Основы математического моделирования

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2390 

Кафедра полупроводниковой электроники
и физики полупроводников 

С.Ю. Юрчук 
 
 

Основы математического
моделирования 

Учебное пособие 

 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2014 

УДК 621.315 
 
Ю83 

Р е ц е н з е н т  
д-р физ.-мат. наук, проф. Ф.И. Маняхин 

Юрчук С.Ю. 
Ю83  
Основы математического моделирования : учеб. пособие / 
С.Ю. Юрчук. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 108 с. 
ISBN 978-5-87623-811-5 

В учебном пособии описаны основные математические модели современных 
технологических процессов полупроводниковой электроники: диффузии, ионной 
имплантации, термического окисления и импульсного отжига. Представлены методики решения основных уравнений и способы проведения процесса моделирования с целью разработки топологии современных структур микро- и наноэлектроники. Дана информация о широко используемых в настоящее время физических моделях технологических процессов электроники, их возможностях и ограничениях. Большое внимание уделено описанию параметров математических 
моделей, позволяющих получать реалистичные результаты моделирования, хорошо совпадающие с экспериментальными. 
Учебное пособие предназначено для освоения студентами методов математического моделирования основных технологических процессов изготовления микроэлектронных полупроводниковых приборов и интегральных 
схем, а также изучения современных моделей процессов электроники. 
Пособие позволит студентам более глубоко усвоить лекционный материал при подготовке к практическим занятиям и окажет помощь при выполнении домашних заданий и курсовых работ. 
Предназначено для бакалавров, обучающихся по направлению 210100 
«Электроника и наноэлектроника». 

УДК 621.315 

ISBN 978-5-87623-811-5 
© С.Ю. Юрчук, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение.................................................................................................................4 
1. Математическое моделирование диффузионных процессов ...................6 
1.1. Механизмы диффузии..............................................................................6 
1.2. Уравнение диффузии................................................................................8 
1.3. Решения уравнения диффузии..............................................................12 
1.4. Коэффициенты диффузии примесей в полупроводниках...............16 
1.5. Граничные условия уравнения диффузии..........................................34 
1.6. Численное решение уравнения диффузии..........................................36 
1.7. Решение двухмерного уравнения диффузии......................................42 
2. Математическое моделирование процесса ионной имплантации.........48 
2.1. Механизмы торможения ионов в твердых телах ..............................48 
2.2. Расчеты пробегов ионов в твердых телах. 
Диффузионное приближение.......................................................................58 
2.3. Пробеги ионов в кристаллах. Каналирование....................................60 
2.4. Моделирование распределения ионов в твердых телах...................64 
2.5. Двухмерное распределение ионов в твердых телах..........................70 
2.6. Моделирование формирования дефектов 
в процессе ионной имплантации.................................................................71 
2.7. Моделирование пробегов методом Монте-Карло ............................72 
2.8. Метод интегрирования кинетического уравнения Больцмана.......79 
3. Математическое моделирование термического окисления кремния....84 
3.1. Физические принципы моделирования 
термического окисления кремния...............................................................84 
3.2. Линейная и параболическая константы окисления ..........................86 
3.3. Влияние дефектов на процесс окисления...........................................92 
3.4. Моделирование двухмерного процесса окисления ..........................94 
4. Математическое моделирование импульсного отжига...........................97 
4.1. Моделирование температурных полей при импульсном отжиге.....97 
4.2. Моделирование процессов отжига дефектов 
при импульсном отжиге..............................................................................103 
4.3. Моделирование быстрого термического отжига.............................105 
Библиографический список............................................................................107 

ВВЕДЕНИЕ  

Математическое моделирование в настоящее время играет определяющую роль в микроэлектронике. Достигнут тот уровень, при 
котором чисто экспериментальный подход к оптимизации конструкции элементов интегральных схем (ИС) в технологии их производства, представляющий собой метод проб и ошибок, стал совершенно неприемлемым. 
Математическое моделирование элементов и технологических 
процессов изготовления сверх- и ультрабольших ИС (СБИС и УБИС) 
становится той областью, где достижения фундаментальных наук – 
физики полупроводников и физического материаловедения, радиационной физики и физики плазмы, химии и физической химии, фундаментальной и прикладной математики – дают непосредственный 
экономический эффект. 
Для каждого из технологических процессов полупроводниковой 
электроники, постоянно эволюционирующих в направлении создания все более совершенных структур, необходимо лучшее понимание физики соответствующих явлений. Более того, ужесточение требований к технологическим допускам обязательно требует также 
и количественного описания влияния технологических параметров 
на результаты процессов для того, чтобы минимизировать роль статистических флуктуаций. 
За последние годы был разработан ряд моделей, описывающих 
основные физические явления, лежащие в основе технологии ИС. 
Кроме того, с созданием программ на ЭВМ, позволяющих моделировать полный технологический маршрут изготовления ИС, появилась 
возможность оценивать технологические процессы с точки зрения 
уровня их разработки и управления. В последнее время стали доступными и программы, предназначенные непосредственно для разработки перспективных технологий в микроэлектронике. 
Настоящее учебное пособие предназначено для освоения студентами методов математического моделирования основных технологических процессов изготовления микроэлектронных полупроводниковых приборов и интегральных схем и изучения современных моделей параметров, используемых при моделировании процессов. 
В пособии представлена информация о широко используемых 
в настоящее время физических моделях технологических процессов 
электроники, их возможностях и ограничениях. Большое внимание 

уделено описанию параметров математических моделей, позволяющих получать результаты моделирования, хорошо совпадающие 
с экпериментальными. 
Представленный материал позволит студентам более глубоко 
усвоить лекционный материал при подготовке к практическим занятиям и окажет помощь при выполнении домашних заданий 
и курсовых работ. 

1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ 

1.1. Механизмы диффузии  

В кристаллической решетке атом примеси А сорта i может находиться в узлах кристаллической решетки (примесь замещения, 
substitushional) (Аis) и в междоузельных позициях (примесь внедрения, interstitial) (Aii). Перемещение примесных атомов в кристаллической решетке может происходить различными путями. 
1. Атом в узле решетки может перейти в находящуюся рядом вакансию (рис. 1.1).  

  

Рис. 1.1. Диффузия примеси по вакансионному механизму 

2. Диффузия по междоузельному механизму. В этом случае междоузельный атом перемещается в соседнее свободное междоузлие (рис. 1.2). 

 

Рис. 1.2. Диффузия примеси по междоузельному механизму 

3. Диссоциативные механизмы – переход атома из междоузлия в 
вакансию (V) и из узла в междоузлие с образованием вакансии:  

 
ii
is
A
V
A
+
=
, 

 
is
ii
A
A
V
=
+
. 

4. Кик-диффузия – выталкивание атома примеси из узла решетки 
в междоузлие собственным междоузельным атомом I:  

 
is
ii
I
A
A
+
=
. 

5. Диффузия атомов примеси в составе комплексов. Большинство 
интересных для практического применения примесей в полупроводниках являются электрически активными, т.е. могут быть заряженными, 
что приводит к образованию комплексов, состоящих как из атомов разного сорта, так и из атомов примеси и заряженных дефектов. Поскольку 
вакансии в кристаллах германия проявляют акцепторные свойства, они 
могут быть нейтральными, одно- двух- и трехкратно отрицательно заряженными центрами. Поэтому вакансии могут образовывать комплексы с ионизированными донорами (например, фосфор в узле решетки). 
При взаимодействии положительно заряженного фосфора в узле решетки с одно-, двух- или трехкратно заряженной вакансией могут образовываться нейтральные, однократно или двухкратно заряженные комплексы PVx (x = 0; −1; −2), которые будут диффундировать как целое 
с отличающимися от предыдущих случаев коэффициентами диффузии.  
Во всех случаях в процессах диффузии участвуют дефекты; поэтому реализуемый для конкретного кристалла механизм и характеризующие этот механизм коэффициенты диффузии могут отличаться 
для кристаллов различного качества и для разных способов внедрения атомов примеси. В этом смысле различие коэффициентов диффузии у разных авторов вполне объяснимо. Важно, чтобы при изложении результатов был описан метод и условия изготовления кристалла и проведения диффузионного процесса. 
В кристаллах процесс диффузии протекает посредством перескоков, однако основным методом анализа распределения атомов и дефектов в решетке является континуальное описание (концентрация 
компонента является непрерывной и дифференцируемой функцией 
координаты и времени) на основе уравнения непрерывности. Несмотря на активное развитие методики расчетов и методов молекулярной динамики, анализ диффузионных процессов на основе уравнения непрерывности не потерял своего значения в первую очередь 
потому, что позволяет анализировать экспериментальные профили, 
полученные методами, являющимися в той или иной степени интегральными. Косвенным путем эти методы позволяют определять 
природу дефектов в материале, энтальпии их образования и миграции. Достоверность квантово-механических расчетов этих характеристик также подтверждается результатами континуального модели

рования. Поэтому рассмотрим этот подход к описанию процесса 
диффузии. Следует отметить, что бурное развитие методов туннельной микроскопии, в которой могут быть выявлены как дефекты, так 
и отдельные атомы примеси, позволяет надеяться, что в ближайшем 
будущем будут получены новые прямые экспериментальные данные 
о количестве и типах дефектов и распределении атомов примеси при 
диффузии, что приведет к уточнению и, возможно, изменению наших взглядов на протекание диффузионных процессов в кристаллах 
полупроводников.  

1.2. Уравнение диффузии  

Уравнения, описывающие диффузионные процессы, называются 
законами Фика. Первая работа Адольфа Фика появилась в 1855 г. 
и описывала диффузию в системе соль–вода. Фик ввел понятие коэффициента диффузии и предположил линейную связь между градиентом концентрации и перемешивании соли и воды. Законы Фика 
описывают перенос вещества как эмпирический факт, не касаясь 
фундаментальных принципов этого явления. Однако очевидным достоинством континуального описания Фика является то, что все последующее развитие никоим образом не повлияло на справедливость 
его подхода. 
Поток диффундирующих частиц (атомы, молекулы, ионы или 
подвижные носители заряда (электроны или дырки)) в одном измерении (в направлении x), представленный на рис. 1.3, определяется 
по первому закону Фика 

 
,
C
F
D
x
∂
= −
∂
 
 (1.1)  

где F – поток частиц (диффузионный поток); 
C – плотность частиц (концентрация). 

Отрицательный знак в уравнении указывает на противоположные 
направления диффузионного потока и градиента концентрации. Диффузия – процесс, который приводит к выравниванию концентрации. 
Коэффициент пропорциональности D называют коэффициентом 
диффузии рассматриваемого элемента.  

Рис. 1.3. Иллюстрация первого закона Фика  

Диффузионный поток выражается в количестве частиц, пересекающих единицу площади в единицу времени, а концентрация – 
в количестве частиц, приходящихся на единицу объема. Таким образом, коэффициент диффузии имеет размерность квадрата длины, деленного на время. 
В случае, когда заряженные частицы движутся при воздействии 
постоянного электрического поля с напряженностью E, диффузионный поток описывается уравнением  

 
C
F
D
EC
x
∂
= −
± μ
∂
∓
, 
 (1.2)  

где μ∓  – подвижность отрицательных или положительных частиц. 

Коэффициент диффузии и подвижность связаны соотношением  

 
,
kT
D
q
=
μ  
(1.3)  

где q – заряд электрона. 

Используя векторное обозначение, первый закон Фика обобщается на три измерения: 

 
.
F
D
C
= −
⋅∇
  
(1.4)  

Обычно в диффузионных процессах сохраняется число диффундирующих частиц. Для диффундирующих частиц, которые подчиняются закону сохранения, может быть сформулировано уравнение непрерывности. С этой целью выберем произвольную точку Р с координатами (x, y, z) и рассмотрим объем  Δx, Δy, Δz (рис. 1.4). 

Рис. 1.4. Пример бесконечно малого тестового объема. Стрелками показаны 
входящий и исходящий у-компоненты диффузионного потока. 
Другие компоненты аналогичны (не показаны)  

Если сумма потоков, входящих и исходящих в тестовый объем, 
не сбалансирована, должно происходить накопление или потеря частиц. Этот баланс может быть выражен как  

Поток внутрь – Поток наружу =  
= Скорость накопления (или потери). 

В общем виде уравнение непрерывности представляется в виде  

 
.
C
F
t
∂
−∇
= ∂
 
(1.5)  

Объединение уравнения (1.1) первого закона Фика и уравнения 
непрерывности (1.5) приводит к уравнению, которое называется вторым законом Фика, или уравнением диффузии 

 
(
)
C
D
C
t
∂
= ∇⋅
⋅∇
∂
. 
 (1.6)  

Для одномерного случая 

 
C
C
D
t
x
x
∂
∂
∂
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∂
∂
∂
.  
(1.7)  

С математической точки зрения второй закон Фика – это дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными. 

Если коэффициент диффузии не зависит от концентрации, уравнение (1.6) упрощается: 

 
C
D
C
t
∂
=
⋅ Δ
∂
, 
(1.8) 

или для одномерного случая  

 

2

2
C
C
D
t
x
∂
∂
=
∂
∂
. 
(1.9) 

При диффузии заряженных частиц в электрическом поле диффузионное перераспределение примеси описывается уравнением диффузии 

 

2

2
C
C
C
D
E
t
x
x
∂
∂
∂
=
± μ
∂
∂
∂
∓
. 
(1.10) 

Диффузия в поле внешних сил. Если диффузия происходит в поле 
внешних сил, у потока появляется дрейфовая компонента. 
Дрейфовая компонента потока зависит от внешних и внутренних полей, в частности кулоновского, и полей напряжений в кристалле 
(табл. 1.1). Она может быть представлена произведением дрейфовой скорости v и концентрации компонента. Если дрейфовой компонентой нельзя пренебречь, но D и v не зависят от координаты, получают уравнение 
вынужденной диффузии  

 
(
)
(
)
(
)

2

2
,
C x,t
C x,t
C x,t
= D
v
t
x
x

∂
∂
∂
−
∂
∂
∂
 
 (1.11)  

где t – время. 

Для постоянных D и v уравнение (1.11) можно свести к уравнению (1.9) посредством подстановки Смолуховского:  

 
(
)
(
)

2
ξ
exp
.
2
4
v
v t
C x,t =
x,t
x
D
D

⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 
 (1.12)  

Тогда для функции ξ(x, t) можно записать уравнение, аналогичное 
(1.9), и воспользоваться имеющимися решениями этого уравнения:  

 
(
)
(
)

2

2
ξ
ξ
.
x,t
x,t
= D
t
x

∂
∂
∂
∂
 
(1.13)