Математика: теория функций комплексного переменного

Москва 2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ БАЗОВОГО ОБРАЗОВАНИЯ 
 
Кафедра математики

Н.В. Горушкина
В.А. Карасев
Г.Д. Лёвшина

МАТЕМАТИКА

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 

Практикум

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3146

УДК 517.53 
 
Г67

Р е ц е н з е н т 
канд. техн. наук, доц. Е.А. Калашников

Горушкина Н.В.
Г67  
Математика : теория функций комплексного переменного : 
практикум / Н.В. Горушкина, В.А. Карасев, Г.Д. Лёвшина. – М. : 
Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 101 с.
ISBN 978-5-907061-15-6

Практикум предназначен для подготовки к занятиям, контрольным работам и выполнению типовых расчетов по разделу математики «Теория функций 
комплексного переменного». Дается краткое изложение теоретического материала, которое сопровождается примерами решения типовых задач. В каждой 
главе представлены задачи для самостоятельной работы с ответами. В заключение приводятся типовые варианты контрольных работ с ответами.
Для студентов всех направлений институтов ИТАСУ и ИНМиН.

УДК 517.53

 Н.В. Горушкина, 
В.А. Карасев, 
Г.Д. Лёвшина, 2019
ISBN 978-5-907061-15-6
 НИТУ «МИСиС», 2019

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие  .............................................................................................4
1. Основные понятия теории функций комплексного переменного ....5
1.1. Комплексные числа, действия над ними ........................................ 5
1.2. Понятие о функции комплексного переменного.  
Предел. Непрерывность ........................................................................ 18
1.3. Ряды в комплексной области ......................................................... 21
1.4. Основные функции комплексного переменного,  
определяемые с помощью рядов .......................................................... 23
Задачи для самостоятельного решения ............................................... 28
2. Функции комплексного переменного, их свойства  
и приложения ...........................................................................................30
2.1. Основные функции комплексного переменного ......................... 30
2.2. Производная функции комплексного переменного .................... 32
2.3. Аналитические функции. Их свойства ......................................... 35
2.4. Интеграл от функции комплексного переменного ...................... 41
2.5. Теорема Коши .................................................................................. 46
2.6. Ряд Тейлора. Ряд Лорана ................................................................ 51
2.7. Нули функции. Изолированные особые точки ............................ 59
2.8. Вычеты, их вычисление ................................................................. 64
2.9. Вычисление интегралов с помощью вычетов ............................. 71
Задачи для самостоятельного решения ............................................... 77
3. Конформные отображения .................................................................80
3.1. Понятие комформного отображения............................................. 80
3.2. Конформные отображения,  
осуществляемые линейной функцией ................................................. 80
3.3. Конформные отображения, осуществляемые  

функцией 
1
w
z
=
 ..................................................................................... 81

3.4. Конформные отображения, осуществляемые  
дробно-линейной функцией .................................................................. 85
3.5. Конформные отображения, осуществляемые степенной, 
показательной и логарифмической функциями ................................. 89
Задачи для самостоятельного решения ............................................... 92
Типовые варианты контрольных работ .................................................95
Ответы ......................................................................................................97
Библиографический список .................................................................100

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Практикум написан в соответствии с программой курса «Теория 
функций комплексного переменного и ряды».
В первом разделе приведены начальные сведения о комплексных 
числах, об элементарных функциях комплексного переменного и о 
рядах в комплексной области. Во втором разделе излагаются условие 
дифференцируемости, теория криволинейного интеграла в комплексной плоскости, ряды Тейлора и Лорана, теория вычетов и ее применения. В третьем разделе студенты знакомятся с теорией конформных 
отображений, осуществляемых степенной, дробно-линейной, показательной и логарифмической функциями. По всем темам приводится 
значительное количество задач с решениями и без решений с ответами. В конце практикума представлены типовые варианты контрольных работ.
Практикум предназначен для студентов всех направлений институтов ИТАСУ и ИНМИН, а также для преподавателей, ведущих занятия 
по курсу ТФКП.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ 
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1.1. Комплексные числа, действия над ними

Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (a; b). Геометрической интерпретацией комплексного 
числа является точка плоскости z, где (a; b) – ее декартовы координаты (рис. 1.1). Такая плоскость называется комплексной плоскостью, 
ось абсцисс – действительной, а ось ординат – мнимой осью комплексной плоскости. Другая удобная геометрическая форма представления комплексного числа – радиус-вектор точки z, т.е. вектор, 
проведенный из начала координат в точку z, тогда (a; b) – координаты 
этого радиус-вектора. 

Рис. 1.1

Если точка z лежит на действительной оси, т.е. соответствующее 
комплексное число имеет вид (a; 0), то такое число отождествляется с 
действительным числом a. Таким образом (a; 0) = a. Если точка z лежит на мнимой оси, не совпадая с началом координат, т.е. комплексное число имеет вид (0; b), b ≠ 0, то она называется мнимым числом. 
Если точка z совпадает с началом координат, то такое комплексное 
число называется нулем: (0; 0) = 0.
Единичный вектор действительной оси называется действительной единицей и обозначается 1, т.е. (1; 0) = 1. Единичный вектор мнимой оси называется мнимой единицей и обозначается i, т.е. (0; 1) = i. 

Тогда радиус-вектор комплексного числа z = (a; b) в ортонормированном базисе векторов 1 и i можно написать z = a·1 + b·i . При этом действительную единицу принято не писать:

 
z = a + bi. 
(1.1)

Запись комплексного числа по формуле (1.1) называется алгебраической формой комплексного числа. При этом a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается Rez, число b – 
мнимой частью z и обозначается Imz. 

Два комплексных числа 
1
1
1
z
a
b i
=
+
; 
2
2
2
z
a
b i
=
+
 равны тогда и 
только тогда, когда равен между собой их действительные и мнимые 

части: 
1
2
1
2
1
2
;
z
z
a
a
b
b
=
⇔
=
=
. 
Действиям сложения и вычитания комплексных чисел z1 и z2 соответствует сложение и вычитание их радиус-векторов:

 
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)
(
) (
)

1
2
1
1
2
2
1
2
1
2

1
2
1
1
2
2
1
2
1
2

,

.

z
z
a
b i
a
b i
a
a
b
b
i

z
z
a
b i
a
b i
a
a
b
b
i

+
=
+
+
+
=
+
+
+
⋅

−
=
+
−
+
=
−
−
−
⋅

 
(1.2)

Разность комплексных чисел z1 – z2 можно рассматривать как вектор, проведенный из точки z2 в точку z1 комплексной плоскости. Тогда 
модуль этого вектора равен расстоянию между точками z2 и z1.
Умножение комплексного числа z = a + bi на действительное число 
0i
λ = λ +
 определяется по аналогии с умножением вектора на действительное число:

 
(
)
z
a
bi
a
bi
λ = λ
+
= λ + λ
. 
(1.3)

Пример 1.1. Найти сумму и разность чисел 1
2
3
z
i
=
+
 и 
2
3
4
z
i
=
−
.
Решение. Используя формулы (1.2), получаем

1
2
(2
3 )
(3
4 )
5
,
z
z
i
i
i
+
=
+
+
−
=
−

1
2
(2
3 )
(3
4 )
1
7 .
z
z
i
i
i
−
=
+
−
−
= − +

Пример 1.2. Умножить комплексное число z = 4 – 3i на –6.
Решение. По формуле (1.3) получаем

( 6)
( 6)(4
3 )
24
18
z
i
i
−
= −
−
= −
+
.

Определим теперь действия умножения и деления комплексных 
чисел. По определению

 
2
( )
1
i
= −  
(1.4)

и умножение комплексных чисел проводится по правилу умножения 
алгебраических многочленов:

 

1
2
1
1
2
2

2
1 2
1 2
2 1
1 2

1 2
1 2
1 2
2 1

(
)(
)

( )

(
)
(
) .

z
z
a
b i a
b i

a a
a b i
a b i
b b i

a a
b b
a b
a b i

⋅
=
+
+
=

=
+
+
+
=

=
−
+
+

 
(1.5)

Пример 1.3. Найти произведение комплексных чисел 
1
2
3
z
i
=
+
 и 

2
3
4
z
i
=
−
.
Решение. По формуле (1.5) получим

2

1
2
(2
3 )(3
4 )
6
8
9
12( )
(6
12)
( 8
9)
18
z
z
i
i
i
i
i
i
i
⋅
=
+
−
=
−
+
−
=
+
+ − +
=
+ .

Два комплексных числа a + bi и a – bi, отличающиеся только знаком при мнимой части, называются сопряженными и обозначаются  
z = a + bi, z
a
bi
=
−
. Произведение сопряженных комплексных чисел 
является действительным числом. Действительно

 
2
2
2
2
2
(
)(
)
( )
z z
a
bi a
bi
a
abi
abi
b
i
a
b
⋅
=
+
−
=
−
+
−
=
+
. 
(1.6)

Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное 
умножению. Число z называется частным комплексных чисел z1 и z2 

1

2

z
z
z



=





, если z1 = zz2. Отметим, что при z2 ≠ 0 деление всегда выпол
нимо. Для того чтобы разделить комплексное число z1 на z2, числитель 
и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное знаменателю:

 
1
1
2

2
2
2

z
z
z
z
z
z
z
⋅
=
=
⋅

. 
(1.7)

Тогда деление чисел z1 на z2 сводится к умножению чисел z1 и 
2z  и 

умножению полученного результата на действительное число 

2
2

1
z
z
⋅

. 

Покажем выполнение деления на примере.

Пример 1.4. Разделим число 
1
2
3
z
i
=
+
 на число 
2
3
4
z
i
=
−
.

Решение. Используем формулу (1.7):

2

1
2
2

2
3
(2
3 )(3
4 )
6
8
9
12( )
3
4
(3
4 )(3
4 )
9
16( )
(6
12)
(8
9)
6
17 .
9
16
25
25

z
i
i
i
i
i
i
z
i
i
i
i
i
i

+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
−
−
+
−
−
+
+
=
= −
+
+

Весьма важной является также другая форма представления комплексных чисел. Для определения положения точки на плоскости 
можно воспользоваться полярными координатами (r, j), где r – расстояние точки от начала координат, а j – угол, который составляет 
радиус-вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1.1). Положительным направлением изменения угла φ 
считается направление против часовой стрелки. 
Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат 

x = r cosφ, y = r sinφ,

можно комплексное число z = a + bi записать в виде 

 
z = r(cosφ + i sinφ), 
(1.8)

где a = r cosφ, b = r sinφ. Эта форма записи называется тригонометрической формой комплексного числа. При этом r называется 
модулем, а φ – аргументом комплексного числа и обозначается  
r = |z|, φ = Arg z. Легко выразить модуль и аргумент комплексного 
числа через его действительную и мнимую части:

 
2
2 ,
tg
b
r
a
b
a
=
+
ϕ =
. 
(1.9) 

Заметим, что аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до слагаемого вида 2πk , где k – любое целое 
число. Выделим из всех значений аргумента одно, которое удовлетворяет неравенствам –π < φ ≤ π. Это значение называется главным и 
обозначается φ = arg z. Тогда Arg z = arg z + 2πk (k = 0, ± 1, ± 2, …). 
Аргумент комплексного числа z = 0 вообще не определен, а его модуль равен нулю.
Два отличных от нуля комплексных числа равны между собой в 
том и только в том случае, если равны их модули, а значения аргументов или равны, или отличаются на число, кратное 2π.

Перемножим комплексные числа z1 и z2, заданные в тригонометрической форме. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). 
Тогда, согласно формуле (1.5)

z1·z2 = r1(cos φ + i sin φ1) · r2(cos φ2 + i sin φ2) = 
= r1r2 ((cos φ1 cos φ2 – sin φ1sin φ2) + 
 
+ i (sin φ1cos φ2 – cos φ1sin φ2)) =  
(1.10) 
= r1r2(cos(φ1+ φ2) + i sin(φ1 + φ2)).

Из формулы (1.10) следует, что при умножении комплексных чисел 
их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило сохраняется для любого конечного числа n множителей. В частности, когда все множители одинаковы, получим 

 
zn = (r (cos φ + i sin φ))n = rn(cos nφ + i sin nφ). 
(1.11)

Формула (1.11) называется формулой Муавра.
Пример 1.5. Возвести число z = –1 + i в восьмую степень.

Рис. 1.2

Решение. Представим данное число в тригонометрической форме: 

2
2
3
|
|
( 1)
1
2;
arg
4
r
z
z
π
=
=
−
+
=
=
 (рис. 1.2). По формуле (1.8): 

3
3
1
2 cos
sin
.
4
4
z
i
i
π
π


= − + =
+





По формуле Муавра (1.11) получим 

8
8
8
3
3
( 1
)
( 2) (cos(8
)
sin(8
)
16(cos6
sin6 )
16.
4
4
z
i
i
i
π
π
= − +
=
+
=
π +
π =

Ответ: 16.

Поделим комплексные числа, заданные в тригонометрической 
форме. Воспользуемся формулой (1.7):

1
1
1
2
1
1
1
2
2

2
2
2
2
2
2
2
2
2

(cos
sin
)
(cos
sin
)(cos
sin
)
(cos
sin
)
(cos
sin
)(cos
sin
)
z
r
i
r
i
i
z
r
i
r
i
i
ϕ +
ϕ
ϕ +
ϕ
ϕ −
ϕ
=
=
=
ϕ +
ϕ
ϕ +
ϕ
ϕ −
ϕ

1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

(cos
cos
sin
sin
)
(sin
cos
cos
sin
)
cos
sin
r
i
r
ϕ
ϕ +
ϕ
ϕ
+
ϕ
ϕ −
ϕ
ϕ
=
=
ϕ +
ϕ

 (1.12)

1
1
2
1
2
2
(cos(
)
sin(
)).
r
i
r
=
ϕ − ϕ
+
ϕ − ϕ

Из формулы (1.12) следует, что при делении комплексных чисел их 
модули делятся, а аргументы вычитаются.
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа есть действие, обратное возведению комплексного числа в n-ю степень. Сле
довательно, если 
,
n z
ω =
 то z = ωn. Пусть 

(cos
sin )
z
r
i
=
ϕ +
ϕ  и 
(cos
sin ).
i
ω = ρ
θ +
θ

По формуле Муавра (1.11) получим 

(cos
sin )
( (cos
sin ))
(cos
sin
).
n
n
r
i
i
n
i
n
ϕ +
ϕ = ρ
θ +
θ
= ρ
θ +
θ

Отсюда 
,
2
.
n
r
n
k
= ρ
θ = ϕ + π
 Так как r и ρ – положительные числа, 

то 
,
n r
ρ =
где корень понимается в арифметическом смысле.

Из равенства 
2
n
k
θ = ϕ + π  получим 
2 k
n
ϕ + π
θ =
. Следовательно:

 

2
2
cos
sin
n
n
k
k
z
r
i
n
n
ϕ + π
ϕ + π


=
+





. 
(1.13)

Придавая k последовательно значения 0, 1, 2,…, n – 1, получаем 
n различных значений n z . Все они имеют одинаковый модуль. Если 
взять k > n – 1, то значения θ будут отличаться от полученных ранее 
на числа, кратные 2π, т.е. значения n z  будут повторяться. Таким образом, корень n-й степени из комплексного числа имеет ровно n разных значений.

Пример 1.6. Найти 
1
− .
Решение. Представим число –1 в тригонометрической форме: 
1
1;
arg( 1)
− =
−
= π . Тогда 
1 1(cos
sin ).
i
− =
π +
π  По формуле (1.13) 
имеем

2
2
1
1(cos
sin
)
2
2
k
k
i
π + π
π + π
− =
+
.

Придавая k значения 0 и 1, получаем два различных значения корня z1 и z2:

k = 0, 
1
1(cos
sin
)
;
2
2
z
i
i
π
π
=
+
=

k = 1, 
2

2
2
1(cos
sin
)
.
2
2
z
i
i
π + π
π + π
=
+
= −

Ответ: 
1
.i
− = ±

Как известно, квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 в случае, когда его дискриминант D = b2 – 4ac отрицателен, не имеет действительных корней. Покажем, что в этом случае уравнение имеет два комплексных сопряженных корня. Действительно, по формуле решения 
квадратного уравнения 

1,2
2
b
D
x
a

− ±
=
.

Считая, что D < 0 и полагая D = –d2 (d > 0), получаем 

2
2
2
( 1)
1
d
d
d
di
−
=
−
=
⋅
− = ±
.

Следовательно:

2

1,2
.
2
2
2
2

b
d
b
di
b
d
x
i
a
a
a
a

− ±
−
− ±
=
=
= −
±

В заключение приведем соотношения, называемые формулами Эйлера. Эти формулы будут выведены в подразд. 1.4. Для любого действительного числа x справедливы формулы 

 
cos
sin ,
cos
sin
ix
ix
e
x
i
x
e
x
i
x
−
=
+
=
−
. 
(1.14)