Математический анализ : ряды

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2005 

Кафедра математики

Е.Л. Плужникова 
Б.Г. Разумейко 
 

Математический анализ

Ряды 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2011 

УДК 517.5 
 
П40 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, доц. Е.А. Калашников 

Плужникова, Е.Л. 
П40  
Математический анализ : ряды : учеб. пособие / Е.Л. Плужникова, Б.Г. Разумейко. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2011. – 141 с. 
ISBN 978-5-87623-484-1 

В пособии приведены основные формулы и понятия по теме «Ряды и ряды Фурье», разобрано большое количество типовых задач различных уровней сложности по этим темам. Содержатся условия домашнего задания по 
данному курсу. Наличие типовых вариантов контрольных работ и тестов, 
предназначенных для проверки усвоения этого курса, позволит студенту 
подготовиться к экзаменационной сессии.  
Предназначено для студентов всех специальностей. 

УДК 517.5 

ISBN 978-5-87623-484-1 
© Плужникова Е.Л., 
Разумейко Б.Г., 2011 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Числовые ряды......................................................................................4 
2. Знакоположительные числовые ряды...............................................13 
3. Знакопеременные числовые ряды.....................................................37 
4. Функциональные ряды.......................................................................53 
5. Степенные ряды..................................................................................68 
6. Разложение функций в степенные ряды...........................................88 
7. Тригонометрический ряд Фурье .....................................................104 
8. Ряд Фурье по ортогональной системе функций ............................121 
Вопросы для самопроверки .................................................................130 
Типовые варианты контрольной работы............................................138 
Библиографический список.................................................................140 
 

1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 

Пусть а1, а2, а3, …, аn, … – бесконечная числовая последовательность. Выражение вида 

 
1
2
1
...
...
n
n
n

a
a
a
a

∞

=
+
+
+
+
=∑
 

называется числовым рядом, а числа а1, а2, а3, …, аn, … – членами ряда. 
Выражение для n-го члена ряда при произвольном n называется 
общим членом ряда. Для задания ряда необходимо задать правило, по 
которому для любого номера n можно записать соответствующий 
член ряда.  
Чаще всего общий член ряда задается формулой аn = f(n), пользуясь которой можно записать соответствующий член ряда. Например, 

формула 
2

!

n

na
n
=
 задает ряд  

 
4
8
2
2,
,
,
,
,
2! 3!
!

n

n
…
… . 

Иногда ряд задается с помощью рекуррентного соотношения, связывающего последующий член ряда с предыдущим. При этом задаются несколько первых членов ряда и формула, по которой находятся следующие члены ряда. Например, пусть а1 = 2, а2 = 1, а рекуррентная формула имеет вид 

 
аn = 2 аn − 1 − аn − 2. 

Тогда можем вычислить следующие члены ряда:  

 
а3 = 2 · 1 – 2 = 0; а4 = 2 · 0 – 1 = −1 и т. д. 

Пусть дан ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
, тогда сумма первых n членов числового ряда 

 
Sn = а1 + а2 + … + аn 

называется n-й частичной суммой ряда. 
Пусть даны две последовательности { }
1
n
n
a
∞

=  и {
}
1
n
n
S
∞

= , где 

1

n

n
k

k

S
a

=
=∑
. Если последовательность {
}
1
n
n
S
∞

=  сходится, т.е. существу

ет конечный предел последовательности частичных сумм данного 

ряда lim
n
n
S
S

→∞
=
, то ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
, называется сходящимся и его сумма 

 
1
2
1

...
...
n
n
n
S
a
a
a
a

∞

=
=
=
+
+
+
+
∑
 

Если же последовательность { }∞
=1
n
n
S
 расходится, т.е. конечного 
предела последовательности частичных сумм данного ряда не существует, то ряд называется расходящимся. 
Например, ряд 

 
b + bq + bq2 + … +bqn−1 +… (│q│ < 1), 

составленный из членов бесконечно убывающей геометрической 
прогрессии, сходится и его сумма  

 
.
1

b
S
q
= −
 

Ряд b − b + b – b +… расходится, так как последовательность его 
частичных сумм 

 
S1 = b, S2 = 0, S3 = b, …, S2n = 0, S2n − 1 = b, … 

не имеет предела. 
Ряд b + b + b + b +…(b ≠ 0) расходится, так как последовательность его частичных сумм 

 
S1 = b, S2 = 2b, …, Sn = nb, … 

стремится к бесконечности. 

Рассмотрим сходящийся ряд ∑

∞

=1
n
n
a . Разность между суммой ряда 

и его n-й частичной суммой Rn = S – Sn называют остатком ряда. 

Основные свойства сходящихся рядов 

1. Если ряд a1 + a2 + … + an + … сходится, то сходится и ряд 
am + am+1 + …, который получается из данного ряда отбрасыванием 
первых (m – 1)-х членов. И, наоборот, из сходимости ряда 
am + am+1 + … следует сходимость ряда a1 + a2 + … + an + … (т.е. конечное число членов ряда не влияет на его сходимость). 

2. Если ряд a1 + a2 + … + an + … сходится и его сумма равна S, то 
сходится и ряд Сa1 + Сa2 + … + Сan + …, где С – некоторая константа, причем его сумма равна СS. 
3. Если ряды 

 
a1 + a2 + … + an + … и b1 + b2 + … + bn + … 

сходятся и их суммы равны S1 и S2 соответственно, то сходится и ряд 

 
(a1 + b1) + (a2 + b2) + … + (an + bn) + …, 

причем его сумма равна S1 + S2. 

Критерий Коши сходимости ряда 

Ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 

существует такой номер N(ε), зависящий от ε, что для любого 
n > N(ε) неравенство 

 
│an + an+1 + … + an+m│ < ε 

выполняется для любого числа m ≥ 0.  

Рассмотрим ряд 

1

1

n
n

∞

=∑
, который называется гармоническим. Пока
жем с помощью критерия Коши, что данный ряд расходится. Пусть 
m = n, тогда  

 
1
2

1
1
1
1

1
2
2
n
n
n
a
a
a
n
n
n
n

+
+
+
+
=
+
+
+
+
>
+
+
…
…
 

 
1
1
1
1
1
1.
2
2
2
2

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
+
>
+
+
+
+
=
>
=
+
+
+
…
 

Данное неравенство выполняется для любого сколь угодно боль
шого n. Следовательно, при 
1
2
ε ≤
 и при m = n неравенство 

 
│an + an+1 + … + an+m│ < ε 

не выполняется, а значит, по критерию Коши гармонический ряд 
расходится. 

Необходимый признак сходимости ряда 

Если ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 сходится, то lim
0
n
n
a
→∞
=
. Обратное утверждение не
верно, т.е. из условия lim
0
n
n
a
→∞
=
 сходимость ряда 

1

n

n

a

∞

=∑
 не следует.  

Применять этот признак надо следующим образом: если 

lim
0
n
n
a
→∞
≠
, то ряд 

1

n

n

a

∞

=∑
 расходится, но если lim
0
n
n
a
→∞
=
, то о сходимо
сти ряда ничего сказать нельзя.  

Например, ряд 

1

2
3

3
4
n

n
n

∞

=

+
−
∑
 расходится, так как 

 
2
3
2
lim
0
3
4
3
n
n
n
→∞
+
=
≠
−
. 

Рассмотрим гармонический ряд 

1

1

n
n

∞

=∑
. Для данного ряда выполнен 

необходимый признак сходимости ряда, так как 
1
lim
0

n
n
→∞
=
, но, как 

было показано ранее, гармонический ряд расходится. 

Пример 1.1 

Показать, что ряд 
2
2
2

1
1
1
1
1
...
...
1
3
8
15
1
n
n
n

∞

=
=
+
+
+
+
+
−
−
∑
 сходится, и 

найти его сумму. 

Решение 
Покажем, что данный ряд сходится. Рассмотрим n-ю частичную 
сумму ряда 

 
2

1
1
1
1
...
.
3
8
15
1

n
S
n
=
+
+
+
+
−
 

Разложим дробь 
2
1

1
n −
 на сумму простейших дробей методом не
определенных коэффициентов: 

 
2
2

1
(
1)
(
1);
1
1
1
1
A
B
A n
B n
n
n
n
n
+
+
−
=
+
=
−
−
+
−
 

1
(
1)
(
1).
A n
B n
=
+
+
−
 

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях, получим 
систему 

 

1
,
,
0,
2
1
1
1.
2
2

A
B
A
A
B
A
B
B
B

⎧
= −
=
⎧
⎪
+
=
⎧
⎪
⎪
⇒
⇒
⎨
⎨
⎨
−
=
= −
⎩
⎪
⎪
= −
⎩
⎪⎩

 

Тогда 
2
1
1
1
1
.
1
2
1
1
n
n
n
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
−
−
+
⎝
⎠
 

Преобразуем: 

 
1
1
1
1
1
1
...
1 3
2 4
3 5
4 6
5 7
(
1)(
1)

n
S
n
n
=
+
+
+
+
+
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
 

 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
2
3
2
4
3
5
4
6
5
7
1
1
n
n
⎛
⎞
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
−
=
⎜
⎟
−
+
⎝
⎠
 

 
1
1
1
1
1 3
1
1
1
.
2
2
1
2 2
1
n
n
n
n
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
−
−
=
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
 

Перейдя к пределу при n → ∞, получим: 

 
1 3
1
1
1 3
3
lim
lim
.
2 2
1
2 2
4

n
n
n
S
n
n
→∞
→∞
⎛
⎞
=
−
−
=
⋅
=
⎜
⎟
+
⎝
⎠
  

Следовательно, по определению ряд 
2
2

1

1
n
n

∞

=
−
∑
 сходится и его сум
ма 
3.
4
S =
 

Пример 1.2 

Показать, что ряд 

1

1

(
1)(
2)
n
n n
n

∞

=
+
+
∑
сходится и найти его сумму. 

Решение 
Покажем, что данный ряд сходится. Рассмотрим n-ю частичную 
сумму ряда 

 
1
1
1
1
...
.
1 2 3
2 3 4
3 4 5
(
1)(
2)

n
S
n n
n
=
+
+
+
+
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
+
+
 

Разложим дробь 
1

(
1)(
2)
n n
n
+
+
 на сумму простейших дробей ме
тодом неопределенных коэффициентов: 

1
(
1)(
2)
(
2)
(
1) ;
(
1)(
2)
1
2
(
1)(
2)
A
B
C
A n
n
Bn n
Cn n
n n
n
n
n
n
n n
n
+
+
+
+
+
+
=
+
+
=
+
+
+
+
+
+
 
1
(
1)(
2)
(
2)
(
1).
A n
n
Bn n
Cn n
=
+
+
+
+
+
+
 

Подставляя n = 0, n = −1 и n = −2, найдем коэффициенты A, B и C: 
при n = 0 
 
1 = 2A ⇒ A = 1/2; 
при n = −1 
 
1 = −B ⇒ B = −1; 
при n = −2 
 
1 = 2C ⇒ C = 1/2. 
Тогда  

 
1
1 1
2
1
.
(
1)(
2)
2
1
2
n n
n
n
n
n
⎛
⎞
=
−
+
⎜
⎟
+
+
+
+
⎝
⎠
 

Преобразуем: 

 
1
1
1
1
...
1 2 3
2 3 4
3 4 5
(
1)(
2)

n
S
n n
n
=
+
+
+
+
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
+
+
 

1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
...
2
2
3
2
3
4
3
4
5
1
2
n
n
n
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
−
+
+
−
+
+
−
+
+
+
−
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

 
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
2
2
3
2
2
3
4
3
3
4
5
4
⎛⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
⎜⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
 

 
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
2
1
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
+
+
−
+
−
=
−
−
+
=
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
+
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
⎠
 

 
1 1
1
1
.
2 2
1
2
n
n
⎛
⎞
=
−
+
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
 

Перейдя к пределу при n → ∞, получим: 

 
1 1
1
1
1 1
1
lim
lim
.
2 2
1
2
2 2
4

n
n
n
S
n
n
→∞
→∞
⎛
⎞
=
−
+
=
⋅
=
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
  

Следовательно, по определению ряд 

1

1

(
1)(
2)
n
n n
n

∞

=
+
+
∑
 сходится и 

его сумма 
1.
4
S =
 

Пример 1.3 

Показать, что ряд 

1

3
5

7

n
n

n
n

∞

=

+
∑
сходится и найти его сумму. 

Решение 
Разложим данный ряд на сумму двух рядов: 

 

1
1
1

3
5
3
5 .
7
7
7

n
n
n
n

n
n
n
n
n
n

∞
∞
∞

=
=
=

+
=
+
∑
∑
∑
 

Найдем n-ю частичную сумму ряда 

 

2

1

3
3
3
3
...
....
7
7
7
7

n
n

n
n

∞

=

⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
  

Члены ряда представляют собой геометрическую прогрессию с 

первым членом, равным 3

7 , и знаменателем q, равным 3

7 . 

Сумма первых n членов геометрической прогрессии  

 
b + bq + bq2 + … +bqn−1 +… 

может быть найдена с помощью формулы  

 
(
1).
1

n

n
b q
S
q
−
=
−
 

У нас 
3
3
,
.
7
7
b
q
=
=
 

Тогда  

 

2
3
3
1
7
7
3
3
3
...
.
3
7
7
7
1
7

n

n

n
S

⎛
⎞
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝
⎠
=
+
+
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
−
 

Перейдя к пределу при n → ∞, получим: 

1

3
3
3
1
7
7
3
7
lim
lim
.
3
3
4
1
1
7
7

n

n
n
n
S
S
→∞
→∞

⎛
⎞
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
=
=
=
=
−
−
 

Следовательно, по определению ряд 

1

3
7

n

n

n

∞

=∑
 сходится и его сумма 

1

3.
4
S =
 

Аналогично, найдем n-ю частичную сумму ряда 

 

2

1

5
5
5
5
...
...
7
7
7
7

n
n

n
n

∞

=

⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
+
+
+
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
∑
 

Члены ряда представляют собой геометрическую прогрессию с 

первым членом, равным 5

7 , и знаменателем q, равным 5

7 . Тогда 

 
2

5
5
5
1
7
7
5
7
lim
.
5
5
2
1
1
7
7

n

n
S
→∞

⎛
⎞
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
=
=
=
−
−
 

Следовательно, по определению ряд 

1

5
7

n

n

n

∞

=∑
 сходится и его сумма 

2

5.
2
S =
 

Тогда ряд 

 

1
1
1

3
5
3
5

7
7
7

n
n
n
n

n
n
n
n
n
n

∞
∞
∞

=
=
=

+
=
+
∑
∑
∑
 

сходится и его сумма 

 
1
2

3
5
13.
4
2
4
S
S
S
=
+
=
+
=
 

Пример 1.4 
Показать, что ряд 1 + 2 + 3 + … + n +… расходится.