует отметить, что в последнем случае амплитудные показатели кратковременных колебаний технологических параметров могут достигать многих процентов 
(например, в производственных условиях зафиксированы отклонения 
линейной скорости кристаллизации от номинального значения порядка нескольких десятков процентов) и, если при этом учесть локальный характер таких пульсаций, то получим весьма серьезную 
оценку для результирующего отклонения концентрации кристаллического слоя от номинального значения. 
К сожалению, процесс формирования микронеоднородности еще 
недостаточно изучен, чтобы можно было более обстоятельно охарактеризовать разнообразные проявления микронеоднородности, однако 
уже сейчас ясно, что важнейшие сведения об этом процессе надо искать в самих выращиваемых монокристаллах, каждый из которых 
реагирует на малейшие изменения условий процесса кристаллизации 
и фиксирует эти изменения в своей структуре и отражает их в своих 
свойствах. 
Задачей математического моделирования является установление 
определенных объективных функциональных связей как между технологическими параметрами и эксплуатационными характеристиками выращиваемых монокристаллов, так и установление корреляции 
внутри каждой из перечисленных групп показателей. Наличие указанного аппарата математического моделирования поможет, вопервых, ужесточить требования к выбору самих технологических 
процессов и регламентированию соответствующих технологических 
параметров и, во-вторых, позволит существенно повысить однородность выращиваемых монокристаллов и эффективность их использования в производстве монокристаллических изделий. 

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ 
РАСПЛАВНЫХ МОНОКРИСТАЛЛОВ 

1.1. Уравнение конвективной диффузии 
и модель диффузионного слоя 
(у фронта кристаллизации) 

При перемещении границы раздела кристалл – расплав через жидкую фазу с некоторой конечной скоростью происходит множество 
сложных явлений. Среди них целесообразно упомянуть, во-первых, 
перераспределение компонентов между жидкой и твердой фазами, 
во-вторых, выравнивание состава жидкой фазы для устранения химической неоднородности, вызываемой перераспределением компонентов. При этом как перераспределение компонентов, так и последующее выравнивание состава жидкой фазы существенно зависит от 
скорости кристаллизации. В общем случае выравнивание состава 
жидкой фазы происходит с помощью двух механизмов: диффузии и 
конвекции. Под конвекцией здесь понимается не только естественная 
конвекция в жидкой фазе, вызываемая наличием в жидкой фазе градиента температур и плотности, но и организованное перемещение 
потоков расплава как следствие целенаправленного принудительного 
перемешивания жидкой фазы. Для большей полноты картины следует упомянуть, что на распределение температур и, следовательно, на 
образование температурных градиентов в расплаве существенное 
влияние оказывают многие факторы, в том числе: выделение скрытой теплоты кристаллизации на поверхности раздела фаз кристалл–
расплав, нестабильность температурного поля, создаваемого нагревательной системой, неодинаковость условий теплоотвода, температурные флуктуации. Можно было бы указать также на ряд других 
явлений и процессов, которые могут иметь место при росте кристалла из расплава, однако даже того что уже было нами перечислено, 
вполне достаточно, чтобы составить представление о сложности явлений, сопровождающих образование монокристалла. 
Современный аппарат теоретической физики располагает для 
описания роста кристалла так называемым уравнением конвективной 
диффузии, которое позволяет учесть некоторые из перечисленных 
выше факторов. Поэтому применение уравнения конвективной диффузии можно рассматривать как использование одной из наиболее 
распространенных математических моделей для описания процессов 

роста. Хотя эта математическая модель носит приближенный характер и ее использование во многих случаях не может претендовать на 
точную количественную оценку. Однако применение этой модели, 
во-первых, способствует пониманию механизма процессов роста 
кристалла, во-вторых, позволяет установить взаимосвязь между различными параметрами роста, в-третьих, позволяет предсказывать 
поведение этой сложной системы при многих внешних воздействиях 
и, наконец, в-четвертых, на основе сопоставления этой модели с результатами экспериментов во многих случаях может быть создана 
уточненная модель для описания процессов роста. 
Уравнение конвективной диффузии обычно рассматривается для 
двухкомпонентной системы. Будем полагать, что расплав представляет собой двухкомпонентную систему, состоящую из основного 
компонента или макрокомпонента и второго компонента или примеси (поскольку обычно содержание макрокомпонента в расплаве значительно превосходит содержание каждого из других присутствующих компонентов). 
Уравнение конвективной диффузии записывается в следующем виде: 

 
(
grad
)
C
f
C
D C
t
∂
+
=
Δ
∂
, 
(1.1) 

где С – объемная концентрация микрокомпонента (примеси) в ма- 
 
 теринской фазе; 
t 
– время, с; 

f  – вектор скорости потока микрокомпонента в жидкой фазе; 
D – коэффициент диффузии примеcи в жидкой фазе, см2/с; 
ΔС – оператор Лапласа. 

То же уравнение можно записать в развернутом виде: 

 

2
2
2

2
2
2
x
y
z
C
C
C
C
C
C
C
f
f
f
D
D
D
t
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
+
=
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
(1.2) 

где fx, y, z – проекции вектора скорости на оси координат. 

В уравнении конвективной диффузии можно условно выделить 
диффузионную и конвективную компоненты, ответственные за массоперенос в жидкой фазе. Так, если в выражении (1.1) положить 

0
f =
, то устраняется член, ответственный за конвекцию, и остается 
знакомое выражение второго закона Фика для объемной диффузии 

.
C
D C
t
∂
=
Δ
∂
 
(1.3) 

При описании процессов роста монокристалла вместо решения 
объемной задачи в координатном пространстве x, y, z можно в целях 
упрощения ограничиться решением одномерной задачи (рис. 1.1). 

Тогда 
0
y
z
f
f
=
=
, 

2
2

2
2
0
C
C
y
z
∂
∂
=
=
∂
∂
. 

 

Рис. 1.1. Схема концентрационного уплотнения у фронта 
кристаллизации (k < 1) 

Пусть плоский фронт кристаллизации перемещается – слева направо вдоль оси х с некоторой постоянной скоростью v. Эта скорость 
будет равна по своей абсолютной величине и противоположна по 
знаку скорости fx, с которой поток примеси как бы перемещается навстречу неподвижной границе раздела кристалл – расплав. При решении уравнения конвективной диффузии обычно рассматривают 
стационарную задачу, т.е. находят решение для установившегося 

процесса, когда 
0
C
t
∂
=
∂
. 

Для стационарного процесса и одномерного роста с учетом fx = –v 
получаем окончательный вид уравнения конвективной диффузии: 

 

2

2
C
C
v
D
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
. 
(1.4) 

Из решения последнего уравнения найдем закон распределения 
примеси в жидкой фазе у фронта кристаллизации. Для того чтобы 
найти решение уравнения (1.4), рассмотрим вспомогательное уравнение материального баланса примеси. Если к плоской поверхности 
фронта кристаллизации (площадь S) подводится расплав с содержанием примеси СМ, то отвод примеси от фронта кристаллизации производится в двух противоположных направлениях: в растущий кристалл и обратно в расплав. Пусть в растущий кристалл примесь входит в некоторой концентрации СТ. Чтобы учесть количество примеси, отводимое от фронта кристаллизации (где х = 0) в расплав, надо 
учесть скорость диффузии примеси в жидкой фазе под влиянием 

градиента концентрации вдоль оси х: 
0
C
D
x
∂
=
∂
 (в соответствии с 

первым законом диффузии Фика). Тогда уравнение материального 
баланса запишем в следующем виде: 

 
M
T
0
0

x

C
C vS
C vS
D
S
x
=

∂
⎛
⎞
−
+
=
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
. 
(1.5) 

В записанном уравнении учтено отрицательное значение концентрационного градиента в жидкой фазе у фронта кристаллизации при 
выбранном положительном направлении оси х (слева направо). Поэтому третий член уравнения, учитывающий диффузию, является 
существенно отрицательным. Таким образом, в уравнении материального баланса учтены как процессы, связанные с подводом примеси к фронту кристаллизации, так и процессы, ответственные за отвод 
примеси от поверхности фронта кристаллизации. Следует специально оговорить, что приведенная схема не учитывает выравнивающей 
диффузии, которая может происходить в кристалле при высоких 
температурах и весьма низких скоростях кристаллизации и которая 
может стать дополнительным источником подвода примеси к фронту 
кристаллизации. Помимо этого ограничения рассмотренная схема не 
учитывает возможного отвода примеси при кристаллизации механизмом испарения из жидкой фазы, что может быть существенным 
для «летучих» примесей с высокой упругостью пара над расплавом. 
Кроме того, рассмотренная схема не учитывает массообмена расплава с материалом контейнера. Такой массообмен становится заметным 
при высоких температурах и низких скоростях кристаллизации. 
Выразим концентрационный градиент из записанного выше уравнения материального баланса (1.5): 

(
)
T
M
0
x

C
v C
C
x
D
=

∂
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
. 
(1.6) 

В этой форме записи хорошо видно, что концентрационный градиент имеет у фронта кристаллизации отрицательное значение при 
СТ < СМ. 
В теории роста кристаллов принимается, что концентрация примеси в расплаве монотонно изменяется от фронта кристаллизации к 
расплаву. Так, при СТ < СМ убывание концентрации примеси в расплаве по мере удаления от фронта кристаллизации описывают с помощью экспоненциальной функции: 

 
(
)
T
M exp
xv
C
v C
C
x
D
D
∂
⎛
⎞
=
−
−
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
. 
(1.7) 

При х = 0 уравнение (1.7) вполне соответствует уравнению материального баланса (1.6), следовательно, точка х = 0 всегда должна находиться на фронте кристаллизации. Значит, для описания процессов 
роста кристалла мы пользуемся подвижной относительно растущего 
кристалла системой координат, причем начало координат перемещается в пространстве вместе с фронтом кристаллизации со скоростью v. 
Записанное нами уравнение (1.7) является решением уравнения 
конвективной диффузии (1.4). Чтобы убедиться в этом, следует найти 
из (1.7) значение второй производной концентрации по координате 

 
(
)

2
2

T
M
2
2
exp
C
v
vx
C
C
D
x
D
∂
⎛
⎞
= −
−
−
⎜
⎟
∂
⎝
⎠
 
(1.8) 

и подставить значения C

x

∂
∂
 и 

2

2
C
x

∂
∂
 в уравнение (1.4). 

Располагая решением (1.7) уравнения конвективной диффузии 
(1.4), найдем искомую зависимость изменения концентрации примеси в расплаве от расстояния до фронта кристаллизации. Для этого 
преобразуем уравнение (1.7) в дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: 

 
(
)
(
)
T
M
d
exp
d
v
vx
C
C
C
x
D
D
=
−
−
, 
(1.9) 

и проинтегрируем его по переменной х от 0 до значения х вблизи фронта 
кристаллизации. При этом концентрация примеси в жидкой фазе будет