Дополнительные главы теории колебаний

Российский федеральный ядерный центр – 
Всероссийский научно-исследовательский институт  
экспериментальной физики 
Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» 
Саровский физико-технический институт 
 
 
 
 
 
Н. Н. Веричев, С. И. Герасимов, В. И. Ерофеев 
 
 
 
 
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ  
ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Саров 
2018 

 
УДК 534.1 
ББК 22.213 
В 32 
 
 
В 32 
Веричев, Н. Н., Герасимов, С. И., Ерофеев, В. И. Дополни-
тельные главы теории колебаний / Н. Н. Веричев, С. И. Герасимов, 
В. И. Ерофеев. – Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2018. – 338 с., ил. 
 
ISBN 978-5-9515-0394-7 
 
Исследуются современные проблемы нелинейной дина-
мики, возникающие в контексте динамического хаоса. Осо-
бое внимание уделяется синхронизации систем с хаотиче-
ской динамикой – хаотической синхронизации: ее истории, 
свойствам и перспективам приложений. Рассматриваются: 
задачи устойчивости хаотической синхронизации в решетках 
различной геометрической размерности, составленных из иден-
тичных и неидентичных динамических систем (осциллято-
ров); задачи, связанные с развитием динамического хаоса  
в системах с цилиндрическим фазовым пространством; зада-
чи существования и устойчивости динамических структур  
в решетках, возникающих вследствие самоорганизации 
групповых (кластерных) осцилляторов, представляющих 
групповые субъекты синхронизации. Решаются задачи о числе 
и типах кластерных структур в зависимости от размеров  
и геометрии решеток.  
Материал изложен в традициях Нижегородской (Горь-
ковской) школы теории колебаний А. А. Андронова: на «язы-
ке» фазового пространства математических моделей с широ-
ким применением аналитических, качественно-численных 
методов, методов качественной теории дифференциальных 
уравнений и теории бифуркаций.  
Издание предназначено для студентов вузов и аспиран-
тов, специализирующихся в области нелинейной динамики,  
а также специалистов в различных областях машиностроения. 
 
УДК 534.1 
ББК 22.213 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-9515-0394-7                            © Веричев Н. Н., Герасимов С. И., 
Ерофеев В. И., 2018 
© ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», 2018 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Предисловие ………………………………………………………
5
Глава 1. ОСЦИЛЛЯТОРЫ И РОТАТОРЫ  
С ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКОЙ …………………………..
12
1.1. Осцилляторы с хаотической динамикой ……………….
12
1.2. Синхронизация и хаотические вращения  
неавтономного ротатора …………………………………......
22
1.3. Динамика ротатора с апериодическим звеном ………...
44
1.4. Хаотическая динамика неавтономного ротатора  
с апериодической нагрузкой ………………………………...
56
1.5. Хаотическая динамика системы  
«ротатор – осциллятор» ………………………………………
73
1.6. Динамика связанных ротаторов …………………….….
96
Глава 2. ХАОТИЧЕСКАЯ СИНХРОНИЗАЦИЯ 
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ …................................................ 110
2.1. Хаотическая синхронизация параметрически  
возбуждаемых осцилляторов. Общее определение  
синхронизации …...................................................................... 110
2.2. Взаимная и принудительная хаотическая  
синхронизация идентичных систем ………………………… 120
2.3. Асимптотическая теория взаимной хаотической  
синхронизации слабо неидентичных систем ………………. 131
2.4. Взаимная синхронизация сильно неидентичных  
систем ………………………………………………………… 139
2.5. Принудительная синхронизация хаотических  
колебаний …………………………………………………….. 145
2.6. Формирование сигналов с заданным законом  
модуляции хаотической несущей и передача информации …. 153
Глава 3. СИНХРОНИЗАЦИЯ В ОДНОРОДНЫХ  
И НЕОДНОРОДНЫХ РЕШЕТКАХ …………..…………..….. 158
3.1. Синхронизация в решетках динамических систем.  
Общие сведения ……………………………………………… 160

Оглавление 
4
3.2. Пространственно однородные автоволновые  
процессы – глобальная синхронизация в системах  
с переносом и диффузией …………………………………… 172
3.3. Синхронизация вращений в цепочке и кольце  
диффузионно-связанных автономных и неавтономных  
ротаторов ………………………............................................... 179
3.4. Регулярная и хаотическая синхронизация  
в однородной цепочке динамических систем  
«ротатор – осциллятор» ………………………....................... 189
3.5. Синхронизация осцилляторов в неоднородной  
цепочке и кольце с диффузией ………………………........... 196
3.6. Динамика потоковой однородной и неоднородной  
цепочки ……………………….................................................. 209
Глава 4. СУЩЕСТВОВАНИЕ, СИНТЕЗ  
И УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАСТЕРНЫХ СТРУКТУР  
В РЕШЕТКАХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ …………..…………..…… 227
4.1. Физика кластерных структур …………………………... 228
4.2. Синтез и общие свойства схем 
кластерных структур ………………………………................ 243
4.3. К-осцилляторы цепочки и полнота типов  
ее кластерных структур …........................................................ 253
4.4. К-осцилляторы и кластерные структуры кольца ……… 266
4.5. К-осцилляторы, простые клетки и кластерные  
структуры в двумерных решетках ………………………….. 279
4.6. Устойчивость кластерных структур …………………… 292
Приложение I. Алгоритмы преобразования систем  
связанных ротаторов к стандартной форме …………………. 306
Приложение II. Вычисление собственных  
значений матриц ………………………………………………… 319
Список литературы ……………………………………………... 322
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
История научного познания явления синхронизации начинает-
ся с 1665 г., со знаменитого опыта Х. Гюйгенса с часами, висящими 
на одной балке. Наблюдая за ходом настенных часов, расположен-
ных на балке, Гюйгенс заметил необычайную согласованность 
ритма их движения, тогда как без общей балки согласованность 
хода часов исчезала. Он сделал верный вывод о том, что причиной 
этого была балка, игравшая роль связующего, приводившая к взаи-
модействию объектов и, как следствие, к согласованности их дви-
жений. К сожалению, неизвестно, догадывался ли гениальный уче-
ный и изобретатель (в числе его многочисленных изобретений – 
маятниковые часы со спусковым механизмом, 1657 г.) о глобально-
сти наблюдаемого им явления и его определяющей роли в живой  
и неживой природе.  
Следующий реперный случай из истории синхронизации – за-
хват колебаний органной трубы колебаниями камертона (принуди-
тельная синхронизация), который наблюдал Д. Рэлей (1878), позже 
построивший теорию звука (The Theory of Sound, 1878).  
Систематический характер экспериментальные исследования 
синхронизации приобретают только в начале XX века в связи  
со становлением и бурным развитием новых областей инженерных 
знаний – радиотехники и радиолокации.    
Первой экспериментальной работой по синхронизации радио-
технических генераторов является работа Эпплтона (E. V. Аpplton). В 
1922 г., исследуя воздействие периодической ЭДС на ламповый 
генератор, Эпплтон обнаружил принудительную синхронизацию 
колебаний этого генератора. С тех пор радиотехнические генераторы 
являются чрезвычайно удобным инструментом экспериментальных 
исследований и средством продемонстрировать не только явление 
синхронизации, но и общие свойства динамических систем.  
Отсутствие в начале XX века адекватного математического аппарата 
не позволило обобщить многочисленные экспериментальные 
факты в виде математических моделей, аналитически их исследовать 
и объяснить. Поэтому суть синхронизации как сугубо 
нелинейного явления длительное время считалась terra incognita.  

Предисловие 
6
В отношении синхронизации (и нелинейной физики в целом) 
революционным событием явилось создание качественной теории 
дифференциальных уравнений А. Пуанкаре [1] и теории устойчивости 
движения А. М. Ляпуновым [2]. Совокупность этих теорий 
послужила основой для развития всей современной нелинейной 
динамики, включая теорию синхронизации.  
Аналитические исследования синхронизации периодических 
колебаний берут начало с пионерских работ Ван-дер-Поля (1927) [3], 
А. А. Андронова и А. А. Витта (1930) [4]. Ван-дер-Поль сформулировал 
задачу принудительной синхронизации радиотехнического 
генератора в виде неавтономного нелинейного дифференциального 
уравнения второго порядка, известного теперь под именем автора  
и ставшим одним из канонических уравнений нелинейной динамики. 
Ван-дер-Поль предложил также оригинальный метод исследо-
вания уравнения, мотивируя свои действия (усреднение) лишь физическими 
соображениями о разномасштабности (по малому параметру) 
изменения переменных – амплитуды и фазы колебаний. 
Длительное время этот метод и его результаты рассматривались  
в лучшем случае как «приближенные», «инженерные». Таковыми 
считали их А. А. Андронов и А. А. Витт, предложившие решение 
задачи на основе метода Пуанкаре, в более общей постановке,  
с математически строгим обоснованием всех «деталей» исследования. 
Удивительным тогда оказалось то, что в частном случае кубичной 
нелинейности (нелинейность Ван-дер-Поля) результаты 
этих двух работ совпали. В настоящее время, когда уже давно известно 
о смысле процедур усреднения, интуитивно проводимых 
Ван-дер-Полем, остается только удивляться его гениальной находке. 
Далее по значимости и хронологии идут работы Л. И. Мандельштама 
и Н. Д. Папалекси [5], К. Ф. Теодорчика [6, 7], W. V. Lyon  
и H. E. Edgerton [8], Гольдштейна Л. Д. [9] и других авторов. Исключительный 
вклад в теорию синхронизации различных систем 
внесен сотрудниками и учениками А. А. Андронова: А. А. Виттом, 
С. Э. Хайкиным, Н. А. Железцовым [10, 11], А. Г. Майером [12], 
Н. Н. Баутиным, Е. А. Леонтович [13], Ю. И. Неймарком [14],  
Н. В. Бутениным, Н. А. Фуфаевым [15] и последующими поколе-
ниями этой научной школы.  
Определяющим событием в развитии теории динамических  
систем, и в частности теории синхронизации, явилось открытие  

Предисловие 
7
Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым метода усреднения (1934) [16]. 
Как совокупность теорем и алгоритмов, этот метод не только обос-
новал процедуру Ван-дер-Поля (побочный результат), но и поло-
жил начало целому направлению исследований инвариантных мно-
гообразий динамических систем, имеющих непосредственное от-
ношение к теории синхронизации [17 – 20].  
Исключительная эффективность метода усреднения, а также 
его связь с методом точечных отображений вместе с простотой ин-
терпретации результатов явились причиной массового появления 
работ, касающихся различных аспектов синхронизации периодиче-
ских колебаний. Значительный вклад в теорию синхронизации си-
стем с непосредственными связями, а также ее практическое при-
ложение внесли работы Н. Н. Моисеева [21], И. И. Блехмана [22, 23], 
Р. В. Хохлова [24], Г. М. Уткина [25], П. С. Ланда [26], Л. В. Пост-
никова и В. И. Королева [27], В. В. Мигулина [28], И. И. Мина-
ковой [29], Ю. М. Романовского [30], М. Ф. Диментберга [31], 
L. Cesari [32], N. Levinson [33] и многих других.  
Что касается непосредственно связанных с синхронизацией 
аналитических исследований нелокальных бифуркаций разрушения 
инвариантных торов и образования на этой базе хаотических ат-
тракторов, то основополагающими в этой области являются работы 
Нижегородской математической школы Л. П. Шильникова [34 – 36].  
Вышесказанное относилось к случаю синхронизации непо-
средственно связанных динамических систем.  
Одновременно с началом исследований синхронизации непо-
средственно связанных генераторов в области радиосвязи возникло 
новое направление: системы автоматической подстройки частоты 
одного источника (подстраиваемого генератора) под частоту дру-
гого («эталонного» генератора) – системы ЧАП – и того же смысла 
системы автоподстройки фазы – системы ФАП. Вместе они полу-
чили название систем фазовой синхронизации – СФС.  
Первая система ФАП частоты была предложена Б. П. Терентье-
вым в 1930 г. [37], а теория этих систем берет начало с работ де Бель-
сиза [38], F. Tricomi [39], C. Travis [40]. 
В настоящее время без СФС не обходится ни одно из средств 
телерадиосвязи, как и ни одно из средств дистанционного управле-
ния сложными техническими системами. Современным состоянием 
техника СФС обязана работам большого коллектива отечественных 

Предисловие 
8
и зарубежных исследователей: библиография огромна, с большой 
ее частью можно познакомиться в монографиях [41 – 44]. 
Для теории колебаний как научной дисциплины, исследующей 
динамику общих для различных областей естествознания матема-
тических моделей, важно, что модели СФС одновременно являются 
математическими моделями большого числа физических систем. 
Эти модели будут являться предметом изучения данной моногра-
фии – динамические системы фазового или, по-другому говоря, 
маятникового типа:  








1
2
1
,
, , ,
,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
j
j
I
f
f
F
  


 

  
 
 x x




 


, , ,
,

 

x
Ax
X x


 
 
                             (П1) 
0.
  

 
Здесь ,
1, ,
i j
n

 
,
i
S
 
 
,
S

 
;
m
R

x
 I, 
,
i
i

  – постоянные па-
раметры, 


m
m


A
 – постоянная Гурвицева (устойчивая) матри-
ца; 
,
i
F X  – функции связей. Все функции, входящие в (П1) перио-
дичны по фазовым переменным. Система задана в тороидальном 
фазовом пространстве 


1
,
,
,
.
n
n m
G
T
R





x

 
 
 
В ряду физических систем, имеющих математические модели 
из класса (П1), находятся автономные и неавтономные системы 
связанных сверхпроводящих джозефсоновских переходов (контак-
тов) [45, 46]; системы связанных маятников Фруда [47]; связанные 
электрические машины [13, 48, 49]; вибрационные механизмы раз-
личного назначения [22, 50 – 52]; несбалансированные, податливые  
на изгиб и кручение валы [50, 53, 54] и многие другие системы. Урав-
нения вида (П1) будем называть системами связанных ротаторов. 
Разработка новых и адаптация уже имеющихся методов для 
исследования конкретных динамических систем является самосто-
ятельной и одной из главных задач теории колебаний. Надо ска-
зать, что первостепенность этой задачи была определена А. А. Ан-
дроновым еще в начале создания теории колебаний как нового 
научного направления. Что касается систем класса (П1), то анали-
тические и качественно-численные методы наиболее развиты для 
исследования ограниченных движений маятниковых систем. Они 
разработаны главным образом для решения задач СФС, задач авто-

Предисловие 
9
матического регулирования и отражены в работах А. И. Лурье [55], 
Е. А. Барбашина, 
Н. Н. Красовского, 
В. А. Табуевой 
[56, 57],  
В. М. Попова [58], В. А. Якубовича, А. Х. Гелига, Г. А. Леонова [42, 
59, 60], В. В. Шахгильдяна [41, 61], Ю. Н. Бакаева [62], В. Н. Бе-
лых, В. И. Некоркина [42, 63 – 65], В. П. Пономаренко, В. Д. Шал-
феева, Л. А. Белюстиной [42, 65, 66] и других авторов. В данной 
монографии будет предложена адаптации метода усреднения для 
эффективного исследования синхронизации, динамического хаоса  
в классе вращательных движений систем связанных ротаторов.  
Открытие в 1983 г. синхронизации хаотических колебаний для 
идентичных (Yamada T. and Fujisaka H. [67]) и, независимо в 1986 г., 
для неидентичных автоколебательных систем с хаотической дина-
микой (В. С. Афраймович, Н. Н. Веричев, М. И. Рабинович [68])  
в немалой степени изменило имевшиеся представления о явлении 
синхронизации. В отличие от классической синхронизации (перио-
дических колебаний), в силу своей распространенности и привыч-
ности кажущейся почти очевидной, хаотическая синхронизация, 
напротив, казалась маловероятной и даже невозможной. Причина 
этого – сложившееся в то время убеждение, что взаимодействие 
внутренне неустойчивых систем может порождать только лишь 
усиление неустойчивости связанной системы. Однако оказалось, 
что это не совсем так: в результате «взаимодействия странных 
аттракторов» может рождаться новый странный аттрактор (образ 
синхронизации) – такой, что движения отдельных систем, остава-
ясь хаотическими, становятся синхронизованными при движении 
связанной системы на этом аттракторе. В порядке исследования 
хаотической синхронизации (1985 г.) стало ясно, что само опреде-
ление синхронизации, сводимое до этого к соизмеримости частот, 
нуждается в обновлении. Уже тогда было ясно и то, что уникальная 
по своим свойствам хаотическая синхронизация, которая может 
быть реализована при помощи простых технических решений  
(в частности, радиотехнических схем), найдет самое широкое при-
менение, что и подтвердилось со временем.  
Одна из областей применения хаотической синхронизации – 
современные информационные технологии. Первые эксперименты 
по передаче информации на основе хаотической синхронизации были 
проведены А. С. Дмитриевым, А. И. Панасом и С. О. Старковым [69]; 
L. Kocarev, K. S. Halle, K. Eckert, L. Chua, U. Parlitz [70]; H. Dedieu, 

Предисловие 
10
M. Kennedy, M. Hasler [71]. Применение систем ФАП в передаче 
информации с хаотическими сигналами исследованы В. В. Матро-
совым [72]. 
Привлекательность использования динамического хаоса и хао-
тической синхронизации в передаче информации объясняется не-
сколькими причинами: во-первых, широкополосностью сигнала 
носителя, а следовательно, большой информационной емкостью; 
во-вторых, возможностью конфиденциальности (скрытности) пере-
дачи информации. Конфиденциальность связи достигается за счет 
того, что «эталонный» автогенератор, определяющий хаотическую 
несущую информационного сигнала, синхронизируется только  
с аналогичным ему по динамике автогенератором. 
Другая область применения – моделирование биологических 
нервных тканей и искусственных нейроноподобных сетей. Много-
численные физиологические наблюдения за деятельностью различ-
ных отделов головного мозга показывают хаотичность их динами-
ки. Таковой она может быть в качестве отражения нормальной 
жизнедеятельности или возникнуть вследствие кризисного состоя-
ния объекта [73, 74]. Поэтому моделирование нервных сетей в виде 
связанных динамических систем с хаотической динамикой пред-
ставляется правдоподобным и дает достаточно адекватные резуль-
таты. Число публикаций, посвященных моделированию данных 
систем, велико; часть из них представлена в обзорах [75, 76]. В ос-
новном базой сетей выбираются классические модели Ходжкина –
Хасли [77], Фитц Хью – Нагумо [78], Колмогорова – Петровского –
Пискунова [79] и их модификации.  
Хаотическая синхронизация – явление сложное, исследование 
его различных аспектов продолжается до сих пор. Существенный 
вклад внесли работы L. M. Pecora, T. L. Carroll [80], Н. Ф. Рулькова, 
А. Р. Волковского [81], P. Ashwin, J. Buescu, I. Stewart [82], S. C. Ven-
kataramani, B. R. Hunt, E. Ott, D. J. Gaunthier, J. S. Bienfang [83, 84], 
А. С. Пиковского, J. Kurths [85], В. С. Анищенко [86] и др. По при-
чине многочисленности дать сколь-нибудь полный и упорядочен-
ный перечень публикаций невозможно. Однако, несмотря на мно-
гочисленность работ, проблема хаотической синхронизации оста-
ется актуальной до сих пор, и в первую очередь это относится  
к методам исследования. Ниже мы подробно опишем как само яв-
ление, так и его асимптотическую теорию. 

Предисловие 
11
Еще одна область применения хаотической синхронизации – 
диссипативные структуры, начало исследованию которых положено 
И. Р. Пригожиным [87]. Хаотическая синхронизация добавляет 
новый аспект в развитие этого направления, который можно выразить 
фразой «упорядоченный хаос из всеобщего хаоса», по смыслу 
дополняющей изречение, зафиксированное в названии известной 
монографии И. Пригожина и И. Стенгерс «Порядок из хаоса» [88]. 
В решетках динамических систем (осцилляторов) – как дискретных 
аналогах активной сплошной среды – подобные структуры названы 
«кластерными» структурами. Кроме моделирования процессов  
в сплошной среде, имеется и самостоятельный интерес исследования 
кластерных структур в решетках осцилляторов: большое число 
объектов живой и неживой природы имеют или могут иметь подобные 
структуры [89 – 93].  
Надо заметить, что большинство результатов исследований 
«кластерной» динамики получено компьютерным моделированием 
систем. Аналитические результаты не так многочисленны и в основном 
относятся к изотропным решеткам [94 – 101]. Наш интерес 
будет состоять в упорядочении теории кластерных структур в ре-
шетках осцилляторов и приведении механизмов их образования  
в соответствие с общепринятыми представлениями о явлении син-
хронизации.  
 
Веричев Н. Н., профессор 
ННГУ им. Н. И. Лобачевского 
 
Ерофеев В. И., профессор 
ННГУ им. Н. И. Лобачевского 
 
Герасимов С. И., профессор 
СарФТИ НИЯУ «МИФИ»