Теория вероятностей и математическая статистика. Раздел 1. Теория вероятностей

УДК 519.2 
К21 

Р е ц е н з е н т 
доцент СМ. Курашов 

Карасев В.А., Богданов С.Н. 

К21 
Теория вероятностей и математическая статистика. Разд. 1. 

Теория 
вероятностей: 
Учеб.-метод. пособие.-М.: 
МИСиС, 
2003.-64 с. 

Настоящее издание является учебно-методическим пособием для подготовки к практическим занятиям, контрольной работе и к выполнению домашнего задания по первой части курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Пособие состоит из двух частей и включает указания по 
решению задач, большое количество примеров решения типовых задач, охватывающих все основные темы теории вероятностей, приводится подробный пример выполнения домашнего задания. 

Предназначено для студентов специальностей 110200, 110500, 110600, 
110800, 090300, 170300, 072000. 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (Технологический 
университет) (МИСиС), 2003 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
4 

1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
5 

1.1. Непосредственный расчет вероятностей 
5 

1.2. Расчет вероятностей с помощью правил 

сложения и умножения 
7 

1.2.1. Независимость случайных событий 
9 

1.2.2. Дискретные случайные величины 
15 

1.2.3. Биномиальное распределение дискретной 

случайной величины 
18 

1.4. Геометрические вероятности 
23 

1.5. Формула полной вероятности и формулы Байеса 
25 

1.6. Числовые характеристики дискретных случайных величин ...28 
1.7. Непрерывные случайные величины, 

их числовые характеристики 
36 

1.7.1. Равномерное распределение непрерывной 
случайной величины 
42 

1.7.2. Нормальное распределение 
46 

2. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛБНОЙ РАБ0ТБ1 
49 

2.1. Типовой расчет «Непрерывные случайные величины» 
49 

2.1.1. Условие типового расчета 
49 

2.1.2. Исходные данные для типового расчета 
49 

2.1.3. Пример выполнения типового расчета 

для непрерывной случайной величиныХ 
49 

2.1.4. Отчет по типовому расчету 
53 

2.2. Задачи для самостоятельной работы 
54 

2.3. Примерные варианты контрольной работы 
58 

Вариант 1 
58 

Вариант2 
59 

ВариантЗ 
60 

Ответы к вариантам контрольной работы 
61 

ПРИЛОЖЕНИЕ 
61 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 
63 

3 

Предисловие 

В предлагаемом учебно-методическом пособии приведено элементарное изложение теории вероятностей в объеме, необходимом для 
усвоения основ современных методов статистического анализа технологических процессов и обработки экспериментальных результатов при 
проведении исследований в области металлургии и металловедения. 
Основой издания послужили учебные пособия по организации эксперимента, выпущенные кафедрой математики МИСиС. Изменения в 
программе преподавания математики, произошедшие за последние десять лет, а также опыт чтения лекций и проведения практических занятий определили необходимость издания и характер данного пособия. 

«Теория вероятностей и математическая статистика» входит 
в состав математики, являющейся Федеральной компонентой в основных образовательных программах направлений подготовки специалистов в областях: 

651300-металлургия 
(специальности 
110200, 
110500, 
110600,110800), 

650600 - горное дело (специальность 090300), 
651600-технологические машины и оборудование (специальность 170300), 

653800-стандартизация, сертификация и метрология (специальность 072000). 

Изучение этого курса, независимо от его названия в учебном 
плане, включает два раздела - первый раздел «Теория вероятностей» 
и второй раздел «Математическая статистика». Пособие содержит 
материал, относящийся к первому разделу курса. Согласно учебному 
плану, в первом разделе курса предусмотрены контрольная работа и 
выполнение типового расчета «Непрерывные случайные величины». 

Первая часть содержит теоретический материал и методические указания по решению задач для подготовки к практическим занятиям. Приведены все необходимые для решения задач понятия и 
формулы, рассмотрено большое количество примеров решения типовых задач, охватывающих все основные темы теории вероятностей. 

Во второй части пособия приводится условие для типового 
расчета «Непрерывные случайные величины» (исходные данные для 
выполнения типового расчета выдаются преподавателем) и подробно 
разобран пример его выполнения, а также представлены типовые варианты контрольной работы. 

В приложении приведена таблица значений интеграла вероятностей. 

Студентам, желающим ознакомиться с более полным и строгим изложением основ теории вероятностей, рекомендуем литературу, приведенную в библиографическом списке. 

4 

1. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ТЕОРИИ 
ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

1.1. Непосредственный расчет вероятностей 

Событием называется эксперимент с двумя возможными исходами («да» или «нет»). Случайным называется такое событие, результат которого нельзя предсказать до проведения эксперимента. 

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий. 

Рассмотрим множество Q всех возможных, взаимно исключающих друг друга исходов некоторого испытания (эксперимента). Это 
множество будем называть пространством элементарных исходов, а 
сами эти исходы будем рассматривать как точки ш Е Q. Число исходов, 
входящих в пространство Q, может быть конечным или бесконечным. 

Пример. Пусть испытание состоит в подбрасывании одной монеты, 
тогда а, = {Г, Р}, Г - герб, Р - решка. Пусть испытание состоит в подбрасывании двух монет, пятака и гривенника, 
тогда Пг - {ГГ, ГР, РГ, РР}, первая буква относится к пятаку, вторая к гривеннику. 

Случайное событие А есть некоторое множество точек пространства Q, т.е. некоторое подмножество множества Q. Если при 
испытании осуществился исход ю е J, то говорят, что произошло 
событие А. В частности, если J = Q, то событие называется достоверным, если А-0,то 
событие называется невозможным. 

С каждым событием А связывается число р(А) - вероятность события А, отражающее степень объективной возможности 
наступления этого события. Вероятность достоверного события равна единице, вероятность невозможного события равна нулю, для всех 
остальных событий J: 
0<р{А)<\. 

Наиболее просто вероятность находится в классической модели - эксперименте, удовлетворяющем двум условиям: 

1 -множество элементарных исходов конечно Q= {coi, щ,,..., ©#}; 
2-все исходы испытания равновозможны. 
Равновозможность исходов устанавливается либо из соображений симметрии, как при подбрасывании монеты (мы считаем, что 
выпадения герба и решки равновозможны), при бросании игрального 
кубика (выпадения любого числа очков от 1 до 6 равновозможны), 
либо из условия тщательного предварительного перемешивания исходов, как при розыгрыше лотереи, игре в карты, домино и т.п. 

5 

в этом случае полагают, что вероятность любого исхода события 
А одинакова: р,^ - Р(со^) = 1 / 7V, и вероятность любого события А равна 

где NA - число исходов, входящих в множество А, или, как обычно 
говорят, число исходов, благоприятствующих событию А; 
N - общее число возможных исходов. 

Пример. Пусть испытание состоит в подбрасывании двух монет: пятака и гривенника, тогда множество исходов будет содержать 
четыре события: Q = {ГГ, ГР, РГ, РР}, Г-герб, Р-решка, 
первая буква относится к пятаку, вторая к гривеннику, N^A. 
Пусть событие А = {ГГ} (выпадение двух гербов), тогда 
NA = '\-; В= {ГР, РГ} (выпадение ровно одного герба), в этом 
случае NB^2, С = {ГГ, РГ, ГР} (вьшадение хотя бы одного 
герба), здесь Жс=3. Тогда по формуле (1.1) вероятности событий равны Р(А) = 1/4, Р(В) = 2/4 = 1/2, Р(С) = 3/4. 

Задача 1.1. 13 человек рассаживается за круглым столом 
случайным образом. Пайти вероятность того, что Иванов и Петров 
окажутся рядом. 

Решение 

Пусть Иванов сел на произвольное место за столом. Для Петрова осталось 13 - 1 = 12 мест, Ж= 12, около Иванова есть только два 
соседних места, слева и справа, т. е. NA = 2, поэтому 

Р(А)^^^^Л 
N 
12 
6 

Задача 1.2. Брошены два игральных кубика. Пайти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7. 

Решение 

Число возможных исходов при бросании двух игральных кубиков равно Ж=6-6 = 36. Выпишем 
благоприятные 
исходы: 
(1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1). Значит Л/^ = 6иР{А) = 6/36 = 1/6. 

Задача 1.3. Случайно открывают книгу, в которой 185 страниц. 
Пайти вероятность того, что номер страницы оканчивается на цифру «2». 

Решение 

Л/4 = 18 + 1 = 19, Ж= 185, Р(А) = 19/185. 

Задача 1.4. Брошены 3 игральных кубика. Найти вероятность 
того, что на них выпадет одинаковое количество очков. 

Решение 

Число возможных исходов при бросании трех игральных кубиков равно Ж = 6 - 6 - 6 = 216. Выпишем благоприятные исходы: 
(1, 1, 1); (2, 2, 2), ..., (6, 6, 6), поэтому 744 - 6 nP(J) = 6/216 - 1/36. 

1.2. Расчет вероятностей с помощью правил 
сложения и умножения 

Совмещением А • В двух событий А и В называют общую часть 
множеств исходов, составляющих события А я В (в результате испытания происходят оба события: А и В). Условной вероятностью Р(В/А) 
называется вероятность события В при условии осуществления события 
А. Вероятность совмещения двух событий находится по формуле 

Р(А-В)^Р(А)-Р(В/А). 
(1.2) 

Вероятность совмещения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого. 

Задача 1.5. Студент знает правильный ответ на 20 экзаменационных вопросов из 30. Какова вероятность того, что он: 

а) знает ответ на два заданных ему вопроса; 
б) не знает ответа на оба заданных ему вопроса? 

Решение 

Пусть событие А = {студент знает ответ на первый вопрос}, 
В = {студент знает ответ на второй вопрос}; 

Р(А)-20/30; Р(В/А)-19/29 
(из 29 оставшихся вопросов студент знает ответ на 19, так как на один из известных ему вопросов он 
уже ответил). Тогда Р(А • В)-Р(студсят 
знает два вопроса) = 

^PiA).PiBfA)^^.'lJ^.0A37. 
30 29 
87 

Пусть событие С= {студент не знает ответ на первый вопрос}, 

D= {студент не знает ответ на второй вопрос}; Р ( 0 = 10/30; 
Р(СЮ) = 9/29 (из 29 оставшихся вопросов студент не знает ответ на 9, 
так как на один из вопросов 
он уже не ответил). Тогда 

Р(А-В)-Р(стутят 
не знает ответ на два вопроса) = Д^) • Д Ш ) = 

= l^.A = A.o,103. 
30 29 87 

Формула (1.2) обобщается для трех событий J, В, С: 

Р(А-В-С)- 
Р{А) • Р{В1А) • Р(С/(А • В)). 
(1.3) 

7 

Задача 1.6. Из колоды в 52 карты случайным образом берут 3 
карты. Найти вероятность того, что все три карты - тузы (событие D). 

Решение 

D ^А ВС, где А = {первая карта - туз}, В = {вторая карта - туз}, 
С- {третья карта - туз}. В силу равной возможности исходов, обеспеченной перемешиванием карт, здесь можно воспользоваться классической формулой (1.1), как для расчета безусловных, так и для расчета 
условных вероятностей: 

Р{А) = 4/52 (в колоде из 52 карт 4 туза), Р{В1А) = 3/51 (осталась 51 карта, среди них - 3 туза), Р{С1{А • В))-2150 
(осталось 
50 карт, среди них - 2 туза). Тогда по формуле (1.3) 

P{D) = Р (три туза) = 4/52 • 3/51 • 2/50 = 0,00018. 

Суммой случайных событий АаВ 
называется событие С, соответствующее объединению множеств АаВ 
{С-А+В).В 
этом 
случае можно сказать, что произойдет хотя бы одно из событий АаВ 
(или только событие А, или только событие В, или оба вместе). 

События J и i? называются несовместными, если они не могут 
произойти одновременно при одном и том же испытании, т.е. если пересечение множеств АаВ пусто. Для несовместных событий АяВ 

Р(А +В)^Р{А)+ 
Р{В). 
(1.4) 

Суммой случайных событий А,, А^, ..., А„ называется событие, 
соответствующее объединению множеств А,,Аг, ...,А„. Здесь также 
можно сказать, что суммой событий является событие, при котором 
произойдет хотя бы одно из указанных событий. 

Формула (1.4) обобщается для попарно несовместных событий А,, А2, ...,А„: 

Д 4 + 4 + - + 4 ) = Х Д 4 ) - 
(1-5) 

Задача 1.7. Мишень состоит из центрального круга - «яблочка» и двух концентрических колец. Вероятности попадания в «яблочко» и кольцо, соответственно, равны 0,2; 0,25; 0,35. Найти вероятность попадания в мишень (событие D). 

Решение 

Событие А, = {попадание в «яблочко»}, А23- {попадание в 
одно из колец} попарно несовместны яО-А, 
+А2+А,. Но правилу 
сложения 
вероятностей 
Р(А^ +Аг+ Аъ) = Р(А^) + Р{Аг) + Р{Аъ) = 
= 0,2 + 0,25 + 0,35 = 0,8. 

8 

События AuA2, ...,А^ образуют полную группу, если они попарно несовместны и одно из них обязательно должно произойти при 
рассматриваемом испытании, т. е. их сумма есть достоверное событие: ^ + Л + - + Л = " • 
При этом 

Х Д 4 ) = Д 4 + - + Л ) = 1- 
(1-6) 

Два события J и А называются противоположными, если они 
образуют полную группу: А + А^П 
(при этом появление одного из 
них равносильно непоявлению другого). Так как Р{А) + Р{А)^\, 
то 
по вероятности одного из противоположных событий можно находить 
вероятность другого: 

Р{А) = \-Р{А), 
Р(А)^1-Р(А). 
(1.7) 

1.2.1. Независимость случайных 
событий 

Для двух независимых событий АяВ правило умножения вероятностей имеет следующий вид: 

Р(А-В)-Р(А)-Р(В). 
(1.8) 

Сравнивая с формулой (1.2), видим, что условные вероятности независимых событий АяВ равны безусловным, т.е. 

Р(В/А) = Р(В); 
Р(А/В) = Р(А). 

Формула (1.8) может быть обобщена для независимых в совокупности событий J ь - , Л : 

Р ( 4 • 4 - • 4 ) = Р(А)• Р(А)- - • Р(А). 
(1-9) 

т.е. вероятность их совмещения равна произведению вероятностей. 

Рассмотрим примеры, где применяются правила сложения и умножения независимых событий. Отметим одно полезное при решении 
задач свойство: если события J и В независимы, то будут независимыми 
следующие пары событий: 1)Аи В-,2) А иВ;3) А и В ,и тогда 

Р(А-В)^Р(А)-Р(В);Р(А-В)^Р(А)-Р(В);Р(А-В)^Р(А)-Р(В).(1.Щ 

9 

Задача 1.8. Два стрелка стреляют по мишени независимо 
друг от друга по одному разу. Вероятности попадания равны: для 
первого стрелка Р(А,) = 0,7, для второго стрелка Р(А2) - 0,8. Найти 
вероятности событий: 

а) в мишени ровно одна пробоина (событие Q; 
б) мишень поражена (событие D). 

Решение 

а) Событие С = (попадет или только первый стрелок {С,} или 
только второй стрелок {Сг}) = Q + Сг, где события С, и Сг несовместны и по правилу сложения (1.4) 
Р{0 - P(Q) + ^(Сг). 

Событие С, = 4 - Л (первый стрелок попал, второй не попал), в силу независимости событий А, и А2 (по условию задачи) будут независимыми события J^ и А, и 

Р(С,) = Р(А, • 4 ) = Р(А) • Р(А,) =0,7(1 - 0,8)=0,7 • 0,2 = 0,14 . 

Аналогично, Q = Л ' А («торой стрелок попал, первый - не 

попал) и Р(С2)= Д Л - 4 ) = Д Л ) - Д 4 ) = 0Д1-0,7) = 0,8-0,3 = 0,24. 

Тогда Р{С) = Р{С^) + Р{С^) = 0,14 + 0,24 = 0,38. 

б) Событие D = {мишень поражена} = {попадет хотя бы один 
стрелок} -А,+Аг 
(попадет или первый стрелок, или второй стрелок, 
или оба вместе), где события А, и А^ совместны и, обратите внимание, правило (1.4) применять нельзя. 

Перейдем к противоположному событию D : 
D = {мишень не поражена} = Д - ^ = (первый стрелок не 
попал и второй стрелок не попал), где Д и ^ " независимые события. Тогда 

Рф) = Р{А)-Р(А,) 
= (1 - 0,7)(1 - 0,8) = 0,3 • 0,2 = 0,06; 

P{D) = 1 - рф) 
= 1 - 0,06 = 0,94. 

Для вычисления вероятности появления хотя бы одного из 
событий А,,Аг, ...,А„ можно найти сначала вероятность противоположного события, которое заключается в том, что не произойдет ни 
одно из указанных событий. Это событие соответствует совмещению 
событий, противоположных рассматриваемым: Д • Д •..•• Д 
10 

Окончательная формула будет иметь следующий вид: 

Д 4 + 4+-+Л) = 1-Д4-4---4)- 
(1-11) 

Задача 1.9. Три элемента в системе работают независимо друг 
от друга. Вероятности безотказной работы равны: для первого элемента Р(А,) = 0,6; для второго элемента Р(А2) = 0,7; для третьего элемента 
Р(А,) = 0,8. Найти вероятности следующих событий - в системе будут 
работать безотказно: 

а) только один элемент (событие В); 
б) только два элемента (событие С); 
в) все три элемента (событие/)); 
г) хотя бы один элемент (событие F). 

Решение 
а)Событие В = А,-А,-А, 
+ А,-А,-А, + А,-А,-А, 
(один элемент 

работает, при этом два других не работают). В силу независимости событий Аи А2, А, по правилам сложения и умножения вероятностей 

Р(В)^Р(А,)-Р(А,)-Р(А,) 
+ Р(А,)-Р(А,)-Р(А,) 
+ 
Р(А,)-Р(А,)-Р(А,)^ 

= 0,6 • 0,3 • 0,2 + 0,7 • 0,4 • 0,2 + 0,8 • 0,3 • 0,4 = 0,036 + 0,056 + 0,096 = 0,188. 

б) Событие С = 4 • Л • 4 + Л • 4 • 4 + 4 • 4 • Л (два элемента работают, при этом третий не работает); 

Р(С) = Р(А)-Р(А,)-Р(А,) 
+ Р(4)-Р(А,)-Р(А,) 
+ Р(А,)-Р(А,)-Р(А,) 
= 

= 0,6-0,7-0,2 + 0,6-0,8-0,3 + 0,7-0,8-0,4 = 0,084 + 0,144 + 0,224 = 0,452. 

в) Событие D = 4 • Л • 4 и по правилу (1.9) для независимых 
событий: 

Р(0)^Р(А,)-Р(А,)-Р(А,)^ 
0,6 • 0,7 • 0,8 = 0,336. 

г) F = {все три элемента не работают} 
-А,-А,-А,; 

Д Я = 0,4-0,3-0,2 = 0,024; 

P(F) = 1 - P(F) = 1 - 0,024 = 0,976. 

Задача 1.10. В группе 10 студентов. Найти вероятность того, 
что хотя бы у двух студентов совпадают дни рождения (событие J). 
Считаем, что в году 365 дней. 

11 

Решение 

Противоположное событие А можно представить себе так: если предложить каждому студенту заштриховать в календаре года дату 
своего рождения, то ни одна дата в календаре не окажется заштрихованной дважды, т.е. первый студент может заштриховать любой день 
из 365 дней, второй - один из 364 оставшихся, третий - один из 
363 оставшихся и т.п.). Тогда 

- 
365.364 363. 
.356 
,365 365 365 
365, 
10 сомножителей 

Искомая вероятность Р(А) = 1 - Р(А) » 0,889 . 

Задача 1.11. Из урны, содержащей 2 белых и 4 черных шара, 
два игрока поочередно извлекают наудачу шары без возвращения. 
Выигрывает тот, кто первым вынет белый шар. Найти вероятность 
выигрыша игрока, первым начавшего игру. 

Решение 

Обозначим события: Ai = {первый игрок в г'-й попытке вынимает 
белый шар}, / - 1, 2, 3; Д - {второй игрок в i-u попытке вьшимает белый шар}, / = 1, 2; И = {выигрыш всей игры первым игроком}. Тогда 
4 = {первый игрок в i-u попытке вьшимает черный шар}. Д. {второй 
игрок в i-u попытке вынимает черный шар}. Заметим, что для осуществления первым игроком второй попытки он и в первой попытке должен 
вынуть черный шар, и второй игрок в своей попытке должен вынуть 
черный шар, иначе игра бы уже закончилась. Аналогично, для осуществления первым игроком третьей попытки необходимо, чтобы он и второй игрок во всех предыдущих попытках вынимали черные шары, четвертой попытки у первого игрока нет, так как в урне 4 черных шара. 
Таким образом, первый игрок может вынуть белый шар или с первой, 
или со второй, или с третьей попытки, следовательно 

п = 4 + 4-4-Д + 4-4-4-Д-^2
Тогда 
1-я попытка 1 игрока: Р(А,) = 2/6 = 1/3; Р(А,) = 2/3; 
1-я попытка 2 игрока: Р(В,) = 2/5; Р(В,) = 3/5; 
2-я попытка 1 игрока: Д Л ) = 2/4 = 1/2; 
Р(А,) ^1/2; 
2-я попытка 1 игрока: Р(В,) = 2/3; Р(В,) = 1/3; 
3-я попытка 2 игрока: Р(А,) = 2/2 = 1. 

12