Дифференциальное исчисление функций одной переменной

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2420 

Кафедра математики

Б.Г. Разумейко 
Л.Р. Ким-Тян 
И.С. Недосекина 

Дифференциальное 
исчисление функций  
одной переменной 

Курс лекций 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2014 

УДК 517 
 
Р17 

Р е ц е н з е н т  
канд. физ.-мат. наук, доц. В.П. Григорьев (МЭИ) 

Разумейко, Б.Г. 
Р17  
Дифференциальное исчисление функций одной переменной : курс лекций / Б.Г. Разумейко, Л.Р. Ким-Тян, И.С. Недосекина. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2014. – 116 с. 
ISBN 978-5-87623-818-4 

Курс лекций − первая часть учебно-методического комплекса дисциплины «Дифференциальное исчисление».  
Предназначен для студентов всех технических специальностей НИТУ 
«МИСиС». 
УДК 517 

ISBN 978-5-87623-818-4 
© Б.Г. Разумейко, 
Л.Р. Ким-Тян, 
И.С. Недосекина, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие................................................................................................. 5 
1. Введение в анализ.................................................................................... 6 
1.1. Предмет математического анализа, его роль в изучении 
и создании математических моделей. Историческая справка............ 6 
1.2. Математическая символика............................................................. 6 
1.3. Числовые множества. Геометрическая интерпретация 
вещественных чисел. Промежутки на числовой прямой.................... 7 
1.4. Модуль вещественного числа......................................................... 8 
1.5. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани 
числового множества. Теорема существования точной грани 
ограниченного множества.................................................................... 10 
1.6. Понятие числовой последовательности....................................... 12 
1.7. Определение предела числовой последовательности................ 13 
1.8. Единственность предела................................................................ 15 
1.9. Ограниченность сходящейся последовательности..................... 15 
1.10. Бесконечно малые последовательности..................................... 16 
1.11. Бесконечно большие последовательности ................................ 18 
1.12. Арифметические операции над сходящимися 
последовательностями.......................................................................... 19 
1.13. Неопределенные выражения....................................................... 21 
1.14. Предельный переход в неравенствах ......................................... 21 
1.15. Существование предела у ограниченной монотонной 
последовательности  (свойство Вейерштрасса)................................. 24 
1.16. Число е........................................................................................... 25 
1.17. Принцип вложенных отрезков.................................................... 28 
1.18. Подпоследовательность числовой последовательности. 
Частичные пределы последовательности........................................... 29 
1.19. Существование частичного предела у ограниченной 
последовательности. Теорема Больцано – Вейерштрасса................ 30 
1.20. Критерий Коши существования предела  
последовательности............................................................................... 31 
2. Предел и непрерывность функций одной переменной ..................... 35 
2.1. Два определения предела функции в точке,  
их эквивалентность ............................................................................... 35 
2.2. Критерий Коши существования предела функции..................... 38 
2.3. Пределы функции в точке слева и справа ................................... 38 
2.4. Пределы функции при стремлении аргумента  
к бесконечности..................................................................................... 40 
2.5. Свойства функций, имеющих предел .......................................... 40 
2.6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.................. 43 

2.7. Асимптоты графика функции и способы их отыскания............ 45 
2.8. Замечательные пределы и следствия из них ............................... 48 
2.9. Сравнение функций........................................................................ 53 
2.10. Непрерывность функции в точке. Классификация точек 
разрыва ................................................................................................... 59 
2.11. Свойства функций, непрерывных в точке................................. 62 
2.12. Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке ....................... 62 
2.13. Существование и непрерывность функции, обратной 
к непрерывной и строго монотонной функции.................................. 64 
2.14. Непрерывность элементарных функций ................................... 65 
3. Производная и ее приложение к исследованию функций................ 71 
3.1. Производная функции в точке...................................................... 71 
3.2. Непрерывность дифференцируемой функции............................ 71 
3.3. Дифференциал функции................................................................ 72 
3.4. Геометрический смысл производной и дифференциала ........... 73 
3.5. Физические приложения производной и дифференциала......... 74 
3.6. Правила дифференцирования....................................................... 75 
3.7. Таблица производных элементарных функций.......................... 78 
3.8. Производная n-го порядка............................................................. 80 
3.9. Дифференциал n-го порядка ......................................................... 82 
3.10. Дифференцирование функции, заданной параметрически ..... 82 
3.11. Основные теоремы для дифференцируемых функций  
(теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши)......................................... 83 
3.12. Критерии постоянства и монотонности функции  
на интервале........................................................................................... 86 
3.13. Необходимое условие локального экстремума функции ........ 88 
3.14. Достаточные условия локального экстремума ......................... 88 
3.15. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции  
на отрезке ............................................................................................... 89 
3.16. Формула Тейлора ......................................................................... 92 
3.17. Разложение основных элементарных функций по формуле 
Тейлора................................................................................................... 96 
3.18. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора ........... 100 
3.19. Приложения формулы Тейлора к исследованию поведения 
функции в окрестности точки............................................................ 103 
3.20. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей ................ 104 
3.21. Условия выпуклости и условие существования точек  
перегиба графика функции................................................................. 108 
3.22. Общая схема исследования и построения графика  
функции одной переменной............................................................... 111 
Библиографический список.................................................................... 115 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Курс лекций является составной частью учебно-методического 
комплекса дисциплины «Дифференциальное исчисление», который 
преподается в первом семестре студентам всех специальностей 
НИТУ «МИСиС». Комплекс включает в себя курс лекций, сборник 
индивидуальных домашних заданий и учебно-методическое пособие, 
посвященное разбору экзаменационных билетов. Предлагаемый вашему вниманию курс лекций соответствует программе по математике физико-химических специальностей, самой объемной из аналогичных программ в НИТУ «МИСиС». Поэтому большинство теоретических положений здесь приводится с доказательствами, что важно для того, чтобы будущие инженеры-исследователи приучались 
мыслить аналитически. В то же время рассматриваемые положения, 
как правило, иллюстрируются наглядными примерами, обращающими внимание на границы применимости той или иной теоремы.  

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 

1.1. Предмет математического анализа, его роль 
в изучении и создании математических моделей. 
Историческая справка 

Как известно, в природе и технике всюду встречаются движения, 
процессы, которые описываются функциями. Поэтому при построении и исследовании математических моделей поведения различных 
объектов важно владеть средством изучения функций. Таким средством является математический анализ. 
Математический анализ – это совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций и их обобщений методом 
пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический 
анализ изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых. 
Математический анализ в широком понимании этого термина охватывает очень большую часть математики. Основы математического анализа включают в себя теорию действительного числа, теорию 
пределов, дифференциальное и интегральное исчисление и их приложения, теорию рядов. 
До XVII в. математический анализ представлял собой совокупность 
решений разрозненных частных задач; например, в интегральном исчислении – это вычисление площадей различных фигур и объемов тел 
с кривыми границами, вычисление работы переменной силы и т.д. 
Каждая задача или частная группа задач решалась своими методами, 
подчас сложными и громоздкими. Математический анализ как единое 
и систематическое целое сложился в трудах И. Ньютона (I. Newton), 
Г. Лейбница 
(G. Leibniz), 
Л. Эйлера 
(L. Euler), 
Ж. Лагранжа 
(J. Lagrange) и других ученых XVII–XVIII вв., а его база – теория пределов – была разработана французским математиком О. Коши 
(A. Cauchy) в начале XIX в. 

1.2. Математическая символика 

При изложении материала для сокращения записи будем использовать логические символы, приведенные в табл. 1.1. 

Таблица 1.1 

Символ 
Название 
Пояснение 

∀ 
Знак общности 
Заменяет слова: 
«для любого», «для каждого», «для всех» 

∃ 
Знак существования 
Заменяет слова: 
«существует», «найдется» 

⇒ 
Знак следования 
Запись А⇒В означает: 
В следует из А 

⇔ 
Знак эквивалентности 
Запись А⇔В означает: 
А равносильно В; 
А необходимо и достаточно для В; 
А тогда и только тогда, когда В 

: 
 
Заменяет слова: «такой, что» 

→ 
 
Заменяет слова: 
«выполняется», «имеет место» 

В математике первичными понятиями являются понятия множества, элемента и принадлежности элемента множеству. 
Множества будем обозначать прописными буквами: А, В, …, Х, У, …, 
а элементы множеств – строчными буквами: а, b, …, х, у. Необходимые пояснения, связанные с операциями над множествами, приведены в табл. 1.2. 

Таблица 1.2 

Символическая запись 
Как это читается 

а ∈ А 
а является элементом множества А 

А = {а1, а2, … , аn} 
Множество А состоит из элементов а1, а2, …, аn 

А = В 
Множества А и В совпадают 

А ⊂ В 
Множество А является подмножеством В 

А ∩ В 
Пересечение множеств А и В 

А ∪ В 
Объединение множеств А и В 

1.3. Числовые множества. Геометрическая 
интерпретация вещественных чисел. 
Промежутки на числовой прямой 

Напомним некоторые известные обозначения числовых множеств: 
N = {1, 2, 3, …} – множество натуральных чисел; 
Z = {0, ±1, ±2, …} – множество целых чисел; 
Q – множество рациональных чисел; 
J – множество иррациональных чисел; 
R = Q ∪ J – множество действительных (вещественных) чисел. 

На прямой l (рис. 1.1) выберем точку О − начало отсчета, укажем направление отсчета и масштабный отрезок единичной длины. Числу 0 
поставим в соответствие точку О. Положительному числу α поставим в 
соответствие точку М, находящуюся справа от О на расстоянии α, а отрицательному числу β – точку М′, лежащую слева от О на расстоянии 
|β|. Такую прямую называют числовой прямой, или числовой осью. 

 

Рис. 1.1. Числовая ось 

Оказывается, что между множеством вещественных чисел и множеством точек на числовой прямой может быть установлено взаимно 
однозначное соответствие. Поэтому множество вещественных чисел 
R часто отождествляют с множеством точек числовой прямой, а числа называют точками. 
Напомним обозначения некоторых наиболее употребительных 
множеств на числовой прямой. 
Конечные промежутки: 
1) отрезок [a, b] = {x: a ≤ x ≤ b}; 
2) интервал (a, b) = {x: a < x < b}; 
3) полуинтервалы (a, b] = {x: a < x ≤ b}, [a, b) = {x: a ≤ x < b}. 
Бесконечные промежутки: 
1) полуинтервалы (лучи) [a, +∞) = {x: a ≤ x < +∞}, (–∞, b] = {x: –∞ < 
< x ≤ b}; 
2) интервалы (открытые лучи) (a, +∞) = {x: a < x < +∞}; (–∞, b] = 
= {x: –∞ < x ≤ b}; 
3) множество вещественных чисел (–∞, +∞) = {x ∈ R}. 

1.4. Модуль вещественного числа 

Для любого вещественного числа а число 

,
0,
,
0
a
a
а
a
a
≥
⎧
= ⎨−
<
⎩
 

называется абсолютной величиной числа а, или модулем. 

α 
β 
0 
l 

М 
М′ 
О 

–1 
1 

Перечислим (без доказательства) те свойства вещественных чисел, в которых используется понятие модуля вещественного числа: 
1) ⎜– а ⎜= ⎜а ⎜; 
2) ⎜а⋅b ⎜=⎜а ⎜⋅ ⎜b ⎜; 
3) ⎜а ± b ⎜≤ ⎜а ⎜+ ⎜b ⎜, 
4) ⎜⎜а ⎜– ⎜ b ⎜⎜≤ ⎜а – b ⎜. 
Пусть а и δ – заданные вещественные числа, причем δ > 0. Тогда 
неравенство 

⎜х – а ⎜< δ 

эквивалентно (рис. 1.2) двойному неравенству 

а – δ < х < а + δ, 

а неравенство ⎜х – а ⎜ > δ эквивалентно (рис. 1.3) совокупности неравенств 

,
.
x
a
x
a
>
+ δ
⎡
⎢
<
− δ
⎣
 

 

Рис. 1.2. Геометрическая интерпретация неравенства ⎜х – а ⎜< δ 

 

Рис. 1.3. Геометрическая интерпретация неравенства ⎜х – а ⎜ > δ 

а 

⎜х – а ⎜> δ 

x 
а – δ  
а + δ  

⎜х – а ⎜> δ 

x 
а + δ 
а – δ 
а 

⎜х – а ⎜< δ 

1.5. Ограниченные и неограниченные множества. 
Точные грани числового множества. Теорема 
существования точной грани ограниченного 
множества 

Множество Х ⊂ R называется ограниченным снизу, если существует 
число С1 ∈ R, такое что для всех х ∈ Х выполняется неравенство 
С1 ≤ x. Число С1 называется нижней гранью множества Х. 
Множество Х ⊂ R называется ограниченным сверху, если существует число С2 ∈ R, такое что для всех х ∈ Х выполняется неравенство 
x ≤ С2. Число С2 называется верхней гранью множества Х. 
Если числовое множество ограничено сверху и снизу, его называют ограниченным множеством, т.е. Х ⊂ R – ограниченное множество, если 

∃С1 ∈ R, С2 ∈ R: ∀х ∈ Х → С1 ≤ x ≤ С2. 

Последнее определение эквивалентно следующему: множество 
Х ⊂ R называется ограниченным, если 

∃С > 0: ∀х ∈ Х → ⎢х ⎢≤ С. 

Очевидно, что если число С является верхней гранью ограниченного сверху множества Х, то любое число, большее С, также является 
верхней гранью этого множества. Таким образом, ограниченное 
сверху числовое множество имеет бесконечно много верхних граней, 
среди которых особую роль играет наименьшая верхняя грань, которую называют точной верхней гранью множества Х. 
Сформулируем определение точной верхней грани с помощью 
символов. 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Число М называется точной верхней гранью числового множества Х, если выполняются следующие условия 
(рис. 1.4): 
1) ∀х ∈ Х → x ≤ М; 
2) ∀ε > 0 ∃хε∈Х: М – ε < хε < М. 
Точная верхняя грань числового множества Х обозначается sup X 
или sup{ }
x X
x
∈
 (читается «супремум»). 

Аналогично, наибольшая из нижних граней ограниченного снизу 
числового множества называется его точной нижней гранью. 

xε 
x 

ε
М − ε
М = sup X

X 

 

Рис. 1.4. Геометрическая интерпретация понятия точной верхней 
грани числового множества Х 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Число m называется точной нижней гранью числового множества Х, если выполняются следующие условия 
(рис. 1.5): 
1) ∀х ∈ Х → x ≥ m; 
2) ∀ε > 0 ∃ хε∈Х: m < хε < m + ε. 
Точная верхняя грань числового множества Х обозначается inf X 
или inf{ }
x X x
∈
 (читается «инфимум»). 

Заметим, что точная грань может как принадлежать, так и не принадлежать соответствующему множеству. Соответствующие примеры приведены на рис. 1.6. 

 

xε 
X 
x 

m + ε 
ε 
m = inf X 
 

Рис. 1.5. Геометрическая интерпретация понятия точной нижней 
грани числового множества Х 

 

X 

X 

2 
1 
0 

1 
0 

x 

x 

x 

1 
0 

X

Х = (0, 1) 
sup X = 1∉Х, inf X = 0∉Х 

Х = (0, 1] 
sup X = 1 ∈ Х, inf X = 0∉Х 

Х = (0, 1)∪{2} 
supX = 2 ∈ Х 
 

Рис. 1.6. Примеры точных граней числовых множеств 

Вопрос о существовании точных граней у числовых множеств 
решает важная для дальнейшего изложения теорема, которую ниже 
мы приведем без доказательства. 

ТЕОРЕМА 1.1. (О точной грани.) Всякое непустое, ограниченное 
сверху (снизу) множество вещественных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань. 

1.6. Понятие числовой последовательности 

Если каждому числу n ∈ N поставлено в соответствие определенное число хn ∈ R, то полученное упорядоченное множество 

х1, х2, …, хn, … 

называют числовой последовательностью. 
Кратко числовую последовательность обозначают символами 
{ }
1
n
n
x
∞

=  или {хn}. При этом хn называют элементом последовательности, а число n − номером этого элемента. 
Числовая последовательность – это функция, областью определения которой является все множество натуральных чисел N. Множество значений этой функции называют множеством значений последовательности. 
Числовая последовательность может быть задана с помощью 
формулы, позволяющей вычислить каждый элемент последовательности по его номеру. Например: 
1) 1, 1, 1, … ⇔ хn = 1, ∀n ∈ N; 
2) –1, 1, –1, 1, … ⇔ хn = (–1)n , n ∈ N; 

3) 
1
1
2, 2
2, 2
2
2 ,...
2,
2
,
2, 3,...
n
n
х
x
x
n
−
+
+
+
⇔
=
=
+
=
 
Обратим внимание, что в третьем примере числовая последовательность задана с помощью рекуррентной формулы 

хn = f(хn–1), 

т.е. задается первый элемент последовательности и указывается 
формула, связывающая последующий элемент с предыдущим. 
Отметим также, что множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным. Например, в первом 
приведенном выше примере оно состоит из одного числа 1, во втором – из двух чисел 1 и –1, а в третьем – бесконечно. Однако множество элементов последовательности всегда является бесконечным: 
любые два ее элемента отличаются своими номерами.